Modelagem no dominio da frequencia

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Aula 4 – Modelagem de sistemas no 
domínio da frequência 
FUNDAMENTOS DE 
CONTROLE E AUTOMAÇÃO 
Prof. Marcio Kimpara 
 
Universidade Federal de 
Mato Grosso do Sul 
 
Sistemas mecânicos 
(translação) 
Prof. Marcio Kimpara 2 
Elemento Força desloc. (tempo) Laplace 
f(t)
x(t)
Mola 
f(t)
x(t)
Amortecedor 
f(t)
x(t)
M
Massa 
K 
fv 
)(.)( txKtf 
)(.)( tvftf v
dt
tdv
Mtf
)(
.)( 
)(.)( sXKsF 
)(..)( sXsfsF v
)(..)( 2 sXsMsF 
Sistemas mecânicos 
(translação) – Aula anterior 
Prof. Marcio Kimpara 3 
Sistema massa-mola 
 viscosoatrito de eCoeficient 
mola da elástica Constante 
Massa 
massa da ntoDeslocalme )(
sistema ao aplicada Força )(
vf
K
M
tx
tf
KsfMssF
sX
v 

2
1
)(
)(
x(t)
M f(t)
K
fv
X(s) F(s) 
Sistemas mecânicos 
(translação) 
Prof. Marcio Kimpara 4 
 Muitos sistemas mecânicos são similares à sistemas elétricos com múltiplas 
malhas ou nós  Mais de uma equação diferencial é necessária para descrever 
tais sistemas 
 
 Em sistemas mecânicos o número de equações necessárias é igual ao número 
de movimentos lineares independentes. Um movimento linear independente 
significa que um determinado ponto de movimento ainda pode se movimentar 
mesmo se todos os outros pontos de movimento forem fixados. Sistemas com 
estas características possuem mais de um grau de liberdade. 
 
 Em sistemas com dois graus de liberdade, um ponto do movimento pode ser 
fixado enquanto o outro ponto se move sobre a influência da força aplicada. 
 
 Para facilitar desenhamos o diagrama de forças em cada bloco e usamos o 
princípio da superposição. 
 
Sistemas mecânicos 
(translação) 
Prof. Marcio Kimpara 5 
Sistema com dois graus de liberdade 
 
Encontre a função de transferência X2(s) / F(s) do sistema abaixo. 
Sistemas mecânicos 
(translação) 
Prof. Marcio Kimpara 6 
Forças em M1 devido ao seu 
próprio movimento 
Forças em M1 devido ao 
movimento de M2 
Neste caso, devemos analisar as forças separadamente em cada bloco. Além 
disso, para cada bloco, iremos trabalhar com (1) forças atuantes devido seu 
próprio movimento e (2) forças atuantes devido ao movimento do outro bloco. 
Uma dica para identificar as forças em M1, por exemplo, é considerar M2 parado 
e movimentar M1 para a direita, depois realizar a análise similar para o bloco M2, 
com M1 parado. 
Sistemas mecânicos 
(translação) 
Prof. Marcio Kimpara 7 
Forças em M1 decorrente 
do seu próprio movimento 
Forças em M2 decorrente 
do seu próprio movimento 
Forças em M1 devido M2 
Forças em M2 devido M1 
Superposição das forças 
Superposição das forças 
Sistemas mecânicos 
(translação) 
Prof. Marcio Kimpara 8 
Superposição das forças em M1: 
    0)()()()()()( 23221
2
1131121  sFssXfsXKsXsMssXffsXKK vvv
0F
Superposição das forças em M2: 
    0)()()()()( 13122
2
2232232  ssXfsXKsXsMssXffsXKK vvv
0F
Podemos escrever: 
       0)()( 2323222123  sXKKsffsMsXKsf vvv
       )()()( 2231213121 sFsXKsfsXKKsffsM vvv 
Sistemas mecânicos 
(translação) 
Prof. Marcio Kimpara 9 
Temos duas equações e duas variáveis. Podemos resolver este sistema 
organizando matricialmente as expressões anteriores: 
Podemos, então, encontrar a função de transferência X2(s)/F(s) da seguinte 
maneira: 
     
      


















0
)(
)(
)(
2
1
3232
2
223
232131
2
1
sF
sX
sX
KKsffsMKsf
KsfKKsffsM
vvv
vvv
   
 
     
     















3232
2
223
232131
2
1
23
2131
2
1
2
det
0
)(
det
)(
KKsffsMKsf
KsfKKsffsM
Ksf
sFKKsffsM
sX
vvv
vvv
v
vv
Sistemas mecânicos 
(translação) 
Prof. Marcio Kimpara 10 
 

 23 Ksfv
)(sF )(2 sX
     
     







3232
2
223
232131
2
1det
KKsffsMKsf
KsfKKsffsM
vvv
vvv
Onde: 
Sistemas mecânicos 
(translação) 
Prof. Marcio Kimpara 11 
De forma geral (observe a matriz do slide 9): 























1
2
21
1
1
 em aplicadas
 forças das Soma
)(
 e entre
simpedância das Soma
)(
 em
movimento ao conectadas
simpedância das Soma
x
sX
xx
sX
x
























2
2
2
1
21 em aplicadas
 forças das Soma
)(
 em
movimento ao conectadas
simpedância das Soma
)(
 e entre
simpedância das Soma
x
sX
x
sX
xx
Sistemas mecânicos 
(translação) 
Prof. Marcio Kimpara 12 
EXEMPLO: 
Escreva as equações para o movimento do sistema acima. 
Resolvido quadro (aula) 
Sistemas mecânicos 
(rotação) 
Prof. Marcio Kimpara 13 
Sistemas mecânicos rotacionais são tratados da mesma maneira que 
sistemas mecânicos em movimento de translação, exceto por: 
 
• Torque (T) substitui Força (F) 
• Deslocamento angular (θ) substitui deslocamento translacional (x) 
• Inércia (J) substitui massa (M) 
 
Os elementos dos sistemas mecânicos rotacionais são os mesmos 
dos sistemas mecânicos translacionais. 
A tabela a seguir relaciona torque, velocidade angular (ω) e 
deslocamento angular. 
 
Sistemas mecânicos 
(rotação) 
Prof. Marcio Kimpara 14 
Elemento Torque (tempo) Laplace 
Mola 
Amortecedor 
Inércia 
)(.)( tKtT 
)(.)( tDtT 
dt
td
JtT
)(
.)(


)(.)( sKsT 
)(..)( ssDsT 
)(..)( 2 ssJsT 
J
T(t) θ(t)
T(t) θ(t)
D
T(t) θ(t)
K
Sistemas mecânicos 
(rotação) 
Prof. Marcio Kimpara 15 
Exemplo: 
Obtenha a função de transferência θ2(s) / T(s) 
De maneira similar ao sistema translacional anterior, existem 2 graus de 
liberdade uma vez que cada inércia pode ser rotacionada enquanto a outra 
permanece fixa. 
Desenhando o diagrama de blocos com as forças agindo em cada inércia e 
aplicando o princípio da superposição, podemos montar as equações deste 
sistema. 
Sistemas mecânicos 
(rotação) 
Prof. Marcio Kimpara 16 
Sistemas mecânicos 
(rotação) 
Prof. Marcio Kimpara 17 
O somatório de torques em J1 e J2 pode ser descrito como, 
Reorganizando na forma matricial, obtém-se: 
 
  0)()(
)()()(
22
2
21
211
2
1


sKsDsJsK
sTsKsKsDsJ


 
  


















0
)(
)(
)(
2
1
2
2
2
1
2
1
sT
s
s
KsDsJK
KKsDsJ


Sistemas mecânicos 
(rotação) 
Prof. Marcio Kimpara 18 
)(sT )(2 s

K
Resolvendo para θ2:  
 
 















KsDsJK
KKsDsJ
K
sTKsDsJ
s
2
2
2
1
2
1
1
2
1
2
det
0
)(
det
)(
 
 







KsDsJK
KKsDsJ
2
2
2
1
2
1det
Portanto: 
Onde: 
Sistemas mecânicos 
(rotação) 
Prof. Marcio Kimpara 19 
Analogamente aos sistemas já estudados, e de forma geral: 























1
2
21
1
1
 em aplicados
 torquesdos Soma
)(
 e entre
simpedância das Soma)(
 em
movimento ao conectadas
simpedância das Soma

ss
























2
2
2
1
21 em aplicados
 torquesdos Soma
)(
 em
movimento ao conectadas
simpedância das Soma
)(
 e entre
simpedância das Soma

 ss
Sistemas mecânicos 
(engrenagens) 
Prof. Marcio Kimpara 20 
Sistemas mecânicos raramente se apresentam desprovidos de engrenagens. 
Engrenagens proporcionam vantagens em sistemas rotacionais. Se você já 
pedalou uma bicicleta com marchas, certamente conhece estas vantagens. 
Se admitirmos que as engrenagens 
não absorvam nem armazenam 
energia, podemos escrever: 
2211  rr 
2
1
2
1
1
2
N
N
r
r



Para o sistema ilustrado temos que a 
distância percorrida ao longo de cada 
circunferência é a mesma, logo: 
ou 
2211  TT 
1
2
2
1
1
2
N
N
T
T



ou 
Sistemas mecânicos 
(engrenagens) 
Prof. Marcio Kimpara 21 
Exemplo: 
Em sistemas girantes baseados em engrenagens temos as situações 
ilustradas abaixo: 
2
1
N
N
1
2
N
N
1 2 2T1T
Sistemas mecânicos 
(engrenagens) 
Prof. Marcio Kimpara 22 
Assim, podemos refletir T1 na inércia J multiplicando-se por N2/N1. O 
resultado é ilustrado a seguir: 
Eliminando a engrenagem, o sistema agora já é conhecido (discutido 
anteriormente) e a equação de movimento é dada por: 
 
1
2
12
2 )()(
N
N
sTsKDsJs  
Sistemas mecânicos 
(engrenagens) 
Prof. Marcio Kimpara 23 
Podemos ainda escrever , deste modo tem-se: 
Simplificando-se: 
)()( 1
2
1
2 s
N
N
s  
 
1
2
11
2
12 )()(
N
N
sTs
N
N
KDsJs  
)()( 11
2
2
1
2
2
12
2
2
1 sTs
N
N
Ks
N
N
Ds
N
N
J 

























 
Sistemas mecânicos 
(engrenagens) 
Prof. Marcio Kimpara 24 
Redesenhando: 
Conclusão: 
As impedâncias mecânicas em rotação podem ser refletidas por meio de 
trens de engrenagens multiplicando-se a impedância mecânica pela relação: 
2
origem de eixo do engrenagem da dentes de Número
destino de eixo do engrenagem da dentes de Número






Sistemas mecânicos 
(engrenagens) 
Prof. Marcio Kimpara 25 
Exemplo: 
Obter a função de transferência, θ2(s)/T1(s) 
Sistemas mecânicos 
(engrenagens) 
Prof. Marcio Kimpara 26 
Refletindo as impedâncias: 
Portanto, para este exemplo, a equação de torques pode ser descrita 
como: 
 
1
2
12
2 )()(
N
N
sTsKsDsJ eee  
Sistemas mecânicos 
(engrenagens) 
Prof. Marcio Kimpara 27 
A função de transferência, portanto, é dada por: 
eee KsDsJ
N
N
sT
s


2
1
2
1
2
)(
)(
Sistemas mecânicos 
(engrenagens) 
Prof. Marcio Kimpara 28 
Para sistemas com múltiplas engrenagens em cascata, a ideia é a 
mesma: 
Sistemas elétricos 
(mais de 1 malha) 
Prof. Marcio Kimpara 29 























2 malha da
 longo ao aplicadas
 tensõesdas Soma
)(
2 malha da longo ao
simpedância das Soma
)(
malhas duas às comum
simpedância das Soma
21 sIsI






















1 malha da
 longo ao aplicadas
 tensõesdas Soma
)(
malhas duas às comum
simpedância das Soma
)(
1 malha da longo ao
simpedância das Soma
21 sIsI
Sistemas elétricos 
(mais de 1 malha) 
Prof. Marcio Kimpara 30 
Soma das impedâncias 
conectadas à malha 1 
- Soma das impedâncias 
 comum às duas malhas 
- Soma das impedâncias 
 comum às duas malhas 
Soma das impedâncias 
conectadas à malha 2 
I1(s) 
I2(s) 
Soma das tensões 
aplicadas em 1 
Soma das tensões 
aplicadas em 2 
= 
Exercício 
Prof. Marcio Kimpara 31 
V(t)
1Ω
+
-
VL(t)
1H
1Ω
1H
Determine a função de transferência G(s) = VL(s)/V(s) 
Exercício 
Solução 
Prof. Marcio Kimpara 32 
1) Reescrever as impedâncias para o domínio de Laplace 
2) Encontrar a corrente na malha 2 através da abordagem matricial 




















0
)(
)(
)(
21
11
2
1 sV
sI
sI
s
s
V(s)
R
+
-
VL(s)
Ls
R
Ls
V(s)
1
+
-
VL(s)
1s
1
1s
Exercício 
Solução 
Prof. Marcio Kimpara 33 
3) Encontre a expressão de saída 
13
)(
..1)(
)(..)(
2
2



ss
sV
ssV
sIsLsV
L
L
13
)(
)( 
123
)(
21
11
det
01
)(1
det
)(
2222 




















ss
sV
sI
ss
sV
s
s
sVs
sI
Exercício 
Solução 
Prof. Marcio Kimpara 34 
4) Escreva a função de transferência 
)(
)(
.
sV
sV
TF L 13
)(
2 

ss
s
sG
Referência 
Prof. Marcio Kimpara 35 
O conteúdo desta aula foi, na sua maioria, extraído do livro: 
 
 
 
 
Control Systems Engineering – 4ª Edição 
(Norman S. Nise)