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Ca´lculo I
Unifesp - 1o semestre de 2014
Lista de Exerc´ıcios 3
1. Usando a definic¸a˜o de derivada
df
dx
= lim
h→0
f(x+ h)− f(x)
h
,
encontre a derivada de
(a) f(x) = 4x2 + 5x+ 3
(b) f(x) =
√
3x+ 5
(c) f(x) =
1
x+ 1
(d) f(x) =
3
x2 + 1
(e) f(x) = sen(x)
(f) f(x) = cos(x)
2. Verifique se f e´ cont´ınua e diferencia´vel no ponto x0 = 0, sendo:
f(x) =

x2 + sen(x), se x > 0
x5 + 4x3, se x < 0
0, se x = 0
3. Calcule a derivada das func¸o˜es abaixo
(a) cosh(x) =
ex + e−x
2
(b) senh(x) =
ex − e−x
2
(c) f(x) =
x− 1
x+ 1
(d) f(x) = e1/x
2
+
1
ex2
(e) f(x) = xpi + e−x + log2(x
2)
(f) f(x) = ln(arctg(x))
(g) f(x) = ln(x+
√
x2 + 1)
(h) f(x) = (cos2(x) + 1)sen(x)
(i) f(x) = cotg(3x2 + 5)
(j) f(x) =
3
√
x2cos(x)
(x4 + tg2(x) + 1)2
(k) f(x) =
√
cos−1(x2) + 2cos2(3x)
(l) y = 2x
√
x2 + 1
(m) y =
e
1
x
x2
(n) y =
√
xcos
√
x
(o) y = ln(senx)− 1
2
sen2x
(p) y =
√
arctg(x)− (arcsin(x))3
(q) y = arctg
xsenα
1− xcosα
(r) y = ln
1 +
√
sen(x)
1−
√
sen(x)
+2arctg
√
sen(x)
4. Uma part´ıcula move-se ao longo de uma reta de acordo com a equac¸a˜o de movimento
s =
t2
2
+
4t
t+ 1
onde s e´ a distaˆncia desde a origem, dada em metros, e t e´ o tempo, dado em segun-
dos. Encontre a velocidade, a distaˆncia percorrida e o tempo quando a acelerac¸a˜o e´
nula.
5. Mostre que a taxa de variac¸a˜o do volume de uma esfera em relac¸a˜o ao seu raio e´
numericamente igual a a´rea da esfera.
6. Seja f(x) = x2 − x. Determine a equac¸a˜o da reta tangente no ponto de abscissa 0.
7. Seja f(x) = 2x+ 1. Determine a equac¸a˜o da reta tangente no ponto de abscissa 3.
8. Encontre a equac¸a˜o da reta tangente a` hipe´rbole
x2
a2
− y
2
b2
= 1 no ponto (x0, y0).
9. Achar, caso existam, os valores ma´ximo e mı´nimo de:
(a) f(x) = sen(x)− cos(x), x ∈ [0, pi]
(b) f(x) =
√
3 + 12x− x3, 0 ≤ x ≤ 3
(c) f(x) =
1
x
+ ln(x),
1
2
≤ x ≤ 4
10. Esboce o gra´fico das func¸o˜es abaixo e deˆ as ass´ıntotas, quando existirem:
(a) f(x) = x3−x2−x+1
(b) f(x) = coshx2+2x+1
(c) f(x) =
x
x2 + 1
(d) f(x) =
√
4x2 + x+ 1
(e) f(x) =
x2 − 1
x2 − 4
11. Seja f uma func¸a˜o cuja derivada tem gra´fico esboc¸ado na figura abaixo:
(a) Em que intervalos f e´ crescente ou decrescente?
(b) Para quais valores de x f tem um ma´ximo ou mı´nimo local?
(c) Em que intervalos f tem concavidade para cima ou para baixo?
(d) Ache os pontos de inflexa˜o de f .
(e) Assumindo que f seja cont´ınua e que f(0) = 0, esboce o gra´fico de f .
12. Seja y = Acos(ωt) +Bsen(ωt), ω constante. Verifique que
d2y
dt2
+ ω2y = 0.
13. A func¸a˜o y = f(x) e´ dada implicitamente pela equac¸a˜o xy + 3 = 2x. Mostre que
dy
dx
=
2− y
x
.
Calcule
dy
dx
∣∣∣∣∣
x=2
.
14. Dada x3 + y3 = xy encontre a derivada segunda por meio de derivac¸a˜o impl´ıcita.
15. Determine a constante a tal que f(x) = x2 +
a
x2
tenha:
(a) Um mı´nimo local em x =
√
2.
(b) Um mı´nimo local em x = 3.
(c) Mostre que f na˜o tera´ ma´ximo local para nenhum valor de a.
16. Calcule, caso exista
(a) lim
x→0
(
1
1− cos(x) −
2
x2
)
(b) lim
x→1
x5 − 6x3 + 8x− 3
x4 − 1
(c) lim
x→0+
(
1
x
− ln(x)
)
(d) lim
x→0+
x ln(x)
(e) lim
x→0+
xx
17. As margens de cima e de baixo de um poster teˆm 6 cm, e as margens laterais medem
4 cm. Se a a´rea do material impresso sobre o poster estiver fixa em 384 cm2, encontre
as dimenso˜es do poster com a menor a´rea.
18. Se um resistor de R ohms estiver ligado a uma pilha de E volts com resisteˆncia
interna de r ohms, enta˜o a poteˆncia (em watts) no resistor externo e´ P = E
2R
(R+r)2
.
Se E e r forem constantes, mas R variar, qual e´ o valor mı´nimo da poteˆncia?
19. Em uma reac¸a˜o qu´ımica, uma mole´cula C e´ produzida a partir do reagente A e de
uma mole´cula do reagente B:
A+B → C
A concentrac¸a˜o da mole´cula C, denotada por [C], varia no tempo segundo a func¸a˜o
[C](t) = 4 +
0, 1t
0, 1t+ 1
onde [C] e´ dado em mols, e t em minutos. A velocidade de formac¸a˜o de C, tambe´m
conhecida como taxa de reac¸a˜o, e´ determinada pela derivada d[C](t)
dt
.
(a) Qual a concentrac¸a˜o inicial de C (isto e´, [C](t = 0))?
(b) Determine a taxa de reac¸a˜o em func¸a˜o do tempo.
(c) Determine a taxa de reac¸a˜o, em mols/min, nos instantes t = 0, t = 10 e t = 100
min.
(d) Apo´s um longo per´ıodo de tempo, a concentrac¸a˜o tende a se estabilizar? em
que valor?
20. Encontre dois nu´meros cuja diferenc¸a seja 100 e cujo produto seja o menor poss´ıvel.
21. Mostre que de todos os retaˆngulos com a mesma a´rea, o que tem o menor per´ımetro
e´ o quadrado.
22. Um peixe que nade com velocidade v, em relac¸a˜o a` a´gua, gasta energia proporcional
a v3. Se o peixe esta´ nadando contra a corrente, de velocidade u (v < u), enta˜o o
tempo necessa´rio para nadar uma distaˆncia L e´ L
v−u e a energia total gasta nesta
distaˆncia e´:
E(v) = av3
L
v − u,
onde a e´ uma constante. Determine o valor de v que minimiza a energia gasta
23. Encontre a derivada de f abaixo usando a definic¸a˜o de derivada f(x) = x2 − 3x.
Na˜o use as regras usuais de derivac¸a˜o. (Resposta: f ′(x) = 2x+ 3 )
24. Determine a reta que e´ tangente ao gra´fico de
f(x) =
2x+ 1
x− 1
e passa pelo ponto (1, 1). (Resposta: y − 32 = − 112 (x+ 5) )
25. Considere a func¸a˜o y = x3e−x
(a) Ache as assintotas verticais e horizontais caso existam. (Resposta: y = 0 )
(b) Verifique os intervalos onde a func¸a˜o e´ crescente. (Resposta: (−∞, 3) )
(c) Ache os pontos de inflexa˜o. (Resposta: x = 3±√3 )
26. Determine as dimenso˜es de um cone circular reto de maior volume cuja geratiz tenha
5 cm de comprimento. (Resposta: h = 5√
3
cm e r2 = 503 )
27. Um pedac¸o de fio de 20 cm e´ cortado em 5 pedac¸os. Um pedac¸o formara´ um
quadrado e outro formara´ um triaˆngulo semelhante a` um triaˆngulo retaˆngulo com
lados 3, 4 e 5. Qual a a´rea minima limitadas por estas duas figuras? . (Resposta:A´rea
minima de 10cm2 )
28. Suponha que y e´ definido em termos de x pela equac¸a˜o
y2 + 2xy + x3 = 13
Calcule dy
dx
quando x = 2 e y = 1. (Resposta: dydx
∣∣∣
x=2,y=3
− 73)
29. Encontre as derivadas de
(a) f(x) = tg(1 + x2)
(b) g(x) = 2x3 + esen(x)
(c) f(x) =
√
9 + x2
(d) f(x) = (1− x2)3(x2 + 9)4
(Resposta: (a) (sec(1 + x2))2 (2x) (b) 6x2 + esen(x)cos(x) (c) x√
9+x2
(d) 3(1 − x2)(−2x)(x2 +
9)4 + (1− x2)3(x2 + 9)3(8x))
30. Mostre que
d2ncosh(x)
dx2n
+
d2n−1senh(x)
dx2n−1
= 2cosh(x) (1)
para n natural
Respostas
1. (a) 8x+ 5
(b) 3
2
√
(3x+5)
(c) −1
(x+1)2
(d) −6x
(x2+1)2
(e) cos(x)
(f) −sen(x)
2. Cont´ınua mas na˜o deriva´vel em x0 = 0.
3. (a) e
x−e−x
2
(b) e
x+e−x
2
(c) 2
(x+1)2
(d) −2e
1/x2
x3
− 2x
ex
2
(e) pixpi−1 − e−x + 2
x ln(2)
(f) 1
arctg(x)
1
1+x2
(g) 1
x+
√
x2+1
[
1 + x√
x2+1
]
(h)
(
(cos (x))2 + 1
)sen(x) (
cos (x) ln
(
(cos (x))2 + 1
)
− 2 (sen(x))2cos(x)
(cos(x))2+1
)
(i) −6x cossec2(3x2 + 5)
(j)
(x4+tg2(x)+1)2
(
2
3
x−1/3cos(x)−x2/3sen(x)
)
−
(
x2/3cos(x)
)
2(x4+tg2(x)+1)(4x3+2tg(x) sec2(x))
(x4+tg2(x)+1)4
(k) 1
2
√
cos−1(x2)+2cos2(3x)
[
−2x√
1−x4
− 12 cos(3x) sen(3x)
]
(l)
2(2x2+1)√
x2+1
(m)
e
1
x (1+2x)
x4
(n) cos
√
x−√xsen√x
2
√
x
(o) cotgx− senx.cosx
(p) 1
2(1+x2)
√
arctg(x)
− 3(arcsin(x))2√
(1−x2)
(q) senα
1−2xcosα+x2
(r) 2
cos(x)
√
sen(x)
4. t = 1s, s = 2, 5m, v = 2m/s
6. y = −x
7. y = 2x+ 1
8. xx0
a2
− yy0
b2
= 1
9. (a) −1,√2 (b) √3,√19 (c) 1 e 1, 64
13. 3
4
14. y−3x
2
3y2−x
15. (a) 4 (b) 81
16. (a) 1/6 (b) −5/4 (c) +∞ (d) 0 (e) 1
17. 24x36 cm
18.E
2
4r
19. (a) 0 mol
(b) 0,1
(0,1t+1)2
(c) 0, 1 mols/min (t = 0), 0, 025 mols/min (t = 10) e 0, 0008 mols/min (t = 100).
(d) 0, 1 mols/min
20. −50 e +50
22. v = 3
2
u. Este fato e´ testado experimentalmente, peixes migrato´rios realmente nadam a uma velocidade 50% superior
a` da corrente.