Métrica de Minkowski

Prévia do material em texto

5 Espaço-Tempo de Minkowski
O propósito deste capítulo é fazer uma breve incursão na geometria e na
nomenclatura do espaço-tempo quadri-dimensional de Minkowski, onde as
leis físicas baseadas na Relatividade Restrita encontram uma formulação
matemática adequada. No contexto da Relatividade Restrita e da equiv-
alência dos referenciais inerciais, o conhecimento das propriedades de trans-
formação das grandezas físicas sob as transformações gerais de Lorentz entre
são de importância fundamental para que a invariança das grandezas físicas
derivadas e a covariança das equações de movimento possasm ser facilmente
estabelecidas.
5.1 Espaço euclidiano tridimensional
Por habirar um mundo tri-dimensional cuja geometria é, pelo menos local-
mente, euclidiana, a geometria mais conhecida é a euclidiana. No espaço tri-
dimensional, um ponto é de…nido através de três números ou coordenadas,
que podem ser as coordenadas (x; y; z) no sistema de coordenadas cartesianas
ou retangulares. As grandezas físicas são, em geral, funções de…nidas neste
espaço, e as leis físicas relacionam as diversas grandezas físicas através de
equações ou sistemas de equações.
Como todos os referenciais inerciais devem ser equivalentes, as equações
que descrevem as leis físicas devem ser covariantes nas transformações que
relacionam os diversos referenciais inerciais entr si. Dentre estas transfor-
mações, há os que envolvem apenas as coordenadas espaciais, os sistemas de
referenciais …xos uns em relação a outros, tais como as translações,
x0i = xi � ai ; (1)
e as rotações,
x0i =
3X
j=1
Rijxj ; (2)
(índices variando de 1 a 3).
O interesse no momento são as rotações e, por questões de simplicidade,
serão consideradas apenas as rotações ao redor do eixo z. Uma rotação
de ângulo � ao redor do eixo z é dada pelo conjunto de transformações de
equações 8<:
x0 = x cos � + y sin �
y0 = �x sin � + y cos �
z0 = z
(3)
44
que pode ser indicado na forma matricial0@ x0y0
z0
1A = R3
0@ xy
z
1A ; (4)
onde
R3 =
0@ cos � sin � 0� sin � cos � 0
0 0 1
1A : (5)
A transposta desta matriz,
RT3 =
0@ cos � � sin � 0sin � cos � 0
0 0 1
1A ; (6)
é a matriz da transformação inversa, como pode facilmente ser veri…cado.
Esta é uma propriedade geral das matrizes de rotação, que sempre pode ser
obtido pela composição de rotações ao redor dos três eixos de coordenadas,
R = R1R2R3 ; (7)
de modo que
RRT = RRT = I () RT = R�1 : (8)
Esta propriedade está ligada à invariança por rotação da distância entre dois
pontos,
d =
p
(x2 � x1)2 + (y2 � y1)2 + (z2 � z1)2 : (9)
Tomando um dos pontos na origem, resultaP3
i=1 x
0
ix
0
i =
P3
i=1
P3
j=1
P3
k=1RijxjRikxk =
P3
i;;j;k=1 xjR
T
jiRikxk
=
P3
;j;k=1 xj(R
TR)jkxk =
P3
;j=1 xjxj = r
2 ;
(10)
que mostra a invariança do módulo do vetor posição.
Na física newtoniana é comum a representação vetorial das grandezas
físicas, indicadas genericamente por
A = Axex + Ayey + Azez =
3X
i=1
Aiei; (11)
tendo por padrão o vetor posição
45
r = xex + yey + zez =
3X
i=1
xiei; (12)
onde ei são os três versores nas direções dos eixos coordenados.
Por rotação as componentes dos vetores transformam-se da mesma forma
que as coordenadas do vetor posição (equação 2),
Ai ! A0i =
3X
i=1
RijAj : (13)
Deste modo, assim como a distância, os produtos escalares entre vetores são
invariantes por rotação,
A0 �B0 = P3i=1A0iB0i = P3i;j;k=1RijAjRikBj
=
P3
;j;k=1Aj(R
TR)jkBk =
P3
;j=1AjBj = A �B :
(14)
A distância
r2 = x2 + y2 + z2;
na sua forma in…nitesimal
dr2 = dx2 + dy2 + dz2 ; (15)
de…ne a métrica euclidiana, positiva de…nida. A física newtoniana é de…nida
para um espaço métrico euclidiano.
5.2 Espaço-tempo pseudo-euclidiano
As transformações de Lorentz tem a característica de misturar as coordenadas
do espaço e do tempo. Por exemplo, para uma transformação de Lorentz
entre referenciais inerciais R e R0 com movimento relativo uniforme V ao
longo do eixo comum xx0, 8>><>>:
x0 = 
(x� V t)
y0 = y
z0 = z
ct0 = 
(ct� �x)
; (16)
para
� =
V
c
e 
 =
1p
1� �2
;
46
as coordenadas do espaço e do tempo misturando-se de forma simétrica como
coordenadas de um espaço-tempo quadri-dimensional.
Os pontos deste espaço-tempo de…nem os eventos, localizados pelas co-
ordenadas
(x; y; z; ct) :
A separação entre dois eventos é dado pelo intervalo
s212 = c
2(t2 � t1)2 � r212 ; (17)
que de…ne a medida (ou métrica) deste espaço-tempo. Em forma in…nitesi-
mal,
ds2 = c2dt2 � dr2 : (18)
A métrica assim de…nida é invariante por transformações de Lorentz,
como facilmente pode ser veri…cado. No entanto, ao contrário da métrica
espacial euclidiana (15), a métrica do espaço-tempo não é positiva de…nida,
de modo que a sua geometria não é euclidiana.
Para mascarar o sinal negativo da métrica (18), pode-se de…nir as coor-
denadas
x1 = x ; x2 = y ; x3 = z ; x4 = ict (19)
de modo que a expressão formal da métrica …ca
ds2 =
4X
i=1
dxi dxi = (dx1)
2 + (dx2)
2 + (dx3)
2 + (dx4)
2 ; (20)
aparentemente euclidiana.
É aparentemente euclidiana porque a métrica continua não sendo posi-
tiva de…nida, como requer a métrica euclidiana. Por esta razão diz-se que a
geometria do espaço-tempo de…nido por estas coordenadas é pseudo-euclidiana.
Usando as coordenadas do espaço-tempo pseudo-euclidiano, as transfor-
mações de Lorentz (16) podem ser expressas na forma8>><>>:
x01 = x1 cos �� x4 sin �
x02 = x2
x03 = x3
x04 = x4 cos � + x1 sin �
; (21)
formalmente idêntica a uma rotação, de ângulo �, do plano de…nido pelas
coordenadas x1 e x4, 8<:
cos � = 
 > 1
e
sin � = �i
�
: (22)
47
Veja que embora a identidade trigonométrica seja satisfeita,
cos 2� + sin 2� = 1 ; (23)
a condição cos � > 1 somente é possível se � for uma variável complexa (ou
imaginária),
� = i (para real). (24)
5.3 Espaço-tempo de Minkowski
O espaço-tempo quadri-dimensional de Minkowski é de…nido pelas coorde-
nadas
(x0; x1; x2; x3)
(com índices superiores) identi…cados por
x0 = ct ; x1 = x ; x2 = y ; x3 = z : (25)
São as coordenadas contravariantes. Em termos destas coordenadas con-
travariantes, a métrica …ca
ds2 = c2dt2 � dr2 = (dx0)2 � (dx1)2 � (dx2)2 � (dx3)2 : (26)
Além das coordenadas contravariantes, de…ne-se as coordenadas covari-
antes
(x0; x1; x2; x3)
(com índices inferiores) identi…cados por
x0 = x
0 = ct ; x1 = �x1 = �x ; x2 = �x2 = �y ; x3 = �x3 = �z : (27)
Combinando as coordenadas contravariantes e covariantes, a métrica …ca
ds2 = dx0dx
0 + dx1dx
1 + dx2dx
2 + dx3dx
3 ; (28)
que possibilita a notação compacta,
ds2 = dx�dx
� ; (29)
usando a convenção de soma dos índices repetidos. Por esta convenção,
índices repetidos superior e inferior devem ser somados, variando de 0 a 3
para os índices gregos (�; �; �; � � � etc..), e de 1 a 3 para os índices latinos
(i; j; k; � � � etc.).
48
Para as coordenadas contravariantes, as transformações de Lorentz (16)
…cam 8>><>>:
x00 = 
(x0 � �x1)
x01 = 
(x1 � �x0)
x02 = x2
x03 = x3
; (30)
ou, usando a variável ,8>><>>:
x00 = x0 cosh � x1 sinh 
x01 = �x0 sinh + x1 cosh 
x02 = x2
x03 = x3
; (31)
onde 8<:
cosh = 
 > 1
e
sinh = 
�
; (32)
observando-se a identidade
cosh 2 � sinh 2 = 1 : (33)
A matriz de transformação da equação (30) é
L =
0BB@
 �
� 0 0
�
� 
 0 0
0 0 1 0
0 0 0 1
1CCA ; (34)
a condição (33) correspondendo a
detL = 1: (35)
As coordenadas covariantes, equação (27), transformam-se de forma in-
versa das contravariantes,8>><>>:
x00 = 
(x0 + � x1)
x01 = 
( x1 + �x0)
x02 = x2
x03 = x3
; (36)
sendo que a matriz da transformação inversa pode ser obtida fazendo-se a
substituição � ! �� na matriz da transformação direta (34)
L�1 =
0BB@� 0 0
� 
 0 0
0 0 1 0
0 0 0 1
1CCA : (37)
49
É possível de…nir uma representação invariante dos quadri-vetores que,
numa notação similar à dos vetores usuais, …ca
s = x0e0 + x
1e1 + x
2e2 + x
3e3 : (38)
Para ser invariante, os versores-base e� devem transformar-se de forma in-
versa das coordenadas contravariantes, isto é,8>><>>:
e00 = 
(e0 + �e1)
e01 = 
(e1 + �e0)
e02 = e2
e03 = e3
: (39)
As denominações covariante (e contravariante) signi…cam coordenadas que
se transformam da mesma forma (e de forma inversa) que os elementos da
base fe�g.
5.3.1 Quadri-vetores
Os quadri-vetores são grandezas com quatro componentes que se transfor-
mam da mesma maneira que as coordenadas. No caso particular das trans-
formações (30), 8>><>>:
A00 = 
(A0 � �A1)
A01 = 
(A1 � �A0)
A02 = A2
A03 = A3
; (40)
para as componentes contravariantes
(A�) = (A0; A1; A2; A3): (41)
As componentes covariantes são de…nidas da mesma maneira que as co-
ordenadas covariantes,
(A�) = (A0; A1; A2; A3) = (A
0;�A1;�A2;�A3) ; (42)
transformando-se também de maneira inversa das contravariantes.
As grandezas físicas usuais são representadas, em geral, pelas compo-
nentes contravariantes dos quadri-vetores (com índices superiores), e muitas
vezes é conveniente explicitar as suas componentes temporal e espacial,
(A�) = (A0; Ai) = (A0;A) : (43)
Para as componentes covariantes,
(A�) = (A0; Ai) = (A
0;�Ai) = (A0;�A) : (44)
50
Como as componentes covariantes transformam-se de forma inversa das
contravariantes, o produto escalar entre dois quadri-vetores A� e B� de…nido
como
(A�; B�) = A�B� = A�B
� ; (45)
com a convenção de soma dos índices superior e inferior repetidos, como
no caso da métrica (29), é claramente invariante pelas transformações de
Lorentz.
A ligação matemática formal entre as componentes contravariantes e co-
variantes é feita usando o tensor métrico
g�� = g�� =
8<:
0 se � 6= � ;
1 se � = � = 0 e
�1 se � = � = i (i = 1; 2; 3) ;
(46)
através das relações de abaixamento e levantamento de índices tensoriais,
respectivamente
A� = g��A
� e A� = g��A� : (47)
Deste modo o produto escalar pode assumir várias formas equivalentes,
A�B
� = g��A
�B� = A�B� ; (48)
e para a métrica, que também é um produto escalar,
ds2 = dx�dx
� = g��dx
�dx� = dx�dx� ; (49)
etc..
5.4 Transformações Gerais de Lorentz
As transformações gerais de Lorentz são representados como
x0� = ��� x
� + a�; (50)
onde estão incluídas as translações (de…nidas pelos parâmetros a�), as ro-
tações espaciais e as transformações especiais de Lorentz (entre referenciais
inerciais em movimento relativo uniforme), além das inversões espaciais e
temporais.
Na forma acima, com as translações, são conhecidas como transformações
gerais de Lorentz não homogêneasde ou, simplesmente, transformações Poincaré.
Sem as translações, são as transformações de Lorentz homogêneas,
x0� = �� � x
� ; (51)
51
contendo rotações espaciais e transformações especiais de Lorentz (entre ref-
erenciais inerciais em movimento relativo uniforme), além das inversões es-
paciais e temporais.
As transformações especiais de Lorentz ao longo dos três eixos coordena-
dos tem como matrizes de transformação,
L1 =
0BB@
1 �
1�1 0 0
�
1�1 
1 0 0
0 0 1 0
0 0 0 1
1CCA : (52)
para deslocamentos relativos ao longo do eixo x, equação (34),
L2 =
0BB@
2 0 �
2�2 0
0 1 0 0
�
2�2 0 
2 0
0 0 0 1
1CCA ; (53)
para deslocamentos relativos ao longo do eixo y e
L3 =
0BB@
3 0 0 �
3�3
0 1 0 0
0 0 1 0
�
3�3 0 0 
3
1CCA ; (54)
para deslocamentos relativos ao longo do eixo z, onde
�i =
Vi
c
e 
i =
1p
1� �2i
(i = 1; 2; 3) : (55)
As componentes contravariantes e covariantes de quadri-vetores devem se
transformar como
A0� = ��� A
� (56)
e
A0� = �
�
� A� ; (57)
respectivamente. Deste modo o produto escalar transforma-se como
A0�A0� = �
�
� A
� � �� A� = �
�
� �
�
� A
�A� ;
a condição de invariança do produto escalar,
A0�A0� = A
�A� ;
52
impondo a condição
��� �
�
� = �
�
� (58)
sobre as matrizes das transformações Lorentz.
Para as componentes � = � = 0, resulta
��0 �
0
� = �
0
0 �
0
0 + �
i
0 �
0
i = 1
) �00 �00 � �i0 �i0 = 1;
isto é, ���0 0��2 = 1 + �i 0 �i0 � 1 : (59)
Quando �0 0 � 1 a transformação é ortócrona (o sinal do tempo é man-
tido), e quando �0 0 � �1 a transformação é não-ortócrona (com inversão
temporal).
Usando o fato de que
g��g�� = g
�
� = �
�
� ; (60)
a equação (58) pode ser escrita na forma matricial
g�� = ��� �
�
� g
�� () �g�T = g : (61)
Desta relação matricial pode-se extrair condições sobre o determinante de �,
(det �)2 = 1) det � = �1 : (62)
No caso det � = 1 a transformação diz-se própria (sem re‡exão espacial ou
inversão temporal) e no caso det� = �1 a transformação é imprópria (contém
re‡exão espacial e ou inversão temporal).
Como na transformação identidade
det � = 1 e � 00 = 1 ; (63)
as transformações contínuas, que podem ser obtidas por uma sucessão in…nita
de transformações in…nitesimais a partir da identidade, devem ser próprias e
ortócronas.
5.5 Tensores de Minkowski
Os quadri-vetores são grandezas cujas componentes contravariantes e covari-
antes transformam-se da mesma maneira que as coordenadas contravariantes
e covariantes, equações (56) e (57), respectivamente.
53
Na nomenclatura dos tensores, quadri-vetores são tensores de primeira or-
dem e os escalares são tensores de ordem zero. Tensores de segunda ordem são
de…nidos de tal maneira que componentes contravariantes (dois índices supe-
riores), covariantes (dois índices inferiores) ou mistos transformem-se, índice
a índice, como as componentes contravariantes ou covariantes dos quadri-
vetores,
T �� ! T 0�� = ��� ��� T �� ; (64)
considerando apenas os índices superiores, por comodidade. A generalização
para tensores de ordem mais alta é imediata, as componentes contravariantes
de tensores de ordem n transformado-se como
T ���::: ! T 0���::: = ��� ��� ���:::T ���::: : (65)
O tensor métrico, com componentes contravariantes g�� de…nidos pela
equação (46), é um tensor de segunda ordem, com a propriedade especial de
ser invariante de Lorentz, isto é,
g0�� = ��� �
�
� g
�� = g�� ; (66)
como resultado da condição (61). Esta invariança vem do próprio princípio
da relatividade, pois a métrica deve ser a mesma em todos os referenciais
inerciais.
As regras de abaixamento e de levantamento de índices são válidas para
cada índice do tensor, por exemplo,
T ��� = g��T
��� : (67)
Para o tensor métrico, 8<:
g�� = g
��
g �� = g
�
� = �
�
�
g��g
�� = ��� ; etc::
: (68)
Há um outro tensor especial, invariante de Lorentz, conhecido como sím-
bolo ou tensor de Levi-Civita, �����, completamente antissimétrico nos seus
quatro índices, que pode ser de…nido atribuindo o valor para uma das com-
ponentes,
�0123 = +1 : (69)
Os demais elementos, pela propriedade de antissimetria por permutações
entre dois índices quaisquer, somente podem assumir os valores 1; 0 ou �1.
As permutações pares de…nem os elementos,
�0123 = �0231 = �0312 = +1 ;
54
por exemplo, e as permutações ímpares de…nem os outros elementos não
nulos,
�1230 = �1302 = �1 ;
por exemplo. Os elementos com índices repetidos, devido à antissimetria,
são identicamente nulos,
����� = ����� = 0 ; etc.:
Sendo invariante,
��� �
�
� �
�
� �
�
� �
���� = ����� :
Veja também que
����� = ������ : (70)
No formalismo tensorial as grandezas físicas tem propriedades de transfor-
mação conhecidas, as equações de movimento são explicitamente covariantes
e as quantidades invariantes podem ser obtidas através de produtos escalares.
5.5.1 O símbolo de Levi-Civita
O variante tridimensionaldo tensor completamente antissimétrico de Levi-
Civita, �ijk = �0ijk, tem um papel importante no formulismo tensorial, sendo
muito utlilizado em operações matemáticas envolvendo composições antis-
simétricas entre componentes tensoriais. Nesta variante tri-dimensional, as
permutações pares dos índices de �ijk relacionam as componentes com índices
em ordem cíclica, de modo que
�123 = �231 = �312 = +1 ;
e as permutações ímpares de…nem os outros elementos não nulos de valor �1,
�132 = �321 = �1, etc..
Os elementos com índices repetidos, devido à antissimetria, são.
Um exemplo típico de composição antissimétrica de componentes tenso-
riais é o produto vetorial de dois vetores, A�B, cujas componentes resultam
Ci = (A�B)i =
3X
j;k=1
�ijkAjBk (71)
ou, se preferir a notação vetorial,
C = A�B =
3X
j=1
3X
k=1
�ijkAjBkbxi : (72)
55
Outro exemplo é o rotacional de um vetor,
rotA =
3X
j;k=1
�ijk@jAk
^
xi : (73)
Neste formalismo as identidades matemáticas envolvendo os operadores difer-
enciais,
div � rot � 0 e rot grad � 0 ;
podem ser facilmente veri…cadas, lembrando que os índices repetidos devem
ser somados e que neste caso tri-dimensional não se está fazendo distinção
entre índices vetoriais superiores e inferiores,
div:rot = @i�
ijk@j = �
ijk@i@j � 0 ;
assim como
(rot:grad)i = �ijk@j@k � 0 :
Uma maneira prática para determinar as componentes de um produto
vetorial é a regra do determinante,
A�B = det
0@ ^x ^y ^zAx Ay Az
Bx By Bz
1A :
Esta representação é possível justamente porque o determinante de uma ma-
triz quadrada n� n é de…nido como
detA = �ijk:::A1iA2jA3k::: =
1
n!
�ijk:::�lmn:::AilAjmAkn::: : (74)
Se n = 3, logicamente
detA = �ijkA1iA2jA3k :
Feitas as substituições
A1i ! ^xi; A2j ! Aj e A3k ! Bk ;
resulta a expressão do produto vetorial A�B em forma de determinante.
As seguintes igualdades são úteis em operações envolvendo produtos dos
símbolos de Levi-Civita:8>><>>:
�ijk�ijk = 3! �
123�123 = 6
�ijk�ijm = 2! �km = 2�km
�ijk�ilm = (�jl�km � �jm�kl)
�ijk�lmn = �il(�jm�kn � �jn�km)� �im(�jl�kn � �jn�kl) + �in(�jl�kn � �jm�kl)
:
(75)
56
5.5.2 Quadri-velocidade e aceleração
Para que o formalismo tensorial seja útil, é necessário que as grandezas físi-
cas sejam representadas como quantidades tensoriais, que nem sempre cor-
respondem às quantidades usuais. Considere as grandezas cinemáticas como
a velocidade e a aceleração às quais correspondem, no espaço-tempo quadri-
dimensional de Minkowski, os quadri-vetores velocidade e aceleração.
O quadri-vetor velocidade, ou quadri-velocidade, é de…nido de maneira
similar à velocidade. É a derivada do quadri-vetor posição em relação ao
tempo próprio,
U� =
dx�
d�
: (76)
A derivada em relação ao tempo próprio, que é uma invriante relativística,
garante que seja um quadri-vetor. De fato, derivando ambos os lados da
transformação (51) em relação ao tempo próprio, resulta
d
d�
x0� = ���
d
d�
x� =) U 0� = ���U� ; (77)
que é justamente a transformação de Lorentz de um quadrivetor, no caso a
quadri-velocidade.
As componentes do quadri-vetor velocidade podem ser identi…cadas em
função das variáveis usuais, pois
U� =
dx�
d�
=
dx�
dt
dt
d�
=
dx�
dt
v ;
isto é,
U� = 
v(c; v
i) ; (78)
onde vi são as três componentes do vetor velocidade tridimensional v e
v =
1p
1� v2=c2 (79)
onde v2 = v � v.
Para o caso das transformações especiais de Lorentz, equação (30), as
transformações das componentes da quadri-velocidade são8>><>>:
U 00 = 
(U0 � �U1)
U 01 = 
(U1 � �U0)
U 02 = U2
U 03 = U3
: (80)
57
A transformação da componente temporal é
0vc = 
(
vc� �
vvx)) 
0v = 
(1�
V vx
c2
)
v ; (81)
a partir do qual pode-se obter as transformações das componentes espaciais,
ou a lei de adição das velocidades,
v0x =
vx � V
1� vxV=c2 ;
v0y =
vy
(1� vxV=c2)
r
1� V
2
c2
; (82)
v0z =
vz
(1� vxV=c2)
r
1� V
2
c2
:
Uma quantidade importante de…nida pelo quadri-vetor velocidade é a
invariante relativística
U�U� = c
2 : (83)
Derivando a quadri-velocidade em relação ao tempo próprio resulta o
quadri-vetor aceleração (quadri-aceleração),
A� =
dU�
d�
=
d2x�
d� 2
; (84)
cuja componente temporal é
A0 = c
v
d
v
dt
=
v � a
c (1� v2=c2)2 = 
4
v
v � a
c
(85)
e as componetes espaciais,
Ai = 
2va
i +
vi
c
A0 ; (86)
onde a é o vetor aceleração tridimensional e ai as suas três componentes.
Sendo um quadri-vetor, as suas componentes transformam-se como8>><>>:
A00 = 
(A0 � �A1)
A01 = 
(A1 � �A0)
A02 = A2
A03 = A3
; (87)
58
resultando, para as suas componentes espaciais usuais,
a0x =
(1� V 2=c2) 32
(1� vxV=c2)3
ax ;
a0y =
(1� V 2=c2)
(1� vxV=c2)2
�
ay +
vyV
c2 (1� vxV=c2)ax
�
; (88)
a0z =
(1� V 2=c2)
(1� vxV=c2)2
�
az +
vzV
c2 (1� vxV=c2)ax
�
:
No referencial onde a partícula se encontra instantaneamente em repouso,
U� = (c; 0; 0; 0)
e
A� = (0; ao) ;
onde ao é a aceleração neste referencial. Pode-se observar, de imediato, as
invariantes relativísticas
U�A� = 0 (89)
e
A�A� = �a2o : (90)
(o sinal negativo deve-se à escolha da métrica).
A invariante (??) pode ser obtida, também, derivando a equação (83) em
relação ao tempo próprio.
d
d�
(U�U� = c
2) = 2U�A� = 0 :
5.5.3 Operadores diferenciais
As derivadas em relação às coordenadas do espaço-tempo tem propriedades
independentes das funções sobre as quais atuam. São os operadores diferen-
ciais,
@� =
@
@x�
e @� =
@
@x�
; (91)
Considerando as transformações de Lorentz
x0� = ���x
�
e
x0� = �
�
� x� = (�
�1)��x�
59
para as componentes contravariantes e covariantes.respectivamente, pode-se
determinar as transformações dos operadores diferenciais,
@0� =
@
@x0�
=
@
@x�
@x�
@x0�
= (��1)��
@
@x�
= � ��
@
@x�
;
mostrando que as derivadas em relação às componentes contra-variantes das
coordenadas, @�, transformam-se como componentes covariantes,
@0� = �
�
� @� ; (92)
enquanto que as derivadas em relação às componentes covariantes das coor-
denadas, @�, transformam-se como componentes contravariantes,
@0� = ���@
� : (93)
Para as transformações especiais de Lorentz (30), as transformações dos
operadores diferenciais …cam8>><>>:
@00 = 
(@0 + �@1)
@01 = 
(@1 + �@0)
@02 = @2
@03 = @3
(94)
para as componentes covariantes e8>><>>:
@00 = 
(@0 � �@1)
@01 = 
(@1 � �@0)
@02 = @2
@03 = @3
(95)
para as contra-variantes.
A notação tensorial permite escrever equações e expressões matemáticas
extremamente compactas, além de mostrar claramente as suas propriedades
de covariança ou de invariança sob as transformações de Lorentz.
Considere, por exemplo, a equação de continuidade,
@�
@t
+r � j = 0 :
Em notação tensorial, assume a forma compacta
@�j
� = 0 ;
escrita em forma de um produto escalar de dois quadri-vetores, explicitando
claramente a sua invariança relativística.
60
Pode-se ver também que o operador laplaciano
�2 = @
2
c2@t2
�r2 ; (96)
presente nas equações de onda, pode ser expresso como um produto escalar,
�2 = @�@� = @�@� ; (97)
explicitando o fato de ser uma invariante relativística.
5.5.4 Quadri-vetor de onda
As equações de Maxwell, na ausência de fontes, podem ser reduzidas a
equações de onda, que no vácuo …ca�
1
c2
@2
@t2
�r2
�
A�(x; t) = 0 (98)
mais a condição de gauge @�A� = 0, com as soluções na forma
A�(x; t) = A�0e
ik:r�i!t ; (99)
satisfeita a relação
!2
c2
� k2 = 0 : (100)
Representa uma onda eletromagnética propagando-se no espaço com a
velocidade da luz c e frequência !=2�. Independente da natureza da função
A�(x; t) que representa o campo (potencial) eletromagnético,como a luz se
propaga da mesma maneira em todos os referenciais inerciais, a fase k � r�!t
deve ser uma invariante relativística, uma propriedade que vem naturalmente
se considerar como um produto escalar,
k � r� !t = k�x� ; (101)
entre o quadri-vetor de onda
k� = (k0; ki) = (
!
c
; ki) ; (102)
e o quadri-vetor de posição.
Sendo um quadri-vetor, as componentes k� devem transformar-se como8>><>>:
k00 = 
(k0 � �k1)
k01 = 
(k1 � �k0)
k02 = k2
k03 = k3
; : (103)
61
ou, em termos de variáveis mais familiares, a frequência angular ! e vetor de
onda k, 8>><>>:
!0=c = 
(!=c� �kx)
k0x = 
(kx � �!=c)
k0y = ky
k0z = kz
: (104)
5.6 Efeito Doppler
As transformações relativísticas do quadri-vetor de onda estão diretamente
ligadas às alterações das frequências de recepção em relação às de emissão
da radiação eletromagnética devido ao movimento relativo fonte observador,
o efeito Doppler.
Se � for o ângulo formado pelo vetor de onda k em relação ao eixo x,
kx = k cos � =
!
c
cos � ; (105)
resultando na relação entre as frequências angulares
!0 = 
!(1� � cos �) (106)
ou
! =
!0
 (1� � cos �) : (107)
Em termos das frequências, lembrando que � = !=2�, resulta
� =
� 0
 (1� � cos �) ; (108)
fórmula que expressa o efeito Doppler relativístico.
Aqui, � 0 representa a frequência de emissão por uma fonte em movimento
com velocidade uniforme V ao longo do eixo x, � a frequência de recepção
por um observador em repouso e � o ângulo de incidência em relação ao eixo
x visto pelo mesmo observador.
Se �0 for o ângulo de emissão, considerando como ocorrendo no plano xy,
então
k0y
k0x
= tan �0 :
Por outro lado, pelas transformações de Lorentz,
k0y
k0x
=
ky
(kx � �k0) =
k sin �
(k cos � � �k0) =
1
sin �
(cos � � �) ;
62
resultando na equação que descreve o efeito da aberração dos ângulos de
emissão �0 e de recepção �,
tan �0 =
1
sin �
(cos � � �) : (109)
5.6.1 Efeito Doppler longitudinal
O efeito Doppler longitudinal ocorre quando a emissão e a recepção da luz
ocorrem ao longo da linha de movimento relativo dos mesmos, de modo que
a fonte e o observador estão ou se aproximando ou se afastando. O efeito
Doppler relativístico depende apenas do movimento relativo entre a fonte e
o observador.
A seguir, os dois casos (para V > 0):
1. Fonte e observador aproximando-se com velocidade relativa V : neste
caso, � = 0 (�0 = 0), de modo que o efeito Doppler resultante é
� =
� 0
p
1� V 2=c2
(1� V=c) ; (110)
a frequência observada é maior que a frequência de emissão, � > � 0,
acarretando o desvio do espectro para o azul.
2. Fonte e observador afastando-se com velocidade relativa V : neste caso,
� = 1800 (�0 = 1800), resultando
� =
� 0
p
1� V 2=c2
(1 + V=c)
; (111)
a frequência de observação é menor que a frequência de emissão, � < � 0,
acarretando o desvio do espectro para o vermelho (red shift).
O espectro eletromagnético de fontes astrofísicas como o sol é con-
tínua e a parte visível corresponde a uma luz branca. No entanto, ao atrav-
essar a camada atmosférica, formada por gases menos quentes, os elementos
químicos ali presentes absorvem parte da radiação proveniente do interior
do astro, formando raias de absorção características. Comparando com as
raias espectrais dos elementos químicos obtidas nos laboratórios terrestres,
pode-se identi…car os elementos químicos presentes no sol ou nas estrelas,
por exemplo. Quando se analisa o espectro eletromagnético proveniente de
objetos astrofísicos distantes, observa-se que há um desvio sistemático para
63
o vermelho (red shift) destas raias espectrais, indicando que estes objetos
estão se afastando.
O parâmetro de red shift, de…nido pelo desvio do comprimento de onda
em relação ao comprimento de onda emitida,
z =
�� �0
�0
; (112)
resulta, para velocidades não relatívisticas, z = V=c. As observações indicam
que o parâmetro z é proporcional à distância,
z =
V
c
=
H0
c
r ; (113)
que leva à lei de Hubble
V = H0r : (114)
Signi…ca que os objetos astrofísicos distantes afastam-se com velocidade V
proporcional à distância. Como isto deve ser verdade para observações feitas
em qualquer ponto do universo, de acordo com o princípio da relatividade,
sinaliza que o universo, em escala cosmológica (quando a atração gravita-
cional torna-se tênue) encontra-se em expansão.
O valor atual da constante de Hubble é dado por
H0 = 100� h km=s=Mpc ; (115)
onde 0; 4 < h < 1 de…ne a incerteza do seu valor verdadeiro e Mpc = 106pc
(pc �= 3; 2615anos � luz �= 3; 0856 � 1013km) é uma unidade de distância
usada em distâncias cosmológicas.
Lembrando que
� = c=�
e portanto
� =
�0(1 + V=c)p
1� V 2=c2 = �
0
s
(1 + V=c)
1� V=c ; (116)
para velocidades relativísticas o parâmetro de red shift resulta
z =
s
1 + V=c)
1� V=c � 1 ; (117)
que pode ser invertida como
V
c
=
(z + 1)2 � 1
(z + 1)2 + 1
; (118)
de modo que V < c para qualquer valor de z.
64
5.6.2 Efeito Doppler transversal
O efeito Doppler relativístico ocorre mesmo no caso de fonte e observador
estar se movendo transversalmente em relação à linha de observação. Neste
caso, � = ��=2, resultando
� = � 0
r
1� V
2
c2
=
1
� 0 :
A frequência de observação é menor que a frequência de emissão, sendo iden-
ti…cado como consequência da dilatação do tempo, considerando � = ��1,
� = 
� 0 :
Exercícios
1. Para a quadri-velocidade U�, mostre que U�U� = c2.
2. Se de…nirmos o tensor métrico g�� com as componentes diagonais (-
1,1,1,1), mostre que resulta U�U� = �c2.
3. Obtenha as componentes do quadri-vetor aceleração A� em função das
variáveis usuais velocidade e aceleração.
4. Obtenha a lei de transformação da aceleração, por derivação direta da
transformação de Lorentz das coordenadas.
5. Demonstre as identidades U�A� = 0 e U�
:
A� = �A2 a partir do resul-
tado do primeiro exercício.
6. Mostre que o tensor métrico tem a propriedade g0�� = g�� por trans-
formações de Lorentz.
7. Mostre que o operadores diferenciais
@� =
@
@x�
e @� =
@
@x�
de…nem as componentes covariantes e contravariantes, respectivamente,
de um quadri-vetor.
8. Mostre que
@2f
c2@t2
�r2f = 0 ;
para uma função arbitrária f(x; y; z; t) é uma equação relativistica-
mente covariante.
65
9. Mostre que
@�@
� =
@2
@x�@x�
=
@2
c2@t2
�r2
10. Obtenha a lei de transformação para a velocidade e a aceleração para
movimentos unidimensionais (ao longo do eixo x).
11. Considerando o resultado anterior, escreva a relação entre a aceleração
no referencial próprio e a aceleração no referencial de laboratório.
12. Dois objetos aproximam-se em linha reta, cada qual com velocidade 2
3
c,
visto no referencial de laboratório. Qual é a velocidade de aproximação
dos dois objetos para o observador no referencial de laboratório? Qual
é a velocidade relativa entre os objetos?
Bibliogra…a
1. H. A. Lorentz, A. Einstein e H. Minkowski, Textos Fundamentais da
Física Moderna, I volume - O Princípio da Relatividade (3a: edição),
Editora da Fundação Calouste Gulbenkian, Lisboa (1958).
2. Richard A. Mould, Basic Relativity, Springer, NY, 1994.
3. C. Moller, The Theory of relativity (second edition), Oxford University
Press (1972).
4. L. Landau and E. L. Lifshitz, The Classical Theory of Fields, Pergamon
Press, Oxford (1976).
5. P. G. Bergmann, Introduction to the Theory of Relativity, Dover Pub-
lications, NY, (1976).
66