Métodos de Integração - Parte 1

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Cálculo I: Técnicas de Integração – Resumo
Júnior Mendes <jrmmendes@outlook.com>
Integrais Trigonométricas
➢ Principais propriedades trigonométricas
• sen²x+cos²x=1 (1)
• tan²(x)+1=sec²(x) (2)
• cot²(x)=csc²(x)−1 (3)
• sec²(x)=
1
cos(x )
(4)
• csc(x )=
1
sen(x )
(5)
• sen(a±b)=sen(a)cos(b)±sen(b)cos(a)⇒sen(2a)=2sen(a)cos(a) (6)
• cos(a±b)=cos(a)cos(b)∓sen(a)sen(b)⇒cos(2a)=cos²(a)−sen²(a) (7)
• sen²(a)=
1
2
[1−cos(2a)] (8) • cos²(a)=
1
2
[1+cos(2a)] (9)
➢ Produto de seno e cosseno: ∫senmx⋅cosnx⋅dx
Se m é ímpar, manipular a equação para obter sen²x e aplicar a 
propriedade sen²x=1−cos²x . Se n é ímpar, fazer o análogo para cos²x.
Ex.: ∫sen4x⋅cos5x⋅dx
∫sen4x⋅cos5x⋅dx⇒∫sen4x⋅(cos2x )2⋅cosx⋅dx⇒∫sen4x⋅(1−sen2x)2⋅cosx⋅dx { u=senxdu=cosx⋅dx}
⇒∫u4⋅( 1−u2⏞
1−2u2+u4
)⋅du⇒∫(u4−2u6+u8)⋅du⇒ u
5
5
−
2u7
7
+
u9
9
+K=
sen5x
5
−
2sen7x
7
+
sen9x
9
+K
Se ambos os expoentes m e n são pares, usam-se as propriedades (8) e 
(9).
Ex.: ∫sen4x⋅cos4x⋅dx 
∫sen4x⋅cos4x⋅dx⇒∫(sen2x )2⋅(cos2x)2⋅dx ⇒⏞
(8), (9)
∫[ 12 (1−cos2x )]
2
⋅[
1
2
(1+cos2x)]
2
⋅dx
⇒∫ 14⋅(1−cos2x)
2⋅
1
4
⋅(1+cos2x)2⋅dx⇒
1
16∫ (1−cos
22x)2⋅dx⇒
1
16∫sen
42x⋅dx { u=senxdu=cosx⋅dx}
⇒
1
32∫sen
4u⋅du=
1
32
⋅[ 3x4 −sen4x4 + sen8x32 +K ]