AP1 MÉTODOS DETERMINÍSTICOS 1 2016 1 gabarito

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Fundac¸a˜o Centro de Cieˆncias e Educac¸a˜o Superior a Distaˆncia do Estado do Rio de Janeiro
Centro de Educac¸a˜o Superior a Distaˆncia do Estado do Rio de Janeiro
AP1 – Gabarito – Me´todos Determin´ısticos I – 2016-1
Nome: Matr´ıcula:
Polo: Data:
Atenc¸a˜o!
• Identifique a Prova, colocando Nome, Matr´ıcula, • E´ expressamente proibido o uso de calculadoras;
Polo e Data; • E´ expressamente proibido o uso de corretivo nas respostas.
• Devolver a prova e a folha de respostas ao res- • As respostas devem estar acompanhadas de justificativa.
ponsa´vel; Respostas sem justificativa na˜o sera˜o consideradas.
Questa˜o 1 (2.0 pt) Considere as proposic¸o˜es:
A: “Joa˜o e´ casado se, e somente se, Maria possui filhos.”
B: “Se Pedro e´ solteiro, enta˜o Maria possui filhos.”
Sabendo que a proposic¸a˜o P: “A ou B” e´ falsa, pode-se afirmar que:
(i) Joa˜o na˜o e´ casado, Maria possui filhos, Pedro e´ solteiro.
(ii) Joa˜o na˜o e´ casado, Maria na˜o possui filhos, Pedro e´ solteiro.
(iii) Joa˜o na˜o e´ casado, Maria na˜o possui filhos, Pedro na˜o e´ solteiro.
(iv) Joa˜o e´ casado, Maria na˜o possui filhos, Pedro e´ solteiro.
(v) Joa˜o e´ casado, Maria na˜o possui filhos, Pedro na˜o e´ solteiro.
Soluc¸a˜o: Para que uma disjunc¸a˜o, isto e´, uma proposic¸a˜o tipo “A ou B” seja falsa, e´ necessa´rio
que tanto A quanto B sejam falsas. Logo, como P e´ falsa segue que A e´ falsa e B tambe´m e´ falsa.
A proposic¸a˜o B e´ uma implicac¸a˜o do tipo a ⇒ b, onde a: “Pedro e´ solteiro”e b: “Maria possui
filhos”, logo, ela e´ falsa, apenas se vale a e ∼ b, isto e´, se “Pedro e´ solteiro”(a) e “Maria na˜o possui
filhos”(∼ b).
Por outro lado, a proposic¸a˜o A e´ uma equivaleˆncia do tipo c ⇔ b, onde c: “Joa˜o e´ casado”e b:
“Maria possui filhos”, logo, ela e´ falsa, apenas em duas situac¸o˜es: vale c e ∼ b, ou vale ∼ c e b. No
para´grafo anterior, descobrimos que vale ∼ b, i.e. “Maria na˜o possui filhos”, portanto, devemos ter
c, i.e. “Joa˜o e´ casado”.
Portanto, a resposta correta e´ a (iv).
Este texto e´ comum a`s Questo˜es 2 e 3 a seguir.
Considere o conjunto A =
{
1, −13
3
,
5
3
, −4
}
. Utilize o conjunto A para decidir se sa˜o verdadeiras
ou falsas as proposic¸o˜es enunciadas nas Questo˜es 2 e 3 a seguir, justificando bem sua resposta.
Me´todos Determin´ısticos I AP1 2
Questa˜o 2 (1.5 pt) ∀x ∈ A ;
(
3x+
2
3
< 4x
)
∨
(
x < −15
4
)
.
Soluc¸a˜o: Vamos chamar de a a proposic¸a˜o simples “3x +
2
3
< 4x”e de b a proposic¸a˜o simples
“x < −15
4
”. Isto e´
a: “3x+
2
3
< 4x.”
b: “x < −15
4
.”
A proposic¸a˜o “a ∨ b”e´ uma disjunc¸a˜o. Portanto, para que ela seja verdadeira, basta que uma das
proposic¸o˜es simples seja verdadeira.
Observe que a proposic¸a˜o a e´ verdadeira se, e somente se, x >
2
3
. De fato,
3x+
2
3
< 4x⇔ 3x− 4x < −2
3
⇔ −x < −2
3
⇔ x > 2
3
.
Como e´ uma proposic¸a˜o do tipo “∀x ∈ A”, devemos analisar se a proposic¸a˜o “a ∨ b”e´ verdadeira
ou falsa para cada elemento do conjunto A. Para x = 1 e x =
5
3
, temos que, a proposic¸a˜o a e´
verdadeira, pois
1 >
2
3
(⇔ 3 > 2) e 5
3
>
2
3
(⇔ 5 > 3).
Logo, para x = 1 e x =
5
3
, temos que a disjunc¸a˜o
“
(
3x+
2
3
< 4x
)
∨
(
x < −15
4
)
”
e´ verdadeira, pois, para estes valores de x, “
(
3x+
2
3
< 4x
)
”e´ verdadeira.
Para x = −13
3
e x = −4, a proposic¸a˜o a e´ falsa, pois −13
3
<
2
3
e −4 < 2
3
. Pore´m, para estes dois
elementos de A, a proposic¸a˜o b verdadeira, pois
−13
3
< −15
4
(⇔ −52 < −45) e − 4 < −15
4
(⇔ −16 < −15).
Desta forma, para x = −13
3
e x = −4, a disjunc¸a˜o “
(
3x+
2
3
< 4x
)
∨
(
x < −15
4
)
tambe´m e´
verdadeira, pois, para estes valores de x, “
(
x < −15
4
)
”e´ verdadeira.
Conclu´ımos, portanto, que a disjunc¸a˜o “
(
3x+
2
3
< 4x
)
∨
(
x < −15
4
)
”e´ verdadeira, para todo
x ∈ A.
Logo, ∀x ∈ A ;
(
3x+
2
3
< 4x
)
∨
(
x < −15
4
)
e´ verdadeira.
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Me´todos Determin´ısticos I AP1 3
Questa˜o 3 (1.5 pt) ∃x ∈ A ; (2x ∈ Z) ∧ (x2 > x)
Soluc¸a˜o: Vamos chamar de a a proposic¸a˜o simples “2x ∈ Z”e de b a proposic¸a˜o simples “x2 > x”.
Isto e´,
a: “2x ∈ Z.”
b: “x2 > x.”
A proposic¸a˜o “a ∧ b”e´ uma conjunc¸a˜o. Portanto, para que ela seja verdadeira, e´ preciso que as
duas proposic¸o˜es simples sejam verdadeiras.
Como e´ uma proposic¸a˜o do tipo “∃x ∈ A”, vamos verificar se ha´ um elemento de A, para o
qual a e b sejam verdadeiras.
Analisando os elementos do conjunto A, temos que, para os elementos de A, x = 1 e x = −4,
segue que 2x = 2 e 2x = −8. Como 2 e −8 sa˜o nu´meros inteiros, segue que a proposic¸a˜o a e´
verdadeira somente para os elementos x = 1 e x = −4.
Para x = −4, x2 = 16 e, enta˜o, x2 > x. Logo, para x = −4, a proposic¸a˜o b e´ verdadeira.
Como, para x = −4, a e´ verdadeira e b tambe´m e´ verdadeira, conclu´ımos que existe um ele-
mento do conjunto A, para o qual, a proposic¸a˜o “a ∧ b”e´ verdadeira.
Portanto, ∃x ∈ A ; (2x ∈ Z) ∧ (x2 > x) e´ verdeira.
Este texto e´ comum a`s Questo˜es 4 e 5 a seguir.
Em uma certa empresa, promovem-se dois tipos de atividades de lazer para seus funciona´rios: cami-
nhada e Tai Chi Chuan. Sabe-se que
- 20% dos funciona´rios participam apenas de caminhada;
- 35% funciona´rios na˜o participam de nenhuma das duas atividdaes;
- os funciona´rios que participam apenas de Tai Chi Chuan e´ igual a 200% dos funciona´rios que
participam de ambas as atividades.
Com base nestas informac¸o˜es, responda as Questo˜es 4 e 5 a seguir.
Questa˜o 4 (0.8 pts) : Qual a porcentagem de funciona´rios que participam de pelo menos uma das
atividades de lazer?
Soluc¸a˜o: Como ha´ 100% de funciona´rios e 35% dos funciona´rios na˜o participam de nenhuma das
atividades de lazer, temos que a porcentagem do nu´mero de funciona´rios que participam de pelo
menos uma das atividades de lazer e´ dado por
100%− 35% = 65%.
Conclusa˜o: 65% funciona´rios participam de pelo menos uma das atividades de lazer.
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Me´todos Determin´ısticos I AP1 4
Questa˜o 5 (1.2 pts) : Qual a porcentagem de funciona´rios que participam das duas atividades de
lazer?
Soluc¸a˜o: Vamos chamar de T o nu´mero total de funciona´rios e de x a porcentagem do nu´mero de
dos funciona´rios que participam de ambas as atividades. Desta forma, temos que
- o nu´mero de funciona´rios que participam apenas de caminhada e´ igual a
20
100
.T ;
- o nu´mero de funciona´rios que na˜o participam de nenhuma das duas atividades e´ igual a
35
100
.T ;
- o nu´mero de funciona´rios que participam apenas de Tai Chi Chuan e´ igual a
200
100
.
x
100
.T .
Desta forma, pelo diagrama de Venn, temos que
20
100
.T +
x
100
.T +
200
100
.
x
100
.T +
35
100
.T = T
20
100
.T +
x
100
.T +
2x
100
.T +
35
100
.T = T
20T + xT + 2xT + 35T = 100T
3xT = 45T
3x = 45
x =
45
3
x = 15.
Temos portanto, que a porcentagem de funciona´rios que participam da ambas as atividades de lazer
e´ de 15%.
Conclusa˜o: 15% funciona´rios participam das duas atividades de lazer.
Questa˜o 6 (1.0 pts) : Racionalize, desenvolva e decida se a desigualdade A < B e´ verdadeira ou
falsa, considerando que
A =
3
−√3−√(−2)2 − 9√3 e B = −
√
18√
2
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Me´todos Determin´ısticos I AP1 5
Soluc¸a˜o:
A =
3
−√3−√(−2)2 − 9√3
=
−3√
3 +
√
4
− 9√
3
.
√
3√
3
=
−3√
3 + 2
− 9
√
3
3
=
−3√
3 + 2
.
(
√
3− 2)
(
√
3− 2) − 3
√
3
=
−3√3 + 6
(
√
3)2 − 22 − 3
√
3
=
−3√3 + 6
3− 4 − 3
√
3
=
−3√3 + 6
−1 − 3
√
3
= 3
√
3− 6− 3
√
3
= −6
e
B =
−√18√
2= −
√
18
2
= −
√
9
= −3.
Como −6 < −3, temos que a desigualdade A < B e´ verdadeira.
Questa˜o 7 (1.0 pts) : Determine o valor de m+ n, dado que
m =
3
√
−1
27
− (32)−1/5 e n =
(
2
3
− 1
4
)2
÷ 5
4
.
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Me´todos Determin´ısticos I AP1 6
Soluc¸a˜o:
m =
3
√
−1
27
− (32)−1/5
=
3
√
−1
33
− (25)−1/5
=
−1
3
− (2)−1
= −1
3
− 1
2
= −2
6
− 3
6
= −5
6
e
n =
(
2
3
− 1
4
)2
÷ 5
4
=
(
2
3
− 1
4
)2
.
4
5
=
(
8
12
− 3
12
)2
.
4
5
=
(
5
12
)2
.
4
5
=
25
144
.
4
5
=
5
36
.
Logo,
m+ n = −5
6
+
5
36
= −30
36
+
5
36
= −25
36
.
Conclusa˜o: 3
√−1
27
− (32)−1/5 +
(
2
3
− 1
4
)2
÷ 5
4
= −25
36
.
Questa˜o 8 (1.0 pts) : Determine, na forma de intervalo ou de uma unia˜o finita de intervalos, os
nu´meros reais que tornam verdadeira a desigualdade abaixo.
2
(
x+
1
2
)2
− 3x <
(
x− 1
2
)
(2x+ 3).
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Me´todos Determin´ısticos I AP1 7
Soluc¸a˜o:
2
(
x+
1
2
)2
− 3x <
(
x− 1
2
)
(2x+ 3) ⇔
2
(
x2 + x+
1
4
)
− 3x < 2x2 − x+ 3x− 3
2
⇔
2x2 + 2x+
1
2
− 3x < 2x2 − x+ 3x− 3
2
⇔
2x2 − x+ 1
2
< 2x2 + 2x− 3
2
⇔
2x2 − x+ 1
2
− 2x2 − 2x+ 3
2
< 0 ⇔
−3x+ 2 < 0 ⇔
−3x < −2 ⇔
x >
2
3
.
Conclusa˜o: Os valores de x que satisfazem a desigualdade 2
(
x+
1
2
)2
− 3x <
(
x− 1
2
)
(2x+ 3),
sa˜o x ∈
(
2
3
,∞
)
.
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