Buscar

AD1 metdet ii 2016 1 Tutor

Faça como milhares de estudantes: teste grátis o Passei Direto

Esse e outros conteúdos desbloqueados

16 milhões de materiais de várias disciplinas

Impressão de materiais

Agora você pode testar o

Passei Direto grátis

Faça como milhares de estudantes: teste grátis o Passei Direto

Esse e outros conteúdos desbloqueados

16 milhões de materiais de várias disciplinas

Impressão de materiais

Agora você pode testar o

Passei Direto grátis

Faça como milhares de estudantes: teste grátis o Passei Direto

Esse e outros conteúdos desbloqueados

16 milhões de materiais de várias disciplinas

Impressão de materiais

Agora você pode testar o

Passei Direto grátis

Você viu 3, do total de 4 páginas

Faça como milhares de estudantes: teste grátis o Passei Direto

Esse e outros conteúdos desbloqueados

16 milhões de materiais de várias disciplinas

Impressão de materiais

Agora você pode testar o

Passei Direto grátis

Prévia do material em texto

Fundac¸a˜o Centro de Cieˆncias e Educac¸a˜o Superior a Distaˆncia do Estado do Rio de Janeiro
Centro de Educac¸a˜o Superior a Distaˆncia do Estado do Rio de Janeiro
Me´todos Determin´ısticos II
1o Semestre de 2016
Gabarito da Avaliac¸a˜o a Distaˆncia 1 - AD1
Questa˜o 1: (2,0pts) Determine f de modo que g(f(x)) = x para todo x ∈ D(f), sendo g dada por
a) g(x) = x+2x+1 .
b) g(x) = x2 − 2x, x ≥ 1.
Soluc¸a˜o: Em ambos os casos estamos tentando determinar a inversa da func¸a˜o g.
a) (Vale 1,0pt)
y =
x+ 2
x+ 1
⇒ y(x+ 1) = x+ 2⇒ xy − x = 2− y ⇒ x = 2− y
y − 1 .
Portanto devemos considerar f(x) = 2−xx−1 .
b) (Vale 1,0pt) Iniciamos y = x2 − 2x ⇒ x2 − 2x − y = 0. Queremos determinar x, com x ≥ 1 em
func¸a˜o de y. Resolvendo a equac¸a˜o de grau 2 em termos dos coeficiente obtemos
x =
−(−2)±√4− 4(−y)
2
=
2±√4(1 + y)
2
= 1±
√
1 + y
Portanto, como x ≥ 1 devemos escolher f(x) = 1 +√1 + x.
1
Questa˜o 2: (2,0pts) Determine o “maior” conjunto A tal que Im(f) ⊂ D(g); em seguida, construa
a composta h(x) = (g ◦ f)(x).
a) g(x) =
√
x− 1 e f : A→ R, f(x) = 2x−1x−3 ;
b) g(x) = 1x e f : A→ R, f(x) = x3 − x2.
Soluc¸a˜o: a) (Vale 1,0pt) Para que Im(f) ⊂ D(g) devemos ter
f(x)− 1 ≥ 0⇔ 2x− 1
x− 3 − 1 ≥ 0⇔
2x− 1− x+ 3
x− 3 =
x+ 2
x− 3 ≥ 0.
Precisamos determinar os valores x ∈ R tais que x+2x−3 ≥ 0. Fazendo a ana´lise do sinal obtemos
Da´ı basta que x ≤ −2 ou x ≥ 3. Mas se x = 3 o denominador se anularia, portanto, A =
{x ∈ R : x ≤ −2 ou x > 3}. E a func¸a˜o h(x) =
√
x+2
x−3 .
b) (Vale 1,0pt) Precisamos determinar x ∈ R tais que f(x) 6= 0. Vamos determinar os valores x ∈ R
tais que f(x) = 0.
x3 − x2 = 0⇔ x2(x− 1) = 0⇔ x = 0 ou x = 1.
Portanto, A = {x ∈ R : x 6= 0 ou x 6= 1}. A func¸a˜o h(x) = 1
x3−x2 .
Questa˜o 3: (2,0pts) a) Considere a func¸a˜o Real f(x) = −4 + 7k(x−2), onde k ainda precisa ser
determinado.
i) Determine o valor de k sabendo que f(5) = 45;
ii) Fac¸a um esboc¸o do gra´fico de f ;
iii) Determine a imagem de f ;
iv) Determine a inversa de f , explicitando o seu domı´nio;
b) Determine o domı´nio de f(x) = logx−1(x2 − 3x+ 2).
Soluc¸a˜o: i) (0,3pt) Vamos determinar k, para isso veja que
f(5) = 45⇔ −4 + 7k(x−2) = 45⇔ 73k = 49 = 72 ⇔ 3k = 2⇔ k = 2
3
Portanto, f(x) = −4 + 7 2(x−2)3 .
2
ii) (0,4pt) vamos iniciar fazendo o gra´fico de 7
2x
3 (em vermelho) que e´ o gra´fico de uma func¸a˜o
exponencial com base 7 > 1. Transladando duas unidades a direita obtemos 7
2(x−2)
3 (em verde) e por
fim descendo 4 unidades o gra´fico obtemos o gra´fico de f(x) (em azul) como se pode ver abaixo.
iii) (0,4pt) Observe que o conjunto imagem de y = 7x sa˜o todos os y > 0, da mesma forma a
imagem y = 7
2(x−2)
3 sa˜o todos y > 0 e, portanto, a imagem de y = f(x) sa˜o todos os y ∈ R tal que
y > −4.
iv) (0,4pt) Vamos calcular a inversa, para isso trocamos os x por y e temos
x = −4 + 7 2(y−2)3 ⇔ x+ 4 = 7 2(y−2)3 ⇔ ln(x+ 4) = ln(7 2(y−2)3 )
⇔ ln(x+ 4) = 2(y − 2)
3
ln(7)⇔ 3 ln(x+ 4)
2 ln(7)
= y − 2
⇔ y = 2 + 3 ln(x+ 4)
2 ln(7)
, e portanto, f−1(x) = 2 +
3 ln(x+ 4)
2 ln(7)
.
Com o domı´nio de D(f−1) = {x ∈ R : x > −4}.
b) (Vale 0,5pt) Em ordem para encontrar o domı´nio de f temos que impor as seguintes condic¸o˜es:
x−1 > 0⇔ x > 1. x−1 6= 1⇔ x 6= 2. E por fim, x2−3x+2 > 0⇔ (x−1)(x−2) > 0⇔ x < 1 ou x > 2.
Considerando todas as imposic¸o˜es temos que o domı´nio de f e´ {x ∈ R : x > 2}.
Questa˜o 4: (2,0pts) Calcule lim
x→a
f(x)− f(a)
x− a e limh→0
f(a+ h)− f(a)
h
a) Se f(x) = x2 − 5x+ 6 e a = 2;
b) Se f(x) = 1x e a = 2.
Soluc¸a˜o: a) (Vale 1,0pt)
lim
x→a
f(x)− f(a)
x− a = limx→2
x2 − 5x+ 6
x− 2 = limx→2
(x− 2)(x− 3)
x− 2 = −1
lim
h→0
f(a+ h)− f(a)
h
= lim
h→0
(2 + h)2 − 5(2 + h) + 6− 0
h
= lim
h→0
4 + 4h+ h2 − 10− 5h+ 6
h
= −1
3
b) (Vale 1,0pt)
lim
x→a
f(x)− f(a)
x− a = limx→2
1
x − 12
x− 2 = limx→2
2−x
2x
x− 2 = −
1
4
lim
h→0
f(a+ h)− f(a)
h
= lim
h→0
1
2+h − 12
h
= lim
h→0
2− 2− h
h(4 + 2h)
= −1
4
.
Questa˜o 5: (2,0pts) Considere as func¸o˜es f e g definidas por: f(x) = 3x− 4 e
g(x) =

−1 se x ≤ −1
3x+ 2 se |x| < 1
7− 2x se x ≥ 1
. Determine a lei de definic¸a˜o de g ◦ f .
Soluc¸a˜o: (1,0pt para a determinac¸a˜o dos intervalos em que se alteram as regras da func¸a˜o composta.
1,0pt por expressar a composta corretamente) Antes de procedermos com a composic¸a˜o precisamos
entender para quais valores de x ocorre
f(x) ≤ −1⇔ 3x− 4 ≤ −1⇔ 3x ≤ 3⇔ x ≤ 1.
E tambe´m
f(x) ≥ 1⇔ 3x− 4 ≥ 1⇔ x ≥ 5
3
.
Agora procedendo a composic¸a˜o
g(f(x)) =

−1 se x ≤ 1
3f(x) + 2 se 1 < x < 53
7− 2f(x) se x ≥ 53
=

−1 se x ≤ 1
9x− 10 se 1 < x < 53
15− 6x se x ≥ 53
4

Outros materiais