Apostila Complementos de Matemática (LIMITES)

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Complementos de Matemática
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 Complementos de matemática		
 
Apostila de
Complementos de Matemática 
																																
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Noção Intuitiva de Limites.
Considere-se o gráfico da função f: R em R, definida por f(x) = x + 2
 
	 y
								 f(x) = x + 2	
	 6
	 5
	 	
	 4
	 2	
 -2 0	 2		 3	 4	 x
Note que à medida que os valores de “x” se aproximam de 3, por valores menores que 3 (pela esquerda), ou por valores maiores que 3 (pela direita), f(x) se aproxima de 5. Ver tabela abaixo:
 
	x
	2
	2,3
	2,7
	2,99
	......
	3,3
	3,7
	3,99
	f(x)
	4
	4,3
	4,7
	4,99
	......
	5,3
	5,7
	5,99
 
De acordo com o exposto, podemos dizer que:
O limite de f(x) quando “x” tende a 3 pela esquerda é igual a 5, e indicamos: 
O limite de f(x) quando “x” tende a 3 pela direita também é igual a 5, e indicamos: 
Nesse caso, utiliza-se uma indicação única
3° Ex: Consideremos o gráfico da função f: R em R, definida por:
 5 °
f(x) = 
 					 3 ( 
																										 0	 3		
Note que:
Qdo “x” se aproxima de 3 pela esquerda f(x) se aproxima de 3, isto é: 
Qdo “x” se aproxima de 3 pela direita, f(x) se aproxima de 5, isto é: 
Estes limites são chamados “limites laterais” e como são diferentes, dizemos que neste caso dizemos que não existe o limite de f(x) quando “x” tende 3
Para que exista o limite, f(x) deve se aproximar de um mesmo valor quando “x” se aproxima de um determinado valor “a” pela direita ou pela esquerda, isto é:
4° Ex; Calcular 
, substituindo-se o valor de “x” na expressão verifica-se que: Qdo “x” se aproxima de 1, então f(x) se assume um valor muito próximo de -1.
1.2	Propriedades de Limite.
Vamos considerar as funções f(x) e g(x), definidas num domínio D tal que: 
 e 
1ª Propriedade:
Limite de uma Constante
O limite de uma constante é igual à própria constante.
Seja “f ” uma função definida por f(x) = c onde c ( (, para todo x real, então 
									Exemplos:
1)
	;	2)
;	3)
; 4)
2ª Propriedade:
Limite de uma Constante multiplicada por uma função
O limite de uma constante multiplicada por uma função é igual a constante multiplicada pelo limite da função constante,
Se c ( ( e
então 
 
Exemplos: 1)
2)
3)
4)
3ª Propriedade:
 
Limite da Soma de Funções
	O limite da soma de duas funções é igual à soma dos limites dessas funções:
 Se 
 e 
, então 
 
Exemplos:
 1) Se f(x)=3x-2 e g(x) = 2x, calcule 
 e 
Daí segue que: 
 2) Se f(x)=(5x+7) e g(x) =(x-1), calcule
 
 e 
 
 Daí segue que: 
 3) Se f(x)=7x-1 e g(x) = 2x+3, calcule
 
 e 
 Daí segue que: 
 4) Se f(x)=x-2 e g(x) = 3x+5, calcule 
 
 e 
 Daí segue que: 
4ª Propriedade:
Limite da Diferença de Funções
	O limite da diferença de duas funções é igual à diferença dos limites dessas funções:
 Se 
 e 
então 
 
Exemplos:
 1) Se f(x)=3x+4 e g(x) = 2x+1, calcule
 e 
Então: 
 2) Se f(x)=(2x-2) e g(x) =(x+1), calcule 
 
 e 
 Então: 
 3) Se f(x)=8x+4 e g(x) = x+1, calcule
Então: 
 4) Se f(x)=(2x-1) e g(x) =(x-1), calcule
Então: 
5ª Propriedade:
Limite do Produto de Funções
O limite do produto de duas funções é igual ao produto dos limites dessas funções, isto é:
 Se 
 e 
então 
 
Exemplos:
 1) Se f(x)=x+4 e g(x) = x+9, calcule
 
 e 
Então: 
 2) Se f(x)=(2x-2) e g(x) =(x+1), calcule
Então: 
 
 6ª Propriedade:
Limite do Quociente de Funções
O limite do quociente de duas funções é igual ao quociente do limite dessas funções.
 Se 
 e 
, então:
 
Exemplos: 1) Se f(x)=3x+4 , e g(x)= x+3 calcule
 
 e 
 
Então: 
2) Se f(x)=(x+2) e g(x)= 2x-1, calcule
 
 e 
Então: 
7ª Propriedade:
Limite de uma Potência
	O limite de uma potência enésima de uma função é igual à potência enésima do limite dessa função, isto e:
Se 
 , então 
 
Exemplos:
1) Se f(x)=3x+4 , calcule
 
Então:
2) Se f(x)=(x-2) ,calcule
 e Então: 
8ª Propriedade:
Limite de uma Raiz
	O limite de uma raiz enésima de uma função é igual à raiz enésima do limite dessa função, isto e:
�� EMBED Equation.3 
Exemplos: 
Se f(x)=(6x+2) , calcule
 
 então: 
2) Se f(x)= (10x+4) , calcule
 , logo 
1.3	Limites Infinitos e Limites Para “x”, tendendo ao infinito
O símbolo 
não representa um número, portanto não se efetuam as operações que realizamos com os números reais.
1° exemplo: Seja o gráfico da função 
 y +(
 			 Qdo “x” se aproxima de zero,						 pela direita “y” cresce 
 f(x) indefinidamente superando	 
							 qualquer valor arbitrário que 
						 x	 fixemos, isto é, “y” tende a 
-(	 0			 x+( mais infinito, e indicamos :
			 -(	 	
Qdo “x” se aproxima de “zero” pela esquerda, “y” decresce indefinidamente, isto é, “y” tende a menos infinito, e indicamos
, observe que não existe 
 
porque os limites laterais são diferentes. 
A partir do mesmo gráfico, podemos concluir que:
Qdo “x” cresce indefinidamente, o gráfico quase encosta no eixo “x”, isto é, “y” tende a zero: 
 
 
Qdo “x” decresce indefinidamente, o gráfico quase encosta no eixo “x”, isto é, “y” tende a zero:
 
 
1.4 Limites de uma função polinomial p/ 
�� EMBED Equation.3 
Considere uma função polinomial f(x), de grau n, com an ( 0
f(x) = an xn + an-1 xn-1 + …+ a1 x + a0
Colocando-se xn em evidência, temos:
Fazendo-se
,cada um dos termos da expressão 
 tende a zero, logo: 
 dai segue que:								0			 0 0 
	
Esses limites são iguais a +( ou -( conforme o sinal de an e a paridade de n.
Exemplo 1:
	Dada uma função f(x) = 2x3 - 5x2 + 2x – 1, calcular:
	
a) 
 		;		b) 
Solução: Colocando-se em evidência a maior potência de “x”, temos:
a) 
										 0	 0 0
b) Da mesma forma , teremos: 
Exemplo 2: Calcular: 
Observe que o numerador e o denominador crescem ambos, isto é, o limite é do tipo 
. Colocando-se em evidência a maior potência de “x”, temos:
1.5 Cálculo do limite quando o numerador e o denominador tendem a “zero”
Qdo o numerador e o denominador de uma função tendem a “zero”, no cálculo de um limite para determinado valor de “x”, devemos fatorar e simplificar a função antes de efetuarmos a substituição, ou multiplicar e dividir pelo “conjugado” do numerador ou do denominador, p/q ela não é definida para aquele valor de “x”. 
EXEMPLO1:
1° Calcular 
. 	Observe que a função não é definida para x= 3, mas fatorando e simplificando, teremos:
Solução:
EXEMPLO2: 
2° Calcular 
SOLUÇÃO:		
Neste caso deveremos multiplicar e dividir a fração pelo conjugado do numerador.x, se x ( 3
x + 2, se x ( 3	
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