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Fundac¸a˜o Centro de Cieˆncias e Educac¸a˜o Superior a Distaˆncia do Estado do Rio de Janeiro Centro de Educac¸a˜o Superior a Distaˆncia do Estado do Rio de Janeiro Me´todos Determin´ısticos II 1o Semestre de 2016 Gabarito da Avaliac¸a˜o a Distaˆncia 1 - AD1 Questa˜o 1: (2,0pts) Determine f de modo que g(f(x)) = x para todo x ∈ D(f), sendo g dada por a) g(x) = x+2x+1 . b) g(x) = x2 − 2x, x ≥ 1. Soluc¸a˜o: Em ambos os casos estamos tentando determinar a inversa da func¸a˜o g. a) (Vale 1,0pt) y = x+ 2 x+ 1 ⇒ y(x+ 1) = x+ 2⇒ xy − x = 2− y ⇒ x = 2− y y − 1 . Portanto devemos considerar f(x) = 2−xx−1 . b) (Vale 1,0pt) Iniciamos y = x2 − 2x ⇒ x2 − 2x − y = 0. Queremos determinar x, com x ≥ 1 em func¸a˜o de y. Resolvendo a equac¸a˜o de grau 2 em termos dos coeficiente obtemos x = −(−2)±√4− 4(−y) 2 = 2±√4(1 + y) 2 = 1± √ 1 + y Portanto, como x ≥ 1 devemos escolher f(x) = 1 +√1 + x. 1 Questa˜o 2: (2,0pts) Determine o “maior” conjunto A tal que Im(f) ⊂ D(g); em seguida, construa a composta h(x) = (g ◦ f)(x). a) g(x) = √ x− 1 e f : A→ R, f(x) = 2x−1x−3 ; b) g(x) = 1x e f : A→ R, f(x) = x3 − x2. Soluc¸a˜o: a) (Vale 1,0pt) Para que Im(f) ⊂ D(g) devemos ter f(x)− 1 ≥ 0⇔ 2x− 1 x− 3 − 1 ≥ 0⇔ 2x− 1− x+ 3 x− 3 = x+ 2 x− 3 ≥ 0. Precisamos determinar os valores x ∈ R tais que x+2x−3 ≥ 0. Fazendo a ana´lise do sinal obtemos Da´ı basta que x ≤ −2 ou x ≥ 3. Mas se x = 3 o denominador se anularia, portanto, A = {x ∈ R : x ≤ −2 ou x > 3}. E a func¸a˜o h(x) = √ x+2 x−3 . b) (Vale 1,0pt) Precisamos determinar x ∈ R tais que f(x) 6= 0. Vamos determinar os valores x ∈ R tais que f(x) = 0. x3 − x2 = 0⇔ x2(x− 1) = 0⇔ x = 0 ou x = 1. Portanto, A = {x ∈ R : x 6= 0 ou x 6= 1}. A func¸a˜o h(x) = 1 x3−x2 . Questa˜o 3: (2,0pts) a) Considere a func¸a˜o Real f(x) = −4 + 7k(x−2), onde k ainda precisa ser determinado. i) Determine o valor de k sabendo que f(5) = 45; ii) Fac¸a um esboc¸o do gra´fico de f ; iii) Determine a imagem de f ; iv) Determine a inversa de f , explicitando o seu domı´nio; b) Determine o domı´nio de f(x) = logx−1(x2 − 3x+ 2). Soluc¸a˜o: i) (0,3pt) Vamos determinar k, para isso veja que f(5) = 45⇔ −4 + 7k(x−2) = 45⇔ 73k = 49 = 72 ⇔ 3k = 2⇔ k = 2 3 Portanto, f(x) = −4 + 7 2(x−2)3 . 2 ii) (0,4pt) vamos iniciar fazendo o gra´fico de 7 2x 3 (em vermelho) que e´ o gra´fico de uma func¸a˜o exponencial com base 7 > 1. Transladando duas unidades a direita obtemos 7 2(x−2) 3 (em verde) e por fim descendo 4 unidades o gra´fico obtemos o gra´fico de f(x) (em azul) como se pode ver abaixo. iii) (0,4pt) Observe que o conjunto imagem de y = 7x sa˜o todos os y > 0, da mesma forma a imagem y = 7 2(x−2) 3 sa˜o todos y > 0 e, portanto, a imagem de y = f(x) sa˜o todos os y ∈ R tal que y > −4. iv) (0,4pt) Vamos calcular a inversa, para isso trocamos os x por y e temos x = −4 + 7 2(y−2)3 ⇔ x+ 4 = 7 2(y−2)3 ⇔ ln(x+ 4) = ln(7 2(y−2)3 ) ⇔ ln(x+ 4) = 2(y − 2) 3 ln(7)⇔ 3 ln(x+ 4) 2 ln(7) = y − 2 ⇔ y = 2 + 3 ln(x+ 4) 2 ln(7) , e portanto, f−1(x) = 2 + 3 ln(x+ 4) 2 ln(7) . Com o domı´nio de D(f−1) = {x ∈ R : x > −4}. b) (Vale 0,5pt) Em ordem para encontrar o domı´nio de f temos que impor as seguintes condic¸o˜es: x−1 > 0⇔ x > 1. x−1 6= 1⇔ x 6= 2. E por fim, x2−3x+2 > 0⇔ (x−1)(x−2) > 0⇔ x < 1 ou x > 2. Considerando todas as imposic¸o˜es temos que o domı´nio de f e´ {x ∈ R : x > 2}. Questa˜o 4: (2,0pts) Calcule lim x→a f(x)− f(a) x− a e limh→0 f(a+ h)− f(a) h a) Se f(x) = x2 − 5x+ 6 e a = 2; b) Se f(x) = 1x e a = 2. Soluc¸a˜o: a) (Vale 1,0pt) lim x→a f(x)− f(a) x− a = limx→2 x2 − 5x+ 6 x− 2 = limx→2 (x− 2)(x− 3) x− 2 = −1 lim h→0 f(a+ h)− f(a) h = lim h→0 (2 + h)2 − 5(2 + h) + 6− 0 h = lim h→0 4 + 4h+ h2 − 10− 5h+ 6 h = −1 3 b) (Vale 1,0pt) lim x→a f(x)− f(a) x− a = limx→2 1 x − 12 x− 2 = limx→2 2−x 2x x− 2 = − 1 4 lim h→0 f(a+ h)− f(a) h = lim h→0 1 2+h − 12 h = lim h→0 2− 2− h h(4 + 2h) = −1 4 . Questa˜o 5: (2,0pts) Considere as func¸o˜es f e g definidas por: f(x) = 3x− 4 e g(x) = −1 se x ≤ −1 3x+ 2 se |x| < 1 7− 2x se x ≥ 1 . Determine a lei de definic¸a˜o de g ◦ f . Soluc¸a˜o: (1,0pt para a determinac¸a˜o dos intervalos em que se alteram as regras da func¸a˜o composta. 1,0pt por expressar a composta corretamente) Antes de procedermos com a composic¸a˜o precisamos entender para quais valores de x ocorre f(x) ≤ −1⇔ 3x− 4 ≤ −1⇔ 3x ≤ 3⇔ x ≤ 1. E tambe´m f(x) ≥ 1⇔ 3x− 4 ≥ 1⇔ x ≥ 5 3 . Agora procedendo a composic¸a˜o g(f(x)) = −1 se x ≤ 1 3f(x) + 2 se 1 < x < 53 7− 2f(x) se x ≥ 53 = −1 se x ≤ 1 9x− 10 se 1 < x < 53 15− 6x se x ≥ 53 4
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