Aula 01 VM

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1/36
Universidade Federal do Espírito Santo
Centro Tecnológico
Departamento de Engenharia Mecânica
Av. Fernando Ferrari 514, Vitória – ES
29075-910 – Brasil
Período Letivo: 2016-01
Prof. Márcio Coelho de Mattos
Aula 01
Vibrações Mecânicas
2/36
Regras:
a) Haverá controle de frequência
b) Terceira etapa: nem pensar;
c) Prova:
- Datas previstas no plano de curso
- Apenas para quem tiver o nome na pauta;
- Quando em sala de aula, sem consulta;
- Atenção para a regras sobre celulares e compartilhamento;
- Caneta azul ou preta (cuidado com rasuras)
- Solução entregue a lápis → Revisão no ato da entrega
d) Regras detalhadas: Consulte o plano de curso
Apresentação do Curso
Vibrações Mecânicas
3/36 Apresentação do Curso
Vibrações Mecânicas
5 AP
5 RN2
 
 
 
MP PF
MF
75% RFfrequência  
1 2
7 AP8 2
7 PF10 2 10
P P
E
 
    
 
MP
Avaliações e Critério de Aprovação
Livro texto
Vibração Mecânicas
Autor: Singiresu Rao
Editora: Prentice Hall
4/36 Causas das Vibrações
Recapitulando Ideias da Resistência dos Materiais
Vibrações Mecânicas
m
F

3
3
F
F
EI
   
F

 cte
F

F

F

 cte
F

 cte
Será verdade?
Será verdade?
F

5/36 Causas das Vibrações
Exemplos Introdutórios (Causas das Vibrações Mecânicas)
Vibrações Mecânicas
kZ kZ

A B
► Reações em A e B variam com a posição da manivela
► Mudança temporal sistemática no sentido das forças Þ oscilação
► Ruído, desempenho, segurança, conforto, etc.
xB
yB
xA
yA
yC
xC
yB
xB
xC
yC
Simplificação
6/36 Causas das Vibrações
Exemplos Introdutórios (Causas das Vibrações Mecânicas)
Vibrações Mecânicas
xA
yA
yB
0 180 360 540 720 900 1080 1260 14401440
-20
-15
-10
-5
0
5
10
15
20
Fo
rça
 (N
)
 (graus)
H
ip
ó
te
s
e
: 
R
o
ta
ç
ã
o
 d
a
 
m
a
n
iv
e
la
 c
o
n
s
ta
n
te
7/36 Causas das Vibrações
Exemplos Introdutórios (Causas das Vibrações Mecânicas)
Vibrações Mecânicas
Trabalho 01
Para 21/03
kZ kZ
T
A B
► Figura da lâmina anterior: Rotação da manivela constante
► E se, ao invés disto, o torque aplicado na manivela for constante?
► Apresentar graficamente a velocidade de rotação da manivela
► Supor o torque aplicado constante e analisar 10 ciclos da manivela.
8/36 Causas das Vibrações
Exemplos Introdutórios (Causas das Vibrações Mecânicas)
Vibrações Mecânicas
► Motor da direita: Reações nos apoios variam, em sentido e 
magnitude, de acordo com posição do centróide do rotor.
► As forças sobre a base mudam de sentido Þ oscilação
kZ kZ kZ kZ
9/36 Causas das Vibrações
Exemplos Introdutórios (Causas das Vibrações Mecânicas)
Vibrações Mecânicas
► Desbalanceamento
► Desalinhamentos: eixos, correias, correntes, etc.
► Vórtices em superfícies
► Engrenagens desalinhadas, deformadas, desgastadas
► Rolamentos: desgaste, corrente elétrica, deformações
► Desequilíbrio de campos elétricos
► Queda de alimentação de fase de motores
► Cavitação em bombas
► Movimentos alternativos
10/36 Causas das Vibrações
Vibrações Mecânicas
Vídeo do Colapso da Tacoma Narrows Bridge
11/36 Equação de Movimento (1 grau de liberdade)
Exemplos Introdutórios: Pêndulo simples
Vibrações Mecânicas
► Equação de movimento é a equação diferencial que rege a
resposta do sistema, no caso, o movimento oscilatório.
2
2
o o o
d
M J J
dt
  
: Momento de inércia no ponto
: Momento das forças em torno de “o”
Os momentos das reações são nulos
oJ
oM
sen omg J   
 pequeno
0oJ mg  

o
x
y
mg
(?)
12/36 Equação de Movimento (1 grau de liberdade)
Exemplos Introdutórios: Sistema massa-mola
Vibrações Mecânicas
2
2
0 x
d x k
F m mx kx mx x x
dt m
       
Suponhamos que o corpo seja transladado
de sua posição de equilíbrio e, então, solto.
Ou, então, tenha sofrido um “peteleco” e
entrado em movimento.
m
k
x
Outro modo: Só forças conservativas (?) atuam no sistema. Logo:
  0 0 
22
 0
22






 kxxmxkxxm
kxxm
dt
d
dt
dE


13/36 Equação de Movimento (1 grau de liberdade)
Exemplos Introdutórios: Meio cilindro em rolamento (slide 1/3)
Vibrações Mecânicas
O corpo é deslocado da posição de equilíbrio e solto.
4 4
cos sen
3 3
x G G
y G G
G G G
F mx f mx
F my N mg my
r r
M J f r N J   
 
  
   
 
      
 



1
2
3
 
4 4
cos sen 0
3 3
G G G G
r mr
J mx r g y              (1) e (2) em (3) 
N
mg

f
A
r
3
4r
14/36 Equação de Movimento (1 grau de liberdade)
Exemplos Introdutórios: Meio cilindro em rolamento (slide 2/3)
Vibrações Mecânicas
24 4 4 4
sen cos cos sen
3 3 3 3
G G G
r r r r
x r x x
               
24 4 4 4
cos sen sen cos
3 3 3 3
G G G
r r r r
y r y y
               
 
2
sen cos 1 r g      
Aplicando, após todos os algebrismos, as seguintes hipóteses:
Tem-se
 
16
0
15 32
g
r
 

 

15/36 Equação de Movimento (1 grau de liberdade)
Exemplos Introdutórios: Meio cilindro em rolamento (slide 3/3)
Vibrações Mecânicas
A AM J  ?
sen 0 0A
A
mgr
J mgr
J
       
N
mg

f
A
r
r

4
3
r
r


2
2 2
4
A
r
J m r     
 
2
2 2 2 2 15 322 cos
4 12
A
r
J m r r r rr mr
 
   
        
  
 
16
15 32A
mgr g
J r 


Ok

1
Cuidado!
16/36 Equação de Movimento (1 grau de liberdade)
Exemplos Introdutórios: Líquido em um tubo (1)
Vibrações Mecânicas
 b ap p A A x  
x
x
a
b  2gA x A x  
2
0
g
x x 
Comprimento total da linha média: 
17/36 Equação de Movimento (1 grau de liberdade)
Exemplos Introdutórios: Líquido em um tubo (2)
Vibrações Mecânicas
  xAApp ab 
xyx
A
Ay  sen
sen

x
ab
y

  xxxg   sen
  xxg  sen1
 
0
sen1


 x
g
x



Comprimento total da linha média: 
18/36 Equação de Movimento (1 grau de liberdade)
Exemplos Introdutórios: Disco que rola preso a uma mola (1)
Vibrações Mecânicas
kZ
m
x
N
f

xmrJkrxr
JfrM
xmkxfF
G
GG
x










)1()2(
)2(
)1(
2
23 20 0
2 3
 
mr k
kr
m
       
 
2
 e 
2mr
Jrx G
3 2
0 0
2 3
 
m k
x kx x x
m
    
19/36 Equação de Movimento (1 grau de liberdade)
Exemplos Introdutórios: Disco que rola preso a uma mola (2)
Vibrações Mecânicas
2
23 20 0
2 3
0
3 2
0 0
2 3
mr k
kr
mdE
dt
m k
x kx x x x
m
          
 
 
 
     
 
 
 
 
22 2
2 
2 2 2
2
G
G
x r
Jmx kx
E mr
J


 

   

24
3
24
3 222222 kxxmkrmr
E 
 
kZ
m
x
N
f

20/36 Equação de Movimento (1 grau de liberdade
Exemplos Introdutórios: Disco que rola preso a uma mola (3)
Vibrações Mecânicas
2
2mr
J
rx
G 
 
22 2 2 2
2 2 2
3 3
2 2 4 4
2 2
GJmx mr mxT
kx kr
V
 

   
 
2 2 2 2 2 2
2
2
3 3
4 2 4 2
3 2
0 0 0
2 3
3 2
0 0 0
2 3
mr kr mx kxL T V
d L L mr k
kr
dt m
d L L m k
x kx x x
dt x x m
 
   
 
     
  
       
   
  
       
   
 
 
kZ
m
x
N
f

21/36 Equação de Lagrange
Equação de Lagrange: 
Vibrações Mecânicas
, 
d L L
Q L T V
dt x x
  
    
  
Derivada temporal do 
trabalho das forças 
não conservativas
 d T d V T V Qdt x dt x x x
       
       
       
Derivada temporal 
da quantidade de 
movimento
(linear ou angular) 
Força ou 
momento
22/36 Equação de Lagrange
Vibrações Mecânicas
Equação de Lagrange: Pêndulo duplo (barras finas) [slide 1]
     
2 2
2 2 2 2 2 21 2
1 1 1 1
1 2 1 2
2 2 2 2 3 12
1 cos 1 cos 1 cos
2 2
J J m m
T v v
mg
V m g
   
  
 
      
 
 
     
  
1
2
:
:
:
J
J
v
com relação à extremidade da barra 1
com relação ao centróide da barra 2
velocidade do centróide da barra 2
2
1 1 1 2 2
2
1 1 1 2 2
cos cos
2
sen sen
2
x
y
v
v
   
   
 
 
1
o
x
y
2
m
m
23/36 Equação de Lagrange
Vibrações Mecânicas
     
 
2 2
1 1 1 2 1 1 1 22 1 2
2
1
cos cos sen sen2
3 6 2 2
cos 5
2cos
2 2
 
L m
mg
        

 
     
 
 
1 1
2 2
0
0
d L L
dt
d L L
dt
 
 
  
    
  
    
Equação 1: 
Equação 2 : 
Equação de Lagrange: Pêndulo duplo (barras finas) [slide 2]
24/36 Equação de Lagrange
Vibrações Mecânicas
Equação de Lagrange: Pêndulo duplo (barras finas) [slide 3]
2 2 2 2
2
1 2 1 2 2 1 2 2 1 2
2
2
2 1 2 1
4
cos cos sen sen cos sen
3 2 2 2
3
sen cos sen 0
2 2
m m m m
m mg
         
   
   
  
2 2 2 2
2
2 1 1 2 1 1 2 1 1 2
2
2
1 1 2 2
cos cos sen sen sen cos
3 2 2 2
cos sen sen 0
2 2
m m m m
m mg
         
   
   
  
2 2
1 2 1
4 3
0
3 2 2
m m mg    
2 2
2 1 2 0
3 2 2
m m mg    
25/36 Equação de Movimento (1 grau de liberdade)
Equação de Lagrange (exercício)
Vibrações Mecânicas
Considere novamente a oscilação livre do semi-cilindro.
N
mg

f
A
r
3
4r
Trabalho 02
Para 21/03
O corpo é deslocado da posição de equilíbrio e solto.
Obter a equação de movimento aplicando a equação de Lagrange
26/36 Oscilador Harmônico
Vibrações Mecânicas
Equação de Movimento Característica dos Sistemas de 1 GL
   2 02 20 n nx x x x f f       
 expx t
Três classes de funções: - exponencial
- seno e cosseno
- seno hiperbólico e cosseno hiperbólico
Função teste:
Substituindo na EDO:    2 2exp exp 0nt t    
  2 2 2 2exp 0 0 n n nt j              
27/36 Oscilador Harmônico
Vibrações Mecânicas
Equação de Movimento Característica dos Sistemas de 1 GL
Dois ’s independentes → duas soluções → combinação linear 
       tjatjatatax nn   expexpexpexp 212211
 exp cos senj j   
   tjtatjtax nnnn  sencossencos 21 
    taajtaax nn  sencos 2121 
Como x é real, segue que a1 e a2 devem ser complexos.
Teorema de Euler:
28/36 Oscilador Harmônico
Vibrações Mecânicas
Equação de Movimento Característica dos Sistemas de 1 GL
    00 0 e 0 xxxx  
iniciais Condições 
   
   





taajtaax
taajtaax
nnnn
nn


cossen
sencos
2121
2121

0 0
11 2 0 1 2 0
0 0 0
1 2 1 20 0
2
2 2
 
2 2
n
n n n
n
x x
a ja a x a a x
x x x
a a j a ax x
a jj j

  
 
        
    
      
          
     
 
t
x
txx n
n
n  sencos
0
0


Resposta do Oscilador Harmônico
29/36 Oscilador Harmônico
Vibrações Mecânicas
Características da Resposta do Oscilador Harmônico
- Frequência: - Período: - Amplitude: - Fase: 
n
n
T

2

 
2
2 0
0
0
0
0
0
cos sen cos 
tan
n
n n n
n
n
x
A x
x
x x t t x A t
x
x
   
 
  
           



A 
 
2
2 0
0
0
0
0
0
cos sen sen 
tan
n
n n n
n
n
x
A x
x
x x t t x A t
x
x
   
 
  
           

 

30/36 Oscilador Harmônico
Vibrações Mecânicas
Características da Resposta do Oscilador Harmônico
(a) (b)
x x
cosA senA
t t
T T
Resposta típica do oscilador harmônico
31/36 Oscilador Harmônico
Vibrações Mecânicas
Características da Resposta do Oscilador Harmônico
x
x
0x 0nx
  20
22
0
2
0
0
22
00
222 sencoscossen xxt
x
txtxtxxx nn
n
nnnnnn    
Agradecimentos: Prof. Dan A. Russel
PennSate University
32/36 Oscilador Harmônico
Vibrações Mecânicas
Oscilador Harmônico com excitação de valor constante
m
ky
mg
kZ
m
y
yF ky mg my   
my ky mg  
e
mg
x y y y x y
k
     
0emx kx ky mg mx kx      
Nota: Repare que a força peso atua sobre o sistema independentemente
do movimento.
33/36 Oscilador Harmônico
Vibrações Mecânicas
Oscilador Harmônico com excitação de valor constante
xF kx F mx mx kx F      
Nota: A manobra só dará certo se F não depender do movimento.
kZ
m
x
ˆ ˆe
F
x x x x x x
k
     
0ˆ ˆ ˆ ˆemx kx kx F mx kx     
34/36 Oscilador Harmônico
Vibrações Mecânicas
Oscilador Harmônico com excitação de valor constante
xF kx F mx mx kx F      
Hipótese: A força é aplicada subitamente
sobre o corpo num estado genérico.
kZ
m
x
   2 0 00 0 2 2 2 2 2
1
n n n
x sxF F s
ms k X s mx msx X s
s m s s s                 
        001 cos cos senn n n
n
xF
x t t x t t
k
      
35/36 Oscilador Harmônico
Vibrações Mecânicas
     00 cos senn n
n
xF F
x t x t t
k k
 
 
    
  
     00 cos senn n
n
xF F
x t x t t
k k
 
 
    
  
     00
ˆ
cos senˆ ˆ n n
n
x
x t x t t   
xˆ
0xˆ 0ˆ nx 
36/36
Muito Obrigado
Aula 01
Vibrações Mecânicas
Atenção aos exercícios para entrega em 21/03:
1) A solução deve ser descrita manualmente, em folha de papel
almaço. Apenas gráficos e algoritmos computacionais podem
ser entregues em papel impresso, se for o caso.
2) Não serão aceitas entregas com atraso. Se o aluno faltar no dia,
deve deixar com um colega para entregar, ou entregar de forma
antecipada.