Esboço de gráficos

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Esboço de gráficos
Cálculo 1 — 2016/1
Roteiro para esboço de gráficos de funções
1. Determine o domínio da função.
2. Determine os pontos de descontinuidade da função.
3. Identifique os interceptos y e x.
4. Verifique se a função é par, ímpar ou nenhuma das duas.
5. Determine as assíntotas verticais, horizontais e oblíquas.
6. Determine os intervalos onde a função é crescente ou decrescente
e localize seus pontos críticos.
7. Determine os intervalos onde a função tem concavidade para cima
ou para baixo.
8. Identifique os pontos de máximos e mínimos locais.
9. Identifique os pontos de inflexão.
Exemplos
1. Esboce o gráfico da função y(x)= x
2−8x+12
x2
.
Solução 1. Seguimos o roteiro acima.
1. Determine o domínio da função.
A função está definida para todo x 6= 0.
2. Determine os pontos de descontinuidade da função.
O único ponto de descontinuidade da função é x = 0.
3. Identifique os interceptos y e x.
Como x = 0 não pertence ao domínio da função, segue-se que não
existe intercepto y .
Para determinar os interceptos x, resolvemos a equação
y(x)= x
2−8x+12
x2
= 0⇔ x2−8x+12= 0
e obtemos os zeros da função, a saber, x1 = 2 ou x2 = 6; os intercep-
tos x são (2,0) e (6,0).
4. Verifique se a função é par, ímpar ou nenhuma das duas.
A função y(x)= x
2−8x+12
x2
não é par e nem ímpar; por exemplo,
y(−1)= 21 e y(1)= 5 que não se relacionam.
5. Determine as assíntotas verticais, horizontais e oblíquas.
Para determinar as assíntotas horizontais avaliamos os seguintes
limites no infinito positivo e negativo:
• lim
x→+∞
x2−8x+12
x2
= 1;
logo, a reta y = 1 é assíntota horizontal (pela direita);
• lim
x→−∞
x2−8x+12
x2
= 1;
logo, a reta y = 1 é assíntota horizontal (pela esquerda).
Para determinar se existe assíntota vertical avaliamos os seguintes
limites no ponto de descontinuidade x = 0:
E S B O Ç O D E G R Á F I C O S 2
• lim
x→0+
x2−8x+12
x2
=+∞;
logo, a reta x = 0 é assíntota vertical (pela direita)
• lim
x→0−
x2−8x+12
x2
=+∞;
logo, a reta x = 0 é assíntota vertical (pela esquerda)
6. Determine os intervalos onde a função é crescente ou decrescente
e localize seus pontos críticos.
A derivada primeira da função é y ′(x)= 8(x−3)
x3
. O estudo do sinal
da derivada primeira aparece na Tabela 1.
x −∞← x 0 3 x →+∞
8(x−3) − − − − + +
x3 − − + + + +
y ′(x)= 8(x−3)
x3
+ + − − + +
Tabela 1: Tabela com o estudo do sinal da
derivada primeira y ′(x)= 8(x−3)/x3.
Logo, a função é crescente quando y ′(x) > 0, isto é, quando x < 0
ou quando x > 3 e é decrescente quando y ′(x) < 0, isto é, quando
0< x < 3. Conforme vimos, o único ponto crítico de y(x) é x = 3 (já
que x = 0 não pertence ao domínio da função).
7. Determine os intervalos onde a função tem concavidade para cima
ou para baixo.
A derivada segunda da função é y ′′(x) = 8(9−2x)
x4
. O estudo do
sinal da derivada segunda aparece na Tabela 2.
x −∞← x 0 9/2 x →+∞
8(9−2x) + + + + − −
x4 + + + + + +
y ′′(x)= 8(9−2x)
x4
+ + + + − −
Tabela 2: Tabela com o estudo do sinal da
derivada segunda y ′′(x)= 8(9−2x)/x4.
Logo, a função tem concavidade para cima quando y ′′(x) > 0, isto
é, quando x < 0 ou quando 0 < x < 9/2 e tem concavidade para
baixo quando y ′′(x)< 0, isto é, x > 9/2; como a concavidade muda
de sinal no ponto x = 9/2, este é um ponto de inflexão b .
8. Identifique os pontos de máximos e mínimos locais.
Os sinais das derivadas primeira e segunda aparecem na Tabela 3.
x −∞← x 0 3 9/2 x →+∞
y ′(x) + + − − + + + +
y ′′(x) + + + + + + − −
Tabela 3: Tabela com o estudo dos sinais
das derivadas primeira y ′(x) = 8(x −3)/x3
e segunda y ′′(x)= 8(9−2x)/x4.
Observamos que a função é decrescente próximo e à esquerda do
ponto crítico x = 3 pois a derivada é negativa nessa região; além
disso, a função é crescente próximo e à direita do ponto crítico
x = 3 pois a derivada primeira é positiva nessa região. Pelo Teste da
Derivada Primeira, concluímos que x = 3 é um ponto de mínimo
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local b . Podemos confirmar essa afirmativa observando que a de-
rivada primeira vale zero no ponto x = 3 e que a derivada segunda é
positiva nesse ponto. Pelo Teste da Derivada Segunda, concluímos
novamente que x = 3 é um ponto de mínimo local. Não há pontos
de máximos locais para a função y(x).
9. Identifique os pontos de inflexão.
Como já observamos, a derivada segunda muda de sinal no ponto
x = 9/2 que é, portanto, um ponto de inflexão do gráfico de y(x).
O gráfico da função y(x)= x
2−8x+12
x2
é apresentado a seguir.
x y(x)= x
2−8x+12
x2
−7 117/49
−6 8/3
−5 77/25
−4 15/4
−3 5
−2 8
−1 21
1 5
2 0
3 −1/3
4 −1/4
9/2 −5/27
5 −3/25
6 0
7 5/49
8 3/16
9 7/27
Tabela 4: Tabela com alguns valores da
função y(x) = x
2−8x+12
x2
. O ponto crí-
tico é x = 3; o ponto de inflexão é x = 9/2.
1
2
3
4
5
−1
−2
−3
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10−1−2−3−4−5−6−7−8−9−10 x
y
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
y(x) =
x2 − 8x+ 12
x2
b
b
Ponto de inflexão
Ponto de mínimo
Assíntota horizontal
Assíntota vertical
y′(x) > 0
y′′(x) > 0
y′(x) < 0
y′′(x) > 0
y′(x) > 0
y′′(x) > 0
y′(x) > 0
y′′(x) < 0
2. Esboce o gráfico da função y(x)= 2x
2−3x−5
x2−x−6 .
Solução 2. Seguimos o roteiro acima.
1. Determine o domínio da função.
O denominador da função racional y(x)= (2x2−3x−5)/(x2−x−6)
anula-se nos pontos em que x2− x−6 = (x+2)(x−3) = 0, ou seja,
nos pontos x = −2 e x = 3. Portanto, a função está definida para
todo x 6= −2 e x 6= 3.
2. Determine os pontos de descontinuidade da função.
Os únicos pontos de descontinuidade da função y(x)= (2x2−3x−
5)/(x2−x−6) são os pontos x =−2 e x = 3.
3. Identifique os interceptos y e x.
Como x = 0 pertence ao domínio da função, segue-se que y(0) =
5/6 e o intercepto y é (0,5/6). Para determinar os interceptos x
resolvemos a equação y(x) = (2x2−3x −5)/(x2− x −6) = 0, isto é,
2x2 − 3x − 5 = (2x − 5)(x + 1) = 0 e obtemos os zeros da função, a
saber, x1 =−1 ou x2 = 5/2; os interceptos x são (−1,0) e (5/2,0).
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4. Verifique se a função é par, ímpar ou nenhuma das duas.
A função y(x) = (2x2−3x −5)/(x2− x −6) não é par e nem ímpar;
por exemplo, y(−1)= 0 e y(1)= 1 que não se relacionam.
5. Determine as assíntotas verticais, horizontais e oblíquas.
Para determinar se existe assíntota vertical avaliamos os seguintes
limites nos pontos de descontinuidade x =−2 e x = 3:
• lim
x→−2−
2x2−3x−5
x2−x−6 = limx→−2−
(2x−5)(x+1)
(x+2)(x−3) =+∞;
logo, a reta x =−2 é assíntota vertical (pela esquerda).
• lim
x→−2+
2x2−3x−5
x2−x−6 = limx→−2+
(2x−5)(x+1)
(x+2)(x−3) =−∞;
logo, a reta x =−2 é assíntota vertical (pela direita).
• lim
x→3−
2x2−3x−5
x2−x−6 = limx→3−
(2x−5)(x+1)
(x+2)(x−3) =−∞;
logo, a reta x = 3 é assíntota vertical (pela esquerda).
• lim
x→3+
2x2−3x−5
x2−x−6 = limx→3+
(2x−5)(x+1)
(x+2)(x−3) =+∞;
logo, a reta x = 3 é assíntota vertical (pela direita).
Para determinar as assíntotas horizontais avaliamos os seguintes
limites no infinito positivo e negativo:
• lim
x→+∞
2x2−3x−5
x2−x−6 = 2;
logo, a reta y = 2 é assíntota horizontal (pela direita);
• lim
x→−∞
2x2−3x−5
x2−x−6 = 2;
logo, a reta y = 2 é assíntota horizontal (pela esquerda).
6. Determine os intervalos onde a função é crescente ou decrescente
e localize seus pontos críticos.
A derivada primeira da função é
y ′(x)= x
2−14x−13
(x2−x−6)2 =
(x−1)(x−13)
(x+2)2(x−3)2 .
O estudo do sinal da derivada primeira aparece na Tabela 5.
x −∞← x −2 1 3 13 x →+∞
(x−1) − − − − + + + + + +
(x−13) − − − − − − − − + +
(x2−x−6)2 + + + + + + + + + +
y ′(x) + + + + − − − − + +
Tabela 5: Tabela com o estudo do sinal
da derivada primeira y ′(x) = (x − 1)(x −
13)/(x2−x−6)2.
Logo, a função y é crescente quando y ′(x) > 0, isto é, quando x <
−2, quando −2 < x < 1 ou quando x > 13 e é decrescente quando
y ′(x)< 0, isto é, quando 1< x < 3 ou quando 3< x < 13. Conforme
vimos, os únicos pontos críticos de y(x) são x = 1 e x = 13 (já que
x =−2 e x = 3 não pertencem ao domínio da função).
7. Determine os intervalos onde a função tem concavidade para cima
ou para baixo.
A derivada segunda da função é
y ′′(x)= −2(x
3−21x2+39x−55)
(x2−x−6)3 =
−2(x3−21x2+39x−55)
(x+2)3(x−3)3 .
Existe um único ponto no qual a derivada segunda se anula; esse
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ponto é x0 ≈ 19,11. O estudo do sinal da derivada segunda aparece
na Tabela 6
x −∞← x −2 3 x0 x →+∞
−2(x3−21x2+39x−55) + + + + + + − −
(x+2)3 − − + + + + + +
(x−3)3 − − − − + + + +
y ′′(x) + + − − + + − −
Tabela 6: Tabela com o estudo do sinal da
derivada segunda y ′′(x) = −2(x3 − 21x2 +
39x−55)/(x2−x−6)3; a derivada segunda
anula-se no ponto x0 ≈ 19,11.
Logo, a função tem concavidade para cima quando x <−2 ou quando
3 < x < x0 e tem concavidade para baixo quando −2 < x < 3 ou
quando x > x0; como a concavidade muda de sinal no ponto x0 ≈
19.11, este é um ponto de inflexão b ; observe que os pontos x =−2
e x = 3 não são pontos de inflexão pois não pertencem ao domínio
da função.
8. Identifique os pontos de máximos e mínimos locais.
Os sinais das derivadas primeira e segunda aparecem na Tabela 7.
x −∞← x −2 1 3 13 ≈ 19.11 x →+∞
y ′(x) + + + + − − − − + + + +
y ′′(x) + + − − − − + + + + − −
Tabela 7: Tabela com o estudo dos sinais
das derivadas primeira y ′(x) = (x − 1)(x −
13)/(x2− x−6) e segunda y ′′(x)=−2(x3−
21x2+39x−55)/(x2−x−6)3.
Observamos que a função é crescente próximo e à esquerda do
ponto crítico x = 1 pois a derivada é positiva nessa região; além
disso, a função é decrescente próximo e à direita do ponto crítico
x = 1 pois a derivada primeira é negativa nessa região. Pelo Teste da
Derivada Primeira, concluímos que x = 1 é um ponto de máximo
local
b
. Podemos confirmar essa afirmativa observando que a de-
rivada primeira vale zero no ponto x = 1 e que a derivada segunda é
negativa nesse ponto, indicando que o gráfico é côncavo para baixo
nesse ponto crítico. Pelo Teste da Derivada Segunda, concluímos
novamente que x = 1 é um ponto de máximo local.
Por outro lado, a função é decrescente próximo e à esquerda do
ponto crítico x = 13 pois a derivada é negativa nessa região; além
disso, a função é crescente próximo e à direita do ponto crítico
x = 13 pois a derivada primeira é positiva nessa região. Pelo Teste
da Derivada Primeira, concluímos que x = 13 é um ponto de mí-
nimo local b . Podemos confirmar essa afirmativa observando
que a derivada primeira vale zero no ponto x = 13 e que a derivada
segunda é positiva nesse ponto, indicando que o gráfico é côncavo
para cima nesse ponto crítico. Pelo Teste da Derivada Segunda,
concluímos novamente que x = 13 é um ponto de mínimo local.
9. Identifique os pontos de inflexão.
Como já observamos, a derivada segunda muda de sinal no ponto
x0 ≈ 19.11 que é, portanto, um ponto de inflexão do gráfico de y(x).
O gráfico da função y(x)= 2x
2−3x−5
x2−x−6 é apresentado a seguir.
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x y(x)= 2x
2−3x−5
x2−x−6
−7 57/25
−6 85/36
−5 5/2
−4 39/14
−3 11/3
−1 0
0 5/6
1 1
2 3/4
4 5/2
5 15/7
6 49/2
7 2
8 99/50
9 65/33
10 55/28
11 51/26
12 247/126
13 49/25
19.11 1.96439
Tabela 8: Tabela com alguns valores da
função y(x)= x
2−8x+12
x2
. Os pontos crí-
ticos são x = 1 e x = 13; o ponto de inflexão
é x0 ≈ 19.11.
1
2
3
4
5
6
7
−1
−2
−3
−4
−5
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21−1−2−3−4−5−6−7−8 x
y
y(x) =
2x2 − 3x− 5
x2 − x− 6
b
b
b
Ponto de inflexão
Ponto de máximo
Ponto de mínimo
Assíntota horizontal
Assíntotas verticais
3. Esboce o gráfico da função y(x)= x
3−2x2−x+2
x2−x−6 .
Solução 3. Seguimos o roteiro acima.
1. Determine o domínio da função.
O denominador da função racional y(x) = x
3−2x2−x+2
x2−x−6 anula-
se nos pontos em que x2 − x − 6 = (x + 2)(x − 3) = 0, ou seja, nos
pontos x = −2 e x = 3. Portanto, a função está definida para todo
x 6= −2 e x 6= 3.
2. Determine os pontos de descontinuidade da função.
Os únicos pontos de descontinuidade da função y(x) são os pontos
x =−2 e x = 3.
3. Identifique os interceptos y e x.
Como x = 0 pertence ao domínio da função, segue-se que y(0) =
−1/3 e o intercepto y é (0,−1/3). Para determinar os interceptos x,
resolvemos a equação y(x)= (x3−2x2− x+2)/(x2− x−6)= 0, isto
é, x3−2x2− x +2 = (x +1)(x −1)(x +2) = 0, e obtemos os zeros da
função, a saber, x1 = −1 ou x2 = 1 ou x3 = 2; os interceptos x são
(−1,0) e (1,0) e (2,0).
4. Verifique se a função é par, ímpar ou nenhuma das duas.
A função y(x)= (x3−2x2−x+2)/(x2−x−6) não é par e nem ímpar.
Por exemplo, y(2)= 0 e a função não está definida para x =−2.
5. Determine as assíntotas verticais, horizontais e oblíquas.
Para determinar se existe assíntota vertical avaliamos os seguintes
limites nos pontos de descontinuidade x =−2 e x = 3:
• lim
x→−2−
x3−2x2−x+2
x2−x−6 = limx→−2−
(x+1)(x−1)(x−2)
(x+2)(x−3) =−∞;
E S B O Ç O D E G R Á F I C O S 7
logo, a reta x =−2 é assíntota vertical (pela esquerda).
• lim
x→−2+
x3−2x2−x+2
x2−x−6 = limx→−2+
(x+1)(x−1)(x−2)
(x+2)(x−3) =+∞;
logo, a reta x =−2 é assíntota vertical (pela direita).
• lim
x→3−
x3−2x2−x+2
x2−x−6 = limx→3−
(x+1)(x−1)(x−2)
(x+2)(x−3) =−∞;
logo, a reta x = 3 é assíntota vertical (pela esquerda).
• lim
x→3+
x3−2x2−x+2
x2−x−6 = limx→3+
(x+1)(x−1)(x−2)
(x+2)(x−3) =+∞;
logo, a reta x = 3 é assíntota vertical (pela direita).
Para determinar as assíntotas horizontais avaliamos os seguintes
limites no infinito positivo e negativo:
• lim
x→+∞
x3−2x2−x+2
x2−x−6 =+∞;
logo, não existe assíntota horizontal pela direita;
• lim
x→−∞
x3−2x2−x+2
x2−x−6 =−∞;
logo, não existe assíntota horizontal pela esquerda.
Para determinar as assíntotas oblíquas efetuamos a divisão entre
os polinômios que definem a função racional e determinamos
y(x)= x
3−2x2−x+2
x2−x−6 = (x−1)+
4x−4
x2−x−6 .
Consequentemente, a reta y = x−1 é uma assíntota oblíqua do grá-
fico de y(x) pois lim±∞(4x−4)/(x2−x−6)= 0.
Outra forma de identificar essa assíntota é descrita a seguir. Come-
çamos avaliando o limite
lim
x→+∞
y(x)
x
= lim
x→+∞
x3−2x2−x+2
x2−x−6
x
= lim
x→+∞
x3−2x2−x+2
x(x2−x−6)
= lim
x→+∞
x3−2x2−x+2
x3−x2−6x = limx→+∞
3x2−4x−1
3x2−2x−6
= lim
x→+∞
6x−4
6x−2 = limx→+∞
6
6
= 1.
Com isso, identificamos que a assíntota oblíqua tem inclinação igual
a 1; logo, sua equação é da forma y = x+b. Para identificar o coefi-
ciente linear b avaliamos o limite
lim
x→+∞
(
y(x)−x)= lim
x→+∞
(x3−2x2−x+2
x2−x−6 −x
)
= lim
x→+∞
x3−2x2−x+2− (x3−x2−6x)
x2−x−6
= lim
x→+∞
−x2+5x+2
x2−x−6 = limx→+∞
−2x+5
2x2−1
= lim
x→+∞
−2
2
=−1.
Com isso, o coeficiente linear da assíntota inclinada vale b = −1 e
a equação da assíntota oblíqua é y = x −1, conforme já havíamos
obtido através da divisão entre os dois polinômios que definem a
função racional.
6. Determine os intervalos onde a função é crescente ou decrescente
e localize seus pontos críticos.
A derivada primeira da função é
y ′(x)= x
4−2x3−15x2+20x+8
(x2−x−6)2 .
E S B O Ç O D E G R Á F I C O S 8
As raízes do polinômio do numerador podem ser obtidas através
de algum método numérico e são, aproximadamente, x1 ≈−3.57865,
x2 ≈−0.324843, x3 ≈ 1.59858 e x4 ≈ 4.30492; logo, x4−2x3−15x2+
20x+8= (x−x1)(x−x2)(x−x3)(x−x4). Com isso, podemos escrever
a derivada na forma
y ′(x)= x
4−2x3−15x2+20x+8
(x2−x−6)2 =
(x−x1)(x−x2)(x−x3)(x−x4)
(x+2)2(x−3)2 .
O estudo do sinal da derivada primeira aparece na Tabela 9.
x −∞← x x1 −2 x2 x3 3 x4 x →+∞
(x−x1) − − + + + + + + + + + + + +
(x−x2) − − − − − − + + + + + + + +
(x−x3) − − − − − − − − + + + + + +
(x−x4) − − − − − − − − − − − − + +
(x2−x−6)2 + + + + + + + + + + + + + +
y ′(x) + + − − − − + + − − − − + +
Tabela 9: Tabela com o estudo
do sinal da derivada primeira
y ′(x) = x
4−2x3−15x2+20x+8
(x2−x−6)2 . Os
pontos críticos são x1 ≈ −3.57865,
x2 ≈ −0.324843, x3 ≈ 1.59858 e
x4 ≈ 4.30492.
Logo, a função y é crescente quando y ′(x)> 0, isto é, quando x < x1
ou quando x2 < x < x3 ou quando x > x4 e é decrescente quando
y ′(x) < 0, isto é, quando x1 < x < −2 ou quando −2 < x < x2 ou
quando x3 < x < 3 ou quando 3 < x < x4. Conforme vimos, os
únicos pontos críticos de y(x) são x1 ≈ −3.57865, x2 ≈ −0.324843,
x3 ≈ 1.59858 e x4 ≈ 4.30492 (já que x = −2 e x = 3 não pertencem
ao domínio da função).
7. Determine os intervalos onde a função tem concavidade para cima
ou para baixo.
A derivada segunda da função é
y ′′(x)= 8(x
3−3x2+21x−13)
(x2−x−6)3 =
8(x3−3x2+21x−13)
(x+2)3(x−3)3 .
Existe um único ponto no qual a derivada segunda se anula; esse
ponto é x5 ≈ 0.668687. Dessa forma o númerador de y ′′(x) se es-
creve como um produto 8(x3−3x2+21x −13) = 8(x − x5)p(x) em
que p(x) é um polinômio de grau 2 que nunca se anula e que é
sempre positivo. O estudo do sinal da derivada segunda aparece
na Tabela 10.
x −∞← x −2 x5 3 x →+∞
8(x3−3x2+21x−13) − − − − + + + +
(x+2)3 − − + + + + + +
(x−3)3 − − − − − − + +
y ′′(x) − − + + − − + +
Tabela 10: Tabela com o estudo do sinal
da derivada segunda y ′′(x) = 8(x3 − 3x2 +
21x−13)/(x+2)3(x−3)3; o ponto de infle-
xão é x5 ≈ 0.668687.
Logo, a função y(x) tem concavidade para cima quando y ′′(x)> 0,
isto é, quando −2 < x < x5 ou quando x > 3 e tem concavidade
para baixo quando y ′′(x)< 0, isto é, quando x <−2 ou quando x5 <
E S B O Ç O D E G R Á F I C O S 9
x < 3; como a concavidade muda de sinal no ponto x5 ≈ 0.668687,
este é um ponto de inflexão b ; observe que os pontos x = −2 e
x = 3 não são pontos de inflexão pois não pertencem ao domínio
da função.
8. Identifique os pontos de máximos e mínimos locais.
Os sinais das derivadas primeira e segunda aparecem na Tabela 12.
x −∞← x x1 −2 x2 x5 x3 3 x4 x →+∞
y ′(x) + + − − − − + + + + − − − − + +
y ′′(x) − − − − + + + + + + − − + + + +
Tabela 11: Tabela com o estudo
dos sinais das derivadas primeira
y ′(x) = x
4−2x3−15x2+20x+8
(x2−x−6)2 e
segunda y ′′(x) = 8(x
3−3x2+21x−13)
x+2)3(x−3)3 .
Os pontos críticos são x1 ≈ −3.57865,
x2 ≈ −0.324843, x3 ≈ 1.59858 e
x4 ≈ 4.30492; o ponto de inflexão é
x5 ≈ 0.668687.
Observamos que a função é crescente próximo e à esquerda dos
pontos críticos x1 e x3, pois a derivada primeira é positiva nes-
sas regiões; além disso, a função é decrescente próximo e à di-
reita dos pontos críticos x1 e x3 pois a derivada primeira é negativa
nessas regiões. Pelo Teste da Derivada Primeira, concluímos que
x1 ≈ −3.57865 e x3 ≈ 1.59858 são pontos de máximos locais
b
.
Podemos confirmar essas afirmativas observando que a derivada
primeira vale zero nos pontos críticos x1 e x3 e que a derivada se-
gunda é negativa nesses pontos, indicando que o gráfico é côncavo
para baixo nesses pontos críticos. Pelo Teste da Derivada Segunda,
concluímos novamente que x1 ≈−3.57865 e x3 ≈ 1.59858 são pon-
tos de máximos locais.
Observamos também que a função é decrescente próximo e à es-
querda dos pontos críticos x2 e x4, pois a derivada primeira é ne-
gativa nessas regiões; além disso, a função é crescente próximo e
à direita dos pontos críticos x2 e x4 pois a derivada primeira é po-
sitiva nessas regiões. Pelo Teste da Derivada Primeira, concluímos
que x2 ≈ −0.324743 e x4 ≈ 4.30492 são pontos de mínimos locais
b . Podemos confirmar essas afirmativas observando que a deri-
vada primeira vale zero nos pontos críticos x2 e x4 e que a derivada
segunda é positiva nesses pontos, indicando que o gráfico é côn-
cavo para cima nesses pontos críticos. Pelo Teste da Derivada Se-
gunda, concluímos novamente que x2 ≈ −0.324843 e x4 ≈ 4.30492
são pontos de mínimos locais.
9. Identifique os pontos de inflexão.
Como já observamos, a derivada segunda muda de sinal no ponto
x5 ≈ 0.668687 que é, portanto, um ponto de inflexão do gráfico de
y(x).
O gráfico da função y(x)= x
2−8x+12
x2
é apresentado a seguir.
x y(x)
x1 ≈−3.57865 −6.34215
x2 ≈−0.32484 −0.37337
x5 ≈ 0.66869 −0.11830
x3 ≈ 1.59858 0.12381
x4 ≈ 4.30492 4.9117
Tabela 12: Tabela com alguns valores
da função y(x) = x
3−2x2−x+2
x2−x−6 . Os
pontos críticos são x1 ≈ −3.57865, x2 ≈
−0.324843, x3 ≈ 1.59858 e x4 ≈ 4.30492; o
ponto de inflexão é x5 ≈ 0.668687.
E S B O Ç O D E G R Á F I C O S 10
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
−1
−2
−3
−4
−5
−6
−7
−8
−9
−10
1 2 3 4 5 6 7 8−1−2−3−4−5−6−7−8
x
y
b
b
b
b
b
y(x) =
x2 − 8x+ 12
x2
x = −2 x = 3
y = x− 1
4. Esboce o gráfico da função y(x)= ln(x)
x
.
Solução 4. Seguimos o roteiro acima.
1. Determine o domínio da função: x > 0.
2. Determine os pontos de descontinuidade da função: a função é
contínua para todo x > 0.
3. Identifique os interceptos y e x: a função não intercepta o eixo dos
y pois x = 0 não pertence ao domínio da função; o intercepto x
ocorre quando x = e.
4. Verifique se a função é par, ímpar ou nenhuma das duas: a função
não é par e nem ímpar.
5. Determine as assíntotas verticais, as assíntotas horizontais e as as-
síntotas oblíquas.
• lim
x→0+
ln(x)
x
=−∞;
logo, a reta x = 0 é assíntota vertical (pela direita).
• lim
x→+∞
ln(x)
x
= 0;
logo, a reta y = 0 é assíntota horizontal pela direita.
• não existem assíntotas oblíquas.
6. Determine os intervalos onde a função é crescente ou decrescente
e localize seus pontos críticos.
A derivada primeira da função é y ′(x) = 1− ln(x)
x2
. Logo, o único
ponto crítico é tal que y ′(x) = 0, ou seja, x = e. Além disso, y é
crescente quando y ′(x) > 0, isto é, quando 0 < x < e ≈ 2.71828 e é
decrescente quando y ′(x)< 0, isto é, quando x > e≈ 2.71828.
7. Determine os intervalos onde a função tem concavidade para cima
E S B O Ç O D E G R Á F I C O S 11
ou para baixo.
A derivada segunda da função é y ′′(x) = (2ln(x)− 3)/x3. Logo, o
único ponto no qual a derivada segunda se anula é o ponto x =
e3/2 ≈ 4.48169. Dessa forma, a função tem concavidade para baixo
quando y ′′(x) < 0, isto é, quando 0 < x < e3/2 e tem concavidade
para cima quando y ′′(x) > 0, isto é, quando x > e3/2; como a con-
cavidade muda de sinal no ponto x = e3/2, este é um ponto de in-
flexão b .
8. Identifique os pontos de máximos e mínimos locais.
A função é crescente próximo e à esquerda do ponto crítico x = e
pois a derivada primeira é positiva nessa região; além disso, a fun-
ção é decrescente próximo e à direita do ponto crítico x = e pois
a derivada primeira é negativa nessas regiões. Pelo Teste da Deri-
vada Primeira, concluímos que x = e é ponto de máximo local
b
.
Podemos confirmar essa afirmativa observando que a derivada pri-
meira vale zero no ponto crítico x = e e que a derivada segunda é
negativa nesse ponto, indicando que o gráfico é côncavo para baixo
nesse ponto crítico. Pelo Teste da Derivada Segunda, concluímos
novamente que x = e é ponto de máximo local.
9. Identifique os pontos de inflexão.
Como já observamos, a derivada segunda muda de sinal no ponto
x = e3/2 que é, portanto, um ponto de inflexão do gráfico de y(x).
O gráfico da função y(x)= ln(x)
x
é apresentado ao lado.
1
−1
−2
−3
−4
−5
−6
−7
−8
1 2 3 4 5 6 7 8
x
y
b
b
y(x) =
ln(x)
x
5. Esboce o gráfico da função y(x)= x
3p
x2−1
.
Solução 5. Seguimos o roteiro acima.
1. Determine o domínio da função: x 6= ±1.
2. Determine os pontos de descontinuidade da função: x =±1.
3. Identifique os interceptos y e x: O(0,0).
4. Verifique se a função é par, ímpar ou nenhuma das duas: y(−x) =
−x/ 3
√
(−x)2−1 = −x/ 3
p
x2−1 = −y(x) para todo x 6= ±1; logo, a
função é ímpar.
5. Determine as assíntotas verticais, as assíntotas horizontais e as as-
síntotas oblíquas.
• A reta x =−1 é assíntota vertical (pela direita e pela esquerda); a
reta x = 1 é assíntota vertical (pela direita e pela esquerda).
• Não existem assíntotas horizontais e nem assíntotas oblíquas;
entretanto, a curva y(x)= 3px é uma assíntota curvilínea.
2
4
6
8
−2
−4
−6
−8
1 2 3 4 5−1−2−3−4−5
x
y
y(x) =
x
3
√
x2 − 1
y(x) = 3
√
x
6. Determine os intervalos onde a função é crescente ou decrescente
e localize seus pontos críticos.
Temos que y ′(x) > 0 para x < −p3 ou para x > p3; y ′(x) < 0 para
−p3 < x < −1 ou para −1 < x < 1 ou para 1 < x < p3. Logo, os
únicos pontos críticos são x =±p3.
7. Determine os intervalos onde a função tem concavidade para cima
ou para baixo.
E S B O Ç O D E G R Á F I C O S 12
y ′′(x) > 0 para x < 3, para −1 < x < 0 ou para 1 < x < 3; y ′′(x) < 0
para −3 < x < −1, para 0 < x < 1 ou para x > 3;. Logo, os únicos
pontos de inflexão são x = 0 e x =±3.
8. Identifique os pontos de máximos e mínimos locais.
O ponto x =−p3 é ponto de máximo local; o ponto x =p3 é ponto
de mínimo local.
9. Identifique os pontos de inflexão.
Os únicos pontos de inflexão são x = 0 e x =±3.
O gráfico da função y(x)= x
3p
x2−1
é apresentado ao lado.
6. Esboce o gráfico da função y(x)= x
3
√
(x−2)2
.
Solução 6. A figura mostra os gráficos da função, de sua assíntota vertical
e de sua assíntota curvilínea.
2
4
6
8
10
−2
−4
1 2 3 4 5 6 7−1−2−3−4
x
y
y(x) =
x
3
√
(x− 2)2
y(x) = 3
√
x x = 2
7. Esboce o gráfico da função y(x)= 4x
x2+4 .
Solução 7. A figura mostra os gráficos da função e de suas duas primeiras
derivadas, indicando os pontos de máximos e mínimos locais e globais e
os pontos de inflexão.
1
−1
1 2 3 4 5 6 7 8−1−2−3−4−5−6−7−8
x
y
b
b
b
b
b
y(x) =
4x
x2 + 4
8. Esboce o gráfico da função y(x)=
p
x2+5x+1 para x Ê 0.
Solução 8. A figura mostra os gráficos da função e de sua assíntota incli-
nada.
1
2
3
4
5
6
7
−1
1 2 3 4 5 6 7 8−1
x
y
y(x) =
√
x2 + 5x + 1
y(x) = x +
5
2
9. Esboce o gráfico da função y(x)= e−x2 .
Solução 9.
10. Esboce o gráfico da função y(x)= x e−x .
Solução 10.
11. Esboce o gráfico da função y(x)= x
2
p
x2−4
.
Solução 11. A figura mostra os gráficos da função e de suas duas primei-
ras derivadas, indicando os pontos de mínimos locais e globais bem como
suas duas assíntotas oblíquas.
1
2
3
4
5
6
7
−1
−2
−3
1 2 3 4 5 6 7 8−1−2−3−4−5−6−7−8
x
y
bb
y(x) =
x2√
x2 − 4
y(x) = xy(x) = −x
x = 2x = −2
12. Esboce o gráfico da função y(x)= x
2−3x
2x−2 .
Solução 12. A figura mostra os gráficos da função e de suas duas primei-
ras derivadas, indicando a assíntota vertical e a assíntota inclinada.
1
2
3
4
5
6
7
−1
−2
−3
−4
−5
−6
−7
1 2 3 4 5 6 7 8−1−2−3−4−5−6−7−8
x
y
y(x) =
x2 − 3x
2x− 2
y(x) =
x
2
− 1
	Roteiro para esboço de gráficos de funções
	Exemplos