Exercícios retas, planos, ângulos e distâncias Geometria Analítica

Prévia do material em texto

UNIVERSIDADE FEDERAL DO TRIAˆNGULO MINEIRO
2a Lista de Geometria Anal´ıtica
Prof.: Danilo Adrian Marques
1) Sabendo que o ponto P = (−3,m, n) pertence a` reta que passa pelos pontos A = (1,−2, 4) e
B = (−1,−3, 1), determinar m e n.
2) A reta r passa pelo ponto A = (4,−3,−2) e e´ paralela a` reta
 x = 1 + 3ty = 2− 4tz = 3− t t ∈ R. Se
P = (m,n,−5) ∈ r, determinar m e n.
3) Seja o triaˆngulo de ve´rtices A = (−1, 4,−2), B = (3,−3, 6) e C = (2,−1, 4). Escrever as
equac¸o˜es parame´tricas da reta que passa pelo ponto me´dio do lado AB e pelo ve´rtice C.
4) Verificar se as retas sa˜o concorrentes e, em caso afirmativo, encontrar o ponto de intersec¸a˜o.
a) r1 :
x− 2
3
=
y + 1
−3 =
z − 2
4
e r2 :
 x = −1 + ty = 4− t
z = −8 + 3t
t ∈ R
b) r1 :
 x = 2− ty = 3− 5tz = 6− 6t t ∈ R e r2 :
 x = −3 + 6hy = 1 + 7hz = −1 + 13h h ∈ R
c) r1 :
 x = 2 + ty = 4− tz = −t t ∈ R e r2 :
{
y = 6− x
z = 2− x
5) Calcular k de modo que a reta determinada por A = (1,−1, 0) e B = (k, 1, 2) seja paralela ao
plano pi :
 x = 1 + 3hy = 1 + 2h+ t
z = 3 + 3t
, h, t ∈ R
6) a) Encontre a equac¸a˜o da reta que passa pelos pontos A = (3, 5, 3) e B = (1, 1, 1).
b) Considere s a reta (x, y, z) = (1, 2, 3) + t(1, 2, 1). Verifique se as retas r e s sa˜o paralelas,
reversas ou concorrentes.
c) Ache, se poss´ıvel, uma equac¸a˜o geral do plano que conte´m as retas r e s.
d) Calcule a distaˆncia entre as retas r e s.
7) Considere a reta r de equac¸a˜o
x− 1
2
= y − 2 = z − 2
3
e considere o plano pi de equac¸a˜o 2x+ y+ z = −2. Determine a equac¸a˜o do plano α que conte´m
a reta r e e´ perpendicular ao plano pi.
8) Seja pi o plano que conte´m as retas r1 :
 x = 2ty = tz = 2− t t ∈ R e r2 :
{
x = y
z = 2
.
a) Encontre a equac¸a˜o de pi.
b) Escreva o vetor ~v = 2~i+ 1~j + 2~k como a soma de dois vetores ~v1 e ~v2, sendo ~v1 paralelo a pi
e ~v2 ortogonal a pi.
1