Resumo de Integração em Cáculo 1

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MA111 - Ca´lculo I
Prof. Dr. Ricardo Miranda Martins
Integrac¸a˜o
1 Primitivas e antiderivadas
Ate´ este ponto, aprendemos a resolver o seguinte problema neste curso: dada f : [a, b] → R, encontre
uma func¸a˜o g : [a, b]→ R tal que para todo ponto x0 ∈ [a, b], vale
g(x0) = lim
x→x0
f(x0 + h)− f(x0)
h
. (1)
Esta func¸a˜o g, denotada por f ′, e´ chamada derivada de f .
Agora vamos resolver uma espe´cie de problema inverso: dada uma func¸a˜o g : [a, b] → R, devemos
encontrar uma func¸a˜o f : [a, b]→ R tal que para todo x0 ∈ [a, b] vale a equac¸a˜o (1).
Definic¸a˜o 1. Uma func¸a˜o F : [a, b] → R e´ chamada antiderivada (ou primitiva) de f : [a, b] → R se
para todo x ∈ [a, b] vale F ′(x) = f(x). Outra notac¸a˜o para antiderivada, que fara´ sentido mais tarde, e´
F (x) =
∫
f(x) dx.
Exemplo 2. Seja f(x) = 2x. Enta˜o F (x) =
∫
f(x) dx = x2 + c, onde c ∈ R e´ uma constante qualquer.
Para ver isto, basta derivar F (x) = x2 + c.
A constante que aparece no exemplo anterior acontece em geral. Ocorre que, como constantes se
tornam zero quando derivadas, elas sempre aparecera˜o nas antiderivadas. Desta observac¸a˜o decorre o
seguinte resultado:
Proposic¸a˜o 3. Sejam F,G : [a, b]→ R primitivas de f : [a, b]→ R. Enta˜o F (x)−G(x) e´ constante.
Prova. Como F,G sa˜o primitivas de f , segue que F ′ = f e G′ = f . Portanto, F ′(x) − G′(x) = 0, ou
seja, a func¸a˜o F (x)−G(x) e´ constante.
Na maioria dos casos, dada uma func¸a˜o f(x), sua derivada f ′(x) pode ser encontrada utilizando
algoritmos simples (regra do produto, do quociente, da cadeia, etc). Encontrar sua primitiva, no en-
tanto, e´ um procedimento mais complicado. Se f(x) e´ dada em termos de func¸o˜es elementares (func¸o˜es
polinomiais, poteˆncias - na verdade, alge´bricas, trigonome´tricas, exponenciais, racionais e combinac¸o˜es
envolvendo composic¸o˜es destas func¸o˜es), enta˜o f ′(x) tambe´m e´ uma func¸a˜o elementar. Isto na˜o e´ verdade
para as primitivas. Em particular, a primitiva de f(x) = e−x
2
existe, mas na˜o pode ser escrita em termos
de func¸o˜es elementares (veja [2]).
2 A´reas
Seja f : [a, b] → R uma func¸a˜o cont´ınua e positiva. Seja S a regia˜o delimitada pelo gra´fico de f , o eixo
x e as retas x = a e x = b. Como a a´rea desta regia˜o se relaciona com a func¸a˜o f? Alia´s, como definir
a´rea para uma regia˜o destas?
Uma abordagem poss´ıvel para este problema e´ a seguinte: vamos aproximar a regia˜o S por uma regia˜o
que seja unia˜o de retaˆngulos. Podemos fazer isto dividindo o intervalo [a, b] em va´rios subintervalos com
extremos a = x0 < x1 < . . . < xn = b e considerando retaˆngulos de base xixi+1 e altura f(xi).
Exemplo 4. Considere f(x) = x3 no intervalo [0, 1]. Qual sera´ a a´rea “abaixo” deste gra´fico para
x ∈ [0, 1]?
Vamos dividir o intervalo ao meio. Assim teremos os subintervalos [0, 1/2] e [1/2, 1]. Como f(0) = 0
e f(1/2) = 1/8, segue que (1/2) · 0 + (1/2) · (1/8) = 1/16 = 0, 0625 e´ uma aproximac¸a˜o para esta a´rea.
Se dividirmos o intervalo em quatro subintervalos [0, 1/4], [1/4, 1/2], [1/2, 3/4] e [3/4, 1], teremos a
aproximac¸a˜o (1/4) · 0 + (1/4) · (1/64) + (1/4) · (1/8) = 9/64 = 0, 140625.
Dividindo em dez subintervalos, teremos a aproximac¸a˜o 1046529/4194304 = 0, 2495119572....
Dividindo em 50 subintervalos, teremos a aproximac¸a˜o 0, 24999999999999955....
E´ poss´ıvel obter uma fo´rmula geral para esta aproximac¸a˜o. Note que ao dividirmos [0, 1] em n
intervalos de igual comprimento, cada um deles tem comprimento 1/2n. Desta forma, os pontos xi = i/2
n
e a altura do retaˆngulo com base xkxk+1 tera´ altura f(xk) = f(k/2
n) = k3/(2n)3. Somando tudo, teremos
que a aproximac¸a˜o para a a´rea sera´
n−1∑
k=0
1
2n
(
k
2n
)3
=
1
4
(
1− 1
2n
)2
.
Intuitivamente, se n aumenta indefinidamente, enta˜o esta aproximac¸a˜o resulta em 1/4.
Observac¸a˜o 5. Rigorosamente, ainda na˜o sabemos calcular limites quando a varia´vel e´ natural (somente
quando a varia´vel e´ real). Sem entrar muito em detalhes, observe que ser n ∈ N, enta˜o n so´ pode tender
ao infinito, pois considerando a topologia da reta real, n nunca estara´ arbitrariamente perto de algum
outro nu´mero natural que na˜o seja n. Havendo clareza sobre isto, se f : N → R enta˜o limn→∞ f(n) esta´
bem definido e pode ser calculado como no caso real.
Observac¸a˜o 6. No intervalo [xi, xi+1], escolhemos a altura do retaˆngulo f(xi). Na˜o precisa´vamos fazer
isto. Poder´ıamos ter escolhido f(xi+1) ou ainda escolher um ponto qualquer x
∗
i ∈ (xi, xi+1) para calcular
a altura.
Definic¸a˜o 7. Seja f : [a, b] → R uma func¸a˜o cont´ınua e positiva. Considere uma divisa˜o do inter-
valo [a, b] em n subintervalos de tamanho ∆x = (b − a)/n, obtendo os intervalos [x0, x1], [x1, x2], . . . ,
[xn−1, xn], onde x0 = a, xn = b e xk = a + k∆x. Seja x∗j+1 ∈ [xj , xj+1] um ponto qualquer. A a´rea da
regia˜o S definida acima e´ dada por
A = lim
n→∞
n−1∑
k=0
f(x∗k)∆x = lim
n→∞
(
f(x∗1)∆x+ f(x
∗
2)∆x+ . . .+ f(x
∗
n)∆x
)
(2)
Observac¸a˜o 8. Pode-se provar que a soma acima na˜o depende do ponto escolhido dentro do intervalo,
nem da escolha particular da divisa˜o do intervalo original.
3 Integrais
Quando a func¸a˜o f na˜o e´ positiva, a equac¸a˜o (2) na˜o tem um significado geome´trico preciso. Ainda
assim, ela existe e e´ chamada integral de f no intervalo [a, b].
Definic¸a˜o 9. Se f : [a, b] → R e´ uma func¸a˜o cont´ınua, a = x0 < x1 < . . . < xn = b e´ uma divisa˜o
do intervalo [a, b] em subintervalos de mesmo comprimento ∆x e x∗i ∈ [xi−1, xi] pontos quaisquer. A
integral definida de f com x indo de a ate´ b e´∫ b
a
f(x) dx = lim
n→∞
n∑
i=1
f(x∗i )∆x.
Caso o limite anterior exista (e seja independente da escolha de x∗i e dos subintervalos), diremos que
a func¸a˜o f e´ integra´vel no intervalo [a, b].
Uma condic¸a˜o suficiente para integrabilidade e´ dada pelo pro´ximo teorema.
Teorema 10. Seja f : [a, b] → R uma func¸a˜o que e´ cont´ınua ou tem no ma´ximo um nu´mero finito de
descontinuidades remov´ıveis, ou seja, existem x1, . . . , xn ∈ [a, b] tais que f e´ descont´ınua em xj mas os
limites laterais lim
x→x±j
f(x) existem para todo j = 1, . . . , n. Enta˜o f e´ integra´vel em [a, b].
O s´ımbolo
∫
e´ um s estilizado, para lembrar que a integral definida e´ uma soma. Esta soma e´ chamada
soma de Riemann. No caso de f ser positiva, a integral definida e´ a a´rea S que ja´ calculamos. Observe
ainda que
∫ b
a
f(x) dx e´ um nu´mero, e na˜o uma func¸a˜o.
Proposic¸a˜o 11. Se a < b, enta˜o
∫ b
a
f(x) dx = − ∫ a
b
f(x) dx.
Prova. Ao escrever a integral de b ate´ a, a expressa˜o de ∆x ficara´ (a−b)/n, que e´ exatamente o negativo
de (b− a)/n, que aparece na integral de a ate´ b.
Vamos calcular nossa primeira integral:
Exemplo 12. Seja f(x) = c uma func¸a˜o constante definida em [a, b]. Enta˜o, para todo x ∈ [a, b], temos
f(x) = c. Considerando uma divisa˜o de [a, b] em n retaˆngulos de tamanho ∆x = (b − a)/n, teremos
sempre ∫ b
a
f(x) dx =
∫ b
a
c dx = lim
n→∞
n∑
i=1
f(x∗i )∆x = lim
n→∞
n∑
i=1
c(b− a)/n = c(b− a),
pois o somato´rio e´ em i e a func¸a˜o que esta´ sendo somada na˜o depende de i.
A integrac¸a˜o satisfaz algumas propriedades importantes, que listaremos a seguir.
Proposic¸a˜o 13. Sejam f, g func¸o˜es integra´veis. Enta˜o:
(a)
∫ b
a
(f(x) + g(x)) dx =
∫ b
a
f(x) dx+
∫ b
a
g(x) dx
(b)
∫ b
a
cf(x) dx = c
∫ b
a
f(x) dx, onde c ∈ R.
Prova. Esta prova vai ficar como exerc´ıcio. A ideia e´ escrever a definic¸a˜o (utilizando o limite, etc) e
mostrar que e´ poss´ıvel “quebrar” o limite (ja´ que ambas as func¸o˜es sa˜o integra´veis).
Exemplo 14. Utilizando a proposic¸a˜o anterior, ja´ podemos calcular integrais “mais complicadas”, como
por exemplo
∫ 1
0
(1 + x+ x3) dx.
Se f : [a, b]→ R e´ uma func¸a˜o cont´ınua, exceto no ponto c ∈(a, b) onde ela tem uma descontinuidade
remov´ıvel, vimos que f e´ integra´vel. O pro´ximo resultado nos diz como calcular a integral de f em [a, b].
Lema 15. Seja f : [a, b]→ R e suponha que exista c ∈ (a, b) tal que f e´ cont´ınua nos intervalos [a, c) e
(c, b]. Suponha ainda que os limites laterais limx→c± f(x) existam. Enta˜o∫ b
a
f(x) dx =
∫ c
a
f(x) dx+
∫ b
c
f(x) dx.
Prova. Basta considerar subdiviso˜es do intervalo [a, b] que contenham o ponto c como ponto extremo de
subintervalos e utilizar a definic¸a˜o de integral.
A pro´xima proposic¸a˜o lista mais propriedades importantes das func¸o˜es integra´veis.
Proposic¸a˜o 16. Sejam f, g : [a, b]→ R func¸o˜es integra´veis.
(a) Se f(x) ≥ 0 para todo x ∈ [a, b] enta˜o ∫ b
a
f(x) dx ≥ 0.
(b) Se f(x) ≤ g(x) para todo x ∈ [a, b] enta˜o ∫ b
a
f(x) dx ≤ ∫ b
a
g(x) dx.
(c) Se existem m,M ∈ R tais que m ≤ g(x) ≤M , para todo x ∈ [a, b] enta˜o
m(b− a) ≤
∫ b
a
f(x) dx ≤M(b− a).
Exemplo 17. Ainda na˜o temos boas ferramentas para calcular integrais, mas a proposic¸a˜o anterior
pode ser utilizada para dar algumas estimativas. Por exemplo, sabemos que −1 ≤ cos(x) ≤ 1, para todo
x ∈ [0, 2pi], logo −2pi ≤ ∫ 2pi
0
cos(x) dx ≤ 2pi. Um caso mais emblema´tico e´ o de func¸o˜es que na˜o saberemos
calcular as integrais exatamente, como o caso de f(x) = e−x
2
. Observe que esta func¸a˜o e´ decrescente
em [0, 1], pois sua derivada e´ f ′(x) = −2xe−x2 . Como f(0) = 1 e f(1) = 1/e, segue que 1/e ≤ f(x) ≤ 1,
para todo x ∈ [0, 1]. Logo,
1
e
≤
∫ 1
0
e−x
2
dx ≤ 1.
4 Teorema Fundamental do Ca´lculo
Seja f : [a, b] → R uma func¸a˜o cont´ınua e considere uma nova func¸a˜o, tambe´m definida no intervalo
[a, b], dada por
g(x) =
∫ x
a
f(s) ds.
Observe que no caso de f ser uma func¸a˜o positiva, g(x) e´ a a´rea debaixo do gra´fico de f , entre os
pontos a e x.
Exemplo 18. Seja f : [0, 3]→ R dada por
f(x) =
 x, x ∈ [0, 1],1, x ∈ [1, 2],
3− x, x ∈ [2, 3].
Quem e´ g(x)? Se x ∈ [0, 1], calcule g′(x).
O pro´ximo teorema nos diz como derivar func¸o˜es definidas por integrais.
Teorema 19 (Teorema Fundamental do Ca´lculo I). Seja f : [a, b]→ R uma func¸a˜o cont´ınua e
g(x) =
∫ x
a
f(x) dx,
para x ∈ [a, b]. Enta˜o g e´ cont´ınua e diferencia´vel em [a, b], com g′(x) = f(x).
Exemplo 20. Calcule a derivada de g(x) =
∫ x
0
arctan(x) dx
Exemplo 21. Calcule a derivada de g(x) =
∫ x2
0
ex dx
O pro´ximo resultado e´ a segunda versa˜o do TFC:
Teorema 22 (Teorema Fundamental do Ca´lculo II). Seja f : [a, b]→ R uma func¸a˜o cont´ınua. Enta˜o∫ b
a
f(x) dx = F (b)− F (a),
onde F e´ uma primitiva de f , ou seja, F ′ = f .
Exemplo 23. Calcule
∫ 2
0
x3 dx.
Exemplo 24. Calcule
∫ 2pi
0
cos(x) dx.
Exemplo 25. Calcule a a´rea entre os gra´ficos de f(x) = x e g(x) = x2, para x ∈ [0, 2].
As duas verso˜es do TFC nos permitem enunciar o seguinte teorema, que de certa forma mostra que
derivac¸a˜o e integrac¸a˜o sa˜o processos inversos.
Teorema 26. Seja f : [a, b]→ R cont´ınua.
(a) Se g(x) =
∫ x
a
f(t) dt enta˜o g′(x) = f(x).
(b) Se F ′ = f enta˜o
∫ b
a
f(x) dx = F (b)− F (a).
References
[1] J. Stewart, Ca´lculo, vol. 1, Cengage Learning.
[2] D. C. M. Filho, “Professor, qual e´ a primitiva de
ex
x
?!” (O problema de integrac¸a˜o em termos
finitos), Matema´tica Universita´ria 31 (2001) 143–161.