Lista 3 de Cálculo I

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3ª Lista de Exercícios de Cálculo I 
 
 
1) Calcule os limites: 
 
a) 
0
lim
x x
x
e e
senx



 b) 
1
1
lim
1nx
x
x


 
 
c) 
0
lim
x
tgx x
x senx


 d) 
 
2
2
ln( )
lim
2x
senx
x  
 
 
e) 
2 50
lim
3
x
x
e senx x
x x


 f) 
0
ln( 3 )
lim
ln( )x
sen x
senx
 
 
g) 
30
lim
x
x arcsenx
sen x

 h) 
0
1
lim
tgx
x x
 
 
 
 
 
i) cos
2
5
lim 5
2
x
x
x




 
 
 
 
 
j) 2
1
0
lim
x
x
senx
x
 
 
 
 k) 
0
lim( cot 2 )
x
x g x


 
 
l) 
0
1
lim ln
x
x x
  
  
  
 
 
 
m) 
1
1
lim
1 lnx
x
x x
 
  
 
 
n) 
1
lim ln ( )
x
x e x e
x
  
     
  
 
 
o) 
2 20
1 1
lim
x x sen x
 
 
 
 
 
 
2) Prove a desigualdade: 
 
ln(1 ) , 0x x x   
 
 
Dica: Aplique o TVM para a função 
( ) ln(1 )f x x 
 no intervalo 
[0, ]x
. 
 
 
 
 
3) Ache os extremos de: 
 
a) 
4 2( ) 2f x x x  
 
 
b) 
23( ) 2 ( 1)f x x  
 
 
c) 
( ) cos , 
2 2
f x senx x x
 
    
 
 
d) 
( ) , 0
ln
x
f x x
x
 
 
 
e) 
( ) lnf x x arctgx 
 
 
f) 
2 32( ) 6 7
3
f x x x 
 
 
g) 2
1
1
2
( )
1
xe
f x
x



 
 
h) 
 ( ) , ,
2 cos
senx
f x x
x
   

 
 
i) 
( ) 3 3 , (0,2 )f x sen x senx x    
 
4) Qual o maior e o menor valor abso-
luto da função dada no exercício 3, 
item c? 
 
5) Qual o maior e o menor valor absoluto 
da função 
4 2( ) 3 6 1f x x x   
 no inter-
valo [–2, 2]? 
 
6) Generalizemos o problema de maxi-
mização visto em aula: considere um 
cone circular reto de raio R e altura H. 
Determine o cilindro circular reto de 
volume máximo que pode ser inscrito 
nesse cone. 
 
7) O volume de um prisma hexagonal 
regular é 36m³. Quais devem ser suas 
dimensões para que sua área total seja 
mínima? 
 
8) Mostre que dentre os cilindros circu-
lares retos de volume igual a V, aquele 
que tem a menor área total é o cilindro 
eqüilátero (h=2r). 
9) Um cilindro tem área total
216
. 
Qual o seu volume, sabendo que é 
máximo? 
 
10) Um jardineiro constrói um jardim 
em forma de setor circular com perime-
tro de 30m. Quais devem ser as dimen-
sões de tal jardim, para que sua área 
seja máxima? 
 
11) Determine dois números positivos 
cuja soma seja 4 e tal que a soma do 
cubo do menor com o quadrado do 
maior seja mínima. 
 
12) Na elipse 2 2
2 2
1, , 0
x y
a b
a b
  
, 
inscreve-se um retângulo com os lados 
paralelos aos eixos da elipse. Nessas 
condições, quais as dimensões do 
retângulo de área máxima que pode 
ser inscrito? 
 
13) Uma chapa de largura l é dobrada, 
como na figura, para formar uma calha. 
Calcule 

 para que a área da secção 
transversal seja máxima. 
 
 
 
 
14) Determine os pontos de inflexão 
das curvas dadas pelas funções: 
 
a) 
3 2( ) 3 9 9f x x x x   
 
 
b) 
2
1
( )
1
f x
x


 
 
c) 
2( ) ln(1 )f x x 
 
 
d) 
2( ) ln( 1)f x x x  
 
 
15) Verifique se as curvas abaixo 
possuem assíntotas e em caso afir-
mativo, determine-as. 
 
a) 2 1
1
x
y
x



 b)
3
1
( 2)
y
x


 
 
c) 
1/ 1xy e 
 d) 21xy xe 
 
e) 
3 21y x 
 f) 
2
8
4
y
x


 
 
g) 
2 3³ 6y x x 
 
 
 
16) Estude o comportamento e faça um 
esboço do gráfico das seguintes fun-
ções: 
 
a) 
4 2 10y x x  
 
b) 
2
6
1
x
y
x


 
c) 
1/xy e
 
d) 
y x senx 
 
e) 3
23
x
y
x


 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Respostas: 
 
1) 
a) 2 b) 1/n c) 2 d) –1/8 e) 1/3 
 
f) 1 g) –1/6 h) 1 i) 1 j) 
1/6e
 
 
k) 1/2 l) 1 m) 1/2 n) 21 e
e

 o) –1/2 
 
3) 
 
a) (-1, 1), (1, 1) 

máximos 
 (0, 0) 

 mínimo 
 
b) (1, 2) 

 máximo 
 
c) 
, 2
4
 
 
 
máximo 
 
d) (e, e) 

 mínimo 
 
e) Não possui extremos 
 
f) (0, 0) 

 máximo 
 (1, –2/3) 

 mínimo 
 
g) (0, e) 

 mínimo 
 
h) 2 3
,
3 3
 
    
 
mínimo 
 2 3
,
3 3
 
  
 
 máximo 
 
i) 
, 4
2
 
  
 
mínimo 
 
3
,4
2
 
 
 
máximo 
 
4) 
1, 2m M  
 
 
5) 
25, 2m M  
 
 
 
6) raio do cilindro 

 2R/3 
 Altura do cilindro 

 H/3 
 
7) Aresta da base 

 2m 
 Altura 

 
2 3
 
 
8) 
3
2
V
R


 9) 
432
 
 
10) Raio do setor 

 7,5m 
 Comp. Do arco do setor 

 15m 
 
11) 4/3 e 8/3 12) 
2 e 2a b
 
 
13) 120º 
 
14) 
a) (1, –2) b) 
1 3
,
43,
 
 
 
 
 
c) 
( 1, ln 2)
 d) (0,0) 
 
15) 
a) 
1x  
 e 
1y x 
 
b) 
2 e 0x y  
 
c) 
0 e 0x y 
 
d) 
0 e x y x 
 
e) Sem assíntotas 
f) 
0y 
 
g) 
2y x 
 
 
16)