Experimento Millikan

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Determinac¸a˜o da Unidade Elementar de Carga
Ele´trica
Fabio Rasera, Luan Bottin De Toni
2 de Julho de 2016
Resumo
Este trabalho descreve o experimento em que se pretendeu repro-
duzir uma versa˜o do experimento realizado por Millikan para obter o
valor da carga elementar. Apo´s ana´lise e tratamento estat´ıstico dos
dados, os resultados obtidos demonstraram a efica´cia do experimento,
onde encontrou-se o valor e = 1, 5(±0, 2).10−19C para a carga do
ele´tron.
1 Introduc¸a˜o
1.1 Introduc¸a˜o Histo´rica
Apesar de ser recente o controle e produc¸a˜o de eletricidade que revolucio-
nou o modo de vida dos seres humanos, o conhecimento dos efeitos de carga
ele´trica remontam aos antigos gregos, milhares de anos atra´s. Por volta de
600 A.C, Thales de Mileto descobriu que o aˆmbar, uma resina fo´ssil, possui
a propriedade de atrair outros objetos, como penas, apo´s ser atritado contra
la˜. Da´ı que surge a palavra ele´tron, que vem do grego e´lektron, que significa
aˆmbar. Por muito tempo se pensou que este fenoˆmeno fosse propriedade
apenas desta substaˆncia, mas eventualmente foram observados os efeitos da
eletricidade esta´tica em outros materiais.
No se´culo XVIII o qu´ımico franceˆs Charles Du Fay ja´ notara que o efeito
poderia ser atrativo ou repulsivo, dependendo dos materiais atritados. Ainda
neste se´culo nasce o conceito de carga ele´trica, assim como part´ıcula ele´trica, e
a lei de conservac¸a˜o de carga e´ cunhada por Benjamin Franklin, que tambe´m
criou diversos termos utilizados ate´ hoje quando tratamos de eletricidade:
bateria, condutor, positivo, negativo, entre outros.
1
No se´culo XIX W.Crookes observa o aparecimento de luminesceˆncia em
regio˜es de tubos onde produzia va´cuo e punha dois eletrodos com alta vol-
tagem, chamando de ”raios cato´dicos”os misteriosos entes que causavam tal
luminesceˆncia. No ano de 1897 J. J. Thomson realizou experieˆncias que
o levaram a concluir que os raios cato´dicos eram formados por part´ıculas
que possuem carga negativa. Mais tarde, Thomson ainda provou que esses
raios eram desviados mediante a aplicac¸a˜o de campo ele´trico. Assim, essas
part´ıculas foram denominadas de ele´trons, remontando aos primo´rdios da
descoberta da eletricidade.
Thomson da´ um grande salto na investigac¸a˜o da carga ele´trica ao obter
experimentalmente a raza˜o de carga sobre massa, inciando uma busca pela
determinac¸a˜o da carga do ele´tron. O experimento da Caˆmara de Bolhas,
proposto por C. T. R. Wilson, estudante de Thomson, produziu resultados
na determinac¸a˜o da carga do ele´tron. Na caˆmara ı´ons sa˜o produzidos com
um feixe de raios X ou com um feixe de raios gama, emitidos por uma fonte
radioativa e servem como nu´cleos de condensac¸a˜o de vapor d’a´gua produzido
na caˆmara, estando sujeitos a` aplicac¸a˜o de um campo ele´trico. No entanto,
haviam dificuldades no controle da evaporac¸a˜o das got´ıculas de a´gua, e foi
apo´s o aperfeic¸oamento do f´ısica americano Robert Andrews Millikan, em
conjunto com seu aluno H. Fletcher, que o experimento retornou resultados
mais confia´veis.
Millikan passou 13 anos aperfeic¸oando o experimento, introduzind o uso
de gotas de o´leo e melhorou a aparelhagem utilizada para as medidas. Os
resultados de Millikan demonstraram que a carga ele´trica encontrada nas
gotas eram mu´ltiplas inteiras de uma carga fundamental, e assim se atestou
a quantizac¸a˜o da carga do ele´tron. Seu trabalho lhe rendeu um preˆmio Nobel
de F´ısica em 1923.
1.2 Referencial Teo´rico
O objetivo deste relato´rio e´ descrever a reproduc¸a˜o do experimento de
Millikan, utilizando as ideias chaves do experimento original, pore´m com
ferramentas modernas. Foram cronometrados os tempos de descida e subida
de va´rias gotas de o´leo ionizadas no meio viscoso (ar), sobre a atuac¸a˜o de
um campo ele´trico ~E. Ale´m da forc¸a ele´trica, outras forc¸as estara˜o atuando
sobre a gota, como a forc¸a peso, de empuxo e de viscosidade do ar, conforme
mostrado na figura 1.
Sabendo que a magnitude do campo ele´trico e´ E = V/L, onde V e´ a
diferenc¸a de potencial aplicada entre as placas do aparato e L e´ a distaˆncia
2
Figura 1: Forc¸as atuantes na gota de o´leo em regime de subida e descida.
entre elas, podemos escrever a forc¸a ele´trica como:
Fe = qE = q
V
L
. (1)
A forc¸a peso e´ escrita em termos da acelerac¸a˜o gravitacional ~g e da massa
da gota de o´leo mo, pore´m, para o presente experimento e´ mais u´til expres-
sarmos a massa em termos de seu raio r e densidade ρo, de forma que o
mo´dulo da forc¸a gravitacional e´:
FP = mog =
4
3
pir3ρog . (2)
Pelo princ´ıpio de Arquimedes, o fluido exercera´ uma forc¸a sobre a got´ıcula
de o´leo apontando sempre para cima e proporcional a` massa de ar ma des-
locada pela got´ıcula, esta forc¸a e´ chamada de empuxo ~Femp. Como antes, e´
melhor expressarmos tal forc¸a em termos da densidade do ar ρa e do raio da
gota de o´leo r que representara´ o volume deslocado de ar. Sendo assim, a
forc¸a de empuxo, em mo´dulo, pode ser escrita como:
Femp = mag =
4
3
pir3ρag . (3)
A forc¸a de viscosidade do ar e´ descrita pela lei de Stokes. Ao se mover
em um fluido, a got´ıcula de o´leo sofre a influeˆncia da forc¸a de atrito que e´
proporcional a sua velocidade v. Se a gota estiver em regime de descida, a
forc¸a de viscosidade sera´ para cima; e caso estiver em regime de subida, tal
forc¸a sera´ para baixo. A lei de Stokes e´ descrita matematicamente como:
Fη = 6piηrv , (4)
onde η e´ o coeficiente de viscosidade do ar para objetos macrosco´picos. En-
tretanto, quando a got´ıcula possui tamanho compara´vel ao livre caminho
3
me´dio das mole´culas do fluido, seu raio pode variar, deste modo, na˜o se pode
desprezar a na˜o homogeonidade do fluido. Desta maneira, Millikan propoˆs
uma correc¸a˜o no coeficiente de viscosidade:
η′ = η
[
1 +
b
pr
]−1
, (5)
onde p e´ a pressa˜o atmosfe´rica e b e´ a constante de correc¸a˜o de Cunningham
e esta´ relacionada com o empuxo produzido pelo fluido. Apesar destes dois
valores ser bem conhecidos, precisamos do valor do raio r da gota para, assim,
aplicar a correc¸a˜o no coeficiente de viscosidade.
Sendo que a forc¸a de viscosidade e´ proporcional a` velocidade da got´ıcula,
esta atingira´ uma velocidade terminal e neste momento as forc¸as atuantes
sobre ela estara˜o em equil´ıbrio. Deste modo, em seu regime de descida, onde
a forc¸a ele´trica e gravitacional estara˜o atuando para baixo enquanto a forc¸a
de empuxo e viscosidade para cima, teremos que:
Fe + FP = Femp + Fη ,
substituindo as expresso˜es de cada forc¸a na equac¸a˜o acima, e notando que a
velocidade na equac¸a˜o 4 trata-se da velocidade de descida vd, obtemos:
vd =
1
6piηr
[
qE +
4
3
pir3g(ρo − ρa)
]
. (6)
Ao inverter o sentido do campo ele´trico, a got´ıcula se desloca para cima
e a forc¸a ele´trica e de viscosidade trocam de sentido, assim:
Fη + FP = Femp + Fe ,
substituindo novamente as expresso˜es das forc¸as e explicitando sua velocidade
de subida vs:
vs =
1
6piηr
[
qE − 4
3
pir3g(ρo − ρa)
]
. (7)
Subtraindo 7 e 6 obtemos uma expressa˜o para o ca´lculo do raio da gota
de o´leo:
r =
3
2
√
η(vd − vs)
g(ρo − ρa) . (8)
Nota-se que o valor do raio da gota e´ func¸a˜o do coeficiente de viscosidade
η que pode ser determinado a partir da temperatura, como mostra o gra´fico
3 disponibilizado no manual do equipamento utilizado [1]. A temperatura
pode ser inferida a partir da tabela na figura 2 que relaciona a resisteˆncia
4
medida no equipamento com a temperatura. Com isso, pode-se estimar o
raio da gota e com este valor aplicar a correc¸a˜o no coeficiente de viscosidade
(equac¸a˜o 5). Ao calcular o valor corrigido η′ pode-se utiliza´-lo para obter
uma melhor estimativa do raio da gota. Sendo r′ o raio corrigido da gota:
r′ =
3
2
√
η′(vd − vs)
g(ρo− ρa) . (9)
Figura 2: Tabela da relac¸a˜o entre a resisteˆncia e temperatura.
Vamos agora encontrar uma expressa˜o para a carga q da gota de o´leo.
Somando 7 e 6, lembrando que E = V/L e utilizando o raio corrigido obte-
mos:
q =
3piηr′L(vd + vs)
V
. (10)
1.3 Movimento Browniano
O experimento apresenta muitas fontes de erro, dentre elas a variabilidade
e imprecisa˜o da resposta humana ao cronometrar o tempo de traˆnsito de uma
gota; os erros associados a` todas as aproximac¸o˜es feitas, como densidade
constate do o´leo e do ar na caˆmara, campo ele´trico uniforme; entre outras.
O sucesso de Millikan muito se deve a` sua preocupac¸a˜o em averiguar fontes
de erro a` e´poca, como a correc¸a˜o que aplicou a` Lei de Stokes para melhor
descrever o arrasto em objetos pequenos como as gotas de o´leo. Desde enta˜o
houve enorme progresso tecnolo´gico que nos permite diminiur drasticamente
os erros instrumentais, no entanto ha´ uma fonte de erro que na˜o pode ser
suprimida ou compensada: o movimento Browniano.
O movimento Browniano [3] e´ um movimento aleato´rio que se observa em
part´ıculas muito pequenas suspensas em um fluido, devido a` colisa˜o como
a´tomos ou mole´culas no fluido. Este movimento decorre da flutuac¸a˜o es-
tat´ıstica da densidade de mole´culas do fluido. O efeito se torna relevante
5
Figura 3: Gra´fico da relac¸a˜o do coeficiente de viscosidade em func¸a˜o da
temperatura.
quando o tamanho das part´ıculas e´ apenas pouco maior que o livre caminho
me´dio das mole´culas do fluido. No experimento realizado, as gotas de o´leo se
chocam com as part´ıculas de ar, contribuindo para a incerteza do resultado
final.
2 Materiais Utilizados
Os materiais utilizados no experimento foram:
• Um mult´ımetro para medir resisteˆncia (precisa˜o de 0,01 MΩ);
• Um tomizador;
• Uma caˆmera digital;
• Um computador para ana´lise das imagens;
6
• Um equipamento Pasco Millikan Oil Drop Apparatus (distaˆncia entre
linhas da grade de 0,1 mm e separac¸a˜o entre placas de 7,67 mm);
• Um cronoˆmetro (precisa˜o de 0,01 s);
• Uma fonte de tensa˜o (precisa˜o de 1 V).
3 Coleta de Dados
Foi utilizado o Millikan Oil Drop Apparatus, fabricado pela Pasco, para
a execuc¸a˜o do experimento. O equipamento e´ representado no diagrama a
seguir, retirado do manual do Millikan Oil Drop Apparatus?? e com modi-
ficac¸o˜es nas legendas.
Figura 4: Equipamento uitilizado para a obtenc¸a˜o dos dados.
O aparato possui uma entrada na cobertura da caˆmara por onde sa˜o bor-
rifadas as gotas de o´leo, que, ao ca´ırem, adentram a caˆmara de visualizac¸a˜o
das gotas, onde sa˜o bombardeadas por raios-X com o intuito de ioniza´-las.
O processo de ionizac¸a˜o pode ser ligado e desligado pelo usua´rio atrave´s de
um interruptor. A caˆmara de visualizac¸a˜o consiste de duas placas de cobre
ligadas a` uma fonte de alta voltagem regula´vel, de forma que seja poss´ıvel
controlar o campo ele´trico entre as placas e consequentemente a forc¸a atuante
nas gotas ionizadas. A caˆmara de observac¸a˜o apresenta um fundo plano qua-
driculado onde as gotas sa˜o observadas, sendo poss´ıvel cronometrar o tempo
de passagem entre linhas horizontais equidistantes. Ha´, ainda, uma fonte de
7
iluminac¸a˜o regula´vel para facilitar a visualizac¸a˜o das gotas. Para observar e
cronometrar o tempo de passagem das gotas, uma caˆmera conectada a um
computador e´ posicionada em frente a` caˆmera de visualizac¸a˜o do aparato, de
forma que a sa´ıda das imagens e´ dada em um monitor.
Cada coletor cronometrou o tempo de subida e descida de 1 gota, reali-
zando diversas medidas para cada etapa a fim de obter boa quantidade de
dados. E´ importante ressaltar que a coleta de dados na˜o foi realizada toda no
mesmo dia nem com o mesmo equipamento, apesar de todas terem sido feitas
com o mesmo modelo de aparato da Pasco. Assim, paraˆmetros iniciais como
a diferenc¸a de potencial entre as placas e a temperatura ambiente variam de
acordo com o coletor.
4 Dados
Para o ca´lculo do raio e carga das gotas necessitamos de alguns dados
ja´ bem conhecidos, como a densidade do o´leo ρo = 886Kg/m
3 e da a´gua
ρa = 1, 2kg/m
3, a constante gravitacional g = 9, 81m/s2, a pressa˜o at-
mosfe´rica p = 1, 01.105Pa, a correc¸a˜o de Cunninghan da viscosidade b =
8, 2.10−3Pa.m, e a distaˆncia entre as placas do equipamento L = 7, 67.10−3m.
A tabela 1 apresenta os dados medidos pelos grupos, com o tempo me´dio
de subida e descida (e seu desvio padra˜o) juntamente com a distaˆncia re-
lacionada, a diferenc¸a de potencial aplicada, e a resisteˆncia medida e suas
incertezas instrumentais. Em alguns dados, na˜o foi medida a resiteˆncia no
dia, que indicaria a temperatura, para essas gotas sera´ utilizada a tempera-
tura no dia do experimento, disponibilizada no site Freemeteo [2].
5 Ana´lise
Com o tempo de descida e subida das gotas e a distaˆncia percorrido pode-
se calcular suas respectivas velocidades (v = d/t). E, utilizando a tabela 2 e o
gra´fico 3, e´ poss´ıvel estimar a temperatura e, consequentemente, o coeficiente
de viscosidade η a partir das resisteˆncias medidas para cada gota ou, no caso
de na˜o haver tal informac¸a˜o, da temperatura do dia da coleta de dados.
A tabela 2 mostra tais valores e o raio de cada gota calculado a partir da
equac¸a˜o 8. Todas as incertezas propagadas foram calculadas conforme a
seguinte equac¸a˜o:
σf =
√√√√ n∑
i=1
(
∂f
∂xi
)2
σxi
2
8
Tabela 1: Dados medidos para o tempo me´dio de descida e subida das dife-
rentes gotas de o´leo.
Gota d(mm) ts(s) td(s) V(V)(±1) R(MΩ)(±0,01)
1 0, 5 1, 1(±0, 1) 1, 0(±0, 1) 550 -
2 0, 5 2, 1(±0, 1) 2, 1(±0, 2) 550 -
3 0, 5 1, 7(±0, 1) 1, 6(±0, 1) 550 -
4 0, 5 1, 3(±0, 1) 1, 11(±0, 08) 550 -
5 0, 5 3, 7(±0, 3) 3, 2(±0, 3) 550 -
6 0, 5 1, 0(±0, 1) 0, 9(±0, 1) 550 -
7 0, 5 1, 7(±0, 2) 1, 7(±0, 1) 371 2, 48
8 0, 5 4, 3(±0, 4) 3, 3(±0, 2) 372 2, 49
9 0, 5 2, 7(±0, 2) 2, 3(±0, 1) 422 2, 47
10 0, 5 1, 7(±0, 2) 1, 6(±0, 1) 423 2, 46
11 2, 0 7, 8(±0, 1) 7, 4(±0, 1) 428 2, 45
12 2, 0 5, 56(±0, 09) 5, 4(±0, 1) 428 2, 45
13 1, 5 3, 66(±0, 08) 3, 62(±0, 09) 428 2, 45
14 2, 0 3, 9(±0, 3) 3, 7(±0, 2) 428 2, 45
15 1, 5 3, 1(±0, 2) 3, 0(±0, 1) 428 2, 45
Tabela 2: Valores calculados para cada gota a fim de determinar seu raio.
Gota T(◦C) vs(mm/s) vd(mm/s) η(µNs/m2) r(µm)
1 16 0,44 (± 0,06) 0,49 (± 0,06) 18,0 0,5 (± 0,4)
2 16 0,24 (± 0,02) 0,24 (± 0,02) 18,0 0,1 (± 0,6)
3 16 0,29 (± 0,02) 0,31 (± 0,02) 18,0 0,3 (± 0,2)
4 16 0,40 (± 0,04) 0,45 (± 0,03) 18,0 0,5 (± 0,3)
5 16 0,14 (± 0,01) 0,16 (± 0,01) 18,0 0,3 (± 0,1)
6 16 0,49 (± 0,05) 0,52 (± 0,06) 18,0 0,4 (± 0,5)
7 18 0,29 (± 0,04) 0,29 (± 0,02) 18,1 0,1 (± 0,8)
8 17 0,12 (± 0,01) 0,152 (± 0,008) 18,1 0,41 (± 0,07)
9 18 0,18 (± 0,01) 0,21 (± 0,01) 18,1 0,4 (± 0,1)
10 18 0,29 (± 0,03) 0,31 (± 0,02) 18,1 0,3 (± 0,3)
11 18 0,255 (± 0,005) 0,271 (± 0,004) 18,1 0,28 (± 0,05)
12 18 0,360 (± 0,006) 0,34 (± 0,01) 18,1 0,3 (± 0,1)
13 18 0,41 (± 0,01) 0,41 (± 0,01) 18,1 0,1 (± 0,2)
14 18 0,51 (± 0,04) 0,55 (± 0,03) 18,1 0,4 (± 0,3)
15 18 0,48 (± 0,02) 0,49 (± 0,03) 18,1 0,2 (± 0,5)
Com os dados da tabela 2 podemos calcular o coeficiente de viscosidade
corrigido η′ (equac¸a˜o 5) e o raio corrigido r′ (equac¸a˜o 9) e, assim, calcular a
9
carga para cada gota a partir da equac¸a˜o 10. A tabela 3 mostra os valores
calculados com as gotas organizadas em ordem crescente de carga ele´trica q
juntamente com a diferenc¸a de carga de cada gota para a pro´xima para uma
melhor ana´lise. O grupo optou por descartar gotas que possuem incertezas
muito grandes (cerca de cinco vezes o valor da carga, ou mais) ocasionadas,
provavelmente, por ma´ medic¸a˜o nos tempos de descida e subida das gotas.
As gotas descartadas sa˜o mostradas na tabela 3 com um sinal (-) na coluna
das diferenc¸as de carga (∆q).
Tabela 3: Valores corrigidos e carga calculada das gotas, organizadas em
ordemcrescente. Gotas que na˜o possuem o valor da diferenc¸a de carga foram
descartadas.
Gota η′(µN.s.m−2) r′(µm) q(.10−19C) ∆q(.10−19C)
2 10(±28) 0, 1(±0, 6) 0, 4(±3, 9) -
7 11(±28) 0, 1(±0, 7) 1, 2(±10) -
5 14(±1) 0, 3(±0, 1) 1, 6(±0, 7) 0, 0
13 12(±7) 0, 1(±0, 2) 1, 8(±3, 9) 0, 2(±4, 0)
15 12(±12) 0, 1(±0, 5) 2, 7(±10) -
8 15, 1(±0, 4) 0, 38(±0, 07) 3, 0(±0, 6) 1, 2(±3, 9)
11 14, 0(±0, 6) 0, 25(±0, 05) 3, 1(±0, 6) 0, 1(±0, 8)
3 15(±2) 0, 3(±0, 2) 3, 3(±2, 4) 0, 2(±2, 5)
9 14, 9(±0, 8) 0, 3(±0, 1) 3, 5(±1, 2) 0, 2(±2, 6)
10 14(±3) 0, 2(±0, 3) 3, 5(±4, 3) 0, 0(±4, 5)
12 14(±1) 0, 2(±0, 1) 3, 6(±1, 8) 0, 1(±4, 7)
6 15(±3) 0, 3(±0, 5) 6, 9(±9, 7) 1, 3(±9, 9)
1 15(±2) 0, 4(±0, 4) 7, 7(±8, 0) 0, 8(±12)
4 16(±1) 0, 5(±0, 3) 8, 2(±4, 6) 0, 5(±9, 2)
14 15(±2) 0, 4(±0, 3) 10, 8(±8, 2) 2, 6(±9, 4)
Com isso, podemos agora separar as gotas em grupos. Supondo que a
primeira gota na˜o descartada corresponde a` carga elementar, analisamos a
coluna da diferenc¸a de carga. Quando tal diferenc¸a for aproximadamente o
valor da carga elementar, tal gota sera´ colocada em outro grupo juntamente
com as gotas com carga aproximadamente igual. Apo´s, faz-se uma me´dia
com as cargas dentro de cada grupo e divide-se pelo primeiro grupo, o qual
supusemos que corresponde a` carga elementar, deste modo, determina-se o
nu´mero n de cargas elementares. Para um ca´lculo mais preciso da me´dia,
levou-se em considerac¸a˜o a incerteza de cada gota. A fo´rmula utilizada para
10
o ca´lculo da me´dia ponderada pelas incertezas e´:
x¯ =
∑N
i=1
xi
σ2i∑N
i=1
1
σ2i
, σ =
1√∑N
i=1
1
σ2i
. (11)
Tabela 4: Gotas separadas pelo nu´mero de cargas elementares.
Gotas q¯(.10−19C) n e = q¯/n(.10−19C)
5, 13 1, 6(±0, 7) 1 1, 6(±0, 7)
8, 11, 3, 9, 10, 12 3, 1(±0, 4) 2 1, 5(±0, 2)
6, 1, 4 7, 9(±3, 7) 5 1, 6(±0, 7)
14 10, 8(±8, 2) 7 1, 5(±1, 2)
Dividindo-se a carga q de cada grupo pelo nu´mero n de cargas elementares
e, pode-se estimar tal valor. Com e de cada grupo calculado na tabela 4 fez-
se uma me´dia ponderada pelas incertezas para estimar o valor da unidade
elementar de carga ele´trica:
e = 1, 5(±0, 2).10−19C . (12)
Dado que o valor aceito para a carga elementar atualmente e´ e = 1, 60217662.10−19C,
o resultado encontrado se demonstra bastante pro´ximo.
6 Conclusa˜o
A versa˜o do experimento de Millikan realizada demonstrou resultados
satisfato´rios, dado que encontrou-se um valor final para a carga elementar
pro´ximo ao valor aceito atualmente. E´ nota´vel que este experimento seja
capaz de medir uma grandeza de ordem ta˜o pequena, visto que as fontes
de erro sa˜o muitas: desde a cronometragem imprecisa do tempo de queda
e subida das got´ıculas ate´ o desvio causado pelo movimento browniano na
trajeto´ria das mesmas. Percebe-se os resultados deste experimento dependem
muito do tratamento estat´ıstico, necessitando de uma grande quantidade de
dados coletados para que os resultados sejam satisfato´rios.
Refereˆncias
[1] Instruction Manual, Millikan Oil Drop Apparatus, 1996.
11
[2] FREEMETEO, Histo´rico de temperatura por dia em Porto Alegre. Dis-
pon´ıvel em: https://freemeteo.com.br. Acessado em 16/06/2016.
[3] WIKIPE´DIA, Movimento Browniano. Dispon´ıvel em: https://pt.
wikipedia.org/wiki/Movimento_browniano. Acessado em 16/06/2016.
12
	Introdução
	Introdução Histórica
	Referencial Teórico
	Movimento Browniano
	Materiais Utilizados
	Coleta de Dados
	Dados
	Análise
	Conclusão