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2ª lista de exercícios de planejamento de experimentos Isadora UFJF

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Lista de Exerc´ıcios de Planejamento de
Experimentos
Isadora Cassador Coˆnsoli Silva
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1 Lista de Exerc´ıcios
Nu´mero 1: Considere o exemplo do estudo de poss´ıveis diferenc¸as entre difer-
entes presso˜es de extrusa˜o de resina de polietrafluoretileno na produc¸a˜o de veias
artificiais, dado no u´ltimo slide da aula 6. Considere que esse experimento foi in-
stalado segundo um delineamento em blocos casualizados, em que cada remessa
de resina foi considerada como um bloco. Os resultados observados (porcent-
agem de tubos que na˜o continham qualquer defeito) sa˜o dados na tabela abaixo.
Figure 1:
a. Sabendo que as pressuposic¸o˜es da ANOVA sa˜o respeitadas, e que
∑
ij
y2ij = 193999, 31
fac¸a a ana´lise da variaˆncia dos dados. Conclua.
De acordo com a tabela abaixo (que coloquei em formato de figura para
facilitar a programac¸a˜o no LaTex), temos que F0 = 8, 11 > Fα=5%;3;20 = 3, 10,
logo, H0 (existe igualdade de me´dia de tratamentos) sera´ rejeitada, ao n´ıvel de
5% de significaˆncia, ou seja, conclui-se que, ao menos duas me´dias de tratamen-
tos diferem entre si. Obs.: o coeficiente de variac¸a˜o desse experimento foi de
CV (%) = 3, 01%
Figure 2:
b. Caso necessa´rio, conduza um teste de comparac¸a˜o de me´dias, justifi-
cando a utilizac¸a˜o do me´todo de comparac¸a˜o selecionado. Conclua (utilizando
o esquema de letras) e interprete.
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Utilizaremos o teste de Duncan, pois apesar de ser um teste menos rigoroso
que o teste de Tukey, parece haver uma tendeˆncia no total dos tratamentos, ou
seja, parece que com o aumento da pressa˜o de extrusa˜o, ha´ uma diminuic¸a˜o na
remessa de resina.
Colocamos as me´dias em ordem crescente. Veja:
mˆD = 85, 77
mˆC = 88, 92
mˆB = 91, 68
mˆA = 92, 82
Em seguida, testamos o maior contraste
y4 = mA −mD = 7, 05
D4 = 3, 250
√
7,32575
6 = 3, 59
y4 > D4 ⇒ mA 6= mD
Como
∣∣∣Yˆi∣∣∣ ≥ DI , devemos seguir com o teste, pois Y4 foi significativo ao n´ıvel
de 5% de significaˆncia;
y3 = mA −mC = 3, 9∗
y′3 = mB −mD = 5, 91∗
D3 = 3, 160
√
7,32575
6 = 3, 49
y3 > D3 ⇒
 mA 6= mCmB 6= mD
Logo, Y3 e´ significativo o n´ıvel de 5% de significaˆncia e portanto, prosseguire-
mos com o teste.
y2 = mA −mB = 1, 14
y2 = mB −mC = 2, 76
y2 = mC −mD = 3, 15
D2 = 3, 014
√
7,32575
6 = 3, 33
3
Note agora, que como y2 < D2 paramos com o teste, pois os Y2 na˜o foram
significativos ao n´ıvel de 5% de significaˆncia;
Dessa forma, pudemos perceber que mA difere de mC e de mD, enquanto
que mB difere apenas de mD.
E quando representamos no esquema de letrinhas, temos que: Com isso, con-
Figure 3:
clu´ımos que o tubo A (aquele com pressa˜o 8500) dete´m da maior porcentagem
que na˜o conte´m defeitos(em outras palavras, a pressa˜o de 8500 no tubo e´ a que
produz menos defeitos), e que o tubo D (aquele com pressa˜o 9100) e´ o que tem
a maior porcentagem de defeitos. Ou seja, podemos perceber que quanto maior
a pressa˜o de extrusa˜o, maior e´ a produc¸a˜o de salieˆncias (defeitos);
c. Considere que as parcelas relativas aos tratamentos 8500 PSI (bloco 1)
e 8900 PSI (blocos 3 e 4) foram perdidas. Conduza a ana´lise da variaˆncia,
utilizando as estimativas dessas 3 parcelas perdidas. Conclua.
d. Independentemente da ANOVA ser significativa ou na˜o, conduza um teste
de comparac¸a˜o de me´dias (tukey). Conclua (utilizando o esquema de letras), e
caso haja diferenc¸a nas concluso˜es entre esse item e o item b, reinterprete.
2. Foi feito um experimento em quadrado latino para estudar o efeito de
cinco formulac¸o˜es (tratamentos) diferentes de combust´ıvel para foguetes (uti-
lizados no sistema de escape de aeronaves) quanto a taxa de queima observada.
Cada formulac¸a˜o e´ misturada de uma remessa (linhas) de materiais crus, grande
o suficiente para testar apenas cinco formulac¸o˜es. Ale´m disso, as formulac¸o˜es
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sa˜o preparadas por va´rios operadores (colunas), e pode haver diferenc¸as na ha-
bilidade e experieˆncia dos operadores. A taxa de queima observada e´ dada
abaixo:
a. Considere que as pressuposic¸o˜es da ANOVA sa˜o respeitadas. Conduza a
ana´lise da variaˆncia, conclua e interprete.
Na figura abaixo, temos calculado a ANOVA e o CV do experimento. Veja:
Figure 4:
Temos que F0 = 7, 734 > Fα=5%;4;12 = 3, 26, logo, H0 (existe igualdade de
me´dia de tratamentos) sera´ rejeitada, ao n´ıvel de 5% de significaˆncia, ou seja,
como o teste F foi altamente significativo, conclui-se que ao menos duas me´dias
de tratamentos diferem entre si. Para saber quais, e´ necessa´rio fazer um teste
de comparac¸a˜o de me´dias de tratamentos. Obs.: o coeficiente de variac¸a˜o desse
experimento foi de CV (%) = 12, 85%.
b. Caso seja necessa´rio, conduza um teste de comparac¸a˜o de me´dias, jus-
tificando a escolha do me´todo. Conclua (utilizando o esquema de letras) e
Interprete.
Utilizaremos o teste de Tukey, pois queremos comparar pares de me´dias de
tratamentos sobre os quais na˜o temos informac¸o˜es pre´vias (queremos ter um
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conhecimento mais geral);
mˆA = 28, 60
mˆB = 20, 20
mˆC = 22, 40
mˆD = 29, 80
mˆE = 26, 00
qtab =
 n = n
otratamentos = 5
n′ = nog.l = 12
⇒ 4, 51 (5%)5, 84 (1%)
∆ = q
√
QMRES
r = 4, 51
√
10,667
5
∼= 6, 59
y1 = mA −mB = 28, 60− 20, 20 = 8, 40
y2 = mA −mC = 28, 60− 22, 40 = 6, 20
y3 = mA −mD = 28, 60− 29, 80 = −1, 20
y4 = mA −mE = 28, 60− 26, 00 = 2, 60
y5 = mB −mC = 28, 60− 22, 40 = −2, 20
y6 = mB −mD = 28, 60− 29, 80 = −9, 60
y7 = mB −mE = 28, 60− 26, 00 = −5, 80
y8 = mC −mD = 28, 60− 29, 80 = −7, 40
y9 = mC −mE = 28, 60− 26, 00 = −3, 60
y10 = mD −mE = 28, 60− 26, 00 = 3, 80
A tabela abaixo representa o esquema de letras.
mb mc md me
ma 8,4∗ 6,2 1,2 2,6
mb - 2,2 9,6∗ 5,8
mc - - 7,4∗ 3,6
md - - - 3,8
me - - - -
Na tabela acima estamos comparando Yˆi com ∆, pois sabemos que:
XSe
∣∣∣Yˆi∣∣∣ ≥ ∆⇒ Yi 6= 0, logo as me´dias se diferem;
6
XSe
∣∣∣Yˆi∣∣∣ < ∆⇒ Yi = 0, logo as me´dias na˜o se diferem;
Observe que colocamos asterisco nos valores da tabela que foram superiores
ao ∆.
Figure 5:
Com base nessas informac¸o˜es, podemos verificar que mA difere de mB , que
mB difere de mD e ainda, que mC difere de mD. E que as formulac¸o˜es A e a
D tiveram taxa de queima de combust´ıvel observada maior que a formulac¸a˜o
B. Ou seja, a formulac¸a˜o D teve maior taxa de queima de combust´ıvel obser-
vada, que pode ser substitu´ıdo pela formulac¸a˜o A; enquanto que a formulac¸a˜o
B teve a menor taxa de queima de combust´ıvel observado. Creio que sera´
melhor economizar combust´ıvel para uma maior impulsa˜o, e portanto, o com-
bust´ıvel(formulac¸a˜o) B e´ a mais indicada.
3. Planeje os seguintes experimentos:
a. Uma transportadora tem interesse em avaliar treˆs marcas de o´leo de motor
quanto a` economia relativa na queima de diesel. A economia de combust´ıvel e´
medida utilizando o consumo, em ml, de um caminha˜o estacionado durante um
per´ıodo de 15 minutos com o motor ligado. Cinco caminho˜es esta˜o dispon´ıveis
para o estudo.
Objetivos: avaliar treˆs marcas de o´leo de motor quanto a` economia relativa
na queima de diesel.
Varia´vel resposta: economia de combust´ıvel;
Tratamento: as treˆs marcas de o´leo de motor;
Controle Local: caminha˜o
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Delineamento: blocos casualizados; pois temos a presenc¸a de um fator de
perturbac¸a˜o, ou seja, controle local.
Repetic¸a˜o: cada caminha˜o e´ uma repetic¸a˜o, de modo que precisaremos de
pelo menos 6 caminho˜es, pois
(I − 1) (J − 1) ≥ 10
2 (J − 1) ≥ 10
J ≥ 6
ou seja, teremos que pedir transportadora pelo menos mais um caminha˜o, visto
que a mesma ja´ disponibiliza de 5 caminho˜es.
Aleatorizac¸a˜o: cada caminha˜o vai receber cada um dos tratamentos, de
forma que sorteamos a ordemque isso acontecera´. Veja a figura abaixo:
Figure 6:
b. Uma companhia de o´pera resolve investigar qual de treˆs me´todos para
conseguir doac¸o˜es de poss´ıveis patrocinadores e´ o mais eficiente. Sendo assim,
a varia´vel de interesse e´ a quantia de dinheiro doada por cada patrocinador.
A companhia possui 24 poss´ıveis patrocinadores com capacidades financeiras
semelhantes.
Objetivos: investigar qual de treˆs me´todos para conseguir doac¸o˜es de
poss´ıveis patrocinadores e´ o mais eficiente.
Varia´vel resposta: quantia de dinheiro doada por cada patrocinador.
Tratamento: treˆs me´todos para conseguir doac¸o˜es de poss´ıveis patroci-
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nadores (I=3)
Controle Local: na˜o possui
Note que temos uma informac¸a˜o importante, que diz respeito aos patroci-
nadores, que dete´m de capacidades financeiras semelhantes. Ou seja, os patroci-
nadores sa˜o homogeˆneos e equivaleria dizer que estes representam uma remessa,
pois possuem caracter´ısticas muito pro´ximas.
Delineamento: inteiramente casualizado, pois na˜o temos a presenc¸a de
controle local;
Repetic¸a˜o: sera´ dada pela inequac¸a˜o:
I (J − 1) ≥ 10
J − 1 ≥ 103
J ≥ 4, 33⇒ J = 5
Logo, teremos J repetic¸o˜es, em que J e´ no mı´nimo 5;
Aleatorizac¸a˜o: aleatorizaremos a ordem em que a companhia deve fazer o
experimento, pois todos os tratamentos devem aparecer 5 vezes e e´ essa ordem
dos tratamentos que deve ser aleato´ria, de forma que qualquer tratamento pode
sair em qualquer ordem. Uma maneira lu´dica de ilustrar essa aleatorizac¸a˜o e´
colocar num saco pla´stico cartas de baralho, de forma a ter 5 cartas de valetes
(em que valetes representam um me´todo do tratamento), 5 cartas de damas
(em que damas representam outro me´todo do tratamento) e por u´ltimo mais 5
cartas de rei (em que rei corresponde ao outro me´todo do tratamento). Desse
modo, temos um me´todo de aleatorizac¸a˜o sem reposic¸a˜o, ou seja, quando uma
carta for retirada do saco pla´stico, ela na˜o sera´ devolvida para o mesmo.
A tabela abaixo representa o croqui do experimento.
1 3 2 2 1
3 2 1 3 2
2 1 3 1 3
c. Um engenheiro industrial esta´ interessado no efeito de cinco me´todos de
montagem (manual) para um componente de televiso˜es. Sabe-se que o processo
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de montagem em si e´ desgastante, e que o tempo de montagem tende a aumentar
de uma montagem para outra. E´ poss´ıvel disponibilizar 5 operadores para o
experimento.
Objetivos: estudar o efeito de cinco me´todos de montagem (manual) para
um componente de televiso˜es.
Varia´vel resposta: tempo de montagem
Tratamento: cinco me´todos de montagem
Controle Local: ordem e operadores. Pois assim como foi dito no enunci-
ado, em que o tempo de montagem tende a aumentar de uma montagem para
outra, ainda temos o efeito do operador (na˜o estamos interessados em analisar
esses funciona´rios, mas precisamos controlar esse efeito). Os operadores (ou
funciona´rios, para na˜o confundir a sigla no momento da construc¸a˜o da tabela
de aleatorizac¸a˜o) sera˜o as linhas e a ordem sera´ representada pelas colunas;
Delineamento: quadrado latino, pois temos a presenc¸a de dois controles
locais independentes.
Repetic¸a˜o: ja´ que temos 5 me´todos de montagens, tambe´m precisaremos de
5 funciona´rios, visto que para este delineamento de quadrado latino, o nu´mero
de repetic¸o˜es e´ igual ao nu´mero de tratamentos, que e´ igual ao nu´mero de linhas
e de colunas.
Aleatorizac¸a˜o: faremos a aleatorizac¸a˜o em duas etapas. Primeiro sorteare-
mos no software R nu´meros aleato´rios de 1 a 5, que resultou na seguinte ordem
das linhas: 3,1,4,2,5. Em seguida realizaremos a segunda etapa do sorteio, que
sera´ um sorteio aleato´rio novamente no R, que resultou na seguinte ordem das
colunas: 2,4,3,5,1. E o croqui final do experimento e´ dado na figura abaixo pela
terceira tabela:
10
Figure 7:
11

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