Lista de Exercícios 1

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Universidade Federal do Maranha˜o
Centro de Cieˆncias Exatas e Tecnologia
Departamento de Matema´tica
Curso de Engenharia Qu´ımica
Disciplina: Ca´lculo Diferencial e Integral III Professor: Elivaldo Macedo
PRIMEIRA LISTA DE EXERCI´CIOS - Curvas
Parametrizadas
1a Problema:
(a) Duas part´ıculas se movem ao longo das curvas parametrizadas α e β definidas por α(t) =
(t, t2, t3) e β(t) = (1 + 2t, 1 + 6t, 1 + 14t), respectivamente. As part´ıculas colidem ? Sua tra-
jeto´rias se interceptam ?. Justfique sua resposta.
(b) Determine os pontos da he´lice α(t) = (sen(t), cos(t), t) que interceptam a esfera x2+y2+z2 =
5.
(c) Mostre que curva parametrizada β dada por β(t) = (t2, 1− 3t, 1 + t3) passa pelos pontos
(1, 4, 0) e (9,−8, 28), mas na˜o passa pelo ponto (4, 7,−6).
2a Problema:
Calcule os limites.
(a) lim
t→+∞
(
arctg(t), e−2t,
ln(t)
t
)
.
(b) lim
t→0
(
et − 1
t
,
√
1 + t− 1
t
,
3
t+ 1
)
.
3a Problema:
(a) Podemos afirmar que uma curva parametrizada α dada por α(t) =

(
t · sen
(
1
t
)
, cos(t)
)
, se t 6= 0
(0, 1), se t = 0
e´ cont´ınua em t = 0 ? Jusifique sua resposta.
(b) A curva parametrizada α dada por α(t) =
(
t · sent, t · cos t, t|t|
)
e´ continua em t = 0 ?
Justifique sua resposta.
4a Problema:
(a) Por que a curva parametrizda α dada por α(t) =
(
t2
2010
,
t3
2011
,
|t− 6|
2012
)
na˜o possui reta
tangente em α(6) ?
(b) Seja α uma curva parametrizada dada por α(t) = (2t3, 1 + 4t− t2). Em quais pontos de α
a reta tangente tem inclinac¸a˜o 1 ?
(c) Encontre os pontos da curva α dada por α(t) = (3t2 + 1, 2t3 + 1) que passam pelo ponto
()4, 3.
(d) Dizemos que uma curva β : R −→ R3 e´ dita regular se β′(t) 6= ~O ∀t ∈ R. Podemos afirmar
que a curva αλ : R −→ R3 dada por αλ(t) = (1, λ · t2, t3) e´ regular para qualquer λ ∈ R∗ ?
Justifique sua resposta.
(e) Seja α uma curva dada por α(t) = (cos(t), sen(t) · cos(t)). Mostre que α tem duas retas
tangentes em (0, 0).
5a Problema:
(Curva de matrizes) Seja Mn(R) o conjunto das matrizes reais de ordem n × n. Uma curva de
matrizes e´ uma aplicac¸a˜o γ : I −→Mn(R) cujo domı´nio e´ um intervalo I ⊂ R. Para cada t ∈ I,
temos
γ(t) =

γ11(t) γ12(t) · · · γ1n(t)
γ21(t) γ22(t) · · · γ2n(t)
...
...
. . .
...
γn1(t) γn2(t) · · · γnn(t)

Onde γij : I −→ R e´, para cada 1 ≤ i, j ≤ n, uma func¸a˜o de uma varia´vel real. Dizemos que
a curva γ e´ cont´ınua, diferencia´vel ou integra´vel se cada uma das func¸o˜es γij : I −→ R forem
cont´ınuas, diferencia´veis ou integra´veis. Caso a matriz γ(t) = (γij)n×n seja deriva´vel, definimos
sua derivada como sendo
d
dt
(γ(t)) =
(
d
dt
(γij(t))
)
n×n
E caso a matriz seja antideriva´vel, definimos∫
γ(t) dt =
∫
(γij(t))n×n dt =
(∫
γij(t) dt
)
n×n
(a) Calcule a derivada da seguinte matriz A(t) =
 t 2
1 t
, B(t) =
 sec(t) t3
tg(t) 5t+ 4
 e
C(t) =

1 0 0
0 cos(t) sen(t)
0 −sen(t) cos(t)

(b)Calcule
∫
A(t) dt,
∫
B(t) dt e
∫
C(t) dt
(c) Prove que se A(t) e B(t) sa˜o matrizes n× n diferencia´veis enta˜o vale
d
dt
[A(t) ·B(t)] = A′(t) ·B(t) + A(t) ·B′(t)
.
6a Problema:
2
(a) Calcule o comprimento da curva α : [−1, 0] −→ R2 dada por α(t) =
(
t,
et + e−t
2
)
(b), Calcule o comprimento da curva α : [0, 2pi] −→ R2 dada por α(t) = (e−t cos t, e−tsent).
(c) Calcule o comprimento da curva α : [0, 3] −→ R3 dada por α(t) = (2t3, 2t,√6t2).
(d) Calcule o comprimento da curva α : [0, 2pi] −→ R3 dada por α(t) = (t, sen(t), 1 + cos(t)).
7a Problema:
Considere a espiral logaritmica α : R −→ R2 dada por α(t) = (et · cos t, et · sent). Mostre que o
aˆngulo entre o vetor posic¸a˜o α(t) e o vetor tangente α(t) na˜o depende de t.
8a Problema:
Considere as curvas α, β : R −→ R2 dadas por α(t) = (t, t2) e β(t) = (t3, t6), respectivamente.
Mostre que α e β teˆm o mesmo trac¸o mas α e´ regular e β na˜o e´.
9a Problema:
(a) Calcule o comprimento da catena´ria α(t) = (t, cosht), t ∈ R entre t = a e t = b.
(b) A mole´cula de DNA tem a forma de duas he´lices circulares. O raio de cada uma das he´lices
e´ de cerca de 10 angstro¨ms (1A◦ = 10−8cm). Cada he´lice, em uma volta completa, sob 34A◦, e
existem cerca de 2, 9× 108voltas completas. Estime o comprimento de cada he´lice circular.
Sugesta˜o: Use α : [0; 2, 9× 108 × 2pi] −→ R3 dada por α(t) =
(
10 cos(t), 10sen(t),
34t
2pi
)
.
10a Problema:
Determine T (t), n(t) e κ(t) das seguintes curva parametrizada:
(a) α : [0, 2pi] −→ R2 dada por α(t) = (a cos(t), bsen(t)).
(b) β : [0, 2pi] −→ R2 dada por α(t) = (et cos(t), etsen(t)).
11a Problema:
Seja α : R −→ R3 uma curva dada por α(s) =
(
5
13
cos(s),
18
13
− sen(s),−12
13
cos(s)
)
.
(a) α esta´ parametrizada pelo comprimento de arco? Justifique sua resposta.
(b) A curva α e´ plana ? Justifique sua resposta.
(c) Seja α : R −→ R3 uma curva dada por α(t) = (2013sent, 2013 cos t, 2013sent). Podemos
afirmar que α e´ plana ? Justifique sua resposta.
Sugesta˜o: τ(t) =
[α′, α′′, α′′′]
||α′ × α′′||2 .
(d) A curva parametrizada α dada por α(t) = (2011t3, 2012t3, 2013t3) e´ uma reta ? Justifique
sua resposta.
12a Problema:
Considere α : (−1, 1) −→ R3 dada por α(s) =
(
(1 + s)3/2
3
,
(1− s)3/2
3
,
s√
2
)
.
(a) Mostre que α esta´ parametrizada pelo comprimento de arco.
(b) Encontre T (s), n(s) e b(s).
13a Problema:
Seja α : R −→ R3 dada por α(t) = (3t− t3, 3t2, 3t+ t3). Mostre que κ = τ .
3
4