Matemática 1(Exercícios e Explicação)

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UNIVERSIDADE FEDERAL DO PARANA´
LISTA PERMANENTE DE EXERCI´CIOS - CMB122 - 2016
PROFESSOR JOSE´ RENATO RAMOS BARBOSA
Observac¸o˜es Auxiliares para a Resoluc¸a˜o da Lista:
• Estudamos em sala o espac¸o R2 dos vetores ~u,~v, ~w representados por pares ordena-
dos de nu´meros reais. Este, como vimos, e´ dotado de duas operac¸o˜es ‘coordenada-
a-coordenada’: a adic¸a˜o ~u+~v e a multiplicac¸a˜o α~w com escalar α real.
~u
~v
~u+~v
~w
α~w com α > 1
α~w com 0 < α < 1
α~w com −1 < α < 0
α~w com α < −1
Ainda, estudamos o produto interno (escalar)
~u ·~v,
calculado via a soma dos produtos das coordenadas respectivas de ~u e ~v, e o mo´dulo
(comprimento)
||~w|| =
√
~w · ~w u.c..
(O´bvio que tambe´m podemos calcular ~u+ ~w, ~v+ ~w, α~u, α~v, ~u · ~w, ~v · ~w, ||~u|| e ||~v||.)
Todas tais operac¸o˜es e suas propriedades,1 bem como verificac¸o˜es das mesmas, foram
vistas geometricamente,2 algebricamente e numericamente.
• ~i = (1, 0) e~j = (0, 1).
~i
~j
∣∣∣∣∣∣~i∣∣∣∣∣∣ = ∣∣∣∣∣∣~j∣∣∣∣∣∣ = 1 u.c.
• ~u, ~v e ~w, aqui, teˆm a origem do plano cartesiano como ponto inicial.
1Exemplos: comutatividade tanto da adic¸a˜o quanto do produto interno de vetores; o mo´dulo do mu´ltiplo
escalar de um vetor iguala o produto do mo´dulo de tal escalar pelo mo´dulo de tal vetor;~0 = (0, 0) e´ o elemento
neutro aditivo; etc.
2Por exemplo, como ilustrado na figura anterior.
1
x
y
~u
~v
~w
• Aqui, aˆngulos sa˜o medidos em radianos. Contudo, eventuais respostas podem vir em
graus.
• Em aula, vimos que:
– Matrizes sa˜o denotadas por A, B,C.
– Entradas de A sa˜o representadas por aij (com representac¸o˜es similares valendo
para B,C). Por exemplo, se A e´ ‘m× n’, enta˜o
A =


a11 a12 · · · a1n
a21 a22 · · · a2n
...
...
...
...
am1 am2 · · · amn


com ı´ndices i = 1, 2, . . . ,m e j = 1, 2, . . . , n.
– Todas tais entradas sa˜o nu´meros reais.
– Para i fixo e j varia´vel, temos a i-e´sima linha de A:
A(i,−) = [ ai1 ai2 · · · ain ] .
– Para i varia´vel e j fixo, temos a j-e´sima coluna de A:
A(−, j) =


a1j
a2j
...
amj

 .
– A igualdade de A e B, ambas m× n, e´ estabelecida via
A = B ⇔ aij = bij
para i = 1, 2, . . . ,m e j = 1, 2, . . . , n.
– Por abuso de notac¸a˜o, 0 denota a matriz cujas entradas sa˜o nulas, isto e´,
A = 0⇔ aij = 0
com ı´ndices i, j variando como anteriormente. Por tal motivo, esta e´ chamada de
matriz nula.
– Temos duas operac¸o˜es ’entrada-a-entrada’: a adic¸a˜o A+ B, A, B m× n, e a multi-
plicac¸a˜o αC, α ∈ R.3
3Claro que tambe´m podemos calcular αA, αB e, caso C seja m× n, tambe´m A+ C, B+ C.
2
– Temos uma operac¸a˜o ‘linha-por-coluna’: amultiplicac¸a˜o AB, A m× p e B p× n, tal
que
C = AB ⇔ cij = ai1b1j + ai2b2j + · · ·+ aipbpj
com i = 1, 2, . . . ,m e j = 1, 2, . . . , n.
(Neste caso, denota-se cij = A(i,−) · B(−, j).)
– Temos a operac¸a˜o de transposic¸a˜o: Para A m× n, temos
At =


a11 a21 · · · am1
a12 a22 · · · am2
...
...
...
...
a1n a2n · · · amn

 .
Isto significa que
B = At ⇔ bij = aji
com i = 1, 2, . . . , n e j = 1, 2, . . . ,m.
– Como o produto AB de matrizes se comporta sob a ac¸a˜o da transposic¸a˜o?
Pode ser demonstrado que
(AB)t = BtAt.
– Dizer que uma matriz A e´ sime´trica significa que
At = A.
– Existem algumas propriedades relativas as operac¸o˜es anteriores.4 Justificativas
alge´bricas foram dadas para validar as mesmas.
– Dizer que uma matriz m× n e´ quadrada significa que m = n. Neste caso, dizemos
que tal matriz e´ de ordem n.
– Uma matriz quadrada cujas entradas de sua diagonal principal sa˜o todas iguais a 1
e todas as suas outras entradas sa˜o nulas e´ chamada de identidade e denotada por
I:
I =


1
1 zeros
. . .
zeros 1
1

 .
– Se A e´ m× p, I e´ p× p e B e´ p× n, enta˜o
AI = A e IB = B,
isto e´, multiplicar matrizes por I, tanto a esquerda quanto a direita, na˜o tem qual-
quer efeito sobre tais matrizes, isto e´, I e´ um elemento neutro multiplicativo.
4Por exemplo, a adic¸a˜o de matrizes e´ comutativa e associativa.
3
– Para A n × n com n > 1, Aij denota a matriz (n − 1) × (n − 1) obtida de A
eliminando-se A(i,−) e A(−, j).5
Considere, por exemplo, a matriz 3× 3 dada por
A =

 1 2 34 5 6
7 8 9

 .
Obtemos daı´ as seguintes matrizes 2× 2:
∗ A12 =
[
4 6
7 9
]
, eliminando-se A(1,−) e A(−, 2);
∗ A23 =
[
1 2
7 8
]
, eliminando-se A(2,−) e A(−, 3);
∗ A31 =
[
2 3
5 6
]
, eliminando-se A(3,−) e A(−, 1).
– Para A n× n, o det A e´ calculado recursivamente ao longo da linha i do seguinte
modo:
∗ Se n = 1, isto e´, A = [a11], enta˜o det A = a11;
∗ Se n > 1, enta˜o
det A = (−1)i+1ai1 det Ai1 + (−1)i+2ai2 det Ai2 + · · ·+ (−1)i+nain det Ain.
Demonstra-se que o valor de det A na˜o depende da linha i.
– Para matrizes quadradas, temos que:
∗ o determinante do produto e´ igual ao produto dos determinantes;
∗ a transposic¸a˜o na˜o altera o determinante.
– Desta u´ltima regra, segue que tambe´m podemos calcular o determinante ao longo
de qualquer coluna j:
det A = (−1)1+ja1j det A1j + (−1)2+ja2j det A2j + · · ·+ (−1)n+janj det Anj
com A n× n.
– Uma boa dica para calcular o determinante de uma matriz e´ escolher entre todas
as linhas e colunas da mesma, aquela com omaior nu´mero de zeros. Neste caso, o
determinante de tal matriz e´ zero se a mesma tem uma linha nula ou uma coluna
nula.
– A matriz aumentada do sistema linear 2× 2{ −x + 2y = −1
3x + 4y = 0
e´ 2× 3 e dada por [ −1 2 | −1
3 4 | 0
]
.
5Aij e´ a A sem a linha e a coluna que se cruzam na entrada aij.
4
O conjunto soluc¸a˜o, S, consiste de todos os pares ordenados (x, y) de nu´meros reais
que satisfazem simultaneamente as duas equac¸o˜es do sistema anterior. Note que,
como a u´nica soluc¸a˜o de tal sistema e´
x =
4
10
, y = − 3
10
,
segue que
S =
{(
4
10
,− 3
10
)}
.
Analogamente, a matriz aumentada do sistema 3× 4


√
2
2 x +
√
2y − 3
√
2
2 z = 2
√
2
2x + 4y − 6z = 8
y − z + w = −1
e´ 3× 5 e dada por


√
2/2
√
2 −3√2/2 0 | 2√2
2 4 −6 0 | 8
0 1 −1 1 | −1

 .
O conjunto soluc¸a˜o, S, de tal sistema consiste de todas as qua´druplas ordenadas
(x, y, z,w) que satisfazem simultaneamente as treˆs equac¸o˜es do mesmo.
Como determinar tal S?
Bom, pode ser demonstrado que, para um dado sistema m× n, ocorre uma das
treˆs possibilidades seguintes:
1. S e´ vazio, isto e´, o sistema na˜o admite soluc¸a˜o;
2. S e´ unita´rio, isto e´, o sistema admite uma u´nica soluc¸a˜o;
3. S e´ infinito, isto e´, o sistema admite infinitas soluc¸o˜es.
Resolveremos um tal sistema, isto e´, determinaremos S para o mesmo, via escalo-
namento, a partir de sua matriz aumentada, ate´ obtermos uma matriz como a do
pro´ximo item.
– Uma matriz R e´ uma escalonada reduzida quando as condic¸o˜es seguintes sa˜o satis-
feitas:
∗ A primeira entrada na˜o-nula de cada linha na˜o-nula de R, dita um pivoˆ, e´ 1;
∗ A partir da segunda linha de R, o pivoˆ de uma linha (na˜o-nula) esta´ mais a
direita em relac¸a˜o ao pivoˆ da linha anterior;
∗ Uma coluna de R que contenha um pivoˆ tem as outras entradas nulas;
∗ Possı´veis linhas nulas de R esta˜o abaixo das na˜o-nulas.
Exemplos:
R =

 1 0 −1 −20 1 −1 1
0 0 0 0

 ;
5
R =


1 2 0 3 4 5 0 6 0
0 0 1 7 8 9 0 10 0
0 0 0 0 0 0 1 11 0
0 0 0 0 0 0 0 0 1
0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0


;
R =

 0 1 1 0 0 0 00 0 0 1 0 1 0
0 0 0 0 0 0 1

 .
– Para duas matrizes m × n, dizer que uma delas, digamos A, e´ equivalente (por
linhas) a outra, digamos B, significa que B pode ser obtida via uma das seguintes
operac¸o˜es elementares sobre as linhas i e j de A, i 6= j fixos:
∗ B(i,−) = A(i,−) + αA(j,−),6 escalar α 6= 0;
∗ B(i,−) = α A(i,−),7 escalar α 6= 0;
∗ B(i,−) = A(j,−), B(j,−) = A(i,−).8
Vejamos alguns exemplos:
∗ A =

 1 2 34 5 6
7 8 9

 B(2,−) = A(2,−) + (−4)A(1,−)︸ ︷︷ ︸−→ B =

 1 2 30 −3 −6
7 8 9

 ;
∗ A =
[
10 11
12 13
] B(1,−) = 110A(1,−)︸ ︷︷ ︸−→ B =
[
1 11/10
12 13
]
;
∗ A =

 14 15 1617 18 19
1 2 3

 B(1,−) = A(3,−), B(3,−) = A(1,−)︸ ︷︷ ︸−→ B =

 1 2 317 18 19
14 15 16

 .
Pode ser demonstrado que, se A e´ equivalente a B, enta˜o B e´ equivalente a A.
Neste caso, A e B sa˜o ditas equivalentes (entre si).
– Escalonar A (via eliminac¸a˜o de Gauss-Jordan) e´ obter uma sequeˆncia finita de ma-
trizes, digamos
A, B,C, etc,
com cada uma dessas, a partir da B, equivalente a anterior e com u´ltima matriz
(da sequeˆncia) escalonada reduzida.9
6Isto e´, a i-e´sima linha de B e´ a soma da i-e´sima linha de A e um mu´ltiplo escalar da j-e´sima linha de A.
7Isto e´, a i-e´sima linha de B e´ um mu´ltiplo escalar da i-e´sima linha de A.
8Isto e´, esta˜o trocadas na B as linhas i e j da A.
9Todas tais matrizes tambe´m sa˜o ditas equivalentes (entre si).
6
Seja A, por exemplo, a matriz aumentada do sistema 3× 4 anterior. Daı´:
A =


√
2/2
√
2 −3√2/2 0 | 2√2
2 4 −6 0 | 8
0 1 −1 1 | −1

 B(1,−) =
√
2 A(2,−)︸ ︷︷ ︸−→
B =

 1 2 −3 0 | 42 4 −6 0 | 8
0 1 −1 1 | −1

 C(2,−) = B(2,−)− 2 B(1,−)︸ ︷︷ ︸−→
C =

 1 2 −3 0 | 40 0 0 0 | 0
0 1 −1 1 | −1

 D(2,−) = C(3,−), D(3,−) = C(2,−)︸ ︷︷ ︸−→
D =

 1 2 −3 0 | 40 1 −1 1 | −1
0 0 0 0 | 0

 E(1,−) = D(1,−)− 2D(2,−)︸ ︷︷ ︸−→
E =

 1 0 −1 −2 | 60 1 −1 1 | −1
0 0 0 0 | 0

 = R.
Tal R e´ a matriz aumentada do sistema 2× 4{
x − z − 2w = 6
y − z + w = −1 .
Demonstra-se que o escalonamento da matriz aumentada de
um sistema m× n na˜o altera o conjunto soluc¸a˜o do mesmo.
Assim, para o exemplo anterior, S e´ o mesmo tanto para o primeiro sistema
quanto para o u´ltimo, mais fa´cil de resolver.
De fato, (x, y, z,w) ∈ S e´ tal que, se z = α e w = β sa˜o escalares arbitra´rios,
(x, y, z,w) = (z+ 2w+ 6, z− w− 1, z,w)
= (α + 2β + 6, α− β− 1, α, β)
= α(1, 1, 1, 0) + β(2,−1, 0, 1) + (6,−1, 0, 0).
Isto quer dizer que S e´ infinito e, para quaisquer valores de α e β que forem con-
siderados, a expressa˜o anterior e´ uma das infinitas soluc¸o˜es dos sistemas anteri-
ores.10
– Dizer que um dado sistema m× n na˜o tem soluc¸a˜o significa que sua matriz au-
mentada e´ equivalente a alguma matriz com alguma linha na forma[
0 0 0 · · · 0 | α ] com α 6= 0.
Tal linha representa uma equac¸a˜o do tipo
0 · x+ 0 · y+ 0 · z+ etc = α 6= 0,
isto e´,
0 = α 6= 0!
10Verifique!
7
Por exemplo, o sistema


x + 2y − z = 3
− x − y − z = −2
− y + 2z = −2
na˜o tem soluc¸a˜o pois

 1 2 −1 | 3−1 −1 −1 | −2
0 −1 2 | −2

→

 1 2 −1 | 30 1 −2 | 1
0 −1 2 | −2


→

 1 2 −1 | 30 1 −2 | 1
0 0 0 | −1


com terceira linha, [
0 0 0 | −1 ] ,
representando 0 = −1!
• Para a parte de Ca´lculo de uma Func¸a˜o Real de Uma Varia´vel Real (isto e´, Limites,
Derivadas e Integrais destas), a especificidade do curso pede a adoc¸a˜o de uma bibli-
ografia, digamos, mais “light”. Assim optamos pelo livro
CA´LCULO EM QUADRINHOS;
AUTOR: LARRY GONICK;
EDITORA: EDGARD BLU¨CHER;
2014.
Adotamos a seguinte abordagem intuitiva para tais Limites:
– Como vimos, na˜o e´ possı´vel calcular f (x) caso x na˜o esteja no domı´nio de f . Por
exemplo, considere
f (x) =
x2 − 1
x− 1 e x = 1.
Assim, por um lado, temos a indeterminac¸a˜o
12 − 1
1− 1 =
1− 1
1− 1
=
0
0
.
Por outro lado,
x2 − 1 = (x+ 1)(x− 1).
Podemos daı´ definir
f (x) =
{
x+ 1 se x 6= 1;
indefinido se x = 1.
x
y
y = f (x)
1
2
8
Note que f (x) pode ser calculado ‘arbitrariamente pro´ximo’ de 2 para x ‘arbitrari-
amente pro´ximo’ de 1, isto e´, como o mo´dulo da diferenc¸a entre dois nu´meros
mede a distaˆncia entre eles,11 temos que
| f (x)− 2|
pode ser calculado ‘ta˜o pequeno quanto se queira’ para
|x− 1|
‘suficientemente pequeno’.
Por exemplo, considere que x representa as seguintes aproximac¸o˜es, tanto a` es-
querda quanto a` direita, de 1:
x f (x) x f (x) |x− 1| | f (x)− 2|
0, 900000 1.900000 1, 100000 2, 100000 0, 100000 0, 100000
0, 990000 1, 990000 1, 010000 2, 010000 0, 010000 0, 010000
0, 999000 1, 999000 1, 001000 2, 001000 0, 001000 0, 001000
0, 999900 1, 999900 1, 000100 2, 000100 0, 000100 0, 000100
0, 999990 1, 999990 1, 000010 2, 000010 0, 000010 0, 000010
0, 999999 1, 999999 1, 000001 2, 000001 0, 000001 0, 000001
Pergunta: Dado um nu´mero ε > 0 ‘arbitrariamente pequeno’, digamos
0 < ε ≤ 0, 00 . . . 01
com um nu´mero arbitra´rio de casas decimais, e´ possı´vel considerar |x − 1| sufi-
cientemente pequeno, mas ainda na˜o nulo, tal que seja possı´vel calcular f (x) a
uma distaˆncia de 2 menor que ε, isto e´, tal que | f (x)− 2| < ε?
Resposta: Sim! Basta considerar x 6= 1 com distaˆncia a 1 menor que um nu´mero
δ que na˜o exceda ε.
De fato, seja 0 < |x− 1| < δ com δ ≤ ε. Daı´
| f (x)− 2| = |x+ 1− 2|
= |x− 1|
< δ
≤ ε.
(Por exemplo, seja ε = 0, 0000000010. Considere enta˜o δ = 0, 0000000005 e |x −
1| < δ. Daı´
| f (x)− 2| = |x+ 1− 2|
= |x− 1|
< 0, 0000000005
< 0, 0000000010.
Enta˜o | f (x)− 2| < ε.)
Isto e´, na˜o importa qua˜o pequeno seja ε, sempre podemos obter alguma entrada
11Visto em Aula.
9
x (com |x− 1| > 0 suficientemente pequeno) tal que seja possı´vel calcular a saı´da
f (x) com distaˆncia | f (x)− 2| inferior a qualquer nu´mero ε inicialmente conside-
rado.
Neste caso dizemos que o limite de f (x) e´ 2 quando x se aproxima de 1 e denotamos
lim
x→1
f (x) = 2.
(De modo ana´logo, no livro do GONICK, verifica-se que
D(t) =
t2 − 3
t− 3
e´ tal que
lim
t→3
D(t) = 6,
isto e´, o limite de D(t) e´ 6 quando t se aproxima de 3.)
– Para uma func¸a˜o f (x) arbitra´ria que esteja definida num intervalo aberto que
contenha o nu´mero a, mas na˜o necessariamente no pro´prio a, a expressa˜o
lim
x→a f (x) = L
significa que, independente de qua˜o pequeno seja o intervalo
(L− ε, L+ ε),
L− ε
L
L+ ε
podemos obter outro intervalo
(a− δ, a+ δ)
a− δ
a
a+ δ L− ε
L
L+ ε
suficientemente pequeno tal que
a 6= x ∈ (a− δ, a+ δ) =⇒ f (x) ∈ (L− ε, L+ ε),
10
a− δ
a
a+ δ
L− ε
L
L+ ε
x
f (x)
isto e´,12
0 < |x− a| < δ =⇒ | f (x)− L| < ε.
A interpretac¸a˜o geome´trica disso e´ que podemos obter um cı´rculo ta˜o pequeno
quanto se queira de centro no ponto
(a, L)
tal que o gra´fico da func¸a˜o neste cı´rculo se aproxima de tal ponto com, noma´ximo,
uma u´nica interrupc¸a˜o: o pro´prio (a, L)!13
– Como visto em aula, chamamos de func¸o˜es elementares as func¸o˜es constantes,
a func¸a˜o mo´dulo, bem como as func¸o˜es poteˆncias, as func¸o˜es exponenciais, as
func¸o˜es trigonome´tricas e as suas respectivas inversas. Pois bem, pode ser de-
monstrado que, se f (x) e´ uma func¸a˜o elementar e a e´ um ponto de seu domı´nio,
enta˜o
lim
x→a f (x) = f (a).
Por exemplo:
lim
x→a
√
5 =
√
5, lim
x→−2
x2 = (−2)2, lim
t→3−1
1
x
=
1
3−1
e lim
θ→pi
cos θ = cospi.
(Os treˆs u´ltimos limites sa˜o iguais a 4, 3 e −1, respectivamente.)
Pode tambe´m ser demonstrado que o limite da soma e o limite do produto de
func¸o˜es sa˜o a soma e o produto dos limites de tais func¸o˜es, respectivamente,
desde que existam tais limites, e que o limite do quociente de duas func¸o˜es e´ o
quociente dos limites destas func¸o˜es caso existam tais limites e o limite do de-
nominador na˜o seja nulo.14
Por exemplo:
lim
x→a
[
3x4 +
x
2
+
1
(x− 1)2 +
ex cos(x)
x
]
= 3a4 +
a
2
+
1
(a− 1)2 +
ea cos a
a
para cada cada real a diferente de 0 e 1.
12Como vistoem aula, dizer que o mo´dulo da diferenc¸a de dois nu´meros e´ menor do que um dado r > 0
significa que um dos dois tais nu´meros pertence ao intervalo aberto de centro no outro e raio r. No antecedente
da implicac¸a˜o anterior, por exemplo, os dois nu´meros sa˜o x e a enquanto que r = δ. No consequente, os dois
nu´meros sa˜o f (x) e L enquanto que r = ε.
13Confira o livro do GONICK para uma ilustrac¸a˜o.
14Confira o livro do GONICK!
11
– Ale´m das propriedades de limites ja´ citadas, temos ainda muitas outras. Por e-
xemplo, aquela conhecida como Teorema do Sanduı´che:
Se as func¸o˜es f (x), g(x) e h(x) esta˜o definidas num intervalo aberto de centro a,
g(x) ≤ f (x) ≤ h(x)
para cada x deste intervalo e
lim
x→a g(x) = L = limx→a h(x),
enta˜o
lim
x→a f (x) = L.
Segue de tal teorema, por exemplo, que
lim
θ→0
sen θ
θ
= 1.15
(Vimos em sala uma ‘explicac¸a˜o’ geome´trica para tal limite: ao considerarmos θ
cada vez menor, os comprimentos de sen θ e do arco θ (no cı´rculo trigonome´trico
unita´rio) va˜o ficando praticamente indistinguı´veis!)
– LIMITES INFINITOS E NO INFINITO:
O infinito ∞ na˜o se define: e´ um conceito abstrato como belo(a), feio(a), estranho(a),
etc.16 Na Matema´tica e´ usado para representar uma grandeza que pode assumir
valores ‘ta˜o grandes quanto se queira’. Neste caso, denotamos
grandeza→ ∞.
Por exemplo, o que acontece com a func¸a˜o f (x) = 1x quando x assume valores
(em mo´dulo) ta˜o grandes ou ta˜o pequenos quanto se queira?
Por um lado, a tabela
x f (x) x f (x)
−10 −0.1 10 0.1
−100 −0, 01 100 0, 01
−1000 −0, 001 1000 0, 001
−10.000 −0, 0001 10.000 0, 0001
...
...
...
...
nos diz que f (x) vai ficando ta˜o pequeno quanto se queira (emmo´dulo) a medida
que x vai crescendo (em mo´dulo). Neste caso, denotamos
lim
x→−∞ f (x) = 0
− e lim
x→+∞ f (x) = 0
+.
Por outro lado, a tabela
15Confira o GONICK!
16∞ na˜o e´, por exemplo, um 8 que tropec¸ou e caiu de lado!
12
x f (x) x f (x)
−0.1 −10 0.1 10
−0, 01 −100 0.01 100
−0, 001 −1000 0, 001 1000
−0, 0001 −10.000 0, 0001 10.000
...
...
...
...
nos diz que f (x) vai ficando ta˜o grande quanto se queira (em mo´dulo) a medida
que x vai decrescendo (em mo´dulo). Neste caso, denotamos
lim
x→0−
f (x) = −∞ e lim
x→0+
f (x) = +∞.
Daı´ o conhecido gra´fico
x
y
para tal func¸a˜o poteˆncia.17
Outro exemplo: f (x) = ex. Neste caso
lim
x→−∞ f (x) = 0 e limx→∞ f (x) = ∞.
Daı´ o conhecido gra´fico
x
y
para tal func¸a˜o exponencial.
Embora tais exemplos de func¸o˜es elementares sejam ilustrativos do comporta-
mento de grandezas no infinito, a dificuldade de lidar com omesmo ocorre noutros
17Para valores positivos, e´ tradicional denotarmos apenas por:
lim
x→∞ f (x) = 0 e limx→0
f (x) = ∞.
13
exemplos, digamos, mais sutis. Por exemplo, quando temos de analisar func¸o˜es
racionais, que sa˜o diviso˜es de polinoˆmios.18 Outro exemplo: O teorema do san-
duı´che enunciado anteriormente ainda e´ va´lido caso a seja trocado por ∞. Daı´,
como
−1
x
≤ sen x
x
≤ 1
x
para x positivo e
lim
x→∞
1
x
= 0,
segue que
lim
x→∞
sen x
x
= 0.
– DERIVADA: UM TIPO DE LIMITE QUE MEDE INCLINAC¸A˜O DE RETA TANGENTE:
Suponha ser possı´vel obter a (reta) tangente ao gra´fico de uma func¸a˜o f (x) no
ponto (x0, f (x0)) de tal gra´fico. Seja y = ax + b a equac¸a˜o linear de tal reta.
(Confira a ilustrac¸a˜o seguinte.)
x
x0 x0 + h
f (x)
f (x0)
f (x0 + h)
y = ax+ b
h
f (x0 + h)− f (x0)
Daı´, como (x0, f (x0)) e´ um ponto de tal tangente, temos
b = f (x0)− ax0.
18Confira o GONICK!
14
Por outro lado, como obter a inclinac¸a˜o a desta (reta) tangente?
Primeiramente, denotemos
a := f ′ (x0) .
Seja agora
(x0 + h, f (x0 + h))
um outro ponto do gra´fico de f (x) com |h| suficientemente pequeno mas na˜o
nulo.19 Assim, a inclinac¸a˜o da (reta) secante que passa por tal ponto e pelo ponto
(x0, f (x0)) e´ dada por
f (x0 + h)− f (x0)
h
.
(Este quociente e´ denominado de quociente de Newton.)
Note que, se |h| se aproxima arbitrariamente de 0, estes dois pontos do gra´fico
de f (x) ficam arbitrariamente pro´ximos um do outro e a secante considerada fica
‘arbitrariamente pro´xima’ da tangente considerada.
(Daı´, o quociente de Newton fica arbitrariamente pro´ximo de f ′ (x0).)
Define-se enta˜o
f ′ (x0) := lim
h→0
f (x0 + h)− f (x0)
h
caso exista tal limite. Agora, independente da existeˆncia deste limite estar associ-
ada a uma interpretac¸a˜o geome´trica para a inclinac¸a˜o a, diremos ainda que f (x)
e´ diferencia´vel em x = x0 ou que f
′ (x0) e´ a derivada de f (x) em x = x0.
Para fixar conceitos, considere, por exemplo, f (x) = x2 e x0 = 1 na discussa˜o
anterior. (Confira a ilustrac¸a˜o seguinte.)
19Aqui, embora a figura anterior na˜o ilustre, procedemos o nosso estudo nas ‘proximidades’ de x0, tanto
para pontos a` esquerda esquerda de x0, isto e´, para h < 0, quanto para pontos a` direita de x0, isto e´, para h > 0.
15
x
1 1+ h
f (x)
f (1)
f (1+ h)
y = f ′(1)x+ b
h
f (1+ h)− f (1)
A inclinac¸a˜o da tangente ao gra´fico de tal para´bola em (1, f (1)) e´ obtida via a
derivada de f (x) = x2 em x = 1 e calculada por
f ′(1) = lim
h→0
f (1+ h)− f (1)
h
= lim
h→0
(1+ h)2 − 12
h
= lim
h→0
1+ 2h+ h2 − 1
h
= lim
h→0
(2+ h)
= 2.
Segue daı´ que o coeficiente angular de tal tangente e´ calculado por
b = f (1)− f ′(1) · 1
= 1− 2 · 1
= −1
e, enta˜o, a equac¸a˜o desta tangente e´ dada por y = 2x− 1.
(No exemplo anterior, se x = x0 e´ arbitra´rio, note que f
′ (x0) = 2x0.)
Para f (x) arbitra´ria, temos a func¸a˜o derivada
f ′(x) := lim
h→0
f (x+ h)− f (x)
h
,
16
definida onde tal limite existir.
Por exemplo,
f (x) = x2 e f ′(x) = 2x
esta˜o definidas para cada x ∈ R. Outro exemplo:
f (x) = x3 e f ′(x) = 3x2
esta˜o definidas para cada x ∈ R. De fato:
f ′(x) = lim
h→0
f (x+ h)− f (x)
h
= lim
h→0
(x+ h)3 − x3
h
= lim
h→0
x3 + 3x2h+ 3xh2 + h3 − x3
h
= lim
h→0
(
3x2 + 3xh+ h2
)
= 3x2.
Na verdade, para cada inteiro positivo n fixo, demonstra-se que
f (x) = xn e f ′(x) = nxn−1
para cada x ∈ R.20
Agora, a derivada de uma func¸a˜o constante e´ zero. De fato, seja f (x) = c com c
constante. Segue daı´ que
f ′(x) = lim
h→0
f (x+ h)− f (x)
h
= lim
h→0
c− c
h
= lim
h→0
0
h
= lim
h→0
0
= 0.
Ainda, como a derivada da soma de func¸o˜es e´ a soma das derivadas destas func¸o˜es
e a derivada do produto de uma constante por uma func¸a˜o e´ o produto de tal
constante por tal func¸a˜o,21 e´ fa´cil calcular a derivada de um polinoˆmio. Por e-
xemplo, se f (x) = 3x4 − x3 + 4x2 + x+ 2, enta˜o
f ′(x) = 3(4x3) + (−1)(3x2) + 4(2x) + 1+ 0
= 12x3 − 3x2 + 8x+ 1
para cada x ∈ R.
20Confira o GONICK!
21Idem!
17
(A derivada de y = f (x) pode ser denotada das formas:
f ′(x) =
dy
dx
=
d f
dx
=
d
dx
( f (x)).
Por exemplo, se c e´ uma constante, ddx
(
x2 + c
)
= 2x.)
Ale´m das regras anteriores, existem outras importantes como, por exemplo, as
regras das derivadas do produto e do quociente de func¸o˜es, bem como a regra da
cadeia que calcula a derivada de func¸o˜es compostas.22 Ainda, onde as respectivas
func¸o˜es estiverem definidas, demonstra-se que:23
d
dx
(sen x) = cos x,
d
dx
(cos x) = −sen x, d
dx
(ex) = ex,
d
dx
(tan x) = sec2 x,
d
dx
(ln x) =
1
x
,
d
dx
(arcsen x) =
1√
1− x2 ,
d
dx
(arctan x) =
1
1+ x2
e
d
dx
(xr) = rxr−1 com r ∈ R fixo.
– DERIVADA MEDE TAXA DE VARIAC¸A˜O INSTANTAˆNEA:
A derivada
dy
dx pode ser interpretada como a taxa de variac¸a˜o instantaˆnea de uma
grandeza, y, em relac¸a˜o a outra, x. Em outras palavras, qua˜o rapidamente y varia
em func¸a˜o dex. Para exemplificar, vamos denotar a func¸a˜o f (x) = x2 por
s(t) = t2,
que aqui representa a posic¸a˜o de uma partı´cula no instante de tempo t u.t..24 Con-
sidere que queremos saber a velocidade de tal partı´cula no instante t u.t., isto e´,
queremos saber qua˜o rapidamente a posic¸a˜o varia em relac¸a˜o ao tempo. Neste
caso, a velocidade e´ calculada pela derivada
s′(t) =
ds
dt
no instante t u.t.. Assim s′(t) = 2t u.v. e´ a medida de tal velocidade instantaˆnea.
Por exemplo, caso a posic¸a˜o seja medida em metros e o tempo em segundos, pas-
sados t = 10 segundos, a partı´cula fica sujeita a uma velocidade (neste instante)
de s′(t) = 20m/s.25
22Idem!
23Idem!
24Por exemplo, desconsiderando as dimenso˜es, uma bola de boliche lisa descendo, sem atrito, um plano
inclinado com inclinac¸a˜o adequada, varia a sua posic¸a˜o (no tempo) aproximadamente via tal s(t).
25Confira o GONICK para mais exemplos.
18
– OTIMIZAC¸A˜O (MAXIMIZAC¸A˜O-MINIMIZAC¸A˜O):
Um ponto α de ma´ximo (respectivamente, de mı´nimo) local de uma func¸a˜o f (x),
pertence ao domı´nio da mesma e tem a maior (respectivamente, menor) imagem
por f (x), quando comparada com as de pontos arbitrariamente pro´ximos a α.
Neste caso, tal α e´ dito um extremo local de f (x).
(Um ponto do gra´fico de uma func¸a˜o cuja abcissa e´ um ponto de ma´ximo local
representa o ‘cume de uma montanha’, enquanto aquele cuja abcissa e´ um ponto
de mı´nimo local representa o ‘fundo de um vale’.)
Por exemplo, na figura 1, considere que Pi = (xi, f (xi)) pertence ao gra´fico de
uma func¸a˜o f (x), i = 0, . . . , 6. As abcissas de tais pontos sa˜o extremos locais de
f (x).
Como este exemplo ilustra, em extremos locais similares a xi, i = 1, 2, 3, 4, 5, a
func¸a˜o muda de crescente para decrescente ou de decrescente para crescente.
Um ponto interior ao domı´nio de uma func¸a˜o pertence a algum intervalo aberto,
por menor que seja tal intervalo, inteiramente contido no domı´nio de tal func¸a˜o.
Por exemplo, na figura 1, apenas x0 e x6 na˜o sa˜o interiores ao domı´nio de f (x).
Demonstra-se que:
Se f (x) tem extremo local num ponto α interior ao seu
domı´nio e tem derivada f ′(α) nesse ponto, enta˜o tal ponto e´
crı´tico, isto e´, f ′(α) = 0.26
Por exemplo, na figura 1, embora as abcissas de ı´ndices pares sejam pontos de
ma´ximo locais e as de ı´ndices ı´mpares sejam pontos de mı´nimo locais, apenas x1,
x2 e x5 sa˜o interiores ao domı´nio de f (x) e existe f
′(x) em cada um destes pontos.
Note que, f ′ (xi) = 0 para i = 1, 2, 5.
��������
��������
��������
��������
��������
��������
��������
��������
��������
��������
��������
��������
��������
��������
��������
��������
��������
��������
��������
��������
��������
��������
��������
��������
��������
��������
��������
��������
��������
��������
��������
��������
��������
��������
��������
��������
��������
��������
��������
��������
��������
��������
��������
��������
��������
��������
��������
��������
��������
��������
��������
��������
P0
P4
P6
P5
P2
P3P1
Figure 1: O que ocorre em x0, x3, x4 e x6?
Contudo, a recı´proca da proposic¸a˜o anterior na˜o e´ verdadeira: Para f (x) = x3,
por exemplo, x = 0 e´ um ponto interior com f ′(0) = 3 · 02 = 0, mas na˜o e´
extremo local. Um ponto como este e´ dito um ponto de sela.
0
x
f (x) = x3
19
Isto significa que os candidatos a extremos locais interiores ao domı´nio de uma
func¸a˜o sa˜o aqueles nos quais a derivada de tal func¸a˜o seja nula. Mas derivada
nula num ponto interior na˜o e´ garantia para tal ponto ser um extremo local!
A pro´xima proposic¸a˜o e´ conhecida como o
TESTE DA DERIVADA DE SEGUNDA ORDEM.
Antes de enuncia´-la, o que e´ uma derivada de segunda ordem?
Suponha que e´ possı´vel derivar a derivada de y = f (x), isto e´, podemos obter a
derivada de
f ′(x) =
dy
dx
,
isto e´, existe a derivada (
f ′
)′
(x) =
d
dx
(
dy
dx
)
.
Neste caso, tal derivada e´ dita a derivada de segunda ordem de y = f (x) e e´ denotada
por
f ′′(x) =
d2y
dx2
.
Por exemplo, se s(t) = t2 u.p. e´ a posic¸a˜o de uma partı´cula no instante t u.t., ja´
vimos que dsdt = 2t u.v. e´ a sua velocidade no mesmo instante. Aqui,
d2s
dt2
u.a.
e´ a acelerac¸a˜o de tal partı´cula em tal instante.
Demonstra-se que:
Seja α um ponto interior de algum intervalo onde f (x) es-
teja definida e seja diferencia´vel. Se f ′(α) = 0, enta˜o a
tabela seguinte e´ va´lida:
f ′′(α) α
> 0 mı´nimo local de f (x);
< 0 ma´ximo local de f (x).
(Neste teste, esta´ implı´cita a existeˆncia da derivada de segunda ordem!)
Por exemplo, 0 e´ ponto crı´tico de f (x) = x2 (que e´ diferencia´vel em cada x ∈ R) e
interior ao domı´nio de tal func¸a˜o. (De fato, f ′(x) = 2x acarreta f ′(0) = 0 e R e´ o
domı´nio comum de f (x) e f ′(x).) Por outro lado, f ′′(0) > 0. (De fato, f ′′(x) = 2
para cada x ∈ R.) Assim, 0 e´ ponto de mı´nimo (global) de f (x).
0
x
f (x) = x2
Um raciocı´nio ana´logo nos mostra que 0 e´ ponto de ma´ximo de f (x) = −x2.
20
0
x
f (x) = −x2
E quanto a concavidade do gra´fico de uma func¸a˜o f (x) a medida que x varia?
Considere a inclinac¸a˜o f ′(x) da tangente a tal gra´fico no ponto
(
x, f (x)
)
. Neste
caso, o que acontece a medida que x cresce?
(Veja, por exemplo, as func¸o˜es cu´bica e quadra´ticas dos u´ltimos treˆs exemplos.)
Por um lado, se x cresce e f ′(x) cresce com x, note que o gra´fico de f (x) tem con-
cavidade para cima. Isto ocorre precisamente onde a taxa de variac¸a˜o da derivada
(em relac¸a˜o a x), isto e´, ( f ′)′ (x) = f ′′(x), e´ positiva. Por outro lado, se f ′(x)
decresce a medida que x cresce, tal gra´fico tem concavidade para baixo. Isto ocorre
onde f ′′(x) < 0.
A abcissa de um ponto do gra´fico de uma func¸a˜o onde a sua concavidade para
cima (respectivamente, baixo) muda para baixo (respectivamente, cima) e´ dito um
ponto de inflexa˜o.
(0 e´ ponto de inflexa˜o para a func¸a˜o cu´bica anterior.)
Em tal ponto, a derivada de segunda ordem e´ zero.27
E quanto ao esboc¸o do gra´fico de uma func¸a˜o f (x) arbitra´ria?
Para esboc¸ar retas, basta obter os pontos onde tais retas interceptam os eixos co-
ordenados. Caso o gra´fico na˜o seja uma reta, tais intersec¸o˜es, se existirem, sa˜o
insuficientes para esboc¸ar o mesmo. Neste caso, o roteiro e´ o seguinte:
I. Caso existam, obtenha as intersec¸o˜es do gra´fico com os eixos coordenados, isto
e´, determine:
f (x) para x = 0; x para f (x) = 0.
Marque tais pontos nos eixos coordenados.
II. Caso existam, determine os pontos crı´ticos da func¸a˜o, isto e´, obtenha x para
f ′(x) = 0.
(Lembre-se que tais pontos sa˜o os possı´veis extremos locais!)
Para cada ponto crı´tico α obtido, marque o ponto
(
α, f (α)
)
pertencente ao
gra´fico de f (x).
III. Para cada ponto crı´tico obtido, use o TESTE DA DERIVADA DE SEGUNDA OR-
DEM.
(Daı´ saberemos o tipo de extremo que temos!)
IV. Caso existam, obtenha os pontos de inflexa˜o. Para cada ponto de inflexa˜o β
obtido, marque o ponto
(
β, f (β)
)
pertencente ao gra´fico de f (x).
V. Estude a concavidade: onde e´ para cima ou para baixo.
27Confira o GONICK!
21
VI. Estude o comportamento do gra´fico no infinito via
lim
x→±∞ f (x).
Agora, reunindo todas as informac¸o˜es anteriores, esboce o gra´fico de f (x).
Por exemplo, seja f (x) = x3 − 6x2 + 11x− 6.
(Daı´ f ′(x) = 3x2 − 12x+ 11 e f ′′(x) = 6x− 12.)
I. Para a intersec¸a˜o com o eixo das ordenadas, seja x = 0. Enta˜o f (x) = −6 e
(0,−6) pertence ao gra´fico de f (x). Para a intersec¸a˜o com o eixo das abcissas,
seja f (x) = 0. Daı´, como as raı´zes de x3 − 6x2 + 11x − 6 = 0 sa˜o x = 1, 2, 3,
temos que (1, 0), (2, 0) e (3, 0) pertencem ao gra´fico de f (x).
1 2 3−6
x
f (x)
II. Se f ′(x) = 0, como 3x2 − 12x+ 11 = 0, temos que
x =
6∓√3
3
≈
{
1, 42 = α1;
2, 58 = α2.
Enta˜o, calculando as imagens, temos que
f (α1) ≈ 0, 39 e f (α2) ≈ −0, 39.
x
f (x)
(
α1, f (α1)
)
(
α2, f (α2)
)
(Tal figura nos indica que α1 e α2 sa˜o pontos de ma´ximo e mı´nimo locais,
respectivamente. O teste do item seguinte serve apenas como confirmac¸a˜o
analı´tica deste fato!)
III. Como f ′′ (α1) = 6α1 − 12 < 0 e f ′′ (α2) = 6α2 − 12 > 0, temos que, de fato,
α1 e α2 sa˜o pontos de ma´ximo e mı´nimo locais, respectivamente.
22
IV. f ′′(x) = 0 e´ equivalente a 6x− 12 = 0, isto e´, x = 2, que e´ o ponto de inflexa˜o
e cuja imagem por f (x) e´ dada por f (2) = 0. (O ponto (2, f (2)) = (2, 0) ja´
havia sido marcado nas figuras anteriores.)
V. Concavidade para baixo em (−∞, 2) (pois f ′′(x) < 0 em tal intervalo) e para
cima em (2,∞) (pois f ′′(x) > 0 em tal intervalo).
VI. Como f (x) e´ um polinoˆmio de grau ı´mpar cujo coeficiente do termo que de-
termina tal grau e´ 1, vimos em aula que
lim
x→−∞ f (x) = −∞ e limx→∞ f (x) = ∞.
Coletando agora todas as informac¸o˜es anteriores, temos o seguinte gra´fico para
f (x):
x
f (x)
Vamos agora usar tais ide´ias para resolver um problema de otimizac¸a˜o mais apli-
cado. Considere que queremos construir um cercado retangular utilizando a
parede de um celeiro como umdos lados. Suponha que temos 80metros de ta´boas
de madeira em pedac¸os cortados iguais, um a um. Pergunta-se:
Qual a maior a´rea que pode ser delimitada por tal cercado?
parede do celeiro
x x
80− 2x
A(x) = x(80− 2x)
23
Assim, queremos obter o ma´ximo da a´rea
A(x) = −2x2 + 80x
para x > 0 e 80− 2x > 0, isto e´, 0 < x < 40. Logo, por um lado, como A′(x) =
−4x + 80, A′(x) = 0 nos fornece x = 20 metros como ponto crı´tico. Por outro
lado, para garantir que tal ponto crı´tico e´ ponto de ma´ximo, usaremos o teste
da derivada de segunda ordem. De fato, isto segue de A′′(x) = −4 < 0 (e, em
particular, para x = 20). Daı´, a a´rea ma´xima e´ dada por A(20) = 800 metros
quadrados.28
– INTEGRAC¸A˜O:
Assim como a Subtrac¸a˜o e a Divisa˜o, quando possı´veis, sa˜o as operac¸o˜es inversas
da Adic¸a˜o e da Multiplicac¸a˜o, respectivamente, a Integrac¸a˜o, quando possı´vel, e´
a operac¸a˜o inversa da Derivac¸a˜o. Isto posto, sejam F(x) e f (x) func¸o˜es obtidas,
uma da outra, como resultados destas duas u´ltimas operac¸o˜es. A equivaleˆncia
d
dx
(
F(x)
)
= f (x)⇐⇒ ∫ f (x) dx = F(x)
significa que f (x) e´ a derivada de F(x) se, e somente se, F(x) e´ a integral (ou
anti-derivada ou primitiva) de F(x). Para ficar claro:∫
f (x) dx iguala a func¸a˜o F(x) cuja derivada resulta em f (x).
Antes dos exemplos, considere o seguinte:
Seja C uma constante arbitra´ria e considere va´lida a equivaleˆncia anterior. Daı´
d
dx
(
F(x) + C) = f (x)⇐⇒ ∫ f (x) dx = F(x) + C
tambe´m e´ va´lida.
Vejamos alguns exemplos:
1. Seja r ∈ R, r 6= −1, fixo. Daı´
∫
xr dx =
xr+1
r+ 1
+ C
pois
d
dx
(
xr+1
r+ 1
+ C
)
=
1
r+ 1
d
dx
(
xr+1
)
=
1
r+ 1
· (r+ 1)xr
= xr.
28Para uma confirmac¸a˜o extra disto, fac¸a o gra´fico da func¸a˜o quadra´tica
A(x) = x(80− 2x)
= −2x2 + 80x,
que e´, obviamente, uma pa´rabola com concavidade para baixo, com raı´zes x = 0 e x = 40, abcissa do ve´rtice
xV = 20 e ordenada do ve´rtice f (xV) = 800.
24
2. Para completar o exemplo anterior, temos∫
x−1 dx =
∫
1
x
dx
= ln |x|+ C.
De fato, por um lado, seja x > 0. Daı´:
d
dx
(
ln |x|+ C) = d
dx
(
ln x+ C
)
=
1
x
.
Por outro lado, seja agora x < 0. Daı´:
d
dx
(
ln |x|+ C) = d
dx
(
ln(−x) + C)
= (−1) · 1
(−x)
=
1
x
via a regra da cadeia na segunda igualdade para a func¸a˜o interna y = −x e a
func¸a˜o externa z = ln y.
3. Para trigonome´tricas e inversas, e´ imediato que∫
cos x dx = sen x+C,
∫
sen x dx = − cos x+C,
∫
sec2 x dx = tan x+C,
∫
1√
1− x2 dx = arcsen x+ C e
∫
1
1+ x2
dx = arctan x+ C.
De fato, temos que
d
dx
(
sen x+C
)
= cos x,
d
dx
(− cos x+C) = sen x, d
dx
(
tan x+C
)
= sec2 x,
d
dx
(
arcsen x+ C
)
=
1√
1− x2 e
d
dx
(
arctan x+ C
)
=
1
1+ x2
.
4. E´ imediato que ∫
ex dx = ex + C.
O caso geral, para a 6= 0 constante, e´ o seguinte:∫
eax dx =
eax
a
+ C.
De fato,
d
dx
(
eax
a
+ C
)
=
1
a
d
dx
(eax)
=
1
a
· aeax
= eax
via a regra da cadeia.
25
5. Se F′(x) = f (x) e a e´ uma constante na˜o-nula, enta˜o∫
a f (x) dx = aF(x) + C
= a
∫
f (x) dx
pois
d
dx
(
aF(x) + C
)
= a
d
dx
(
F(x)
)
= a f (x).
Por exemplo, ∫
2e2x dx = 2
∫
e2x dx
= e2x + C.
6. Queremos agora calcular a integral
∫
2xex
2
dx!
f (x) = 2xex
2
na˜o parece o resutado da aplicac¸a˜o da regra da cadeia em al-
guma func¸a˜o F(x)?
De fato, se u(x) = x2 e v(u) = eu, enta˜o a derivada de
F(x) = v(u(x))
= eu(x)
= e2x
em relac¸a˜o a x e´ dada por
F′(x) =
d
dx
(
u(x)
) · d
du
(
v(u)
)
= 2x · eu
= 2xex
2
.
Assim, temos que ∫
2xex
2
dx = ex
2
+ C.
7. Vamos agora calcular a integral ∫
1
4+ x2
dx.
Bom, sabemos que ∫
1
1+ x2
dx = arctan x+ C
Fac¸amos assim ∫
1
4+ x2
dx =
∫
1
4
(
1+ x
2
4
) dx
=
1
4
∫
1
1+
(
x
2
)2 dx.
26
Sera´ que ∫
1
1+ (x/2)2
dx = arctan(x/2) + alguma constante?
Na˜o pois
d
dx
(
arctan(x/2)
)
=
1
2
· 1
1+ (x/2)2
pela regra da cadeia. Aparece um incoˆmodo fator 1/2. Logo, levando em
considerac¸a˜o tal fator, temos∫
1
4+ x2
dx =
1
4
· 2 · arctan
(x
2
)
+ C
=
arctan
(
x
2
)
2
+ C.
8. Pode ser facilmente demonstrado que a integral da soma de func¸o˜es e´ a soma
das integrais destas func¸o˜es. Daı´, por exemplo,∫ (
−4x3 + 1− 4
4+ x2
)
dx = (−4)
∫
x3 dx+
∫
x0 dx+ (−4)
∫
1
4+ x2
dx
= −4 · x
4
4
+
x1
1
− 4 · (integral do exemplo 7)
= −x4 + x− 2 arctan
(x
2
)
+ C.
Existem te´cnicas que podem ser u´teis no ca´lculo de integrais. Por exemplo, a
integrac¸a˜o por substituic¸a˜o e a integrac¸a˜o por partes.29
– CA´LCULO DE A´REA VIA INTEGRAL:
Seja f (x) uma func¸a˜o na˜o-negativa definida num intervalo [a, b]. Considere ainda
que f (x) e´ contı´nua neste intervalo, isto e´, o gra´fico de tal func¸a˜o na˜o e´ inter-
rompido em (x, f (x)) para todo x naquele intervalo.
a
(a, f (a))
x
(x, f (x))
b
(b, f (b))
Uma importante consequeˆncia do TEOREMA FUNDAMENTAL DO CA´LCULO (con-
fira GONICK) nos diz que se F(x) e´ uma primitiva de f (x), isto e´, (F(x) + C)′ =
f (x), num intervalo aberto que contenha [a, b], enta˜o a a´rea delimitada pelo gra´fico
de f (x), o intervalo [a, b] e as retas x = a e x = b e´ dada por
F(b)− F(a) := F(x)∣∣b
a
:=
∫ b
a
f (x) dx
unidades de a´rea (u.a.).
Por exemplo, considere os seguintes gra´ficos:
29Veja GONICK!
27
x
0 1
y
1
x
0 1 2
y
1
4
y = x
y = x2
A a´rea relativa ao gra´fico da esquerda e´ calculada por
∫ 1
0
x dx =
x2
2
∣∣∣∣
1
0
=
12
2
− 0
2
2
=
1
2
u.a..
De fato, tal a´rea tambe´m e´ calculada por
base× altura
2
=
1 · 1
2
=
1
2
u.a..
Agora, a a´rea referente ao gra´fico da direita e´ dada por
∫ 2
1
x2 dx =
x3
3
∣∣∣∣
2
1
=
23
3
− 1
3
3
=
8
3
− 1
3
=
7
3
u.a..
Para concluir, e´ importante dizer que, independente de f (x) ser na˜o-negativa,
∫ b
a
f (x) dx = F(b)− F(a)
e´ dita a integral definida de f (x) (entre x = a e x = b).30
• Na maior parte desta lista, exercı´cios iniciados com
(Visto em Aula.)
30x = a e x = b sa˜o ditos os limites de integrac¸a˜o.
28na˜o sa˜o acompanhados de respostas pois sa˜o para serem resolvidos em sala. Por outro
lado, a busca por resoluc¸o˜es (e respostas) corretas de algumas questo˜es fica a cargo do
aluno e na˜o sa˜o apresentadas na lista.
• Nas provas, questo˜es similares aos exercı´cios desta lista devera˜o vir acompanhadas de
resoluc¸o˜es corretas (ca´lculos va´lidos e/ou justificativas va´lidas); caso contra´rio, na˜o
sera˜o consideradas.
29
Exercı´cios sobre Vetores em R2:
1. Para qual valor de x os vetores ~u =
(
1, x2 − 1) e ~v = (x+ 2, 0) de R2 verificam a
igualdade ~u = ~v? Resposta: x = −1.
2. (Visto em Aula.) Em R2, se o vetor ~u tem mo´dulo igual a 3 u.c. e o vetor~v tem mo´dulo
igual a 2 u.c., qual e´ o maior (respectivamente, menor) valor que o mo´dulo da soma
~u+~v pode assumir? Resposta: 1 u.c. ≤ ||~u+~v|| ≤ 5 u.c..31
3. Sejam ~v 6=~0 e ~u = ~v||~v|| vetores em R2.
(a) Verifique que ~u e´ unita´rio, isto e´, temmo´dulo igual a 1 u.c., e tem a mesma direc¸a˜o
e o mesmo sentido de ~v.32
(b) Determine ~u se ~v = (−8, 6). Resposta: ~u = (−4/5, 3/5).
4. Vimos em aula que, para quaisquer vetores ~u, ~v e ~w e para cada escalar α, temos que:
- (~v+ ~u) · ~w = ~v · ~w+ ~u · ~w; ~v · (~u+ ~w) = ~v · ~u+~v · ~w; (DIST.)
- ~v · ~u = ~u ·~v; (COMUT.)
- ~v · (α~u) = (α~u) ·~v = α (~u ·~v); (COMUT.-ASSOC.)
- ||~w|| =
√
~w · ~w. (MO´D.)
Sejam ~u e ~v unita´rios. Use as propriedades anteriores para calcular o produto interno
dos vetores dados em cada um dos itens seguintes.
(a) ~u e −~u. Resposta: −1.
(b) ~v+ ~u e ~v− ~u. Resposta: 0.33
31 SUGESTA˜O: Por um lado, como visto em sala, vale a seguinte desigualdade triangular
||~u+~v|| ≤ ||~u||+ ||~v|| .
Por outro lado, aplicando tal desigualdade na soma
~u = (~u+~v) + (−~v)
e usando que
||−~v|| = ||~v|| ,
obtemos
||~u|| − ||~v|| ≤ ||~u+~v|| .
32 SUGESTO˜ES: Para ~v = (x, y), determine ~u. Daı´ calcule ||~u||. Para outra resoluc¸a˜o, devido a ~v 6= ~0,
considere α = 1||~v|| e calcule daı´ o mo´dulo de ~u = α~v.
33 RESOLUC¸A˜O:
(~v+ ~u) · (~v− ~u) = (~v+ ~u) · (~v+ (−1)~u)
= ~v · (~v+ (−1)~u) + ~u · (~v+ (−1)~u) (DIST.)
= ~v ·~v+ (−1) (~u ·~v) + ~u ·~v+ (−1) (~u · ~u) (DIST.;COMUT.-ASSOC.)
= ||~v||2 − ~u ·~v+ ~u ·~v− ||~u||2 (MO´D.)
= 1− 0− 1 (vetores unita´rios)
= 0.
30
(c) ~v− 2~u e ~v+ 2~u. Resposta: −3.
5. (Visto em Aula.) O aˆngulo θ entre dois vetores ~u e ~v na˜o nulos de R2 e´ aquele entre 0 e
pi que satisfaz a condic¸a˜o
cos θ =
~u ·~v
||~u|| ||~v|| .
(a) Verifique a validade de tal condic¸a˜o para ~u e ~v unita´rios e tais que:34
i. o aˆngulo entre ~u e~i mede pi/3 e o aˆngulo entre ~v e~i mede 2pi/3; θ = pi/3;
ii. o aˆngulo entre ~u e~i mede pi/4 e o aˆngulo entre ~v e~i mede 3pi/4; θ = pi/2.
(b) Verifique a validade da condic¸a˜o anterior, em qualquer caso, em duas etapas:
i. Esboce o gra´fico da func¸a˜o f (θ) = cos θ para θ entre 0 e pi radianos. Verifique
daı´ que, para cada nu´mero real r entre −1 e 1 (no eixo das ordenadas), existe
um u´nico θ entre 0 e pi (no eixo das abcissas) com r = f (θ);
ii. Via a desigualdade (vista em aula)
|~u ·~v| ≤ ||~u|| ||~v|| ,
verifique que
~u ·~v
||~u|| ||~v||
e´ um nu´mero r entre −1 e 1.
6. Seja ~u = (x, y) ∈ R2 unita´rio. Seja θ o aˆngulo entre ~u e~i.
(a) Verifique que
~u = (cos θ, sen θ)
= cos θ~i+ sen θ~j.
(b) Determine ~u para cada θ dado a seguir:
i. 0;
ii. pi/6;
iii. pi/4;
iv. pi/3;
v. pi/2;
vi. 3pi/4.
7. Seja ~v = (x, y) ∈ R2. Seja θ o aˆngulo entre ~v e~i.
(a) Verifique que tan θ = yx .
35
(b) Determine θ para ~v = −4~i+ 3~j.
(c) Determine θ para ~v =~i−~j.
34 DICA: Use o exercı´cio 6, dado a seguir, para obter as coordenadas de ~u e ~v.
35 SUGESTA˜O: Sem perda de generalidade, suponha que ~v e´ unita´rio. Agora aplique o exercı´cio anterior.
31
8. (Visto em Aula.) Do exercı´cio 4 anterior, temos que
~u ·~v = ||~u|| ||~v|| cos θ.
Use tal fo´rmula para calcular o produto interno ~u ·~v se:
(a) ~u e ~v sa˜o unita´rios e representam lados de um triaˆngulo equila´tero no primeiro
quadrante;
(b) ~u e´ unita´rio com aˆngulo de pi/4 com o vetor~i enquanto que ~v tem a metade do
comprimento de ~u e forma um aˆngulo de 5pi/12 com~i.
9. (Visto emAula.) Dizer que dois vetores~u e~v na˜o-nulos sa˜o ortogonais (entre si) significa
que
~u ·~v = 0.36
Ainda, denotamos tal ortogonalidade por ~u ⊥ ~v.
(a) Considere ~u =~i, ~v = ~j e ~u+~v. Por um lado, verifique que ~u ⊥ ~v. Por outro lado,
calcule ||~u||, ||~v|| e ||~u+~v||. Verifique agora que ||~u+~v||2 = ||~u||2 + ||~v||2.
(b) Fac¸a como no item anterior para ~u =
(√
2,
√
2
)
e ~v =
(
−√2,√2
)
.
(c) Use o Teorema de Pita´goras para verificar que, para quaisquer ~u e ~v em R2,
||~u+~v||2 = ||~u||2 + ||~v||2
se ~u ⊥ ~v.
(d) Demonstre o resultado anterior a partir do seguinte fato:
||~u+~v||2 = (~u+~v) · (~u+~v) .37
10. (Visto em Aula.) Obtenha a equac¸a˜o vetorial da reta r que passa pelo ponto P0 com vetor
diretor (ou na direc¸a˜o do vetor) ~v, isto e´,
r : P(t) = P0 + t~v, t ∈ R,
para:
(a) P0 = (1, 2) e ~v = (1, 1);
(b) P0 = (1,−2) e ~v = (−1, 2);
(c) P0 = (2, 2) e ~v =~i;
(d) P0 = (2, 2) e ~v =~j.
Ainda, em cada item acima, quando possı´vel, determinar a equac¸a˜o afim y = ax+ b da
reta r obtida.38
11. Considere r e s duas retas com vetores diretores ~v e ~w, respectivamente. Tais retas sa˜o
ditas:
36Veja exercı´cio anterior!
37Veja o primeiro item das Observac¸o˜es Auxiliares para a Resoluc¸a˜o da Lista.
38 DICA: Apenas no (d), a equac¸a˜o afim na˜o pode ser obtida!
32
• paralelas quando tais vetores diretores sa˜o mu´ltiplos escalares um do outro, isto e´,
quando
~w = α~v
para algum escalar α;
• perpendiculares quando ~v ⊥ ~w.
Deˆ exemplos de retas que sejam paralelas (respectivamente, perpendiculares). Escreva
equac¸o˜es vetorias para tais retas.
33
Exercı´cios sobre Matrizes, Determinantes e Sistemas Lineares:
1. (Visto em Aula.) Determine a entrada aij, a linha A(i,−) e a coluna A(−, j) para
i = 1, 2, 3, j = 1, 2, 3, 4, 5 e
A =

 1 −1 0 2
√
2
pi pi/2 1 −2 0
0 −1 1/√2 1/2 −pi

 .
Ainda, se B = At, verifique que C = AB e D = BA sa˜o sime´tricas, isto e´, Ct = C e
Dt = D.
Respostas:
Por um lado, temos:
a11 = −a12 = a23 = −a32 = 1; a13 = a25 = a31 = 0;
a14 = (a15)
2 = −a24 = (a33)−2 = (a34)−1 = 2; a21 = 2a22 = −a35 = pi;
A(1,−) = [ 1 −1 0 2 √2 ]; A(2,−) = [ pi pi/2 1 −2 0 ];
A(3,−) = [ 0 −1 1/√2 1/2 −pi ]; A(−, 1) =

 1pi
0

;
A(−, 2) =

 −1pi/2
−1

; A(−, 3) =

 01
1/
√
2

;
A(−, 4) =

 2−2
1/2

; A(−, 5) =


√
2
0
−pi

.
Por outro lado, como A e´ 3× 5 e
B =


1 pi 0
−1 pi/2 −1
0 1 1/
√
2
2 −2 1/2√
2 0 −pi


e´ 5× 3, segue que C e´ 3× 3 e D e´ 5× 5. Segue agora o ca´lculo da entrada c12 de C:
c12 = A(1,−) · B(−, 2)
= 1 · pi + (−1) · (pi/2) + 0 · 1+ 2 · (−2) +
√
2 · 0
=
pi
2
− 4
=
pi − 8
2
.
Todas as outras entradas, tanto de C quanto de D, sa˜o calculadas de modo ana´logo.
2. (Visto em Aula.) A matriz [
0 0
0 0, 0000000001
]
e´ igual a matriz nula 2× 2. Tal afirmac¸a˜o e´ verdadeira ou falsa? Justifique!
34
3. Determine o valor de t para que
[
t2 − 1 t2 − t
t3 − 1 t2 − 3t+ 2
]
seja igual a matriz nula 2× 2. Resposta: t = 1.
4. (Visto em Aula.) Considere as seguintes matrizes 2× 3:
A =
[
1 −1 1
−1 2 0
]
, B =
[
1 2 1
1 1 −1
]
e C =
[ −2 2 0
1 0 1
]
.
Determine daı´:
(a) A+ 2B− C;
(b) αA+ βB− C com primeira coluna nula.39
5. (Visto em Aula.) O produto de duas matrizes, quando existe, e´ comutativo. Tal
afirmac¸a˜o e´ verdadeira ou falsa? Justifique!
6. (Visto em Aula.) Calcule os seguintes determinantes:
(a)
[
1 1
1 −1
]
; Resposta: -2;
(b)

 2 0 10 1 0
1 0 2

; Resposta:-3;
(c)


0 3 1 28
0 0 0 3
0 0 2 71
2 36 −9 3

; Resposta: 36;
(d)


1 0 0 0
5 2 0 0
8 6 3 0
0 9 7 4

; Resposta: 24.
7. (Visto em Aula.) Cada entrada da diagonal principal de uma matriz quadrada tem o
ı´ndice das linhas igual ao das colunas. Ainda, se as entradas acima ou abaixo da dia-
gonal principal sa˜o nulos, tal matriz e´ dita triangular. Demonstre que o determinante
de tal matriz e´ o produto das entradas de sua diagonal principal.40
39 SUGESTA˜O: Obtenha escalares α e β tais que αA(−, 1) + βB(−, 1)− C(−, 1) =
[
0
0
]
.
40 SUGESTA˜O: No primeiro caso, considere que as entradas acima da diagonal principal de A, n × n, sa˜o
nulas. Daı´, indutivamente, calcule o determinante sempre ao longo das primeiras linhas, obtendo
det A = a11a22 · · · ann.
Caso A tenha suas entradas abaixo da diagonal principal iguais a zero, considere At e use o resultado obtido
no caso anterior.
35
8. (Visto em Aula.) Verifique as regras det At = det A e det(AB) = (det A)(det B) para
A =
[
2 3
1 4
]
e B =
[
1 1
5 −2
]
.
9. Via escalonamento, determine o conjunto soluc¸a˜o, S, de cada umdos sistemas seguintes:
(a)


2x + y − 2z = 10
3x + 2y + 2z = 1
5x + 4y + 3z = 4
Resposta: S = {(1, 2,−3)};
(b)


x + 2y − z = 0
2x − y + 3z = 0
4x + 3y + z = 0
Resposta: S = {α(−1, 1, 1) | α ∈ R};
(c)


x + y + z = 4
2x + 5y − 2z = 3
x + 7y − 7z = 5
Resposta: S = ∅;
(d)


x − y + 2z − w = −1
2x + y − 2z − 2w = −2
− x + 2y − 4z + w = 1
3x − 3w = −3
Resposta: S = {α(1, 0, 0, 1) + β(0, 2, 1, 0) + (−1, 0, 0, 0) | α, β ∈ R}.
10. (Visto em Aula.) Para matrizes A, B e C, quadradas e de mesma ordem, demonstre o
que segue.
(a) Se A possui inversa a direita, B, e inversa a esquerda, C, isto e´,
AB = I = CA,
enta˜o B = C. (Denotamos tal B = C por A−1; A e´ dita invertı´vel e A−1 e´ dita a
inversa de A.)
(b) Se A tem uma linha (respectivamente, coluna) nula, enta˜o A na˜o tem inversa a
direita B (respectivamente, a esquerda C).41
(c) Se det A 6= 0, verifique que a matriz
A =
[
a b
c d
]
(arbitra´ria) e´ invertı´vel e
A−1 =
[
d
det A
−b
det A−c
det A
a
det A
]
e´ a sua inversa.42
41 SUGESTA˜O: AB (respectivamente, CA) tem uma linha (respectivamente, coluna) nula!
42 RESOLUC¸A˜O: Basta verificar que AA−1 = I (ja´ que a verificac¸a˜o de A−1A = I e´ ana´loga):
AA−1 =
[
ad−bc
det A
−ab+ba
det A
cd−dc
det A
−cb+da
det A
]
=
[
1 0
0 1
]
(ad− bc = det A 6= 0)
= I.
36
(d) Seja A invertı´vel. Daı´:
i. A−1 e´ invertı´vel e
(
A−1
)−1
= A;
ii. At e´ invertı´vel e
(
At
)−1
=
(
A−1
)t
.
(e) Sejam A e B invertı´veis. Daı´ AB e´ invertı´vel e (AB)−1 = B−1A−1.
11. (Visto em Aula.) Temos o seguinte me´todo para obter A−1, caso A seja invertı´vel, ou
afirmar que A−1 na˜o existe, caso A na˜o seja invertı´vel:
(a) Escalone [A|I] ate´ obter [R|A′];
(b) Para a escalonada reduzida R, obtida de A, temos:
• R = I ⇔ A′ = A−1;
• R 6= I ⇔ A−1 na˜o existe.
Use tal me´todo para as matrizes
[
0 1
−1 2
]
,
[
1 2
3 4
]
,

 1 1 00 1 1
1 2 0

 e

 1 1 00 1 1
1 2 1

 .
Entre tais matrizes, existe alguma que na˜o seja invertı´vel? Alguma que seja invertı´vel?
Ainda, caso alguma seja, apresente a sua inversa.43
12. (Visto em Aula.) Efeito das Operac¸o˜es Elementares sobre as Linhas (ou Colunas) i e
j, i 6= j, de A no Ca´lculo de det A:
• Se B e´ a matriz obtida via B(i,−) = A(i,−) + α A(j,−), enta˜o det B = det A;
• Se B e´ a matriz obtida via B(i,−) = α A(i,−), enta˜o det B = α det A;
• Se B e´ a matriz obtida via B(i,−) = A(j,−), B(j,−) = A(i,−), enta˜o det B =
−det A.
Como a transposic¸a˜o de uma matriz arbitra´ria na˜o altera o seu determinante, as treˆs
regras anteriores permanecem va´lidas para operac¸o˜es elementares aplicadas nas colu-
nas de A!
Assim, calcule det A para:44
(a) A =


1 0 0 3
2 7 0 6
0 6 3 0
7 3 1 −5

;45
43Tal teste de invertibilidade pode ser aplicado ainda que na˜o seja necessa´rio apresentar A−1 (caso A seja
invertı´vel). De fato, apo´s obter a escalonada reduzida R de A, basta usar que:
A e´ invertı´vel se, e somente se, R = I.
44Para cada item que segue e´ apresentado um modo de resolveˆ-lo!
45 RESOLUC¸A˜O: Use B(−, 3) = A(−, 3)− 3A(−, 1) para obter uma matriz triangular, cujo determinante e´ o
37
(b) A =


1 −1 2 −3
−1 2 1 −2
0 −1 −3 5
0 15 11 −1

;46
(c) A =


1 −1 2 1
−2 1 1 3
1 1 1 −1
1 3 2 1

;47
produto das entradas da diagonal principal de B:
det A = det B
= det


1 0 0 0
2 7 0 0
0 6 3 0
7 3 1 −26


= 1 · 7 · 3 · (−26)
= −546.
46 RESOLUC¸A˜O: A matriz B, dada a seguir, e´ obtida da A via B(2,−) = A(2,−) + A(1,−):
det A = det B
= det


1 −1 2 −3
0 1 3 −5
0 −1 −3 5
0 15 11 −1


= det


1 −1 2 −3
0 1 3 −5
0 0 0 0
0 15 11 −1


= 0
calculado ao longo da linha nula da matriz C obtida da B via C(3,−) = B(3,−) + B(2,−).
47 RESOLUC¸A˜O: Use operac¸o˜es elementares para “zerar” as entradas da primeira coluna abaixo de a11 = 1.
O determinante da matriz daı´ obtida pode ser calculado ao longo da primeira coluna. Assim:
det A = det


1 −1 2 1
0 −1 5 5
0 2 −1 −2
0 4 0 0


= det

 −1 5 52 −1 −2
4 0 0


= 4det
[
5 5
−1 −2
]
= 4(−10+ 5)
= −20
com o determinante da matriz 3× 3 anterior sendo calculado ao longo de sua u´ltima linha.
38
(d) A =


2 −8 6 8
3 −9 5 10
−3 0 1 −2
1 −4 0 6

;48
(e) A =


pi e
√
2
√
3
−2/√2 −1/√2 √2 √2/2
1 1/2 −1 −1/2
ln 2 1/pi
√
3 pi2

;49
48 RESOLUC¸A˜O: Na primeira igualdade entre determinantes dada a seguir, use que, se B e´ obtida de A via
B(1,−) = 12 A(1,−), enta˜o det B = 12 det A, isto e´, det A = 2det B. Daı´, nas duas igualdades entre determi-
nantes seguintes, “zere” as entradas abaixo do pivoˆ da primeira coluna e depois calcule o determinante ao
longo desta. Finalmente, nas igualdades seguintes as treˆs primeiras, obtenha uma matriz triangular, obser-
vando uma permuta de linhas que troca o sinal do determinante.
det A = 2det


1 −4 3 4
3 −9 5 10
−3 0 1 −2
1 −4 0 6


= 2det


1 −4 3 4
0 3 −4 −2
0 −12 10 10
0 0 −3 2


= 2det

 3 −4 −2−12 10 10
0 −3 2


= 2det

 3 −4 −20 −6 2
0 −3 2


= −2det

 3 −4 −20 −3 2
0 −6 2


= −2det

 3 −4 −20 −3 2
0 0 −2


= (−2) · 3 · (−3) · (−2)
= −36.
49 RESOLUC¸A˜O: A matriz B, dada a seguir, e´ obtida da A via B(2,−) = A(2,−) +√2A(3,−):
det A = det B
= det


pi e
√
2
√
3
0 0 0 0
1 1/2 −1 −1/2
ln 2 1/pi
√
3 pi2


= 0.
39
(f) A =


2 3 0 0 0
1 0 0 0 1
1 1 0 0 1
0 0 1 1 2
0 0 2 1 0

.
50
50 RESOLUC¸A˜O: Vamos proceder trocas de linhas e somas de linhas a mu´ltiplos escalares de outras para
obter uma matriz triangular:
det A = −det


1 0 0 0 1
2 3 0 0 0
1 1 0 0 1
0 0 1 1 2
0 0 2 1 0


= −det


1 0 0 0 1
0 3 0 0 −2
0 1 0 0 0
0 0 1 1 2
0 0 2 1 0


= det


1 0 0 0 1
0 1 0 0 0
0 3 0 0 −2
0 0 1 1 2
0 0 2 1 0


= det


1 0 0 0 1
0 1 0 0 0
0 0 0 0 −2
0 0 1 1 2
0 0 0 −1 −4


= −det


1 0 0 0 1
0 1 0 0 0
0 0 1 1 2
0 0 0 0 −2
0 0 0 −1 −4


= det


1 0 0 0 1
0 1 0 0 0
0 0 1 1 2
0 0 0 −1 −4
0 0 0 0 −2


= 2.
40
Exercı´cios sobre Func¸o˜es, Limites, Derivadas e Integrais:
(Aqui, foram resolvidos em aula, acima de 90 por cento dos problemas!)
1. Estude o capı´tulo 0 (que faz uma revisa˜osobre as func¸o˜es estudadas no ensino me´dio)
do livro do GONICK citado no final das Observac¸o˜es Auxiliares para a Resoluc¸a˜o da
Lista. Resolva enta˜o os quinze problemas da de tal capı´tulo. (Pa´gina 60.)
OBSERVAC¸A˜O: Nas respostas de seis dos nove primeiros problemas, os domı´nios esta˜o
descritos apenas por propriedades que caracterizam seus elementos. Os itens que cor-
respondem a tais respostas podem iniciar com “ E´ o conjunto que consiste de todo ...”.
ERRATA: No problema 13, para 1 < x < 2, a definic¸a˜o correta e´ f (x) = (x− 1)2 − 1!
RESPOSTAS E SUGESTO˜ES:
1. Todo t 6= 12 ;
2. Todo b ≥ 12 exceto b = 4;
3. Todo x 6= ±1;
4. O intervalo [−2, 2];
5. Todo θ exceto θ = ±
√
pi
3 e θ =
pi
2 ± npi com n = 0, 1, 2, . . .;
6. Todo x 6= 0;
7. O intervalo (−∞, 0);
8. Todo nu´mero real;
9. O intervalo (1,∞);
10. (Visto em Aula.)
11a. Interna: t(x) = cos x; externa: s(t) = 2t; composta: h(x) = s(t(x));
11b. Mais interna: w(x) = x2 − 1; do meio: v(w) = lnw; externa: u(v) = √v; com-
posta: h(x) = u(v((w(x))));
11c. Interna: g(x) = ex; externa: f (y) = 4y3+ y2+ 6y− 99; composta: h(x) = f (g(x));
12. Seja x = y+ c. Daı´
P(y+ c) = b0 + b1(y+ c) + b2(y+ c)
2 + · · ·+ bn(y+ c)n.
Expandindo os binoˆmios e agrupando termos de poteˆncias iguais, obtemos uma
expressa˜o da forma
P(y+ c) = a0 + a1y+ a2y
2 + · · ·+ anyn,
isto e´,
P(x) = a0 + a1(x− c) + a2(x− c)2 + · · ·+ an(x− c)n
com P(c) = a0. Esta u´ltima igualdade e a comparac¸a˜o dos coeficientes de poteˆncias
iguais da u´ltima expressa˜o para P(x) com a inicial,
P(x) = b0 + b1x+ b2x
2 + · · ·+ bnxn,
implicam que
a0 = b0 + b1c+ b2c
2 + · · ·+ bncn, a1 = b1, a2 = b2, . . . , an = bn.
41
13. f (x) e´ injetora mas na˜o crescente em todo seu domı´nio. (Justifique!)
x
y
1
−1
1 2
Este e´ o gra´fico de f (x) definida em (0, 2).
14. Use o seguinte triaˆngulo:
1 u.c.
x u.c.
θ rad
15. t = ln 2r anos.
2. Estude o capı´tulo 1 (sobre limites de func¸o˜es reais de uma varia´vel real) do livro do
GONICK. Resolva enta˜o os dez primeiros problemas de tal capı´tulo. (Pa´gina 84.)
RESPOSTAS E SUGESTO˜ES:
1. O limite e´ 6.
2. O limite e´ 6+ C.
3. O limite e´ 1/4.
4. O limite e´ −∞.
5. O limite e´ 6.
6. O limite e´ 0.51
7. O limite e´ 3.52
8. O limite e´ 2.
51Segue do Teorema do Sanduı´che.
De fato, 1x−1 e´ positivo e, por ter um numerador de grau 0 e um denominador de grau 1, tem limite nulo para
x → ∞. Nestas condic¸o˜es, note ainda que
− 1
x− 1 ≤
cos x
x− 1 ≤
1
x− 1 .
52Sugesto˜es para treˆs soluc¸o˜es distintas:
• Como x2 + x− 2 = (x+ 2)(x− 1), tal limite iguala
lim
x→1
(x+ 2) = 3.
42
9. O limite e´ ∞.53
10. O limite e´ 0.54
3. Estude o capı´tulo 2 (sobre derivadas de func¸o˜es reais de uma varia´vel real) do livro do
GONICK. Resolva enta˜o os doze primeiros problemas de tal capı´tulo. (Pa´gina 108.)
OBSERVAC¸A˜O: Por descuido do autor, as resoluc¸o˜es de alguns problemas exigem o
uso da regra da cadeia, estudada no capı´tulo 3!
REGRAS DAS DERIVADAS DO PRODUTO E DO QUOCIENTE:
(
f (x)g(x)
)′
= f ′(x)g(x) + f (x)g′(x)
onde existirem as derivadas das func¸o˜es f (x) e g(x).
Neste caso, onde g(x) 6= 0, segue que
(
f (x)
g(x)
)′
=
(
f (x) · 1
g(x)
)′
=
f ′(x)g(x)− f (x)g′(x)
[g(x)]2
.
RESPOSTAS E SUGESTO˜ES:
1. f ′(x) = 3x2 + 5.
• A substituic¸a˜o h = x− 1 (e alguma simplificac¸a˜o) iguala o limite procurado ao
lim
h→0
(h+ 3) = 3.
• A substituic¸a˜o y = 1x−1 (e alguma simplificac¸a˜o) iguala o limite procurado ao
lim
y→∞
(
3+
1
y
)
= 3.
53Note que
sen x
x2
=
sen x
x
· 1
x
.
54 RESOLUC¸O˜ES:
• Seja y = 1x . Daı´ x → 0 e´ equivalente a y → ∞. Enta˜o
lim
x→0
x sen
(
1
x
)
= lim
y→∞
sen y
y
= 0.
• Tal limite e´ zero. Isto segue do Teorema do Sanduı´che.
De fato, por um lado,
|x sen (1/x)| ≤ |x| ⇒ ±x sen (1/x) ≤ |x|
⇒ −|x| ≤ x sen (1/x) ≤ |x|.
Por outro lado,
lim
x→0
|x| = 0.
43
2. f ′(x) = 3x2 + 5.
3. P′(x) = 1√
x
(
1+ 12 ln x
)
.55
4. g′(x) = 0.
5. h′(x) = − sen x+ 53x−4/3.56
6. R′(x) = − 2
(x−1)2 .
7. u(x) = − sen x+cos xex .
8. v′(t) = tan t sec t.
9. F′(x) = − 1
x(ln x)2
.57
10. B′(θ) = tan θ sec2 θ.58
11. Q′(x) = −529 2x3−x2+1
(x3−x2−x−1)2 .
12. Diretamente da regra da derivada do quociente, temos
F′(p) =
(− sen p+ ep + pep) (p10 + p−2)− (cos p+ pep) (10p9 − 2p−3)
(p10 + p−2)2
.
4. Estude o capı´tulo 3 (sobre a regra da cadeia para func¸o˜es reais de uma varia´vel real) do
livro do GONICK. Resolva os cinco primeiros problemas deste capı´tulo. (Pa´gina 124.)59
REGRA DA CADEIA:
Se y = f (x) e z = g(y) sa˜o as func¸o˜es interna e ex-
terna, respectivamente, de uma func¸a˜o composta, isto
e´, a composic¸a˜o z = g( f (x)) e´ possı´vel, enta˜o
(
g( f (x))
)′
= f ′(x) · g′(y)
= f ′(x) · g′( f (x)),
isto e´, a derivada da composta (em relac¸a˜o a x) e´
igual ao produto da derivada de sua func¸a˜o interna
(em relac¸a˜o a x) pela derivada de sua func¸a˜o externa
(em relac¸a˜o a y), onde existam tais derivadas.60 Outra
notac¸a˜o u´til para tal regra e´ a seguinte:
dz
dx
=
dz
dy
· dy
dx
.61
RESPOSTAS E SUGESTO˜ES:
55O ca´lculo da derivada de
√
x depende do material do capı´tulo 3.
56O ca´lculo da derivada de 3
√
x depende do material do capı´tulo 3.
57Necessita do material do capı´tulo 3.
58Aplique a regra da derivada do produto em B(θ) = tan θ · tan θ!
59No enunciado da questa˜o 3, leia-se “ENCONTRE A DERIVADA DAS FUNC¸O˜ES ABAIXO:”. Nos itens i,k, u(x)
e R(x) sa˜o, na verdade, u(t) e R(t).
44
1. f (g(u)) = cos2 u, g( f (x)) = cos
(
x2
)
;(
f (g(u))
)′
= −2 sen u cos u, (g( f ((x)))′ = −2x sen (x2).
2. v(u(x)) = e−x2 , u(v(t)) = −e2t;(
v(u(x))
)′
= −2xe−x2 , (u(v((t)))′ = −2e−2t.
3a. f ′(t) = 12(2t+ 1)
(
1+ t+ t2
)−1/2
.
3b. g′(x) = −100 sen x cos x (cos2 x− sen2 x)24.
3c. h′(θ) = 2 tan θ sec2 θ.
3d. P′(r) = 20r
(
r2 + 7
)9
.
3e. P′(r) = −20r (r2 + 7)−11.
3f. f ′(y) = − 12√y sen
(√
y
)
.
3g. E′(x) = E(x).
3h. F′(x) = 12e
x−a
2 .
3i. u′(t) = 6t3
(
t4 + 7
)1/2
.
3j. − 2z cos(z)23
(
sen(z)2 + 2
)−4/3
.
3k. R′(t) = − 10(t+1)4
(t−1)6 .
4. Como y = f (x) e´ diferencia´vel,
d
dx
(
ln f (x)
)
=
d
dx
(
f (x)
) · d
dy
(ln y)
= f ′(x) · 1
y
=
f ′(x)
f (x)
.
5a.
ln f (x) = 5 ln x+ x− 1
3
ln(1+ x);
f ′(x)
f (x)
=
5
x
+ 1− 1
3(1+ x)
;
f ′(x) = x5ex(1+ x)−1/3
(
5
x
+ 1− 1
3(1+ x)
)
=
1
3
x4ex(1+ x)−4/3
(
3x2 + 17x+ 15
)
.
5b.
ln g(x) =
√
x ln x;
g′(x)
g(x)
=
ln x
2
√
x
+
√
x
x
;
45
g′(x) =
(
ln x
2
√
x
+
1√
x
)
g(x)
=
1√
x
(
1
2
ln x+ 1
)
x
√
x.
5. Estude o capı´tulo 5 (sobre otimizac¸a˜o de func¸o˜es reais de uma varia´vel real) do livro
do GONICK. Resolva os quatro primeiros problemas deste capı´tulo. (Pa´gina 152.)
RESPOSTAS E SUGESTO˜ES:
1a. x = − 12 e´ um mı´nimo (global).62
x
f (x)
1b. g′(x) = 3x2 − 3 e g′′(x) = 6x. Daı´ x = −1 e´ ma´ximo local, x = 1 e´ mı´nimo local e
x = 0 e´ ponto de inflexa˜o.63
x
g(x)
1c.
h′(t) = 6t2 − 6t− 36
= 6(t+ 2)(t− 3)
e h′′(t) = 12t − 6. Daı´ t = −2 e´ ma´ximo local, t = 3 e´ mı´nimo local e t = 12 e´
ponto de inflexa˜o.64
62Note ainda que: f (−0, 5) = −1, 25; a medida que x cresce, a inclinac¸a˜o f ′(x) cresce com x (pois a taxa de
variac¸a˜o da derivada em relac¸a˜o a x, isto e´, ( f ′)′ (x) = f ′′(x)) e´ sempre positiva; lim
x→±∞ f (x) = ∞.
63Note ainda que: g(−1) = 10, g(0) = 8 e g(1) = 6; a medida que x cresce, a inclinac¸a˜o g′(x) decresce para
x ∈ (−∞, 0) e cresce para x ∈ (0,∞) (pois a taxa de variac¸a˜o da derivada em relac¸a˜o a x, isto e´, (g′)′ (x) =
g′′(x), e´ negativa para x< 0 e positiva para x > 0); lim
x→−∞ g(x) = −∞ e limx→∞ g(x) = ∞.
64Note ainda que: h(−2) = 43, h(0, 5) = −19, 5 e h(3) = −82; a medida que t cresce, a inclinac¸a˜o h′(t)
decresce para t ∈ (−∞, 1/2) e cresce para t ∈ (1/2,∞) (pois a taxa de variac¸a˜o da derivada em relac¸a˜o a t, isto
e´, (h′)′ (t) = h′′(t), e´ negativa para t < 12 e positiva para t >
1
2 ); limt→−∞ h(t) = −∞ e limt→∞ h(t) = ∞.
(Devido aos valores ma´ximo e mı´nimo locais da func¸a˜o (43 e −82) serem muito maiores em comparac¸a˜o aos
dos seus pontos de ma´ximo e mı´nimo locais (−2 e 3), e´ aconselha´vel uma mudanc¸a de escala nos eixos coor-
denados para um melhor esboc¸o do gra´fico!)
46
1d. (Resoluc¸a˜o Completa!)
S′(x) = 2 sen x cos x e S′′(x) = 2(cos2 x − sen2 x). Daı´ os extremos locais teˆm
lugar onde o seno ou o cosseno se anulam, mı´nimos onde o seno se anula
(0,±pi,±2pi, . . .)
e ma´ximos onde o cosseno se anula
(±pi/2,±3pi/2, . . .),65
e pontos de inflexa˜o onde cosseno e seno se igualam em mo´dulo
(±pi/4,±3pi/4, . . .).
x
S(x)
Para a concavidade, devemos buscar intervalos entre os pontos de inflexa˜o onde a
taxa de variac¸a˜o da inclinac¸a˜o S′(x) e´ ou positiva ou negativa, isto e´, ou S′′(x) > 0
ou S′′(x) < 0. No primeiro caso, S′(x) cresce e a concavidade do gra´fico de S(x)
e´ para cima. No segundo, ocorre exatamente o oposto. Assim, por exemplo, en-
tre -pi/4 e pi/4, S′′(x) > 0 pois o cosseno e´ maior em mo´dulo que o seno nesse
intervalo. Daı´ a concavidade e´ para cima em (−pi/4,pi/4). Como ±pi/4 sa˜o pon-
tos de inflexa˜o, em (−3pi/4,−pi/4) e (pi/4, 3pi/4) a concavidade e´ para baixo.
Como ±3pi/4 sa˜o pontos de inflexa˜o, em (−5pi/4,−3pi/4) e (3pi/4, 5pi/4) a con-
cavidade e´ para cima. Etc.
1e. F′(θ) = cos θ − sen θ = 0 quando cos θ = sen θ = ±
√
2
2 , isto e´, quando θ e´ ou pi/4,
(pi/4)± 2pi, (pi/4)± 4pi, etc., ou 5pi/4, (5pi/4)± 2pi, (5pi/4)± 4pi, etc.
Por outro lado, F′′ = −F. Daı´
F′′(pi/4) = −
√
2; F′′(5pi/4) =
√
2.
Assim os ma´ximos locais sa˜o os pontos
θ = (pi/4)± 2pin, n = 0, 1, 2, . . .
e os mı´nimos locais sa˜o os pontos
θ = (5pi/4)± 2pin, n = 0, 1, 2, . . . .
θ
F(θ)
65De fato, como um nu´mero ao quadrado no mı´nimo e´ zero, S(x) = sen2 x e´ ma´ximo quando sen x = ±1 e
mı´nimo quando sen x = 0.
47
A concavidade e´ obtida de forma ana´loga ao que foi feito para o problema ante-
rior.
1f. (Resoluc¸a˜o Completa!)
Por um lado, note que o domı´nio de A(x) e´ o intervalo fechado [−2, 2] (onde
e´ positiva em (−2, 2) e A(±2) = 0). Mais, seu gra´fico e´ a semi-circunfereˆncia
superior de centro na origem e raio 2. De fato, como a raiz quadrada de um
nu´mero na˜o-negativo e´ um nu´mero na˜o-negativo e
y =
√
4− x2 ⇒ y2 = 4− x2
⇔ x2 + y2 = 22,
segue que o gra´fico e´ da forma
x
A(x)
−2 0 2
2
com ponto de ma´ximo global em x = 0.
Por outro lado, para outra resoluc¸a˜o, note que
A(x)2 = 4− x2 ⇒ 2A(x)A′(x) = −2x
⇒ A′(x) = − x
A(x)
e´ zero apenas para x = 0. (Note tambe´m que (−2, 2) e´ o domı´nio de A′(x).) Este e´
ponto de ma´ximo (global) e o gra´fico tem concavidade para baixo. (De fato, note
ainda que
A(x)A′(x) = −x ⇒ A′(x)2 + A(x)A′′(x) = −1
⇒ A′′(x) = −1+ A
′(x)2
A(x)
tem (−2, 2) como domı´nio e e´ negativa no mesmo; em particular, e´ negativa para
x = 0.)
1g. Q(x) e suas derivadas so´ esta˜o definidas para x > 0 e, em tal intervalo, Q(x) =
x ln x e´ positiva (pois ln x tambe´m o e´) para x > 1, x = 1e e´ o u´nico ponto crı´tico
(Q′(x) = ln x+ 1 se anula em x = 1e ) e Q
′′(x) = 1x e´ positiva. Daı´ tal ponto crı´tico
e´ ponto de mı´nimo, na˜o existem pontos de inflexa˜o e a concavidade e´ para cima.66
x
Q(x)
66Justifique!
48
1h. Mesmos extremos do problema 1e..
2. (Resoluc¸a˜o Completa!)
Observe que
d
dx
(sen x) = cos x,
d
dx
(cos x) = − sen x,
d
dx
(− sen x) = − cos x e d
dx
(− cos x) = sen x.
A partir daı´, ocorre uma repetic¸a˜o de resultados a cada quatro derivac¸o˜es. Como
100 = 4 · 25 + 0 e 110 = 4 · 27 + 2,67 primeiro repetimos o processo anterior
vinte e cinco vezes e, depois, repetimos vinte e sete vezes para depois calcularmos
a segunda derivada do seno. A respostas do problema sa˜o, na ordem, sen x e
− sen x.
3. Se um lado do retaˆngulo e´ x u.c. e o perı´metro e´ P u.c., enta˜o o lado adjacente mede
P
2 − x u.c. e a sua a´rea
A(x) = x
(
P
2
− x
)
= −x2 + P
2
x u.a.
tem um mı´nimo quando x = P/4 u.c..
(De fato, A′(x) = −2x+ (P/2) e A′′(x) = −2.)
4a. T = v0 sen θ9,8 .
4b. D′(θ) = v
2
0
4.9
(
cos2 θ − sen2 θ) = 0 quando cos θ = ±sen θ, isto e´, quando θ = pi/4,
3pi/4, etc., isto e´, quando a catapulta esta´ apontada diretamente para cima num
aˆngulo que correspone a metade de um aˆngulo reto. (Note que isto na˜o depende
de v0!)
6. Estude os capı´tulos 8 e 9 (sobre integrac¸a˜o de func¸o˜es reais de uma varia´vel real) do
livro do GONICK. Resolva apenas os problemas do capı´tulo 9, exceto os seguintes: 5,
10, 11, 16, 17 e 21. (Pa´gina 184.)
RESPOSTAS E SUGESTO˜ES:
1. 6x+ C.
2. 2x
5
15 + C.
3.
(x−2)51
51 + C.
4. (1− x)−1 + C.
6. ln
(
9+ x2
)
+ C.
7. arcsen
(
x
2
)
+ C.
8-9. − cos 2x2 + C.
67Lembras? Dividendo e´ igual ao Divisor vezes o Quociente mais o Resto!
49
12. (Resoluc¸a˜o Completa!)
Note que
I =
∫
3
2
x2e(x
3+1) dx
=
1
2
∫
3x2e(x
3+1) dx.
Seja agora
f (x) = 3x2e(x
3+1) dx.
Segue daı´ que, se u(x) = x3 + 1, v(u) = eu e
F(x) = v(u(x))
= e(x
3+1),
enta˜o u′(x) = 3x2, v′(u) = eu,
F′(x) = u′(x)v′(u(x))
= 3x2e(x
3+1)
= f (x)
e, finalmente,
I =
1
2
∫
f (x) dx
=
1
2
· F(x) + C
=
e(x
3+1)
2
+ C.
13. −ecos x + C.
14. (Resoluc¸a˜o Completa!)
Considere que
f (x) =
x2 − 4x√
x3 − 6x2 .
Considere agora o denominador de f (x). Note que, se
F(x) =
(
x3 − 6x2
)1/2
,
segue da regra da cadeia que
F′(x) = 3 ·
(
x2 − 4x
)
· 1
2
·
(
x3 − 6x2
)−1/2
=
3
2
f (x).
50
Assim, a integral pode ser resolvidada do seguinte modo:
∫
x2 − 4x√
x3 − 6x2 dx =
∫
f (x) dx
=
∫
2
3
F′(x) dx
=
2
3
∫
F′(x) dx
=
2
3
F(x) + C
=
2
(
x3 − 6x2)1/2
3
+ C.
15. ln(x+ 1) + C.
18. x
4
2 + 5x
3 − x24 − 7x+ C.
19. sen
3 θ
3 − cos
3 θ
3 + C.
20. e
x−e−x
2 + C.
22. 2t
5/2
5 +
2t7/2
7 +
8t−5/2
5 + C.
23.
{ (
x2/2
)
+ C para x > 0,
− (x2/2)+ C para x < 0.
O que acontece em x = 0?
24. F(x− a).
25. (Resoluc¸a˜o Completa!)
Relembre que
(
ln f (x)
)′
= f
′(x)
f (x)
. Daı´
∫
f ′(x)
f (x)
dx = ln f (x) + C.
51