Exercícios retas, planos, ângulos e distâncias Geometria Analítica
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Exercícios retas, planos, ângulos e distâncias Geometria Analítica


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UNIVERSIDADE FEDERAL DO TRIA\u2c6NGULO MINEIRO
2a Lista de Geometria Anal´\u131tica
Prof.: Danilo Adrian Marques
1) Sabendo que o ponto P = (\u22123,m, n) pertence a` reta que passa pelos pontos A = (1,\u22122, 4) e
B = (\u22121,\u22123, 1), determinar m e n.
2) A reta r passa pelo ponto A = (4,\u22123,\u22122) e e´ paralela a` reta
\uf8f1\uf8f2\uf8f3 x = 1 + 3ty = 2\u2212 4tz = 3\u2212 t t \u2208 R. Se
P = (m,n,\u22125) \u2208 r, determinar m e n.
3) Seja o tria\u2c6ngulo de ve´rtices A = (\u22121, 4,\u22122), B = (3,\u22123, 6) e C = (2,\u22121, 4). Escrever as
equac¸o\u2dces parame´tricas da reta que passa pelo ponto me´dio do lado AB e pelo ve´rtice C.
4) Verificar se as retas sa\u2dco concorrentes e, em caso afirmativo, encontrar o ponto de intersec¸a\u2dco.
a) r1 :
x\u2212 2
3
=
y + 1
\u22123 =
z \u2212 2
4
e r2 :
\uf8f1\uf8f2\uf8f3 x = \u22121 + ty = 4\u2212 t
z = \u22128 + 3t
t \u2208 R
b) r1 :
\uf8f1\uf8f2\uf8f3 x = 2\u2212 ty = 3\u2212 5tz = 6\u2212 6t t \u2208 R e r2 :
\uf8f1\uf8f2\uf8f3 x = \u22123 + 6hy = 1 + 7hz = \u22121 + 13h h \u2208 R
c) r1 :
\uf8f1\uf8f2\uf8f3 x = 2 + ty = 4\u2212 tz = \u2212t t \u2208 R e r2 :
{
y = 6\u2212 x
z = 2\u2212 x
5) Calcular k de modo que a reta determinada por A = (1,\u22121, 0) e B = (k, 1, 2) seja paralela ao
plano pi :
\uf8f1\uf8f2\uf8f3 x = 1 + 3hy = 1 + 2h+ t
z = 3 + 3t
, h, t \u2208 R
6) a) Encontre a equac¸a\u2dco da reta que passa pelos pontos A = (3, 5, 3) e B = (1, 1, 1).
b) Considere s a reta (x, y, z) = (1, 2, 3) + t(1, 2, 1). Verifique se as retas r e s sa\u2dco paralelas,
reversas ou concorrentes.
c) Ache, se poss´\u131vel, uma equac¸a\u2dco geral do plano que conte´m as retas r e s.
d) Calcule a dista\u2c6ncia entre as retas r e s.
7) Considere a reta r de equac¸a\u2dco
x\u2212 1
2
= y \u2212 2 = z \u2212 2
3
e considere o plano pi de equac¸a\u2dco 2x+ y+ z = \u22122. Determine a equac¸a\u2dco do plano \u3b1 que conte´m
a reta r e e´ perpendicular ao plano pi.
8) Seja pi o plano que conte´m as retas r1 :
\uf8f1\uf8f2\uf8f3 x = 2ty = tz = 2\u2212 t t \u2208 R e r2 :
{
x = y
z = 2
.
a) Encontre a equac¸a\u2dco de pi.
b) Escreva o vetor ~v = 2~i+ 1~j + 2~k como a soma de dois vetores ~v1 e ~v2, sendo ~v1 paralelo a pi
e ~v2 ortogonal a pi.
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