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UCS - CCET: CENTRO DE CIÊNCIAS EXATAS E DA TECNOLOGIA
MAT0356 - PRÉ-CÁLCULO
Funções polinomiais com grau maior do que 2
ADAMI, A. M. et al. Pré-cálculo: capítulo 5 - p. 79.
DEMANA, F. D. et al. Pré-cálculo: capítulo 10 - p. 103
 Para efeitos de exemplo, vamos considerar os gráficos de algumas funções polinomias com
o grau maior que 2.
-5 -4 -3 -2 -1 1
-2
2
4
x
y
f1x = x + 33
-3 -2 -1 1 2 3
-4
-2
2
4
x
y
f2x = x3 − 2
-1 1 2 3 4 5
-4
-2
2
4
6
8
x
y
f3x = x − 23 + 1
-3 -2 -1 1 2 3
-4
-2
2
4
x
y
f4x = x3 − x
-1 1 2
-1.0
-0.5
0.5
1.0
x
y
f5x = x3 − 2x2 + x
-3 -2 -1 1 2 3
-4
-2
2
4
x
y
f6x = 2x3 + x − 1
-2 -1 1
-1
1
2
3
x
y
f7x = x4 + x
-1 1 2
5
10
x
y
f8x = 2x4 + 2x2 − 3x
-2 -1 1 2
-1
1
2
3
x
y
f9x = x4 − 2x2 + 1
-2 2 4
-100
-80
-60
-40
-20
20
x
y
f10x = x5 − 4x4 − 3x + 4
-2 -1 1 2
-1.5
-1.0
-0.5
0.5
1.0
x
y
f11x = x − 13x + 12
-3 -2 -1 1 2 3
-10
-5
5
x
y
f12x = xx + 13x − 23
1
 O comportamento de algumas dessas funções pode ser relacionado ao comportamento de
funções potência com o mesmo grau que as funções dadas. Veja as três primeiras funções
anteriores.
A primeira é obtida de fx = x3, somando 3 unidades ao x. Dessa forma, seu gráfico pode
ser obtido deslocando o gráfico da função potência, fx = x3, 3 unidades para a esquerda.
A segunda é obtida de fx = x3, tirando 2 unidades da imagem. Dessa forma, seu gráfico
pode ser obtido deslocando o gráfico da função potência, fx = x3, 2 unidades para baixo.
A terceira também é obtida de fx = x3, primeiro, tirando 2 unidades em x e, depois,
somando 1 unidade à f. Assim, seu gráfico pode ser obtido deslocando o gráfico da função
potência, fx = x3, primeiro, 2 unidades para a direita e, em seguida, 1 unidade para cima.
 Lembre que podemos generalizar o comportamento de funções obtidas de funções potência
através de algumas operações. Considere k uma constante positiva.
1) O gráfico de fx + k é obtido deslocando o gráfico de fx para a esquerda k unidades.
Exemplo: Veja, no mesmo sistema de eixos, o gráfico de fx = x4 e de gx = x + 34 e
observe que o gráfico da g é o mesmo que o da f, deslocado para a esquerda 3 unidades.
-5 -4 -3 -2 -1 1 2
-1
1
2
3
4
5
x
y
2) O gráfico de fx − k é obtido deslocando o gráfico de fx para a direita k unidades.
Exemplo: Veja, no mesmo sistema de eixos, o gráfico de fx = x4 e de gx = x − 24 e
observe que o gráfico da g é o mesmo que o da f, deslocado para a direita 2 unidades.
-2 -1 1 2 3 4 5
-1
1
2
3
4
5
x
y
3) O gráfico de fx + k é obtido deslocando o gráfico de fx para cima k unidades.
Exemplo: Veja, no mesmo sistema de eixos, o gráfico de fx = x4 e de gx = x4 + 2 e
observe que o gráfico da g é o mesmo que o da f, deslocado para cima 2 unidades.
2
-2.0 -1.5 -1.0 -0.5 0.5 1.0 1.5 2.0
-1
1
2
3
4
5
x
y
4) O gráfico de fx − k é obtido deslocando o gráfico de fx para baixo k unidades.
Exemplo: Veja, no mesmo sistema de eixos, o gráfico de fx = x4 e de gx = x4 − 2 e
observe que o gráfico da g é o mesmo que o da f, deslocado para baixo 2 unidades.
-2.0 -1.5 -1.0 -0.5 0.5 1.0 1.5 2.0
-2
-1
1
2
3
4
5
x
y
ATENÇÃO! Uma função polinomial é definida para todos os números reais. Dessa forma, é
importante observar o comportamento dessas funções nos extremos do domínio (para x
muito grande e positivo ou para x muito grande em módulo, porém, negativo). Este
comportamento origina o que denominamos ”limites da função, quando x cresce sem limite ou
quando x decresce sem limite”. Simbolicamente, para uma função fx, escrevemos lim
x→+∞
fx e
lim
x→−∞
fx, respectivamente.
Veja, por exemplo, o gráfico da função fx = x3 − 4x2 − 5x − 3, apresentado a seguir.
x
y
Observe que, quanto maior for o valor do x, maior será a imagem da função, isto é, maior
será o valor do y. Representamos esse fato escrevendo lim
x→+∞
fx = +∞. Também, quanto
menor for o x, isto é, quanto mais negativo for o x, menor será a imagem da função, isto é,
tanto mais negativo será o valor do y. Representamos esse fato escrevendo lim
x→−∞
fx = −∞.
3
Exercícios de aula 6:
1) Para obter o gráfico da função gx = 4x + 13, pode-se construir o gráfico da função
fx = 4x3, deslocando-o para a esquerda ”1” unidade (perceba que ”somamos” 1 unidade a
x). Construa em um mesmo sistema cartesiano os gráficos da f e da g. Observe o gráfico da g
e conclua sobre os limites no infinito: lim
x→+∞
gx e lim
x→−∞
gx.
2) O gráfico da função hx = −x − 24 + 5 pode ser obtido do gráfico da função fx = −x4. O
gráfico de hx é obtido deslocando o gráfico de fx para a direita ”2” unidades (perceba que
”subtraímos” 2 unidades de x) e, para cima, ”5” unidades (perceba que somamos 5 unidades
à imagem da função). Construa em um mesmo sistema cartesiano os gráficos da f e da h.
Observe o gráfico da h e conclua sobre os limites no infinito.
*************************************************************************************************************
Revisão rápida: Determinação de raízes de polinomios pelo método de Briot-Ruffini e
fatoração de polinômios.
 Vamos lembrar alguns resultados da Matemática que estão relacionados com a
determinação das raízes de uma função polinomial:
1) Teorema Fundamental da Álgebra: Todo polinômio de grau n, n ≥ 1, tem exatamente n
raízes reais ou complexas.
2) Teorema da Decomposição: Todo polinômio px = anxn + an−1xn−1 + an−2xn−2 +. . .+a1x + a0
pode ser escrito na forma fatorada px = anx − x1x − x2. . . x − xn, em que x1, x2, . . . , xn são
as raízes de px.
Assim, por exemplo:
O polinômio px = x3 − 2x2 − x + 2 possui as raízes 1,−1 e 2 (verifique!). Dessa forma,
px pode ser fatorado e escrito como px = x − 1x + 1x − 2.
O polinômio px = 3x2 − 3x − 36 possui as raízes −3 e 4 (verifique!). Dessa forma,
px pode ser fatorado e escrito como px = 3x + 3x − 4.
 Pode ser difícil determinar as raízes de um polinômio de grau maior que 2. Entretanto,
conhecida uma das raízes do polinômio, pode-se usá-la para reduzir o grau do polinômio e,
assim, determinar as outras raízes. Aqui também é interessante lembrar de mais um
resultado importante relativo a polinômios. Veja:
3) Se fx = anxn + an−1xn−1 + an−2xn−2 +. . .+a1x + a0 tem todos os coeficientes inteiros, com
a0 ≠ 0, então, se pq é uma raiz racional de fx, p é um divisor inteiro de a0 e q é um divisor
inteiro de an.
Veja, por exemplo, que as possíveis raízes racionais de fx = 3x3 + 4x2 − 5x − 2 podem ser
determinadas usando o resultado acima. Nesse caso, p é um divisor inteiro de a0 = −2, isto é,
p pode ser ±1, ±2; de forma semelhante, q é um divisor inteiro de an = 3, isto é, q pode ser ±1,
±3. Assim, se fx tem raízes racionais, elas devem estar entre os quocientes pq , isto é, entre
±1, ± 13 , ±2 e ±
2
3 . Verifique que as raízes racionais da f são 1, −
1
3 e −2.
Agora, como exemplo, vamos determinar as raízes de um polinômio de grau maior do
que 2 e, com elas, determinar sua forma fatorada.
4
⇛ Consideremos fx = x3 − 2x2 − x + 2
1) Determinamos suas possíveis raízes racionais:
p pode ser ±1, ±2 e q pode ser ±1. Então, as possíveis raízes racionais pq de fx são: ±1 e ±2.
2) Por tentativa, isto é, fazendo a substituição desses valores no lugar de x em fx, obtemos
que 2 é uma raiz de fx (veja: 23 − 2. 22 − 2 + 2 = 0). Nesse caso, fx deve ser divisível por
x − 2.
3) Vamos fazer a divisão direta de fx por x − 2:
x3 −2x2 −x +2 x −2
−x3 +2x2 x2 −1
−x +2
x −2
0
Então,por enquanto, x3 − 2x2 − x + 2 = x − 2x2 − 1.
4) Como a divisão feita em (3) é exata (resto zero), as outras raízes de fx devem ser raízes
do quociente x2 − 1 que, facilmente, determinamos como sendo 1 e − 1.
5) Assim, a forma fatorada de fx é x3 − 2x2 − x + 2 = x − 2x2 − 1 = x − 2x − 1x + 1
Veja o gráfico de fx, onde podemos confirmar que suas raízes são, de fato, 2, 1 e −1.
-2 -1 1 2 3
-4
-2
2
4
x
y
Obs.: A divisão feita em (3) pode ser abreviada por meio do dispositivo prático de
Briot-Ruffini.
1) Já determinamos, por tentativa, uma raiz de fx: 2. O esquema inicial é o seguinte:
1 −2 −1 2 ← coeficientes de fx ordenado e completo
2
2) Repetimos o primeiro coeficiente, abaixo dele mesmo.
1 −2 −1 2
2 1
3) Multiplicamos a raiz 2 pelo coeficiente que acabamos de repetir 1, somamos o resultado
com o próximo coeficiente e o colocamos abaixo dele.
1 −2 −1 2
2 1 0
4) Multiplicamos a raiz 2 por este último valor obtido, somamos o resultado com o próximo
coeficiente e o colocamos abaixo dele.
1 −2 −1 2
2 1 0 −1
5) Seguimos o mesmo procedimento até não restar mais coeficientes.
5
1 −2 −1 2
2 1 0 −1 0
O último valor obtido na linha debaixo é o ”resto da divisão” (zero) e os demais valores
obtidos ali são os coeficientes do quociente da divisão, sempre com grau igual a uma unidade
a menos que o polinômio que estamos dividindo. Nesse caso, grau 2 (fx tem grau 3). Então,
o quociente é 1x2 + 0x − 1, ou seja, x2 − 1, como havíamos obtido pelo processo direto.
 Mais um exemplo: vamos fatorar a função gx = 3x3 + 4x2 − 5x − 2.
1) raízes racionais possíveis: ±1, ± 13 , ±2 e ±
2
3
2) raiz por substituição: 1
3) divisão de 3x3 + 4x2 − 5x − 2 por x − 1:
3 4 −5 −2
1 3 7 2 0
4) iniciando a fatoração: 3x3 + 4x2 − 5x − 2 = x − 13x2 + 7x + 2
5) determinamos as raízes de 3x2 + 7x + 2 = 0.
Usando a fórmula de Báskara obtemos x = −2 e x = − 13
6) completando a fatoração:
gx = 3x3 + 4x2 − 5x − 2 = x − 1. 3x + 2 x + 13 = x − 1x + 23x + 1
Obs.: A multiplicidade de uma raiz de um polinômio está diretamente relacionada com o
número de vezes que ela aparece na fatoração daquele polinômio. Por exemplo,
fx = 2x − 23x + 12x − 3 tem 3 raízes: 2 com multiplicidade três, −1 com multiplicidade
dois e 3 que é uma raiz simples. Veja que fx tem grau igual a 6 (soma das potências dos
fatores de decomposição).
Exercício 1
Escreva uma equação de 3o grau cujas raízes são : −1; 1 e 2.
Exercício 2
Considere a equação x3 + 6x2 + 13x + m = 0.
(a) Determine m, sabendo que −2 é uma de suas raízes.
(b) Determine as demais raízes dessa equação.
Exercício 3
A respeito da equação x − 25x − 12x + 34 = 0, determine:
(a) suas raízes e as respectivas multiplicidades;
(b) seu grau;
(c) seu conjunto solução.
6
Exercício 4
Utilizando o dispositivo de Briot-Ruffini, determine o quociente e o resto da divisão de
fx = x4 − 21x2 − 10x − 1 por gx = x − 5.
Exercício 5
Determine o polinomio de grau 3, com coeficiente principal 2, e com −1, 3 e −5 como raízes.
*************************************************************************************************************
  Voltando aos gráficos apresentados logo no início deste material, já vimos que os três
primeiros representam funções que podem ser relacionadas com funções monomiais de
mesmo grau e, portanto, seus gráficos podem ser obtidos por deslocamentos do gráfico
destas últimas. As demais funções representadas pelos outros gráficos não podem ser
obtidas dessa forma. Observe as definições das funções representadas em cada gráfico e
procure perceber que, de fato, isso não é possível. Para essas funções polinomiais, que não
têm um padrão definido, é fundamental que possamos determinar suas raízes reais pois,
dessa forma, teremos condições de determinar os pontos de intersecção do gráfico com o
eixo x.
Exemplo:
Verifique que a forma fatorada da função fx = x3 − 2x2 − x + 2 é fx = x − 2x − 1x + 1.
Agora, observe o gráfico de fx, onde podemos confirmar que suas raízes são, de fato, 2, 1 e
−1.
-2 -1 1 2 3
-4
-2
2
4
x
y
 Vamos retomar algumas das funções cujos gráficos foram apresentados logo no início
deste material e vamos relacionar o comportamento dessas funções à multiplicidade de suas
raízes.
-5 -4 -3 -2 -1 1
-2
2
4
x
y
fx = x + 33
A única raiz real dessa função é o −3
e sua multiplicidade é 3.
Observe que o gráfico ”corta” o eixo dos x onde x = −3.
7
-3 -2 -1 1 2 3
-4
-2
2
4
x
y
fx = x3 − x
As raízes reais dessa função são 0, −1 e 1, todas
simples, de multiplicidade 1. Observe que o gráfico
”corta” o eixo dos x onde x = 0, x = −1 e x = 1.
-1 1 2
-1
1
x
y
fx = x3 − 2x2 + x
As raízes dessa função são 0 e 1. A forma fatorada
da f é xx − 12. Observe que 0 é uma raiz de
multiplicidade 1 e o gráfico da f ”corta” o eixo x
onde x = 0; 1 é uma raiz de multiplicidade 2 e o
gráfico ”encosta” no eixo x onde x = 1.
-2 -1 1 2
-1
1
2
3
x
y
fx = x4 − 2x2 + 1
As raízes da função são −1 e 1. A forma fatorada
da f é x + 12x − 12. Observe que −1 tem
multiplicidade 2 e o gráfico ”encosta” no eixo x
onde x = −1;1 tem multiplicidade 2 e o gráfico
”encosta” no eixo x onde x = 1.
 Esse comportamento de uma função polinomial ”cortar” ou ”encostar” no eixo x nos pontos
onde x é raiz da função está relacionado com a multiplicidade da raiz.
1) Se a raiz tem multiplicidade ímpar, o gráfico ”corta” o eixo x no ponto cuja abscissa é
aquela raiz.
2) Se a raiz tem multiplicidade par, o gráfico ”encosta” no eixo x no ponto cuja abscissa é
aquela raiz.
Veja, por exemplo, a função fx = −2x − 14x + 23. Ela tem duas raízes reais: 1 e −2. Como
1 tem multiplicidade par, espera-se que o gráfico da f ”encoste” no eixo x, no ponto onde
x = 1. Como −2 tem multiplicidade ímpar, espera-se que o gráfico da f ”corte” o eixo x, no
ponto onde x = −2. Além disso, é importante perceber que um de seus pontos (fácil de
determinar) é o ponto 0,−16 (basta substituir x por zero na equação que define a f). Veja o
gráfico da f a seguir, o que confirma nossas expectativas.
Outra observação importante é relativa aos limites da função no infinito:
lim
x→+∞
fx = lim
x→+∞
−2x7 = −∞ e lim
x→−∞
fx = lim
x→−∞
−2x7 = +∞. Esses resultados também confirmam
o que está explicitado no gráfico da f.
8
-3 -2 -1 1 2
-35
-30
-25
-20
-15
-10
-5
5
x
y
Exercícios extraclasse 5:
1) Considere a função y = fx cujo gráfico é apresentado a seguir e, com base nele,
determine os limites:(a) lim
x→+∞
fx e (b) lim
x→−∞
fx.
x
y
2) Considere o gráfico da função do terceiro grau, fx, dado a seguir.
-4 -2 2
-20
-15
-10
-5
5
10
15
20
x
y
(a) Diga quais as raízes reais da f.
(b) Qual a multiplicidade de cada uma das raízes?
(c) Dê a equação que define a f.
(d) No mesmo sitema acima, represente o gráfico da função gx = |fx|.
3) Faça o esboço do gráfico de uma função f que satisfaça o seguinte:
(a) f tem grau 3; (b) 1 é uma raiz dupla da f; (c) −1 é uma raiz simples da f; (d) o gráfico passa
pelo ponto 0,−2; (e) lim
x→+∞
fx = −∞; e (f) lim
x→−∞
fx = +∞.
4) Associe cada função definida a seguir com o seu gráfico. Explique a sua escolha. Em
seguida, construa no sistema correspondente, o gráfico do módulo de cada uma das funções
representadas.
fx = x5 − 8x4 + 9x3 + 58x2 − 164x + 69
gx = 7x3 − 21x2 − 91x + 104
hx = −x5 + 3x4 + 16x3 − 2x2 − 95x − 44
9
lx = −9x3 + 27x2 + 54x − 73
-4 -2 2 4 6
-200
-100
100
200
300
400
x
y
( )
-4 -2 2 4 6
-200
-100
100
200
300
400
x
y
( )
-4 -2 2 4 6
-200
-100
100
200
300
400
x
y
( )
-4 -2 2 4 6
-200
-100100
200
300
400
x
y
( )
5) Para as funções definidas a seguir: (a) determine o grau; (b) determine as raízes e a
respectiva multiplicidade; (c) determine os limites no infinito; (d) esboce o gráfico.
5.1) fx = xx − 32
5.2) fx = −x3x − 2
5.3) fx = x − 13x + 22
6) Escreva cada função dada na sua forma fatorada. Use isso para construir o esboço do
gráfico.
6.1) Hx = x3 − 36x
6.2) Fx = x3 − 7x2 − 49x + 55
6.3) Gx = 4x4 − 8x3 − 19x2 + 23x − 6
10
Algumas respostas:
1) (a) lim
x→+∞
fx = +∞ e (b) lim
x→−∞
fx = +∞
2) (a) As raízes reais da f são −3 e 2; (b) −3 é uma raiz de multiplicidade 2, e 2 é uma raiz
simples; (c) fx = x + 32x − 2 = x3 + 4x2 − 3x − 18
(d)
-4 -2 2
-20
-15
-10
-5
5
10
15
20
x
y
3) Por exemplo:
-2 2
-5
5
x
y
4)
-5 5
-200
200
400
x
y
( gx )
-5 5
-200
200
400
x
y
( lx)
-5 5
-200
200
400
x
y
( fx)
-5 5
-200
200
400
x
y
( hx)
-5 5
-200
200
400
x
y
(|gx| )
-5 5
-200
200
400
x
y
( lx )
-5 5
-200
200
400
x
y
( fx )
-5 5
-200
200
400
x
y
(|hx|)
5)
5.1) (a) 3; (b) 0 de multiplicidade 1 e 3 de multiplicidade 2; (c) lim
x→+∞
fx = +∞ e lim
x→−∞
fx = −∞
5.2) (a) 4; (b) 0 de multiplicidade 3 e 2 de multiplicidade 1; (c) lim
x→+∞
fx = −∞ e lim
x→−∞
fx = −∞
5.3) (a) 5; (b) 1 de multiplicidade 3 e −2 de multiplicidade 2; (c) lim
x→+∞
fx = +∞ e lim
x→−∞
fx = −∞
Gráficos:
11
-2 2 4
-8
-6
-4
-2
2
4
6
x
y
6) Escreva cada função dada na sua forma fatorada. Use isso para construir o esboço do
gráfico.
6.1) Hx = xx − 6x + 6
6.2) Fx = x − 1x + 5x − 11
6.3) Gx = 4x + 2x − 3 x − 12
2
Gráficos:
-6 -4 -2 2 4 6 8 10 12
-300
-200
-100
100
x
y
12