Resumo parabola e elipse

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7.1 A Parábola 
Definição: a Parábola é o lugar geométrico dos pontos em um plano onde F e d são equidistantes.
Na Figura 7.1-a apresenta sete pontos cujas as distancias entre F e d são iguais. De acordo com a definição acima o ponto P, assinalado na Figura 7.1-b, pertence a parábola se, e somente se: d (P, F) = d (P, P’) ou 
Considerando a Figura 7.1-b a parábola detém dos seguintes elementos: Foco (F); Diretriz (reta d); Eixo (a reta que passa pelo foco e é perpendicular à diretriz); Vértice (ponto na metade do caminho entre o foco e a diretriz pertencente a parábola). De fato: d (V, F) = d (V, A)
Equação da Parábola de Vértice na Origem do Sistema
1º caso: O eixo da parábola é o eixo dos y
Seja P (x, y) um ponto qualquer na parábola a seguir de foco F (O,).
Da definição de parábola tem-se:
 Com P’(x,), vem:
Obtemos uma equação equivalente elevando ao quadrado e simplificando:
Esta equação e chamada equação reduzida da parábola e constitui a forma padrão da equação da parábola de vértice na origem e tendo para eixo o eixo das abcissas. A concavidade é para cima se p>0 e para baixo se p<0. Quando p é chamado parâmetro. O gráfico é simétrico em relação ao eixo y.
2º caso: O eixo da parábola é o eixo dos x
Sendo P(x,y) um ponto qualquer da parábola abaixo, de foco F(, obtemos a equação reduzida :
A concavidade da parábola é para a direita se p>o e para esquerda se p<0. Em ambos os casos, o gráfico é simétrico em relação ao eixo x, que é o eixo da parábola.
Exemplo
Determine o foco e a equação da diretriz das parábolas Construir o gráfico.
a) 
A equação é da forma, logo:
Portanto, foco: F (0,2) e diretriz: y = -2
b)
A equação é da forma, logo:
Portanto, foco: F (- e diretriz: x= ½ 
Translação dos Eixos 
Consideremos do plano cartesiano xOy um ponto O’ (h,k) arbitrário. Introduziremos um novo sistema x’O’y’ que em determinadas condições (sentido, direção, unidade de medida) possa ser obtido do outro, por meio da translação de eixos.
Seja P um ponto da Figura acima que possui como coordenadas x e y em relação ao sistema xOy e x’ e y’ em relação ao sistema x’O’y’, detém-se:
x’ = x-h e y’ = y-k ou x = x’+h e y =y’+ k que são fórmulas de translação e que permitem transformar coordenadas de um sistema para o outro. Sua principal finalidade é modificar a forma das equações.
Equação da parábola de Vértice Fora da Origem do sistema
1º caso: O eixo da parábola é paralelo ao eixo dos y
Seja P(x,y) um ponto qualquer de uma parábola de vértice V(h,k) e eixo paralelo ao eixo dos y, sendo h e k coordenadas de V em relação ao sistema xOy.
Consideremos um novo sistema x’O’y’ de acordo com a figura abaixo:
Sabe-se que a equação da parábola referida ao sistema x’O’y’ é mas, aplicando as fórmulas de translação obtemos: que é a forma padrão da equação de uma parábola de vértice V(h,k) e eixo paralelo y.
2º caso: O eixo da parábola é paralelo ao eixo dos x 
De modo análogo ao acima temos: 	
Exemplo 
Determinar a equação da parábola de foco em F (1,2), sendo x=5 a equação da diretriz 
Equação da parábola é da forma 
V (3,2) é o ponto médio do segmento AF, logo: p = -4 
Substituindo na equação da parábola, vem: ou 
Equação da parábola na forma Explícita 
Uma equação na forma padrão pode ser apresentada com: chamada de forma de forma explicita da equação da parábola cujo eixo é paralelo à Oy. Se a parábola tem eixo paralelo ao dos x, sua equação na forma explicita é O sinal do coeficiente a é o mesmo de p, em sua forma padrão, assim, a concavidade da parábola fica evidente quando sua equação estiver na forma explicita.
Exemplo
Determinar a equação da parábola que passa pelos pontos (0, 1), (1, 0) e (3, 0), conforme a figura:
A equação é a forma: +c, a>0
As coordenadas dos pontos devem satisfazer a equação desta parábola, isto é:
^2+ b (0) + c
{0= a (1) ^2+b (1) +c
{0=a (3) ^2 + b (3) +c
Cuja a solução é a=1/3, b=-4/3 e c=1
Logo a equação da parábola é:
7.2 A Elipse 
Definição: Elipse é o lugar geométrico dos pontos de um plano cuja soma das distancias a dois pontos fixos F1 e F2 é constante.
Conseideremos no plano dois pontos distintos F1 e F2, tal que a distância d (F1, F2) = 2c. Seja um número real a tal que 2a>2c. Ao conjunto dos pontos P do plano tais que: dá-se o nome de elipse (Figura 7.2-a).
Elementos 
Observando a figura acima podemos denotar os elementos da elipse: Focos (são os pontos F1 e F2); Distância focal (é a distância 2c entre os focos); Eixo maior (é o segmento A1A2 de comprimento 2); Eixo menor (é o segmento B1B2 de comprimento 2b); Vértices (são os pontos A1, A2, B1 e B2). Excentricidade é número dado por:
 
OBS: Em toda elipse é válida a seguinte relação (Pitágoras): 
Equação da Elipse de Centro na Origem do sistema 
1º caso: O eixo maior está sobre o eixo dos x 
Se P (x,y) um ponto qualquer da elipse dada na Figura 2.2-c de focos F1(-c,0) e F2(c,0). Por definição, tem-se:
Isto é, 
Elevando ao quadrado ambos os lados, temos
Que é simplificada para 
Elevando ao quadrado novamente:
que se torna 
Mas: 
logo: 
Dividindo ambos os lados da equação por obtemos 
 
Que é a equação reduzida da elipse de centro na origem e eixo maior sobre o eixo dos x.
2º caso: O eixo maior está sobre o eixo dos y 
Com o procedimento idêntico ao 1º caso, obtemos a equação reduzida
 
Obs: Sempre o maior dos denominadores na equação reduzida represente o número a2, onde a é a medida do semi-eixo maior e ainda, na equação da elipse o número a2 é denominador de x2, a elipse tem seu eixo dos x.
Exemplo
Uma elipse de centro na origem tem foco no ponto (3,0) e a medida do seu eixo maior é 8. Determinar sua equação.
A equação da elipse é da forma: 
Precisamos determinara a e b. Como o eixo maior mede 8, isto é:
2a = 8a = 4
Tendo em vista que o centro da elipse é (0,0) e um dos focos é (3,0), conclui-se que c = 3. Mas: e b2 = 7. Portanto, a equação procurada é:
Equação da Elipse de Centro Fora da Origem do Sistema
1º caso: O eixo maior é paralelo ao eixo dos x
Consideremos a elipse da Figura7.2-d de centro C (h,k) e seja P (x,y) um ponto qualquer da mesma.
Quando ocorre uma translação de eixos, o caso da elipse é perfeitamente análogo ao da parábola com V (h,k). Assim quando o eixo maior for paralelo ao eixo dos x e com centro C (h,k), a equação da elipse é :
2°caso: O eixo maior é paralelo ao eixo dos y
De forma análoga, temos