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UCS - CCET: CENTRO DE CIÊNCIAS EXATAS E DA TECNOLOGIA 
 
MAT0356 - PRÉ-CÁLCULO 
 
Trigonometria – conceitos iniciais 
 
 
 
1. ARCO e ÂNGULO 
Um ARCO de circunferência é uma “parte”, um “pedaço” da circunferência. 
Um ÂNGULO é uma região do plano, delimitada por duas semi-retas que possuem a 
mesma origem. Um ângulo em uma circunferência é a região delimitada por duas semi-retas que 
contêm dois de seus raios e cuja origem comum é o centro da circunferência. 
Em uma circunferência, a cada arco corresponde um ângulo. Para esse ângulo, os raios 
que o definem passam pela origem e pela extremidade do arco considerado. 
 
 
 Ângulo AÔB, com vértice O. Arco AB. Arco AB corresponde ao 
 ângulo central AÔB. 
 
2. Unidades de medidas de ângulos e arcos 
Destacam-se duas unidades para medidas de ângulos e de arcos: o GRAU e o RADIANO. 
� Um grau (1o ) equivale à medida do ângulo obtido pela divisão de um círculo em 360 
partes iguais. Dessa forma, 1o é igual a 1/360 do ângulo de uma volta. Para medir 
ângulos (em graus), usamos o Transferidor. 
� A unidade de medida de ângulo do Sistema Internacional é o radiano. O arco de 1 
radiano (1 rad) é o arco cujo comprimento é igual à medida do raio da circunferência 
que o contém. 
 
Observação: Todo ângulo central de uma circunferência corresponde a um único arco e todo arco 
de circunferência corresponde a um único ângulo central da mesma. Isso nos possibilita adotar 
uma mesma unidade para medir arcos e ângulos. Consequentemente, consideramos equivalentes 
a medida de um ângulo central e a medida do arco correspondente. 
 2 
 
 
 
 
3. Relação entre as unidades de medidas 
 Conhecemos a relação que permite calcular o comprimento de uma circunferência: 
2C rpi= , onde 3,14.pi ≅ 
 Isso equivale a dizer que, numa circunferência, cabem 2pi "raios ou radianos". 
Sabemos que o ângulo de uma circunferência completa mede 360o. 
 Usando uma regra de três simples e direta obtemos a seguinte relação: 
360 � equivale a 2pi rad ou 180 � equivale a pi rad 
 
Assim, 
� O arco ou ângulo que mede 360o, mede 2pi rad; 
� O arco ou ângulo que mede 90o, mede 
2
pi
 rad; 
� O arco ou ângulo que mede 45o, mede 
4
pi
rad; 
� O arco ou ângulo que mede 
3
pi
 rad, mede 60o; 
� O arco ou ângulo que mede 3
2
pi
 rad, mede 270o. 
 
4. Razões trigonométricas no triângulo retângulo 
Além da relação métrica mais utilizada em um triângulo retângulo (Teorema de Pitágoras: o 
quadrado da hipotenusa é igual à soma dos quadrados dos catetos), nos interessam três razões 
que relacionam as medidas de ângulos agudos com as medidas dos catetos e da hipotenusa. São 
elas: 
 
 3 
 
� O seno de um ângulo agudo é a razão entre o cateto oposto e a hipotenusa. 
� O cosseno de um ângulo agudo é a razão entre o cateto adjacente e a hipotenusa. 
� A tangente de um ângulo agudo é a razão entre o cateto oposto e o cateto adjacente. 
 
 
 
 
5. Razões trigonométricas de ângulos notáveis 
 Para alguns ângulos é possível determinar o valor EXATO das razões trigonométricas. São 
os ângulos notáveis e os valores de suas razões trigonométricas estão resumidos no quadro a 
seguir. 
 
30° ou 
6
pi
 rad 45° ou 
4
pi
rad 60° ou 
3
pi
 rad 
sen 1
2
 
2
2
 
3
2
 
cos 3
2
 
2
2
 
1
2
 
tan 3
3
 
1 3 
 
Exercícios de aula: Confirme esses valores usando a calculadora. 
 
6. Circunferência Trigonométrica 
 A circunferência trigonométrica é uma circunferência de raio unitário (r = 1), cujo centro 
coincide com a origem do plano cartesiano (0, 0) e para a qual definimos o seguinte: 
� o ponto A(1,0) é a origem de todos os arcos a serem considerados na circunferência; 
� se um arco for medido no sentido horário, então a essa medida atribuímos o sinal negativo; 
� se um arco for medido no sentido anti-horário, então a essa medida atribuímos o sinal 
positivo. 
 4 
 
Os eixos coordenados dividem o plano em quatro regiões chamadas quadrantes, 
numerados no sentido anti-horário, a partir do ponto A. 
 
 A cada ponto da circunferência trigonométrica associamos a medida (em graus ou em 
radianos) do arco com origem em A(1,0) e extremidade no ponto escolhido. 
Veja, por exemplo, que partindo de A e girando uma volta completa no sentido positivo, 
associamos as seguintes medidas aos pontos A, A’, B e B’: 
 
 
 
De forma semelhante, partindo de A e girando uma volta completa no sentido negativo, 
associamos as seguintes medidas aos pontos A, A’, B e B’: 
 
 
Observe que, cada vez que “andamos” 1/4 da circunferência, contamos 90o ou 
2
pi
 rad, no 
sentido positivo ou no negativo. 
 5 
 
Da mesma forma, se dividimos a circunferência trigonométrica em 6 partes iguais, cada 
arco mede 60o ou 
3
pi
 rad e podemos associar a extremidade de cada arco cuja medida é múltiplo 
dele “contando “ essas partes. Veja: 
 
 
Exercício de aula: 
Faça uma circunferência trigonométrica para cada item e marque a extremidade dos arcos, na 
primeira volta completa, cujas mediadas são: 
(a) 90o ou 
2
pi
rad e todos os seus múltiplos, contando de 90o em 90º ou de 
2
pi
rad em 
2
pi
rad. 
(b) 30o ou 
6
pi
rad e todos os seus múltiplos, contando de 30o em 30o ou de 
6
pi
rad em 
6
pi
rad. 
(c) Faça o mesmo que na letra (a) para os múltiplos de 45o (ou 
4
pi
rad). 
 
Obs. : Um arco pode dar mais do que uma volta completa na circunferência trigonométrica; basta 
que o módulo de sua medida seja maior que 360o ou 2pi rad. 
Por exemplo, para obter a extremidade do arco de medida 7
3
pi
rad, pensamos o seguinte: 
7 6 1 2
3 3 3 3
pi pi pi pi
pi= + = + . Isto significa que o arco dá uma volta completa no sentido positivo e vai 
parar na mesma extremidade que o 
3
pi
. Veja a figura: 
 6 
 
 
 De forma semelhante, a extremidade de 9
2
radpi− vai coincidir com a extremidade de 
2
pi−
, 
após dar duas voltas completas no sentido negativo. Veja: 
9 8 4
2 2 2 2
pi pi pi pi
pi
− − − −
= + = − + . Observe a figura: 
 
 
Exercício de aula: 
Faça uma figura para cada caso e localize a extremidade do arco cuja medida é: 
(a) 15
2
radpi 
(b) 1080o 
(c) 11
4
radpi− 
 
7. Simetrias 
 É útil relacionar medidas de arcos com extremidades simétricas em relação aos eixos 
coordenados ou à origem do sistema cartesiano. Isso nos ajudará mais adiante na determinação 
dos valores de seno e cosseno desses arcos. 
 Para um arco de medida α no primeiro quadrante (em graus ou radianos), os simétricos 
estão definidos na figura: 
 7 
 
 
 
Por exemplo, os simétricos a 
6
radpi são: 
a) em relação ao eixo dos x: 112
6 6
pi pi
pi − = 
b) em relação ao eixo dos y: 5
6 6
pi pi
pi − = 
c) em relação à origem: 7
6 6
pi pi
pi + = 
Veja figura: 
 
 
Exercício de aula: 
Faça uma figura em cada caso e determine os simétricos de: 
(a) 
3
radpi 
(b) 45o 
(c) 3
8
radpi 
 
8. Razões trigonométricas na circunferência 
 Para uma extensão dos conceitos de seno e cosseno vistos no triângulo retângulo, 
consideremos a circunferência trigonométrica e um arco de medida α no primeiro quadrante. 
 8 
 
Veja a figura abaixo e observe que, do triângulo retângulo OMP, como o raio dacircunferência 
trigonométrica é igual a 1, temos: 
.
cos ( )
1
cat adj OP OP abscissa M
hip
α = = = = 
. . ( )
. 1
cat op MP
sen MP ordenada M
hip
α = = = = 
 
Assim, 
 
 
 
 
 
 
 
Veja a figura: 
 
Considerando a definição, um modo simples de determinar o seno é tomar o y do ponto 
(0, y) que liga o centro do círculo à projeção da extremidade do arco sobre o eixo vertical do 
sistema cartesiano (eixo dos senos). De forma semelhante, um modo de determinar o cosseno é 
tomar o x do ponto (x, 0) que liga o centro do círculo à projeção da extremidade do arco sobre o 
eixo horizontal do sistema cartesiano (eixo dos cossenos). 
 Veja figura: 
O seno de um ângulo central, num círculo trigonométrico, é a ordenada do ponto que é 
extremidade do arco por ele subentendido. 
O cosseno de um ângulo central, num círculo trigonométrico, é a abscissa do ponto 
que é extremidade do arco por ele subentendido. 
 9 
 
 
 
Exercício de aula: 
(1) Construa circunferências e nelas, marque as extremidades dos arcos notáveis e de seus 
simétricos (em relação ao eixo x, ao eixo y e à origem). Considerando os valores de seno e 
cosseno para os arcos notáveis, determine os valores de seno e cosseno para cada arco 
representado. Represente nessas circunferências os valores de seno e cosseno 
calculados. 
(2) Faça figuras que permitam determinar os valores solicitados relacionando-os, quando 
possível, com valores de arcos que estão no primeiro quadrante: 
(a) ( ) ( )960 ;cos 360 ; 180 ;cos 270o o o osen sen− − 
(b) 7 7;cos
3 3
sen
pi pi
 
(c) 11 11;cos
6 6
sen
pi pi   
− −   
   
 
 (d) 11 11;cos
4 4
sen
pi pi
 
(e) 5 5;cos
6 6
sen
pi pi− −   
   
   
 
(f) 5 5;cos
3 3
sen
pi pi− −   
   
   
 
........................................................................................................................................................ 
Algumas figuras foram retiradas de: 
PAIVA, Manoel. Matemática. V. 1. São Paulo: Moderna, 2000. 
SMOLE, Kátia e KIYUKAWA, Rokusaburo. Matemática. V. 1. São Paulo: Saraiva, 1998.