Apostila Matemática ENEM - Números Complexos

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Aula 08 
 
NÚMEROS COMPLEXOS 
 
 
PARTÍCULA IMAGINÁRIA “i”: 
Observe a resolução da equação do segundo 
grau abaixo através da fórmula de Bháskara: 
 
 
Como o discriminante (D= b2 – 2ac) esulta um 
valor negativo o que impossibilita um conjunto 
solução no universo dos números reais. Dessa 
forma ocorre uma ampliação desse conjunto 
com a inclusão das raízes de números 
negativos com índice par originando o conjunto 
dos números complexos. 
i = 
 
 
 
 
> Quando o expoente do “i” for maior do que 
4, podemos dividir esse expoente por 4 e tomar 
o resto como expoente correspondente e 
dessa forma consultar a lista: 
i0=1 i1=i i2= -1 i3= -i 
 
 
Exemplo 
5i63 – 9i8742 – 3i536 
 
 
 
 
 
 
3 2 05i 9i 3i
5.( i) 9.( 1) 3.1
5i 9 3
6 5i
- -
- - - -
- + -
-
 
 
> A soma de quatro potências 
consecutivas de “i” resulta zero. 
Exercício 
 
Resolução: 
Desde i17 até i30 temos 14 termos. Cada grupo 
de 4 a soma resulta zero, então sobram dois 
termos (podemos considerar os dois últimos 
ou os dois primeiros): 
Considerando a soma dos dois últimos: 
29 30 1 2i i i i i 1+ = + = -
 (d) 
 
FORMA ALGÉBRICA: 
 
a = parte real 
bi = parte imaginária 
b = coeficiente da parte imaginária 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Resolução: 
 
 
 
 
 
 
 
Resolução: 
 
 
 
 
 
 
( )( )
2 2
2
2
2
2
número real : parte imaginária 0 x ???
Z x – 3i 3 xi 
Z 3x x i 9i 3xi
Z 3x x i 9i 3x
Z 6x (x 9)i
x 9 0
x 9
x 9
x 3 (b)
= =
= +
= + - -
= + - +
= + -
- =
=
= ±
= ±
2
maginário puro : parte real 0 a b ???
Z (a b i)(1 i)
Z a ai b bi i i
Z a b 1 ai bi i
parte real 0 :
a b 1 0
a b 1 (e)
= + =
= + - -
= - + - - +
= + - - - -
=
+ - =
+ =
 
 
 
 
 
 
 
 
Exercícios 
 
1) Qual o valor de 14i , onde i 1= - 
 
a) -i 
b) i 
c) - 1 
d) 1 
e) 14 i 
 
 
 
 
 
 
 
2) O ponto P, representado na figura é a 
imagem do complexo 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
3) Seja z = 1+i , onde i é a unidade imaginária. 
Podemos afirmar que z8 é igual a: 
 
a) 16 
b) 161 
c) 32 
d) 32i 
e) 32+16i 
 
 
 
4) Dado o número complexo z = – 5i + 5, o 
número complexo conjugado de z é: 
 
a) – 5i – 5 
b) + 5i – 5 
c) – 5i + 5 
d) + 5i + 5 
e) 5i 
 
 
5) Qual o valor de m para que o produto (2 + 
mi).(3 + i) seja um número imaginário puro? 
 
a) 5 
b) 6 
c) 7 
d) 8 
e) 10 
 
a) 1 3i d) 3 i
b) 3 i e) 1 3i
1 3
c) i
2 2
- + +
- + -
+
 
 
 
 
 
Gabarito 
 
1-C 2-E 3-A 4-D 5-B