Exercicios lista08 Flexao tensao cisalhamento

Prévia do material em texto

www.profwillian.com 
Tensões de Cisalhamento na Flexão 
 
h 
b 
V 
z 
x 
y 
C 
m 
n 
 
 
Seja uma viga de seção retangular, de largura b e altura 
h. As tensões de cisalhamento, , são paralelas à força 
cortante V. Haverá tensões de cisalhamento horizontais 
entre as fibras horizontais da viga, bem como tensões de 
cisalhamento transversais nas seções transversais. 
Considere agora o caso mais geral de um momento 
fletor variável, representado por M e M+dM os 
momentos nas seções transversais mn e m1n1, 
respectivamente. A força normal que atua na área 
elementar, dA, da face esquerda do elemento será: 
dA
I
y.M
dA
x
x 
 
 
h/2 
h/2 
M M+dM 
 
dx 
m 
n 
m1 
n1 
y1 
p p1 
 
A soma de todas estas forças distribuídas sobre a face 
pn será: 
dA
I
y.M2/h
yi x

 (a) 
Do mesmo modo, a soma das forças normais que atuam 
na face direita, p1n1, é: 


2/h
y x1
dA
I
y)dMM(
 (b) 
A força de cisalhamento horizontal que atua na face 
superior, pp1, do elemento é: 
.b.dx (c) 
As forças dadas pelas expressões (a), (b) e (c), devem 
estar em equilíbrio. Assim: 
 
z 
y 
dA 
b 
y y1 
max 
 
 


2/h
y x
2/h
y x 11
dA
I
My
dA
I
y)dMM(
dx.b.
 
donde: 







2/h
yx 1
ydA
b.I
1
dx
dM
 
ou, sabendo que dM/dx = V: 

2/h
yx 1
ydA
b.I
V
 
A integral é o momento estático da área da seção 
transversal abaixo do nível arbitrário y1. 
Chamando o momento estático de Q, pode-se escrever a equação: 
b.I
VQ
x

 
Para a seção transversal retangular, a quantidade Q para a área hachurada é: 
  2/y4/hbQ 212 
 
Este resultado mostra que a tensão varia parabolicamente com y1. 
A tensão tem seu máximo valor no eixo neutro (y1=0), então temos para a seção retangular: 
A2
V3
bh8
V12
12
bh
8
Vh
I.8
Vh
b.I
8
bh
V
b.I
VQ
12
bh
Ie
8
bh
Q
max
3
2
x
2
x
2
x
max
3
x
2



 onde A=bh 
www.profwillian.com 
1) Para a seção transversal “T” de uma viga, vista na figura ao lado, 
calcule: 
a) Momento de inércia (em relação ao eixo neutro da seção); 
b) a tensão máxima normal,  em MPa, para um fletor de 55,5 kN.m 
c) a tensão máxima de cisalhamento , , para um cortante de 40,4 kN 
 
 
Solução: 
Centro de gravidade da seção “T” (em relação à base) 
 
cm5,13
)616()166(
19)616(8)166(
A
y.A
y 




 
a) Momento de inércia para a seção “T” 
    42
3
2
3
2
C cm8144)5,1319(616
12
616
)85,13(166
12
166
d.AII 
















 
b) Tensão máxima normal: 
MPa92cm/N92005,13
8144
5550000 2 
 
Momento Estático Q (abaixo da linha neutra): 
3cm75,546
2
5,13
)5,136(y.AQ 
 
c) Tensão máxima de cisalhamento: 
MPa52,4cm/N452
68144
75,54640400
bI
QV 2 



 
2) Para a seção transversal “I” da viga vista na figura ao lado, 
calcule: o momento de inércia (em relação ao eixo neutro da seção) 
e a tensão máxima normal, , para um fletor de 66 kN.m e a tensão 
máxima de cisalhamento , , para um cortante de 44 kN 
 
 
Solução: 
a) Momento de inércia para a seção “I” 
 
  4
3
2
3
2
C cm459148
12
506
228642
12
642
d.AII 










 
b) Tensão máxima normal: 
MPa456,4cm/kN4456,031
459148
6600 2 
 
Momento Estático Q (abaixo da linha neutra): 
3cm893128)642(
2
25
)256(y.AQ 
 
c) Tensão máxima de cisalhamento: 
MPa426,1cm/kN1426,0
6459148
893144
bI
QV 2 



 
www.profwillian.com 
7.5 Se a viga T for submetida a um cisalhamento vertical V = 10 kip, qual 
será a tensão de cisalhamento máxima nela desenvolvida? Calcular também o 
salto da tensão de cisalhamento na junção aba-alma AB. Desenhar a variação 
de intensidade da tensão de cisalhamento em toda a seção transversal. Mostrar 
que IEN=532,04 pol
4
. 
 
 
 
 
7.15 Determinar a tensão de cisalhamento máxima no eixo com seção 
transversal circular de raio r e sujeito à força cortante V. Expressar a resposta 
em termos da área A da seção transversal. 
 
www.profwillian.com 
7.17 Determinar as maiores forças P nas extremidades que o elemento pode 
suportar, supondo que a tensão de cisalhamento admissível seja adm = 10 ksi. 
Os apoios em A e B exercem apenas reações verticais sobre a viga. 
 
 
7.21 Os apoios em A e B exercem reações verticais sobre a viga de madeira. 
Supondo que a tensão de cisalhamento admissível seja adm = 400 psi, 
determinar a intensidade da maior carga distribuída w que pode ser aplicada 
sobre a viga.