Atividade de Aprofundamento 6.pdf

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Universidade Cruzeiro do Sul
Aluno: xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx Rgm.: 000000-0
Nesta atividade vamos utilizar os conhecimentos de Interpolação Polinomial para resolver uma situação problema.
Uma fábrica despeja dejetos resultantes de seu processo de fabricação que ainda não são reutilizados, de forma
variável, no leito de um rio. Um funcionário observou a quantidade (em quilogramas) despejada durante o dia e registrou
as informações na tabela a seguir:
O problema consiste em saber a quantidade expelida durante o dia e para isso vamos aproximar os dados, por uma
curva polinomial.
Item 1: Faça um gráfico com os pontos obtidos
Item 2: Determine o polinômio interpolador, pelo método de Lagrange, fazendo os seguintes ajustes: mudança de
variável, utilizando a quantidade de horas a partir do início da operação da fábrica, ou seja, as 8h.
Número de horas após as 8h 0 2 5 9
Quantidade de dejetos (kg/h) 2,1 3 4,3 1,5
Item 3: Estime qual a quantidade, em quilogramas, despejada às 15h
Resolução
Item 1 – Gráfico relação horário de observação por quantidade de dejetos.
Horário de Observação 8h 10h 13h 17h
Quantidade de dejetos (kg/h) 2,1 3 4,3 1,5
0
0,2
0,4
0,6
0,8
1
1,2
1,4
1,6
1,8
2
2,2
2,4
2,6
2,8
3
3,2
3,4
3,6
3,8
4
4,2
4,4
4,6
4,8
5
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Dejetos por Hora (Kg/h)
Desejos por Hora (Kg/h)
Item 2 - Polinômio interpolador, pelo método de Lagrange
1º passo - Construir o polinômio de Lagrange, de acordo com o grau estabelecido:
P3(x) = y0L0(x) + y1L1(x) + y2L2(x) + y3L3(x)
P3(x) = 2,1.L0(x) + 3.L1(x) + 4,3.L2(x) + 1,5.L3(x)
2º passo - Vamos obter cada um dos Lagrangeanos, de acordo com a tabela:
Lagrangeano L0: 0( ) = ( )( )( )( )( )( ) 0( ) = ( − 2)( − 5)( − 9)(0 − 2)(0 − 5)(0 − 9)
0( ) = ( − 2)( − 5)( − 9)(−2)(−5)(−9)
0( ) = − ( − 2)( − 5)( − 9)90
Lagrangeano L1: 1( ) = ( )( )( )( )( )( )
1( ) = ( − 0)( − 5)( − 9)(2 − 0)(2 − 5)(2 − 9)
1( ) = ( )( − 5)( − 9)(2)(−3)(−7)
1( ) = ( )( − 5)( − 9)42
Lagrangeano L2: 2( ) = ( )( )( )( )( )( ) 2( ) = ( − 0)( − 2)( − 9)(5 − 0)(5 − 2)(5 − 9)
2( ) = ( )( − 2)( − 9)(5)(3)(−4)
2( ) = − ( )( − 2)( − 9)60
Lagrangeano L3: 0( ) = ( )( )( )( )( )( )
0( ) = ( − 0)( − 2)( − 5)(9 − 0)(9 − 2)(9 − 5)
0( ) = ( )( − 2)( − 5)(9)(7)(4)
0( ) = ( )( − 2)( − 5)252
3º passo - Substituindo os Lagrangeanos no polinômio de Lagrange, temos:3( ) = 0 . 0( ) + 1 . 1( ) + 2 . 2( ) + 3. 3( )3( ) = 2,1 . 0( ) + 3 . 1( ) + 4,3 . 2( ) + 1,5. 3( )3( ) = 2,1 . − ( − 2)( − 5)( − 9)90 + 3 . ( )( − 5)( − 9)42 + 4,3 . − ( )( − 2)( − 9)60 + 1,5 . ( )( − 2)( − 5)252
3( ) = 2,1 . − ( − 16 ² + 73 − 90)90 + 3 . ( − 14 + 45 )42 + 4,3 . − ( − 11 + 18 )60 + 1,5 . ( − 7 + 10 )252
X0 X1 X2 X3
Número de horas após as 8h 0 2 5 9
Y0 Y1 Y2 Y3
Quantidade de dejetos (kg/h) 2,1 3 4,3 1,5
Item 3 - Estimativa da quantidade, em quilogramas, despejada às 15h.= Δ ∴ = − ∴ = 15 − 8 ∴ = 7
1º passo - Construir o polinômio de Lagrange, de acordo com o grau estabelecido:
P3(x) = y0L0(x) + y1L1(x) + y2L2(x) + y3L3(x)
P3(x) = 2,1.L0(x) + 3.L1(x) + 4,3.L2(x) + 1,5.L3(x)
2º passo - Vamos obter cada um dos Lagrangeanos, de acordo com a tabela:
Lagrangeano L0: 0( ) = ( )( )( )( )( )( )0( ) = ( − 2)( − 5)( − 9)(0 − 2)(0 − 5)(0 − 9)
0( ) = ( − 2)( − 5)( − 9)(−2)(−5)(−9)
0( ) = − ( − 2)( − 5)( − 9)90
0( ) = − (7 − 2)(7 − 5)(7 − 9)90
0( ) = − (5)(2)(−2)900( ) = 20900( ) = 29 0,222222222
Lagrangeano L1: 1( ) = ( )( )( )( )( )( )1( ) = ( − 0)( − 5)( − 9)(2 − 0)(2 − 5)(2 − 9)
1( ) = ( )( − 5)( − 9)(2)(−3)(−7)
1( ) = ( )( − 5)( − 9)42
1( ) = (7)(7 − 5)(7 − 9)42
1( ) = (7)(2)(−2)421( ) = −28421( ) = −23 − 0,666666666
X0 X1 X2 X3
Número de horas após as 8h 0 2 5 9
Y0 Y1 Y2 Y3
Quantidade de dejetos (kg/h) 2,1 3 4,3 1,5
Lagrangeano L2: 2( ) = ( )( )( )( )( )( )2( ) = ( − 0)( − 2)( − 9)(5 − 0)(5 − 2)(5 − 9)
2( ) = ( )( − 2)( − 9)(5)(3)(−4)
2( ) = − ( )( − 2)( − 9)60
2( ) = − (7)(7 − 2)(7 − 9)60
2( ) = − (7)(5)(−2)602( ) = 70602( ) = 76 1,166666667
Lagrangeano L3: 0( ) = ( )( )( )( )( )( )0( ) = ( − 0)( − 2)( − 5)(9 − 0)(9 − 2)(9 − 5)
0( ) = ( )( − 2)( − 5)(9)(7)(4)
0( ) = ( )( − 2)( − 5)252
0( ) = (7)(7 − 2)(7 − 5)252
0( ) = (7)(5)(2)2520( ) = 702520( ) = 518 0,277777777
3º passo - Substituindo os Lagrangeanos no polinômio de Lagrange, temos:3( ) = 0 . 0( ) + 1 . 1( ) + 2 . 2( ) + 3. 3( )3( ) = 2,1 . 0( ) + 3 . 1( ) + 4,3 . 2( ) + 1,5. 3( )3( ) = 2,1 . − ( − 2)( − 5)( − 9)90 + 3 . ( )( − 5)( − 9)42 + 4,3 . − ( )( − 2)( − 9)60 + 1,5 . ( )( − 2)( − 5)252
3( ) = 2,1 . − ( − 16 ² + 73 − 90)90 + 3 . ( − 14 + 45 )42 + 4,3 . − ( − 11 + 18 )60 + 1,5 . ( − 7 + 10 )252
3( ) = 2,1 . − (7) − 16. (7)² + 73. (7) − 9090 + 3 . (7) − 14. (7) + 45(7)42 + 4,3 . − (7) − 11. (7)² + 18(7)60 + 1,5 . (7) − 7. (7) + 10. (7)252
3( ) = 2,1 . 29 + 3 . −23 + 4,3 . 76 + 1,5 . 5183( ) = 4,29 + −63 + 30,16 + 7,5183( ) = 3910 3,9