Números Reais
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Números Reais


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temos:

|x\u2212 a| < \u3b4 \u21d2 max{x\u2212 a,\u2212(x\u2212 a)} < \u3b4
\u21d2 x\u2212 a < \u3b4 e \u2212 (x\u2212 a) < \u3b4
\u21d2 x\u2212 a < \u3b4 e x\u2212 a > \u2212\u3b4
\u21d2 x < \u3b4 + a e x > a\u2212 \u3b4
\u21d2 a\u2212 \u3b4 < x < a + \u3b4.

Parte 2. a\u2212 \u3b4 < x < a + \u3b4 \u21d2 |x\u2212 a| < \u3b4.

Hipóteses: a, x \u2208 , \u3b4 \u2208 + e a\u2212 \u3b4 < x < a + \u3b4.
Tese: |x\u2212 a| < \u3b4.

Da hipótese, temos:

a\u2212 \u3b4 < x < a + \u3b4 \u21d2 a\u2212 \u3b4 < x e x < a + \u3b4
\u21d2 x\u2212 a > \u2212\u3b4 e x\u2212 a < \u3b4
\u21d2 \u2212(x\u2212 a) < \u3b4 e x\u2212 a < \u3b4
\u21d2 max{x\u2212 a,\u2212(x\u2212 a)} < \u3b4
\u21d2 |x\u2212 a| < \u3b4.

VERSÃO DO PROFESSOR

Material APROVADO (conteúdo e imagens)( g ) Data: ___/___/___ Nome:______________________

Aula 03 Análise Real

x

12

Atividade 8
Mostre que se a, x \u2208 e \u3b4 \u2208 +, então
|x\u2212 a| > \u3b4 \u21d2 x < a\u2212 \u3b4 ou x > a + \u3b4.

Usaremos as seguintes notações para representar tipos especiais de conjuntos de númer
reais chamados intervalos:

1. [a, b] = {x \u2208 |a \u2264 x \u2264 b}.
2. (a, b] = {x \u2208 |a < x \u2264 b}.
3. [a, b) = {x \u2208 |a \u2264 x < b}.
4. (a, b) = {x \u2208 |a < x < b}.
5. (\u2212\u221e, b] = {x \u2208 |x \u2264 b}.
6. (\u2212\u221e, b) = {x \u2208 |x < b}.
7. [a,+\u221e) = {x \u2208 |x \u2265 a}.
8. (a,+\u221e) = {x \u2208 |x > a}.
9. (\u2212\u221e,+\u221e) = .

Os intervalos 1, 2, 3 e 4 são limitados com extremos a e b: [a, b] é um intervalo fechado,
[a, b) é fechado à esquerda e aberto à direita, (a, b] é fechado à direita e aberto à esquerda, e
(a, b) é aberto. Os intervalos 5, 6, 7, 8 e 9 são ilimitados. Quando a = b, o intervalo fechado
[a, b] = {a} é chamado intervalo degenerado.

Com relação aos intervalos, o teorema 2 diz que x fatisfaz |x \u2212 a| < \u3b4 se, e somente
se, x satisfaz a\u2212 \u3b4 < x < a + \u3b4, ou seja, x \u2208 (a\u2212 \u3b4, a + \u3b4).

Interpretação geométrica de
Imagine como uma reta e cada elemento x \u2208 como um ponto desta reta.

VERSÃO DO PROFESSOR

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Aula 03 Análise Real

x y

distância = |y-x |

aa \u2013s a +s
x

|x-a |

|(a +\u3b4) \u2013a| = |s| = s

13

Vimos que = + \u222a \u2212 \u222a {0}, que x > 0 \u21d2 x \u2208 + e x < 0 \u21d2 x \u2208 \u2212.
Utilizaremos a relação de ordem para representar os pontos na reta, dizendo que x < y
signi\ufb01ca que a posição ocupada por y é à direita de x. Assim, os intervalos são segmentos
dessa reta e |y \u2212 x| representa a distância do ponto x ao ponto y.

Atividade 9
Mostre que se a distância de x a y é \u3b4, então a distância de\u2212x a\u2212y também é \u3b4. Como

corolário, conclua que a distância de x a 0 é a mesma que de \u2212x a 0.

Pelo teorema 2, temos que x \u2208 (a \u2212 \u3b4, a + \u3b4) é equivalente a |x \u2212 a| < \u3b4, ou seja, o
intervalo (a\u2212 \u3b4, a + \u3b4) é formado pelos elementos cuja distância até a é menor que \u3b4.

Até o momento, vimos que quaisquer que sejam x, y \u2208 , temos x < y, x > y ou
x = y. A um corpo com esta propriedade chamamos corpo ordenado, isto é, somos ca-
pazes de dizer quem é maior que quem. Em outras palavras, existe uma relação de ordem
bem de\ufb01nida entre seus elementos.

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Aula 03 Análise Real14

Atividade 10
Podemos concluir que é um corpo ordenado?

O conjunto é um corpo ordenado completo
Quando estudamos os números naturais vimos que X \u2282 é limitado se existe b \u2208

tal que x \u2264 b, para todo x \u2208 X . Não nos preocupávamos, até então, com a parte inferior, já
que o 1 é o menor elemento de e, portanto, 1 \u2264 x, para todo x \u2208 X \u2282 . No conjunto

não existe um menor elemento, pois se x \u2208 , então x\u2212 1 \u2208 e x\u2212 1 < x (pois existe
1 \u2208 + tal que x = x\u2212 1 + 1).

Atividade 11
Mostre que não existe y \u2208 tal que x \u2264 y, \u2200x \u2208 .

Para falar de limitação em , precisamos falar de dois tipos de limitação: superior e
inferior.

Dizemos que X \u2282 é limitado superiormente se existe b \u2208 tal que b \u2265 x,\u2200x \u2208 X .
Neste caso, b é dito ser uma cota superior de X .

Exemplo 17
O conjunto X = (\u2212\u221e, 7) é limitado superiormente?
Sim, pois existe 8 \u2208 tal que x \u2264 8,\u2200x \u2208 X . Logo, 8 é cota superior de X . Note que

10 também é cota superior de X , já que x \u2264 10,\u2200x \u2208 X .

Atividade 12
Seja X \u2282 limitado superiormente. Mostre que se b é cota superior de X , então

qualquer número real c \u2265 b também é cota superior de X .

Se c é cota superior de X \u2282 , então podemos a\ufb01rmar que qualquer número real b < c
também é cota superior de X? Não! Considere X = (\u2212\u221e, 4] = {x \u2208 |x \u2264 4}. O número
4 é cota superior de x, mas 2 < 4 não é cota superior de X , pois existe 3 \u2208 X tal que 2 < 3.

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Aula 03 Análise Real 15

De\ufb01nição 1

Seja X \u2282 limitado superiormente e não-vazio. Chama-se supremo de X ao número
b \u2208 que é a menor das cotas superiores de X , e denota-se b = supX . Mais explicita-
mente:

S1. b é cota superior de X , ou seja, para todo x \u2208 X , tem-se x \u2264 b.

S2. Se c \u2208 é tal que x \u2264 c,\u2200x \u2208 X , então b \u2264 c. Isso signi\ufb01ca que qualquer outra cota
superior de X é, obrigatoriamente, maior que ou igual a b.

Podemos escrever a condição S2 da seguinte maneira:

S2\u2032. Se d < b, então d não é cota superior de X , ou seja, existe x \u2208 X tal que x > d. Isso
signi\ufb01ca que nenhum número menor que b pode ser cota superior de X .

Podemos ainda reescrever S2\u2032 da seguinte maneira:

S2\u2032\u2032. Qualquer que seja \u3b5 > 0, b\u2212 \u3b5 não é mais cota superior de X , ou seja, \u2203x \u2208 X tal que
x > b\u2212 \u3b5.

Dizer que é completo signi\ufb01ca dizer que todo subconjunto X de limitado superior-
mente possui supremo.

Exemplo 18
Considere X = (\u2212\u221e, 4]. Encontre b = supX .
Note que X \ufffd= \u2205 e X é limitado superiormente, pois existe 10 \u2208 tal que x \u2264 10,\u2200x \u2208

X . Mostremos que b = 4 satisfaz S1 e S2.

Para todo x \u2208 X , temos x \u2264 4. Assim, 4 é cota superior de X , isto é, 4 satisfaz S1.
Seja c \u2208 tal que c \u2265 x,\u2200x \u2208 X . Temos c \u2265 4, pois 4 \u2208 X . Logo, c \u2265 b, isto é, c satisfaz
S2. Portanto, b = 4 = supX .

Podemos também mostrar que 4 satisfaz S2\u2032 e S2\u2032\u2032, e o faremos a seguir.

Seja d < 4 e considere x =
d + 4

2
. Assim, d < x < 4 e x \u2208 X . Como d < 4 foi

qualquer, para todo d < 4 existe x \u2208 X tal que x > d. Logo, 4 satisfaz S2\u2019.
Seja \u3b5 > 0. Tome x = 4\u2212 \u3b5

2
. Note que:

\u3b5 > 0 \u21d2 \u3b5
2

> 0 \u21d2 4\u2212 \u3b5
2

< 4 \u21d2 4\u2212 \u3b5
2
\u2208 X.

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Aula 03 Análise Real16

Também:
\u3b5 >

\u3b5

2
\u21d2 \u2212\u3b5 < \u2212\u3b5

2
\u21d2 4\u2212 \u3b5 < 4\u2212 \u3b5

2
= x.

Logo, 4\u2212 \u3b5 não é mais cota superior de X .

Como \u3b5 > 0 tomado foi qualquer, 4\u2212\u3b5 não é mais cota superior de X , para todo \u3b5 > 0.
Portanto, 4 satisfaz S2\u2032\u2032.

Atividade 13
Seja X = (1, 2) \u222a (2, 4] \u222a [7, 9]. Encontre b = supX .

Dizemos que X \u2282 é limitado inferiormente se existe d \u2208 tal que, para todo
x \u2208 X , tem-se d \u2264 x. Neste caso, d é dito ser uma cota inferior de X.

Se d é cota inferior de X \u2282 , então qualquer número real c \u2264 d também é cota
inferior de X . De fato, temos d \u2264 x,\u2200x \u2208 X . Como c \u2264 d, por transitividade, temos
c \u2264 d \u2264 x,\u2200x \u2208 X . Logo, c é cota inferior de X . Porém, não podemos a\ufb01rmar que
qualquer número real c\u2032 > d é cota inferior de X . De fato, considereX = (0,\u221e). \u22121 é cota
inferior de X , mas 1 > \u22121 não é cota inferior de X , pois existe 1

2
\u2208 X tal que 1

2
< 1.

De\ufb01nição 2

Seja X \u2282 limitado inferiormente e não-vazio. Chama-se ín\ufb01mo de X ao número
d \u2208 que é a maior das cotas inferiores de X , e denota-se d = inf X . Em outras palavras,
ao número d \u2208 que satisfaz:

I1. d é cota inferior de X , ou seja, para todo x \u2208 X , tem-se d \u2264 x.

I2. Se c \u2208 é tal que c \u2264 x,\u2200x \u2208 X , então c \u2264 d. Isso signi\ufb01ca que qualquer outra cota
inferior de X é, obrigatoriamente, menor que ou igual a d.

Podemos escrever a condição I2 da seguinte maneira:

I2\u2032. Se c > d, então c não é cota inferior de X , ou seja, existe x \u2208 X tal que x < c. Isso
signi\ufb01ca que nenhum número maior que d pode ser cota inferior de X .

Podemos ainda reescrever I2\u2032 da seguinte maneira:

I2\u2032\u2032. Qualquer que seja \u3b5 > 0, d + \u3b5 não é mais cota inferior de X , ou seja, \u2203x \u2208 X tal que
x < d + \u3b5.

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