Integral por partes rápida

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Aprendendo a fazer do jeito mais rápido
Temos uma integral por partes
 𝑡2𝑒
𝑡
2𝑑𝑡
Escolha as melhores opções para u e v, a variável u deve ser qualquer função que ao 
derivá-la uma ou mais vezes ela possa zerar e a variável v deve ser uma função que 
ao integrá-la ou derivá-la ela nunca chegue a zero. O polinômio é a melhor das 
escolhas para u, ele pode zerar e o neperiano nunca zera então ele será v.
Faça um quadro com as nomeações “u sinal v” posicionados acima do quadro: 
𝑢
.
𝑠𝑖𝑛𝑎𝑙
.
𝑣
.
𝑡2
∙
2𝑡
∙
42
∙
 
+
∙
 
−
∙
 
+
∙
2𝑒
𝑡
2
∙
4𝑒
𝑡
2
∙
8𝑒
𝑡
2
∙
A variável u será derivada e 
a variável v será integrada 
Variável u começa sendo simplesmente copiado, 
não precisa deriva-lo ainda.
A variável v já começa a ser integrada logo na primeira aparição
Após isso trace uma reta entre os dois,
isso significa que um será multiplicado pelo outro.
Depois da reta traçada continue a derivar o u e a integrar o v
Sempre colocando as setas na mesma linha.
Você irá derivar e integrar até a última
derivada de u, ou seja, antes de zerá-lo.
𝑢
.
𝑠𝑖𝑛𝑎𝑙
.
𝑣
.
𝑡2
∙
2𝑡
∙
42
∙
 
+
∙
 
−
∙
 
+
∙
2𝑒
𝑡
2
∙
4𝑒
𝑡
2
∙
8𝑒
𝑡
2
∙
𝑢
.
𝑠𝑖𝑛𝑎𝑙
.
𝑣
.
𝑡2
∙
2𝑡
∙
42
∙
 
+
∙
 
−
∙
 
+
∙
2𝑒
𝑡
2
∙
4𝑒
𝑡
2
∙
8𝑒
𝑡
2
∙
𝑢
.
𝑠𝑖𝑛𝑎𝑙
.
𝑣
.
𝑡2
∙
2𝑡
∙
.
2
∙
 
+
∙
 
−
∙
 
+
∙
2𝑒
𝑡
2
∙
4𝑒
𝑡
2
∙
8𝑒
𝑡
2
∙
Assim que já se chegou antes de zerar o u 
é hora de alternar sinais nas setas, isso é, 
colocar positivo e negativo nas setas sempre alternando os sinais.
Isso significa que esse sinal faz parte do v, ou seja, quando
o sinal for (+) o v será positivo, quando o sinal for (-) o v será
negativo.
Esse sinal que aparece na reta é como se fosse uma multiplicação
-1 ou +1, ou seja, caso o v já esteja negativo e a seta estiver com o (-) então teremos 
uma simples multiplicação de negativo com negativo que dará positivo.
O mesmo vale para o u, no final das contas o u sempre irá multiplicar com o seu 
respectivo v, ou seja, cuidado com o jogo de sinais.
Para o resultado final, basta multiplicar
os sinais e cada u com seu v e somar tudo
de cima para baixo.
𝑢
.
𝑠𝑖𝑛𝑎𝑙
.
𝑣
.
𝑡2
∙
2𝑡
∙
.
2
∙
 
+
∙
 
−
∙
 
+
∙
2𝑒
𝑡
2
∙
4𝑒
𝑡
2
∙
8𝑒
𝑡
2
∙
𝑢
.
𝑠𝑖𝑛𝑎𝑙
.
𝑣
.
𝑡2
∙
2𝑡
∙
.
2
∙
 
+
∙
 
−
∙
 
+
∙
2𝑒
𝑡
2
∙
4𝑒
𝑡
2
∙
8𝑒
𝑡
2
∙
= 2𝑡2𝑒
𝑡
2 − 8𝑡𝑒
𝑡
2 + 16𝑒
𝑡
2 + c
3 cos 2𝑡 𝑡 𝑑𝑡 
𝑢 𝑠𝑖𝑛𝑎𝑙 𝑣
𝑡 
+
𝑠𝑒𝑛 2𝑡
1
2
1 
−
−cos 2𝑡
1
4
 3 𝑡𝑠𝑒𝑛 2𝑡
1
2
+ 𝑐𝑜𝑠 2𝑡
1
4
3
2
 𝑡𝑒
𝑡
2𝑑𝑡 
𝑢 𝑠𝑖𝑛𝑎𝑙 𝑣
𝑡 
+
2𝑒
𝑡
2
1 
−
4𝑒
𝑡
2
 
3
2
2𝑡𝑒
𝑡
2 − 4𝑒
𝑡
2
 𝑡𝑠𝑒𝑛(𝑡)𝑑𝑡 
𝑢 𝑠𝑖𝑛𝑎𝑙 𝑣
𝑡 
+
−𝑐𝑜𝑠(𝑡)
1 
−
−sen(𝑡)
 −𝑡𝑐𝑜𝑠 𝑡 + 𝑠𝑒𝑛 𝑡 + 𝑐
3
2
 𝑡2𝑒
𝑡
2𝑑𝑡 
𝑢
.
𝑠𝑖𝑛𝑎𝑙
.
𝑣
.
𝑡2
∙
2𝑡
∙
42
∙
 
+
∙
 
−
∙
 
+
∙
2𝑒
𝑡
2
∙
4𝑒
𝑡
2
∙
8𝑒
𝑡
2
∙
 
3
2
2𝑡2𝑒
𝑡
2 − 8𝑡𝑒
𝑡
2 + 16𝑒
𝑡
2
 𝑡𝑒−𝑡𝑑𝑡 
𝑢 𝑠𝑖𝑛𝑎𝑙 𝑣
𝑡 
+
−𝑒−𝑡
1 
−
𝑒−𝑡
 −𝑡𝑒−𝑡 − 𝑒−𝑡 + 𝑐
Em alguns casos pode-se ocorrer o que chamo de integral infinita, é quando tanto u 
como v são funções que nunca zerão e como o objetivo deste método é derivar o u 
até que o mesmo zere, nunca chegaremos ao fim. Veja uma integral de exemplo 
abaixo:
 2cos 𝑡 𝑒
𝑡
2𝑑𝑡
Neste caso a variável u e v pode ser tanto um como outro a sua resposta não sairá 
errada independente da variável escolhida o que pode acontecer é só que a sua 
conta fique um pouco maior.
No caso de uma integral infinita seguimos os passos comuns ensinados antes, só que 
como dessa vez u nunca irá zerar, o nosso objetivo agora será encontrar o núcleo da 
integral. O que é isso? Veja abaixo:
 2cos 𝑡 𝑒
𝑡
2 𝑑𝑡
𝑁ú𝑐𝑙𝑒𝑜
Ou seja, tudo que estiver dentro da integral.
Pelo método rápido o objetivo é encontrar a união que forma esse núcleo 
novamente, independente de qualquer constante que esteja multiplicando. Preste 
atenção numa coisa, o 2 ao lado do cosseno é uma constante só que por opção 
própria ela está dentro da integral então ela faz parte do núcleo e também deve ser 
encontrada junto com o cosseno e o neperiano.
Perceba, o u escolhido foi
o cosseno, depois de derivá-lo
duas vezes voltamos para ele
e do outro lado o neperiano
não mudou, isso significa que
encontramos o núcleo.
𝑢 𝑠𝑖𝑛𝑎𝑙 𝑣
2cos(𝑡)
∙
−2𝑠𝑒𝑛(𝑡)
∙
4−2cos(𝑡)
∙
 
+
∙
 
−
∙
 
+
∙
2𝑒
𝑡
2
∙
4𝑒
𝑡
2
∙
8𝑒
𝑡
2
∙
Lembre-se: para encontrar o núcleo não 
dependemos das constantes, elas 
simplesmente ficaram fora da integral.
Antes de começar a multiplicar os sinais, u e seus respectivos v, precisamos prestar 
atenção numa coisa muito importante, essa integral por partes não foi terminada ela 
foi feita até o ponto em que o núcleo se repetisse. Então preste atenção no formato 
da integral por partes:
 𝑢𝑑𝑣 = 𝑢𝑣 − 𝑣𝑑𝑢
Perceba que dentro da integral do lado direito da igualdade o u já foi derivado, mas 
o v ainda não foi integrado, ou seja, a integral só acontece quando o processo é 
totalmente terminado, isso significa dizer que o v não será integrado na última fila, 
somente o u será derivado, assim:
Aqui temos a última integral
desconsiderada, neste caso
o último u será multiplicado
pelo v anterior e esses dois
formarão a integral ainda não
terminada.
𝑢 𝑠𝑖𝑛𝑎𝑙 𝑣
2cos(𝑡)
∙
−2𝑠𝑒𝑛(𝑡)
∙
4−2cos(𝑡)
∙
 
+
∙
 
−
∙
 
+
∙
2𝑒
𝑡
2
∙
4𝑒
𝑡
2
∙
8𝑒
𝑡
2
∙
Agora multiplicando os sinais, u e seus respectivos v desconsiderando o último v 
temos:𝑢 𝑠𝑖𝑛𝑎𝑙 𝑣
2cos(𝑡)
∙
−2𝑠𝑒𝑛(𝑡)
∙
4−2cos(𝑡)
∙
 
+
∙
 
−
∙
 
+
∙
2𝑒
𝑡
2
∙
4𝑒
𝑡
2
∙
8𝑒
𝑡
2
∙
 4𝑒
𝑡
2 cos 𝑡 + 8𝑒
𝑡
2𝑠𝑒𝑛 𝑡 − 4 2 cos 𝑡 𝑒
𝑡
2𝑑𝑡
 2 cos 𝑡 𝑒
𝑡
2𝑑𝑡 = 4𝑒
𝑡
2 cos 𝑡 + 8𝑒
𝑡
2𝑠𝑒𝑛 𝑡 − 4 2 cos 𝑡 𝑒
𝑡
2𝑑𝑡
Perceba que o 4 está do lado de fora da integral e não multiplica com o 2 que está lá 
dentro, isso porque o 2 faz parte do núcleo. Devemos fazer tudo isso para que a 
integral mãe que originou tudo isso seja igual a uma outra integral filha, se elas 
forem iguais podemos fazer uma simples conta de 𝑥 + 𝑥 = 2𝑥
 2 cos 𝑡 𝑒
𝑡
2𝑑𝑡 = 4𝑒
𝑡
2 cos 𝑡 + 8𝑒
𝑡
2𝑠𝑒𝑛 𝑡 − 4 2 cos 𝑡 𝑒
𝑡
2𝑑𝑡
4 2 cos 𝑡 𝑒
𝑡
2𝑑𝑡 + 2 cos 𝑡 𝑒
𝑡
2𝑑𝑡 = 4𝑒
𝑡
2 cos 𝑡 + 8𝑒
𝑡
2𝑠𝑒𝑛 𝑡
5 2 cos 𝑡 𝑒
𝑡
2𝑑𝑡 = 4𝑒
𝑡
2 cos 𝑡 + 8𝑒
𝑡
2𝑠𝑒𝑛 𝑡
 2 cos 𝑡 𝑒
𝑡
2𝑑𝑡 =
4
5
𝑒
𝑡
2 cos 𝑡 +
8
5
𝑒
𝑡
2𝑠𝑒𝑛 𝑡 + 𝑐
 5𝑠𝑒𝑛 2𝑡 𝑒𝑡𝑑𝑡 
𝑢 𝑠𝑖𝑛𝑎𝑙 𝑣
𝑠𝑒𝑛 2𝑡
∙
2 cos 2𝑡
∙
4−4𝑠𝑒𝑛 2𝑡
∙
 
+
∙
 
−
∙
 
+
∙
5𝑒𝑡
∙
5𝑒𝑡
∙
∙
5𝑒𝑡
∙
 5𝑠𝑒𝑛 2𝑡 𝑒𝑡 − 2 cos 2𝑡 5𝑒𝑡 − 4 5𝑠𝑒𝑛 2𝑡 𝑒𝑡𝑑𝑡
Helder Guerreiro