AP3 metdet ii 2016 1 tutor (1)

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Fundac¸a˜o Centro de Cieˆncias e Educac¸a˜o Superior a Distaˆncia do Estado do Rio de Janeiro
Centro de Educac¸a˜o Superior a Distaˆncia do Estado do Rio de Janeiro
Gabarito da AP3 – Me´todos Determin´ısticos II – 14/06/2016
Questa˜o 1 [1,5pts] Considere a func¸a˜o f(x) = 3x4−16x3+18x2. Calcule: o dom´ınio, as assintotas
e f ′(x) e f ′′(x).
Soluc¸a˜o: (0, 2 pelo dom´ınio + 0, 4 pelos limites + 0, 6 pela f ′ + 0, 4 pela f ′′) Como e´ um polinoˆmio
o dom´ınio sa˜o todos os valores Reais. So´ podem existir assintotas horizontais, para isto precisamos
calcular lim
x→±∞ f(x). Mas como e´ um polinoˆmio de grau 4, e o coeficiente que acompanha este termo
e´ positivo, ambos estes limites va˜o para +∞. Portanto, esta func¸a˜o na˜o tem nenhuma assintota.
f ′(x) = 12x3 − 48x2 + 36x e f ′′(x) = 36x2 − 96x+ 36.
Questa˜o 2 [1,5pt] Considere f(x) a mesma func¸a˜o da questa˜o 1. Fac¸a a analise do sinal de f ′(x)
e f ′′(x) e determine os pontos de ma´ximo e m´ınimo locais.
Soluc¸a˜o: (0, 8 pela ana´lise do sinal de f ′ + 0, 7 pela ana´lise do sinal de f ′′) Vamos comec¸ar
analisando o sinal de f ′. Antes observe que
12x3 − 48x2 + 36x = 12x(x2 − 4x− 3)
Resolvendo para x2 − 4x − 3 = 0 obtemos x = 1 e x = 3. Da´ı, x2 − 4x − 3 = (x − 1)(x − 3).
Como e´ uma equac¸a˜o de grau 3, ela vem de menos infinito e segue para mais infinito com as ra´ızes
x = 0, 1 e 3. Logo, f ′(x) < 0 se x ∈ (−∞, 0) ∪ (1, 3) e f ′(x) > 0 no restante dos pontos.
Portanto, obtemos como pontos cr´ıticos os pontos x = 0 (m´ınimo local), x = 1 (ma´ximo local) e
x = 3 (m´ınimo local).
Ja´ para analisar o sinal de f ′′ veja que 36x2−96x+36 = 36(x2−4x+1). Resolvendo x2−4x+1 =
0 obtemos x = 13
(
4±√7
)
. Como e´ uma equac¸a˜o do 2a grau com o coeficiente positivo que
acompanha o termos de grau 2 temos: f ′′(x) < 0 se 13
(
4−√7
)
< x < 13
(
4 +
√
7
)
. No restante
f ′′(x) e´ positiva.
Questa˜o 3 [1,0pt] Considere f(x) a mesma func¸a˜o da questa˜o 1. Fac¸a um esboc¸o do gra´fico e
explique o comportamento de f(x).
Soluc¸a˜o: Como so´ ha´ mudanc¸a de sinais da f ′ e f ′′ entre 0 e 3 vamos considerar o gra´fico
apenas no intervalo x ∈ (−1, 4). Veja que a func¸a˜o vem de mais infinito sempre decrescente ate´
x = 0. Neste momento ela passa a ser crescente e isto continua ate´ x = 1. Recorde que para
1
3
(
4−√7
) ∼= 0, 45 < x < 13 (4 +√7) ∼= 2, 22 a boca da func¸a˜o e´ voltada para baixo (por conta do
sinal de f ′′). A func¸a˜o e´ decrescente no intervalo x ∈ (1, 3) e depois se torna novamente crescente.
Levando em considerac¸a˜o a ana´lise acima temos como fazer o esboc¸o do gra´fico
Nome da Disciplina AP3 2
Figura 1: Esboc¸o do gra´fico de 3x4 − 16x3 + 18x2
Questa˜o 4 [2,0pts] Suponha que o custo e prec¸o, em Reais, e dado por
c(x) = 680 + 4x+ 0, 01x2 e p(x) = 12− x/500.
Encontre o n´ıvel de produc¸a˜o que maximizara´ o lucro.
Soluc¸a˜o: (1, 0 pela func¸a˜o lucro + 1, 0 se alcanc¸ar o resultado) Veja que o lucro L(x) e´ dado por
L(x) = xp(x)− c(x) = x(12− x/500)− (680 + 4x+ 0, 01x2) = −3x
2
250 + 8x− 680.
Da´ı
L′(x) = 8− 3x125 = 0⇒ x =
1000
3 .
Portanto, o lucro ma´ximo sera´ alcanc¸ado se produzir 333 unidades.
Questa˜o 5 [1,5pt] Resolva as seguintes integrais: a)
∫
(3t− 2)4 dt, b) ∫ x1+x2 dx e c) ∫ 20 t3 + 3t− 1 dt.
Soluc¸a˜o: (Cada um dos itens vale 0, 5pt).
a) Para resolver esta integral considere a substituic¸a˜o x = 3t− 2⇒ dx = 3dt⇒ dx3 = dt∫
(3t− 2)4 dt =
∫
x4
dx
3 =
1
3
∫
x4 = 13
x5
5 +K =
(3t− 2)5
15 +K.
b) Chame de y = 1 + x2 ⇒ dy = 2xdx
∫ x
1 + x2 dx =
1
2
∫ 2x
1 + x2 dx =
1
2
∫ dy
y
= 12 ln y +K =
ln(1 + x2)
2 +K.
c) ∫ 2
0
t3 + 3t− 1 dt =
[
t4
4 +
3t2
2 − t
]2
0
= 164 +
12
2 − 2 = 8.
Fundac¸a˜o CECIERJ Conso´rcio CEDERJ
Nome da Disciplina AP3 3
Questa˜o 6 [1,5pt] Fac¸a o esboc¸o da regia˜o entre as curvas y = 8x e y = x4. Encontre a regia˜o
finita determinado pelos gra´ficos e calcule a a´rea.
Soluc¸a˜o: Igualando a equac¸a˜o da reta com a qua´rtica temos x4 = 8x ⇒ x(x3 − 8) = 0 ⇒ x =
0 e x = 2. O gra´fico da y = x4 se parece a y = x2, mas com uma inclinac¸a˜o mais acentuada.
Logo a a´rea e´ dada por
A =
∫ 2
0
8x− x4 dx =
[
8x2
2 −
x5
5
]2
0
= 16− 325 =
80− 32
5 =
48
5 .
Questa˜o 7 [1,0pt] a) Calcule a derivada de g(x) = ln
(
x+1√
x−2
)
.
Soluc¸a˜o: Vamos aplicar uma propriedade do logaritmo antes de calcular a derivada
ln
(
x+ 1√
x− 2
)
= ln(x+ 1)− ln√x− 2 = ln(x+ 1)− ln(x− 2)2 ⇒ g
′(x) = 1
x+ 1 −
1
2(x− 2) .
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