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Ca´lculo I
Unifesp - 1o semestre de 2015
Lista de Exerc´ıcios 2
1. Usando as propriedades de limites determine os seguintes valores:
(a) lim
x→7
(2x+ 5)
(b) lim
t→3
8(t− 5)(t− 6)
(c) lim
h→0
1√
x+ h+
√
x
(d) lim
y→−5
y2
5− y
(e) lim
h→0
3
2−√2h+ 1
(f) lim
x→5
x− 5
x2 − 25
(g) lim
x→2
x2 − 5x+ 6
x− 2
(h) lim
y→1
5y3 + 8y3
3y4 − 16y2
(i) lim
x→−2
−2x− 4
x3 + 2x2
(j) lim
y→0
5y3 + 8y2
3y4 − 16y2
(k) lim
v→2
v3 − 8
v4 − 16
(l) lim
x→4
4x− x2
2−√x
(m) lim
x→−2
x+ 2√
x2 + 5− 3
(n) lim
x→−3
sen
(
x2 − 9
x+ 3
pi
)
(o) lim
x→−3
x3 + 12x2 + 45x+ 54
x3 + 6x2 + 9x
(p) lim
x→0
√
1 + x− 1
3
√
1 + x− 1
(q) lim
x→1
√
x− 1
x− 1
(r) lim
x→1
3
√
x2 − 2 3√x+ 1
(x− 1)2
2. Se
√
5− 2x2 ≤ f(x) ≤ √5 + 2x2 para −1 ≤ x ≤ 1, determine lim
x→0
f(x), por mais
complicada que possa ser f(x). (Sugesta˜o: use o teorema do confronto).
3. Seja a func¸a˜o
h(x) =

x2 − x se x < 2
3 se x = 2
4− x se x > 2
.
Determine
(a) lim
x→2
h(x)
(b) lim
x→3
h(x)
4. Seja
f(x) =

x2 + 1, se x > 3
2, se x = 3
−x2 + 4 se x < 3
.
Calcule lim
x→3−
f(x).
5. Usando as propriedades dos limites, determine o valor dos seguintes limites laterais.
(a) lim
x→− 1
2
−
√
x+ 2
x+ 1
(b) lim
x→1−
(
1
x+ 1
)(
x+ 6
x
)(
3− x
7
)
(c) lim
h→0
√
h2 + 2h+ 3−√3
h
(d) lim
h→0+−
√
6−√5h2 + 11h+ 6
h
(e) lim
x→−5−
(x+ 1)
|x+ 5|
x+ 5
(f) lim
x→−5+
(x+ 1)
|x+ 5|
x+ 5
(g) lim
x→2+
√
2x(x− 2)
|x− 2|
(h) lim
x→2−
√
2x(x− 2)
|x− 2|
6. Calcule o valor dos seguintes limites envolvendo infinitos:
(a) lim
x→∞
pi − 2
x2
(b) lim
x→∞
3− 2
x
4 +
√
2
x2
(c) lim
r→∞
r + sen(r)
2r + 7− 5 sen(r)
(d) lim
x→−∞
excos
(
1
x
)
(e) lim
x→∞
3x2 + e−x
sen(1/x)− 2x2
(f) lim
x→−∞
9x4 + x
2x4 + 5x2 − x+ 6
(g) lim
x→∞
10x5 + x4 + 31
x6
(h) lim
x→∞
2 +
√
x
2−√x
(i) lim
x→∞
2x5/3 − x1/3 + 7
x8/5 + 3x+
√
x
(j) lim
x→∞
(
x+ 1
2x+ 1
)x
2
(k) lim
x→∞
(
x− 1
x+ 1
)x
(l) lim
x→∞
[ln 2x+ 1− lnx+ 2]
7. Determine os seguintes limites e respectivas ass´ıntotas:
(a) lim
x→0
1
3x
(b) lim
x→7
4
(x− 7)2
(c) lim
x→0
−1
x2(x+ 1)
(d) lim
x→0−
2
x
1
5
(e) lim
x→(pi/2)−
tg(x)
(f) lim
x→0−
(1 + cossec(x))
(g) lim
x→3+
x+ 5
|x| − 3
8. Usando os limites fundamentais
lim
x→0
sen(x)
x
= 1 e lim
x→∞
(
1 +
k
x
)x
= ek,
calcule:
(a) lim
x→0
sen(3x)
4x
(b) lim
x→0
tg(2x)
x
(c) lim
x→0−
x+ x cos(x)
sen(x) cos(x)
(d) lim
x→0
sen(x)
sen(2x)
(e) lim
x→0
sen(sen(x))
sen(x)
(f) lim
x→0
sen(3x) cotg(5x)
x cotg(4x)
(g) lim
n→∞
(
1 +
2
n
)n
(h) lim
n→∞
(
1 +
1
n
)n+3
(i) lim
n→∞
(
1 +
3
n
)n+2
(j) lim
n→∞
(
n+ 7
n+ 4
)n
(k) lim
x→0
(
2 + x
3− x)
x
(l) lim
x→0
ex − 1
x
(m) lim
x→0
(1 + sen(x))
1
x
(n) lim
x→pi
1− senx
2
pi − x
(o) lim
x→0
arcsin(x)
x
9. Em quais intervalos as func¸o˜es abaixo sa˜o cont´ınuas?
(a) f(x) =
1
x− 2 − 3x
(b) f(x) =
x+ 4
x2 − 3x− 10
(c) f(x) = |x− 1|+ sen(x)
(d) f(x) =
2 + x
cos(x)
(e) f(x) =
√
2x+ 3
(f) f(x) =
x tg(x)
x2 + 1
10. Determine os limites infinitos e as ass´ıntotas pedidas abaixo:
(a) lim
x→3−
2
x− 3, limx→3+
2
x− 3, e a equac¸a˜o da reta ass´ıntota vertical,
(b) lim
x→5−
x+ 1
x− 5, limx→5+
x+ 1
x− 5, e a equac¸a˜o da reta ass´ıntota vertical,
(c) lim
x→∞
x3 + 5x
2x3 − x2 + 4
(d) lim
x→−∞
√
3x+ 5
x− 4
11. Dada a func¸a˜o f(x) =
3 + 2x
5− x , determine:
(a) limites laterais para x→ 5,
(b) limites no infinito,
(c) ass´ıntotas horizontal e vertical,
(d) esboc¸o do gra´fico.
12. Em um reator qu´ımico, a concentrac¸a˜o de uma substaˆncia varia no tempo de acordo
com a expressa˜o:
C(t) =
4et
20 + et
+ 2e−tsen(t),
onde C representa a concentrac¸a˜o em mg/m3 e t representa o tempo em minutos.
Apo´s um tempo suficientemente longo, verificou-se que a concentrac¸a˜o da substaˆncia
se estabilizou. Em que valor a concentrac¸a˜o se estabilizou?
13. O deslocamento em metros de uma part´ıcula que se move em linha reta e´ dado
por uma equac¸a˜o do movimento s = 4t3 + 6t + 2, onde t e´ medido em segundos.
Encontre a velocidade da part´ıcula no instante t = 3 s.
14. Se F (x ) = x 3 - 5x + 1, determine F’ (1) e use-a para encontrar uma equac¸a˜o da
reta tangente a` curva F no ponto (1,−3).
15. Calcule o seguinte limite:
lim
x→1
(
1
x− 1 +
1
x2 − 3x+ 2
)
16. Dada a func¸a˜o
f(x) =

√−x se x < 0
3− x se 0 ≤ x < 3
(x− 3)2 se x > 3
pede-se:
(a) Calcule:
i. lim
x→0+
f(x)
ii. lim
x→3−
f(x)
iii. limx→0 f(x)
iv. limx→3 f(x)
(b) Em que valor(es) de x a func¸a˜o e´ descont´ınua?
(c) Esboce o gra´fico de f(x).
17. Calcule o limite dado:
(a)
lim
x→∞
5x
3
√
7x3 + 3
(b)
lim
x→1
1√
x
− 1
1− x
18. Determine se a func¸a˜o
f(x) =
3
4x− 1
e´ cont´ınua ou descont´ınua em cada um dos intervalos dados
(a) [−1, 1];
(b) [−1/4, 1/4];
(c) (−1, 1/4);
(d) [1/4,+∞);
19. Calcule o limite ou justifique porque na˜o existe.
(a) lim
x→−2
x3 + x2 − 4x− 4
x3 + 4x2 + 4x
(Resposta: Na˜o existe)
(b) lim
x→∞
(
√
x2 + 1−
√
x2 − 3x+ 1) (Resposta:3/2)
(c) lim
x→1
tg2(x− 1)sen ( 1
x−1
)
x− 1 ( sen(1/(x− 1)) e´ uma func¸a˜o limitada. Resposta:0)
20. Encontre o seguinte limite:
lim
t→∞
(At3 + 4)2
(At2 − 1)3
onde A e´ uma constante que pode ser zero. Resposta: Se A = 0, enta˜o o limite e´ −16. Se
A 6= 0 Enta˜o o limite e´ 1A
21. Seja
lim
x→2
3x− 1 = 5
Mostre que isso e´ verdade usando a definic¸a˜o com � e δ para o limite. Resposta: |(3x− 1)− 5| =
3|x− 2| ≤ 3δ = � se |x− 2| ≤ δ and δ = �3 .
22. Fac¸a um esboc¸o da func¸a˜o
g(x) =
 1− x if x ≤ −1x+ 3 if −1 < x < 2
2x− 1 if 2 ≤ x
Use o gra´fico para determinar cada um dos limites a` seguir:
(a) limx→−1− g(x)
(b) limx→−1+ g(x)
(c) limx→0 g(x)
(d) limx→2− g(x)
(e) limx→2+ g(x)
Resposta: (a) 2 (b) 2 (c) 3 (d) 5 (e) 3
Respostas
1. (a) 19
(b) 48
(c)
1
2
√
x
(d)
5
2
(e) 3
(f)
1
10
(g) −1
(h) −1
(i) −1
2
(j) −1
2
(k)
3
8
(l) 16
(m) −3
2
(n) 0
(o) −1
(p) 3/2
(q) 1/2
(r) 1/9
2.
√
5
3. (a) (b) 2
4. −5
5. (a)
√
3
(b) 1
(c)
1√
3
(d) − 5√
6
(e) 4
(f) −4
(g) 2
(h) 2
6. (a) pi
(b)
3
4
(c)
1
2
(d) 0
(e) −3
2
(f)
9
2
(g) 0
(h) −1
(i) ∞
(j) 0
(k) e−2
(l) ln 2
7. (a) f(x) → +∞ se x → 0+;
f(x)→ −∞ se x→ 0−; x = 0
(b) f(x)→ +∞; x = 7
(c) f(x)→ −∞; x = 0
(d) f(x)→ −∞; x = 0
(e) f(x)→ +∞; x = pi
2
(f) f(x)→ −∞; x = 0
(g) f(x)→ +∞; x = 3
8. (a) 3
4
(b) 2
(c) 2
(d)
1
2
(e) 1
(f)
12
5
(g) e2
(h) e
(i) e3
(j) e3
(k) 1
(l) 1
(m) e
(n) 0
(o) 1
9. (a) S = {x ∈ R|x 6= 2}
(b) S = {x ∈ R|x 6= 5 ou x 6= −2}
(c) S = {x ∈ R}
(d) S = {x ∈ R|x 6= (2n+ 1)pi
2
, ∀n ∈ Z}
(e) S = {x ∈ R|x ≥ − 3
2
}
(f) S = {x ∈ R|x 6= (2n+ 1)pi
2
, ∀n ∈ Z}
10. (a) lim
x→3−
f(x) = −∞; lim
x→3+
f(x) = +∞;x = 3
(b) lim
x→5−
f(x) = −∞; lim
x→5+
f(x) = +∞;x = 5
(c) lim
x→∞ f(x) =
1
2
(d) lim
x→−∞ f(x) =
√
3
11. (a) lim
x→5+
f(x) = −∞; lim
x→5−
f(x) = +∞
(b) lim
x→∞ f(x) = −2; limx→−∞ f(x) = −2
(c) hor. y = −2; ver. x = 5
12. Estabilizou em 4 mg/m3.
13.
Assim, v(3) = 12.(3)2 + 6 = 114 m/s
14.
Assim, a equac¸a˜o da reta tangente em (1, -3) e´:y – (-3) = -2(x–1), ou seja, y = -2x – 1.
15. 1
16. (a) i. 3;
ii. 0;
iii. Na˜o existe porque o limite a` esquerda (=0) e´ diferente do a` direita (=3).
iv. Na˜o existe porque a func¸a˜o na˜o e´ definida nesse ponto.
(b) Em x = 0 e x = 3.
(c)
17. (a)
5
3
√
7
(b)
1
2
18. (a) descont´ınua.
(b) descont´ınua.
(c) cont´ınua.
(d) descont´ınua.