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Lista de Exerc´ıcios de Planejamento de Experimentos Isadora Cassador Coˆnsoli Silva 1 1 Lista de Exerc´ıcios Nu´mero 1: Considere o exemplo do estudo de poss´ıveis diferenc¸as entre difer- entes presso˜es de extrusa˜o de resina de polietrafluoretileno na produc¸a˜o de veias artificiais, dado no u´ltimo slide da aula 6. Considere que esse experimento foi in- stalado segundo um delineamento em blocos casualizados, em que cada remessa de resina foi considerada como um bloco. Os resultados observados (porcent- agem de tubos que na˜o continham qualquer defeito) sa˜o dados na tabela abaixo. Figure 1: a. Sabendo que as pressuposic¸o˜es da ANOVA sa˜o respeitadas, e que ∑ ij y2ij = 193999, 31 fac¸a a ana´lise da variaˆncia dos dados. Conclua. De acordo com a tabela abaixo (que coloquei em formato de figura para facilitar a programac¸a˜o no LaTex), temos que F0 = 8, 11 > Fα=5%;3;20 = 3, 10, logo, H0 (existe igualdade de me´dia de tratamentos) sera´ rejeitada, ao n´ıvel de 5% de significaˆncia, ou seja, conclui-se que, ao menos duas me´dias de tratamen- tos diferem entre si. Obs.: o coeficiente de variac¸a˜o desse experimento foi de CV (%) = 3, 01% Figure 2: b. Caso necessa´rio, conduza um teste de comparac¸a˜o de me´dias, justifi- cando a utilizac¸a˜o do me´todo de comparac¸a˜o selecionado. Conclua (utilizando o esquema de letras) e interprete. 2 Utilizaremos o teste de Duncan, pois apesar de ser um teste menos rigoroso que o teste de Tukey, parece haver uma tendeˆncia no total dos tratamentos, ou seja, parece que com o aumento da pressa˜o de extrusa˜o, ha´ uma diminuic¸a˜o na remessa de resina. Colocamos as me´dias em ordem crescente. Veja: mˆD = 85, 77 mˆC = 88, 92 mˆB = 91, 68 mˆA = 92, 82 Em seguida, testamos o maior contraste y4 = mA −mD = 7, 05 D4 = 3, 250 √ 7,32575 6 = 3, 59 y4 > D4 ⇒ mA 6= mD Como ∣∣∣Yˆi∣∣∣ ≥ DI , devemos seguir com o teste, pois Y4 foi significativo ao n´ıvel de 5% de significaˆncia; y3 = mA −mC = 3, 9∗ y′3 = mB −mD = 5, 91∗ D3 = 3, 160 √ 7,32575 6 = 3, 49 y3 > D3 ⇒ mA 6= mCmB 6= mD Logo, Y3 e´ significativo o n´ıvel de 5% de significaˆncia e portanto, prosseguire- mos com o teste. y2 = mA −mB = 1, 14 y2 = mB −mC = 2, 76 y2 = mC −mD = 3, 15 D2 = 3, 014 √ 7,32575 6 = 3, 33 3 Note agora, que como y2 < D2 paramos com o teste, pois os Y2 na˜o foram significativos ao n´ıvel de 5% de significaˆncia; Dessa forma, pudemos perceber que mA difere de mC e de mD, enquanto que mB difere apenas de mD. E quando representamos no esquema de letrinhas, temos que: Com isso, con- Figure 3: clu´ımos que o tubo A (aquele com pressa˜o 8500) dete´m da maior porcentagem que na˜o conte´m defeitos(em outras palavras, a pressa˜o de 8500 no tubo e´ a que produz menos defeitos), e que o tubo D (aquele com pressa˜o 9100) e´ o que tem a maior porcentagem de defeitos. Ou seja, podemos perceber que quanto maior a pressa˜o de extrusa˜o, maior e´ a produc¸a˜o de salieˆncias (defeitos); c. Considere que as parcelas relativas aos tratamentos 8500 PSI (bloco 1) e 8900 PSI (blocos 3 e 4) foram perdidas. Conduza a ana´lise da variaˆncia, utilizando as estimativas dessas 3 parcelas perdidas. Conclua. d. Independentemente da ANOVA ser significativa ou na˜o, conduza um teste de comparac¸a˜o de me´dias (tukey). Conclua (utilizando o esquema de letras), e caso haja diferenc¸a nas concluso˜es entre esse item e o item b, reinterprete. 2. Foi feito um experimento em quadrado latino para estudar o efeito de cinco formulac¸o˜es (tratamentos) diferentes de combust´ıvel para foguetes (uti- lizados no sistema de escape de aeronaves) quanto a taxa de queima observada. Cada formulac¸a˜o e´ misturada de uma remessa (linhas) de materiais crus, grande o suficiente para testar apenas cinco formulac¸o˜es. Ale´m disso, as formulac¸o˜es 4 sa˜o preparadas por va´rios operadores (colunas), e pode haver diferenc¸as na ha- bilidade e experieˆncia dos operadores. A taxa de queima observada e´ dada abaixo: a. Considere que as pressuposic¸o˜es da ANOVA sa˜o respeitadas. Conduza a ana´lise da variaˆncia, conclua e interprete. Na figura abaixo, temos calculado a ANOVA e o CV do experimento. Veja: Figure 4: Temos que F0 = 7, 734 > Fα=5%;4;12 = 3, 26, logo, H0 (existe igualdade de me´dia de tratamentos) sera´ rejeitada, ao n´ıvel de 5% de significaˆncia, ou seja, como o teste F foi altamente significativo, conclui-se que ao menos duas me´dias de tratamentos diferem entre si. Para saber quais, e´ necessa´rio fazer um teste de comparac¸a˜o de me´dias de tratamentos. Obs.: o coeficiente de variac¸a˜o desse experimento foi de CV (%) = 12, 85%. b. Caso seja necessa´rio, conduza um teste de comparac¸a˜o de me´dias, jus- tificando a escolha do me´todo. Conclua (utilizando o esquema de letras) e Interprete. Utilizaremos o teste de Tukey, pois queremos comparar pares de me´dias de tratamentos sobre os quais na˜o temos informac¸o˜es pre´vias (queremos ter um 5 conhecimento mais geral); mˆA = 28, 60 mˆB = 20, 20 mˆC = 22, 40 mˆD = 29, 80 mˆE = 26, 00 qtab = n = n otratamentos = 5 n′ = nog.l = 12 ⇒ 4, 51 (5%)5, 84 (1%) ∆ = q √ QMRES r = 4, 51 √ 10,667 5 ∼= 6, 59 y1 = mA −mB = 28, 60− 20, 20 = 8, 40 y2 = mA −mC = 28, 60− 22, 40 = 6, 20 y3 = mA −mD = 28, 60− 29, 80 = −1, 20 y4 = mA −mE = 28, 60− 26, 00 = 2, 60 y5 = mB −mC = 28, 60− 22, 40 = −2, 20 y6 = mB −mD = 28, 60− 29, 80 = −9, 60 y7 = mB −mE = 28, 60− 26, 00 = −5, 80 y8 = mC −mD = 28, 60− 29, 80 = −7, 40 y9 = mC −mE = 28, 60− 26, 00 = −3, 60 y10 = mD −mE = 28, 60− 26, 00 = 3, 80 A tabela abaixo representa o esquema de letras. mb mc md me ma 8,4∗ 6,2 1,2 2,6 mb - 2,2 9,6∗ 5,8 mc - - 7,4∗ 3,6 md - - - 3,8 me - - - - Na tabela acima estamos comparando Yˆi com ∆, pois sabemos que: XSe ∣∣∣Yˆi∣∣∣ ≥ ∆⇒ Yi 6= 0, logo as me´dias se diferem; 6 XSe ∣∣∣Yˆi∣∣∣ < ∆⇒ Yi = 0, logo as me´dias na˜o se diferem; Observe que colocamos asterisco nos valores da tabela que foram superiores ao ∆. Figure 5: Com base nessas informac¸o˜es, podemos verificar que mA difere de mB , que mB difere de mD e ainda, que mC difere de mD. E que as formulac¸o˜es A e a D tiveram taxa de queima de combust´ıvel observada maior que a formulac¸a˜o B. Ou seja, a formulac¸a˜o D teve maior taxa de queima de combust´ıvel obser- vada, que pode ser substitu´ıdo pela formulac¸a˜o A; enquanto que a formulac¸a˜o B teve a menor taxa de queima de combust´ıvel observado. Creio que sera´ melhor economizar combust´ıvel para uma maior impulsa˜o, e portanto, o com- bust´ıvel(formulac¸a˜o) B e´ a mais indicada. 3. Planeje os seguintes experimentos: a. Uma transportadora tem interesse em avaliar treˆs marcas de o´leo de motor quanto a` economia relativa na queima de diesel. A economia de combust´ıvel e´ medida utilizando o consumo, em ml, de um caminha˜o estacionado durante um per´ıodo de 15 minutos com o motor ligado. Cinco caminho˜es esta˜o dispon´ıveis para o estudo. Objetivos: avaliar treˆs marcas de o´leo de motor quanto a` economia relativa na queima de diesel. Varia´vel resposta: economia de combust´ıvel; Tratamento: as treˆs marcas de o´leo de motor; Controle Local: caminha˜o 7 Delineamento: blocos casualizados; pois temos a presenc¸a de um fator de perturbac¸a˜o, ou seja, controle local. Repetic¸a˜o: cada caminha˜o e´ uma repetic¸a˜o, de modo que precisaremos de pelo menos 6 caminho˜es, pois (I − 1) (J − 1) ≥ 10 2 (J − 1) ≥ 10 J ≥ 6 ou seja, teremos que pedir transportadora pelo menos mais um caminha˜o, visto que a mesma ja´ disponibiliza de 5 caminho˜es. Aleatorizac¸a˜o: cada caminha˜o vai receber cada um dos tratamentos, de forma que sorteamos a ordemque isso acontecera´. Veja a figura abaixo: Figure 6: b. Uma companhia de o´pera resolve investigar qual de treˆs me´todos para conseguir doac¸o˜es de poss´ıveis patrocinadores e´ o mais eficiente. Sendo assim, a varia´vel de interesse e´ a quantia de dinheiro doada por cada patrocinador. A companhia possui 24 poss´ıveis patrocinadores com capacidades financeiras semelhantes. Objetivos: investigar qual de treˆs me´todos para conseguir doac¸o˜es de poss´ıveis patrocinadores e´ o mais eficiente. Varia´vel resposta: quantia de dinheiro doada por cada patrocinador. Tratamento: treˆs me´todos para conseguir doac¸o˜es de poss´ıveis patroci- 8 nadores (I=3) Controle Local: na˜o possui Note que temos uma informac¸a˜o importante, que diz respeito aos patroci- nadores, que dete´m de capacidades financeiras semelhantes. Ou seja, os patroci- nadores sa˜o homogeˆneos e equivaleria dizer que estes representam uma remessa, pois possuem caracter´ısticas muito pro´ximas. Delineamento: inteiramente casualizado, pois na˜o temos a presenc¸a de controle local; Repetic¸a˜o: sera´ dada pela inequac¸a˜o: I (J − 1) ≥ 10 J − 1 ≥ 103 J ≥ 4, 33⇒ J = 5 Logo, teremos J repetic¸o˜es, em que J e´ no mı´nimo 5; Aleatorizac¸a˜o: aleatorizaremos a ordem em que a companhia deve fazer o experimento, pois todos os tratamentos devem aparecer 5 vezes e e´ essa ordem dos tratamentos que deve ser aleato´ria, de forma que qualquer tratamento pode sair em qualquer ordem. Uma maneira lu´dica de ilustrar essa aleatorizac¸a˜o e´ colocar num saco pla´stico cartas de baralho, de forma a ter 5 cartas de valetes (em que valetes representam um me´todo do tratamento), 5 cartas de damas (em que damas representam outro me´todo do tratamento) e por u´ltimo mais 5 cartas de rei (em que rei corresponde ao outro me´todo do tratamento). Desse modo, temos um me´todo de aleatorizac¸a˜o sem reposic¸a˜o, ou seja, quando uma carta for retirada do saco pla´stico, ela na˜o sera´ devolvida para o mesmo. A tabela abaixo representa o croqui do experimento. 1 3 2 2 1 3 2 1 3 2 2 1 3 1 3 c. Um engenheiro industrial esta´ interessado no efeito de cinco me´todos de montagem (manual) para um componente de televiso˜es. Sabe-se que o processo 9 de montagem em si e´ desgastante, e que o tempo de montagem tende a aumentar de uma montagem para outra. E´ poss´ıvel disponibilizar 5 operadores para o experimento. Objetivos: estudar o efeito de cinco me´todos de montagem (manual) para um componente de televiso˜es. Varia´vel resposta: tempo de montagem Tratamento: cinco me´todos de montagem Controle Local: ordem e operadores. Pois assim como foi dito no enunci- ado, em que o tempo de montagem tende a aumentar de uma montagem para outra, ainda temos o efeito do operador (na˜o estamos interessados em analisar esses funciona´rios, mas precisamos controlar esse efeito). Os operadores (ou funciona´rios, para na˜o confundir a sigla no momento da construc¸a˜o da tabela de aleatorizac¸a˜o) sera˜o as linhas e a ordem sera´ representada pelas colunas; Delineamento: quadrado latino, pois temos a presenc¸a de dois controles locais independentes. Repetic¸a˜o: ja´ que temos 5 me´todos de montagens, tambe´m precisaremos de 5 funciona´rios, visto que para este delineamento de quadrado latino, o nu´mero de repetic¸o˜es e´ igual ao nu´mero de tratamentos, que e´ igual ao nu´mero de linhas e de colunas. Aleatorizac¸a˜o: faremos a aleatorizac¸a˜o em duas etapas. Primeiro sorteare- mos no software R nu´meros aleato´rios de 1 a 5, que resultou na seguinte ordem das linhas: 3,1,4,2,5. Em seguida realizaremos a segunda etapa do sorteio, que sera´ um sorteio aleato´rio novamente no R, que resultou na seguinte ordem das colunas: 2,4,3,5,1. E o croqui final do experimento e´ dado na figura abaixo pela terceira tabela: 10 Figure 7: 11
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