prova1 CN

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UNIVERSIDADE DE CAXIAS DO SUL - CENTRO DE CIÊNCIAS EXATAS E DA TECNOLOGIA 
1ª AVALIAÇÃO PARCIAL – PESO: 8,0 PONTOS 
DISCIPLINA: CÁLCULO NUMÉRICO (MAT0363) – TURMA 38/39 
NOME: ________________________________________________ DATA: 05/04/2016 
 
Orientações: Apresente o desenvolvimento, em detalhes, de todas as questões. Trabalhe em “format short”, ou seja, use qua-
tro casas decimais nos cálculos e resultados, considerando os critérios de arredondamento. Responda (e calcule) somente o 
que for solicitado e escreva as respostas finais à caneta. Não será permitido o uso do celular nem de calculadora programá-
vel/gráfica. Use intervalos de tamanho máximo 1 e mínimo 0,5 para encontrar aproximações de zeros, quando solicitados. 
 
Questão 1)�1,0�		�� � 	
 � ���� , com x1 = 1, determina uma sequência recursiva que converge para σ. 
Sabendo que o valor exato é 2σ = , determine o número de dígitos significativos exatos obtidos ao apro-
ximarmos o número σ por x5, a partir da relação com o erro relativo. Mostre as aproximações obtidas. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Questão 2) (1,0) Nesta questão use todos os dígitos fornecidos pela calculadora. 
Os erros de truncamento ocorrem quando os métodos usados na solução de um problema matemático ado-
tam um procedimento aproximado, interrompendo processos infinitos. Um exemplo simples é a avaliação 
numérica de π que poderá ser feita a partir da série: �
4 � 1 �
1
3 �
1
5 �
1
7 �
1
9 �
1
11 �⋯. 
a) Calcule uma aproximação para π a partir da série dada, utilizando 5 termos. 
 
 
 
 
 
b) Compare o resultado do item (a) com o valor exato de π, calculando o erro absoluto, o erro relati-
vo e determinando o número de DSE obtidos ao tomarmos a aproximação (a) como valor de π. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Questão 3) (2,0) Determine uma aproximação para o menor zero positivo da função ( ) 4 xf x senx e= −
usando o método de Newton-Raphson com 4 DSE. Considere 1x o extremo superior do intervalo. Mostre 
como o intervalo foi encontrado. Organize os resultados das iterações realizadas na tabela abaixo e calcu-
le o erro relativo a cada iteração. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Questão 4) (2,0) Um bloco de massa m = 20 kg está sendo puxado por 
uma corda. O módulo da força necessária para mover o bloco é dado por: 
 
cos sin
mgF µ= θ+µ θ
 
 
onde µ = 0,45 é o coeficiente de atrito e g = 9,81 m/s2 é a aceleração da 
gravidade. Determine o ângulo [ ]0.8,1θ∈ , sabendo que a força tem mó-
dulo 90 N. Para isso, organize a equação na forma ( ) 0f θ = e utilize o 
método da Bisseção, realizando 6 iterações. Calcule o resíduo (erro em y) 
na última aproximação. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Resíduo: 
 
 
 
 
Questão 5) (2,0) O método da Secante é uma variante do método de Newton-Raphson, introduzido com o 
objetivo de evitar o cálculo da função derivada da f em cada aproximação. O método usa uma razão apro-
ximada para a derivada da função e dois valores na vizinhança da solução, a e b, para determinar a nova 
solução x estimada. "Lembre que o método de Newton-Rapson usa somente um valor". 
Assim que o valor de x é determinado, ele é usado com b para calcular a próxima estimativa x. E assim 
segue sempre. A fórmula recursiva deste método é: 
� = � − �(�)(� − �)����− �(�) 
 
Escreva uma function na linguagem do MATLAB que determina um zero de uma função f num intervalo 
[a, b] pelo método da Secante, fixando uma tolerância tol para o erro relativo e um número máximo de 
iterações Nmax. Não chame programas externos construídos em sala de aula.