Lista de exercícios ISADORA ESTATÍSTICA UFJF

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Lista de Exerc´ıcios de Controle Estat´ıstico de
Qualidade
Isadora Cassador Coˆnsoli Silva
1
1 Lista 4 Gra´ficos de controle por varia´veis
Nu´mero 1a: Construa gra´ficos de controle X¯ e R usando os dados do ”enun-
ciado original”. O processo esta´ sob controle estat´ıstico?
Figure 1:
Figure 2:
De acordo com os limites de controle obtidos e dos gra´ficos plotados acima,
quando usamos as amostras dadas pelo enunciado permitiu-nos determinar que
o processo aparenta estar sob controle durante a selec¸a˜o das m amostras, em
que respeitaram os limites de controle ale´m de na˜o apresentar tendeˆncias ou
ciclos.
b. Estime a me´dia e o desvio padra˜o do processo.
2
Uma informac¸a˜o importante e´ que nosso n = 5, o que implica em d2 = 2, 326
e d3 = 0, 864.
Para o gra´fico de R, temos que a partir da amplitude me´dia R¯, podemos
estimar o desvio padra˜o do processo:
σˆ0 = SD =
R¯
d2
= 0,4632,326
∼= 0, 1991
E (W ) = µw = d2 = 2, 326
LSCR = (d2 + d3) σˆ0 = (d2 + d3)SD = (d2 + d3)
R¯
d2
= (2, 326 + 3× 0, 864) 0,4632,326 = 0, 9789 ∼= 0, 979
LMR = µR = R¯ = d2σˆ0 = d2
R¯
d2
= R¯ = 0, 463
LICR = (d2 − d3) σˆ0 = (d2 − d3)SD = (d2 − d3) R¯d2 = (2, 326− 3× 0, 864)
0,463
2,326 ⇒ 0
Enquanto que para o gra´fico de X¯ temos os seguintes resultados:
σˆX¯0 =
σˆX0√
n
= R¯
d2
√
n
= 0,463
2,326×√5
∼= 0, 08902
µˆ0 =
¯¯X = 16, 2705
LSCX¯ = µˆ0 + 3
σˆ0√
n
= 16, 2705 + 3× 0, 08902 ∼= 16, 5377
LMX¯ = µˆ0 =
¯¯X = 16, 2705
LICX¯ = µˆ0 − 3 σˆ0√n = 16, 2705− 3× 0, 08902 ∼= 16, 0034
c. O peso do enchimento parece seguir uma distribuic¸a˜o normal? A partir
do gra´fico apresentado na figura 3 na˜o temos certeza se os dados seguem mesmo
uma distribuic¸a˜o normal, por isso testaremos o teste de Lilliefors para verificar
a normalidade dos dados
lillie.test(x)
Lilliefors(Kolmogorov − Smirnov)normalitytest
data : x
D = 0.1132, p− value = 0.004345
Note que rejeitamos H0, hipo´tese nula em que os dados seguem uma dis-
tribuic¸a˜o normal, ao n´ıvel de 5% de significaˆncia.
3
Figure 3:
d. Se as especificac¸o˜es sa˜o 16,2 ± 0,5, quais suas concluso˜es sobre a capaci-
dade do processo produzir itens conformes?
Cˆp =
LIC − LSC
6σˆx
=
[(0, 5)− (−0, 5)]
6× 0, 1991
∼= 0, 84
Podemos notar enta˜o que o processo na˜o e´ capaz de satisfazer especificac¸o˜es.
Pˆ =
(
1
Cˆp
)
× 100% = 1
0, 84
× 100% = 1, 19
Isto e´, o processo utiliza-se cerca de 1% da banda especificac¸a˜o
e. Que frac¸a˜o de recipientes produzidos por esse processo estara´ provavel-
mente abaixo do limite inferior de especificac¸a˜o de 15,7 oz?
P (x < LSC) = P (x < 15, 7) = φ
(
15, 7− 16, 2705
0, 1991
)
= φ (−2, 87) = 0, 00205
Nu´mero 2 Duas pec¸as sa˜o montadas conforme exibido na figura. Suponha
que as dimenso˜es x e y sejam normalmente distribu´ıdas com me´dias µx e µy e
desvios-padra˜o σx e σy respectivamente. As pec¸as sa˜o produzidas em ma´quinas
4
diferentes e sa˜o montadas aleatoriamente. Gra´ficos de controle devem ser man-
tidos sobre cada dimensa˜o para a amplitude de cada amostra (n = 5). Ambos
os gra´ficos de amplitude esta˜o sob controle.
a. Para 20 amostras no gra´fico de amplitude controlando x e 10 amostras
no gra´fico de amplitude controlando y temos que
20∑
i=1
Rxi = 18, 608
20∑
i=1
Ryi = 6, 978
Estime σx e σy.
σˆx =
R¯x
d2
=
m∑
i=1
Rxi
m
d2
=
18,608
20
2,326 = 0, 4
σˆy =
R¯y
d2
=
m∑
i=1
Ryi
m
d2
=
6,978
10
2,326 = 0, 3
b. Se a probabilidade de uma folga (isto e´, x–y) menor que 0,09 deve ser
0,006, que distaˆncia entre as dimenso˜es me´dias (isto e´, µx−µy) deve ser especi-
ficada?
d = x− y
σˆ2z = σˆ
2
x + σˆ
2
y ⇒ σˆz =
√
σˆ2x + σˆ
2
y =
√
0, 42 + 0, 32 = 0, 5
φ
(
0,09−d
σˆz
)
= 0, 006
φ−1
(
0,09−d
0,50
)
= φ (0, 006)(
0,09−d
0,50
)
= −2, 5121
d = 1, 346
3. Os dados da Tabela 3.18 sa˜o a me´dia amostral e a amplitude amostral (R)
de 30 amostras de tamanho 5, referentes ao diaˆmetro de um eixo.
a. Calcule os limites de controle para os gra´ficos de amplitude (R) e da
5
me´dia (X¯);
m = 30
n = 5
d2 = 2, 326
d3 = 0, 864
¯¯X = 4, 90
R¯ = 4, 40
σˆ0 =
R¯
d2
= 4,402,326
∼= 1, 89
LSCR = (d2 + 3d3) σˆ0 = 9, 29502
LMR = R¯ = 4, 40
LICR = (d2 − 3d3) σˆ0 = −0, 50274⇒ LICR = 0
LSCX¯ = µˆ0 + 3
σˆ0√
n
= 7, 4357
LMX¯ = µˆ0 =
¯¯X = 4, 90
LICX¯ = µˆ0 − 3 σˆ0√n = 2, 3643
b. Se a me´dia do processo se desloca para 7,50, qual a probabilidade de que
descubramos tal mudanc¸a com o gra´fico de (X¯), na primeira amostra apo´s a
mudanc¸a?
σX¯ =
σˆ0√
n
=
R¯
d2√
n
=
4,40
2,326√
5
∼= 0, 846
X¯ ∼ N (7, 50; 0, 846)
α = P
(
Z > LSCX¯−µX¯σX¯
)
+ P
(
LICX¯−µX¯
σX¯
)
= P
(
Z > 7,4357−7,500,846
)
+ P
(
Z < 2,3643−7,500,846
)
α = P (Z > −0, 076) + P (Z < −6, 07) = φ (−0, 076) = 1− 0, 47210 = 0, 5279
P (M = 1) = 0, 5279× (0, 47210)0 = 52, 79%
c. Se a me´dia do processo se desloca para 7,50, qual a probabilidade de que
descubramos tal mudanc¸a com o gra´fico de , antes da quarta amostra apo´s a
mudanc¸a;
P (M = 1) = 0, 5279× (0, 47210)3 = 0, 8947 = 89, 47%
6
d. Se o desvio-padra˜o do processo muda para 3,61, qual a probabilidade de
que descubramos tal mudanc¸a com o gra´fico da amplitude, na primeira amostra
apo´s a mudanc¸a?
PdR = P (R > LSCR¯|n = n0, σ = λσˆ0) = P
(
W > d2+3d3λ |n = n0
)
PdR = P
(
W > 4,921,91 = 2, 578|n = 5
)
= P (W > 2, 55|n = 5) = 1− 0, 6283 = 0, 3717 ∼= 0, 37 (tabelaB)
P (M = 1) = 0, 37× (0, 63)0 = 0, 37 = 37%
e. Se o desvio-padra˜o do processo muda para 3,61, qual a probabilidade de
que descubramos tal mudanc¸a com o gra´fico da me´dia , na primeira amostra
apo´s a mudanc¸a?
k = 3, 61
δ = 0
λ = σ1σ0 =
3,61
1,89
∼= 1, 91
PdX¯ = P
(
Z ≤ −(k+δ
√
n)
λ
)
+ P
(
Z <
(−k+δ√n)
λ
)
PdX¯ = 2× P
(
Z < kλ
)
= 2P
(
Z < 3,611,91 = 1, 89
)
= 2 (0, 05873) = 0, 11746 ∼= 12%
P (M = 1) = 0, 12× (0, 88)0 = 0, 12
f. Como fica o item (e) se, ale´m de o desvio-padra˜o mudar para 3,61, a
me´dia deslocar-se para 6,00?
n = 5
k = 3, 61
δ = µX¯−µ0σ0 =
6−4,90
3,61
∼= 0, 305
λ = σ1σ0 =
3,61
1,89
∼= 1, 91
PdX¯ = P
(
Z ≤ −(k+δ
√
n)
λ
)
+ P
(
Z <
(−k+δ√n)
λ
)
= P
[
Z <
−(3,61+0,305
√
5)
1,91
]
+ P
[
Z <
(−3,61+0,305
√
5)
1,91
]
=
PdX¯ = P (Z < −2, 2471) + P (Z < −1, 53298) = P (Z < −2, 25) + P (Z < −1, 53) = 0, 01222 + 0, 06301 = 0, 07523
PdR = 1− P
(
W ≤ 5,651,91 = 2, 958|n = 5
)
= 1− 0, 7739 = 0, 2261
Pdtotal = PdX¯ + PdR − PdX¯PdR = 0, 07523 + 0, 2261− 0, 2261× 0, 07523 = 0, 28432
P (M = 1) = 0, 28432× (1− 0, 28432)0 = 0, 28432
7
4) Os volumes em cent´ımetros cu´bicos de treˆs garrafas de refrigerante foram
medidos a cada meia hora de produc¸a˜o durante 15 horas. Os volumes esta˜o na
Tabela 3.20.
a. Calcule os limites de controle para os gra´ficos de amplitude (R) e da
me´dia (X¯);
σˆ0 =
R¯
d2
= 1,631,693 = 0, 9628
LSCR = (d2 + 3d3) σˆ0 = (1, 693 + 3× 0, 888)× 0, 9628 = 4, 195
LMR = R¯ = 1, 63
LICR = (d2 − 3d3) σˆ0 = (1, 693− 3× 0, 888)× 0, 9628 < 0⇒ LICR = 0
LSCX¯ = µˆ0 + 3
σˆ0√
n
= 249, 88 + 3× 0,9628√
3
= 251, 55
LMX¯ = µˆ0 =
¯¯X = 249, 88
LICX¯ = µˆ0 − 3 σˆ0√n = 249, 88− 3× 0,9628√3 = 248, 21
8
Figure 4:
Figure 5:
Note que no gra´fico de X¯ temos uma amostra fora de especificac¸a˜o, que e´ a
amostra 11.
9
Figure 6:
Figure 7:
Nos gra´ficos acima tiramos a amostra 11 que estava acima do limite superior
de controle.
10
b. Caso a me´dia do processo aumente para 250,8, qual a probabilidade de o
gra´fico da me´dia sinalizar tal desajuste? (supor que o desvio-padra˜odo processo
na˜o se alterou).
σX¯ =
σˆ0√
n
= 0,9628√
3
= 0, 556
X¯ ∼ N (250, 8; 0, 556)
Z =
(
LSCX¯−µX¯
σX¯
)
=
(
251,48−250,8
0,556
)
= 1, 22
Z ∼ N (0, 1)
P
(
X¯ > LSCX¯
)
= P
(
Z > LSCX¯−µX¯σX¯
)
= P (Z > 1, 22) = φ (1, 22) = 0, 11123 (tabelaA2)
E qual a probabilidade de o gra´fico da amplitude sinalizar tal desajuste? Neste
caso, temos que calcular
P (W ≤ w0|n = n0) = P (W ≤ d2 + 3d3|n = 3) = 0, 994 (tabelaB)
α = 1− P (LICR ≤ R ≤ LSCR|σ = σ0) = 1− P (W ≤ w0|n = n0) = 1− 0, 994 = 0, 006
c. Caso a me´dia do processo aumente para 250,8 qual a probabilidade de o
gra´fico da me´dia e/ou o da amplitude sinalizar tal desajuste? (Suponha que a
me´dia do processo na˜o se altera e que o risco α foi fixado em 0,1%).
σX¯ =
σˆ0√
n
= 1,5√
3
= 0, 866
X¯ ∼ N (250, 8; 0, 866)
Z =
(
LSCX¯−µX¯
σX¯
)
=
(
251,48−250,8
0,866
)
= 0, 785
Z =
(
LICX¯−µX¯
σX¯
)
=
(
248,14−250,8
0,866
)
= −3, 07
PdX¯ = P (Z ≤ z) = P (Z ≤ 0, 785) ∼= 0, 216 (tabelaA2)
λ = σ1σˆ0 =
1,5
0,9628 = 1, 56
PdR = P (R > LSCR¯|n = n0, σ = λσˆ0) = P
(
W > d2+3d3λ |n = n0
)
PdR = P
(
W > 4,361,56 = 2, 8|n = 3
)
= P (W > 2, 80|n = 3) = 1− 0, 8828 = 0, 1172 ∼= 0, 12 (tabelaB)
Pd (total) = PdX¯ + PdR − PdX¯PdR = 0, 12 + 0, 216− (0, 12× 0, 216) = 0, 31
d. Caso o desvio-padra˜o do processo aumente em 30%; qual a probabilidade
de o gra´fico da me´dia sinalizar tal desajuste? (supor que a me´dia do processo
11
na˜o se altere e que o risco α foi fixado em 0,1%)
PdX¯ = P
(
Z ≤ − (k + δ
√
n)
λ
)
+P
(
Z <
(−k + δ√n)
λ
)
=
−3, 29
1, 3
= φ (−2, 53) = 0, 01141
5. Os dados da tabela 3.24 correspondem a um meˆs de amostras, cada uma
com n = 6, de um processo de produc¸a˜o de ane´is de vedac¸a˜o. As medidas
correspondem aos u´ltimos treˆs d´ıgitos . Por exemplo, X¯ = 297 significa 1,4297
cm e R = 16 significa 0,0016 cm. Foram calculados R¯ = 25, 73 e ¯¯X = 259, 59
a. Calcule os limites de controle para os gra´ficos de X¯ e R que voceˆ passara´ a
usar para monitorar o processo
σˆ0 =
R¯
d2
= 25,732,534
∼= 10, 154
LSCR = (d2 + 3d3) σˆ0 = R¯+ 3d3
R¯
d2
= (25, 73 + 3× 0, 848)× 10, 154 = 51, 56
LMR = R¯ = 25, 73
LICR = (d2 − 3d3) σˆ0 = R¯− 3d3 R¯d2 = (25, 73− 3× 0, 848)× 10, 154 = −0, 1015⇒ LICR = 0
LSCX¯ = µˆ0 + 3
σˆ0√
n
= ¯¯X + 3
R¯
d2√
n
= 259, 59 + 3× 10,154√
6
= 272, 03
LMX¯ = µˆ0 =
¯¯X = 259, 59
LICX¯ = µˆ0 − 3 σˆ0√n = ¯¯X − 3
R¯
d2√
n
= 259, 59− 3× 10,154√
6
= 247, 15
b. E´ retirada uma amostra por dia. Suponha que ocorra alterac¸a˜o da me´dia
do processo para 1,4268 cm. Qual a probabilidade de que se passem quatro
dias seguidos sem que o gra´fico sinalize essa alterac¸a˜o ocorrida? (Suponha que
o desvio-padra˜o do processo na˜o se altere; apenas a me´dia). Alterac¸a˜o da X¯ do
12
processo: 1,4268cm
X¯ = 268
R¯ = 25, 73
n = 6
d2 = 2, 534
LMX¯ = 259, 59
σˆ0 =
R¯
d2
= 25,732,534
∼= 10, 15
∆ = X¯−LMX¯σˆ0 =
268−259,9
10,15
∼= 0, 83
Pd = P (Z < −3 + ∆×
√
n) + P (Z < −3−∆×√n) = P (Z < −0, 89) + P (−5, 03) = 0, 18673
Notamos enta˜o que a probabilidade de se passarem 4 dias seguidos sem que o
gra´fico sinalize a alterac¸a˜o e´ de 18,67%.
c. Para melhorar o desempenho dos gra´ficos, o supervisor decidiu que, daqui
para a frente, as amostras passara˜o a ser de 12 unidades. Quais devem ser os
novos limites para os gra´ficos?
X¯ = 268
R¯ = 25, 73
n = 6
d2 = 2, 534
LMX¯ = 259, 59
σˆ0 =
R¯
d2
= 25,732,534
∼= 10, 15
∆ = X¯−LMX¯σˆ0 =
268−259,9
10,15
∼= 0, 83
Pd = P (Z < −3 + ∆×
√
n) + P (Z < −3−∆×√n) = P (Z < −0, 89) + P (−5, 03) = 0, 18673
CMS1 =
1
Pd
= 10,1867 = 5, 35
d. Algumas pessoas criticaram a decisa˜o do supervisor, dizendo que seria
melhor manter as amostras de 6 unidades cada uma, passando pore´m a retirar
2 amostras por dia, em vez de apenas uma. Qual das duas alternativas (uma
amostra de 12 unidades por dia, ou 2 amostras de 6 unidades por dia) leva ao
13
menor tempo me´dio de detecc¸a˜o, pelo gra´fico de X¯ , de eventuais alterac¸o˜es da
me´dia do processo para 1,4268 cm?
n = 12
k = 3
d2 = 3, 258
σˆ0 =
R¯
d2
= 25,733,258
∼= 7, 89748
∆ = X¯−LMX¯σˆ0 =
268−259,9
7,89748
∼= 1, 065
Pd = P (Z < −3 + ∆×
√
n) + P (Z < −3−∆×√n)
Pd = P (Z < 0, 689268) + P (Z < −6, 6893) = 0, 75490 (tabelaA2)
CMS1 =
1
Pd
= 10,75490 = 1, 324
Dessa forma, podemos perceber que para n=12 demora menos tempo, pois
1, 324 < 5, 35
14