Unidade 1 Metodos Matematicos Raizes aula 02

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UNIDADE 1 – Aula 02
DETERMINAÇÃO DE RAÍZES DE FUNÇÕES
DISCIPLINA: MÉTODOS MATMÁTICOS APLICADOS A PROCESSOS
CURSO: MESTRADO EM ENGENHARIA DE PROCESSOS
PROFESSOR: ANDRÉ LOURENÇO NOGUEIRA
Método da POSIÇÃO FALSA 
 NESTE MÉTODO, AO INVÉS TOMAR A MÉDIA ARITMÉTICA ENTRE a E b, ESTE MÉTODO USA A MÉDIA ARITMÉTICA PONDERADA ENTRE a E b, CONFORME A FÓRMULA APRESENTADA A SEGUIR: 
 GRAFICAMENTE, O MÉTODO TRABALHA DA SEGUINTE MANEIRA:
EXEMPLO 9: APLICANDO O MÉTODO DA POSIÇÃO FALSA, ENCONTRE AS RAÍZES DA FUNÇÃO f(x) = x3 – 9x + 3, CONSIDERANDO UMA PRECISÃO ε1 OU ε2 DE 5 X 10-4 
Método dE NEWTON-RAPHSON 
 ESTE MÉTODO TENDE A SER O MELHOR ENTRE OS MÉTODOS NUMÉRICOS PARA A DETERMINAÇÃO DE ZEROS DE FUNÇÕES VISTOS ATÉ O MOMENTO
 O MÉTODO TENDE A TRANSFORMAR A FUNÇÃO f(x) EM UMA EQUAÇÃO EQUIVALENTE x = φ(x) E, A PARTIR DE UMA APROXIMAÇÃO INICIAL x0, GERA UMA SEQUÊNCIA DE APROXIMAÇÕES xk ATRAVÉS DA RELAÇÃO xk+1 = φ(xk)
 SEJA UMA FUNÇÃO f(x) CONTÍNUA EM [a , b], CUJO INTERVALO CONTÉM UMA RAIZ, OU SEJA, f(x) = 0
 A FUNÇÃO φ(x) É TAL QUE f(ξ) = 0 SE E SOMENTE SE φ(ξ) = ξ 
 NO MÉTODO DE NEWTON, A EQUAÇÃO EQUIVALENTE φ(x) É REPRESENTADA PELA SEGUINTE EXPRESSÃO:
 PARA A EQUAÇÃO x2 + x – 6 = 0, TEMOS ALGUMAS FUNÇÕES DE ITERAÇÃO POSSÍVEIS:
 A EQUAÇÃO EQUIVALENTE φ(x) É CHAMADA DE FUNÇÃO DE ITERAÇÃO 
 GRAFICAMENTE, O MÉTODO TRABALHA DA SEGUINTE MANEIRA:
EXEMPLO 10: APLICANDO O MÉTODO DE NEWTON-RAPHSON, ENCONTRE A RAIZ DA FUNÇÃO f(x) = x3 – 9x + 3 NO INTERVALO [0 , 1], CONSIDERANDO UMA PRECISÃO ε1 OU ε2 DE 5 X 10-4 E USANDO UMA ESTIMATIVA INICIAL x0 = 0,5 
EXEMPLO 11: APLICANDO O MÉTODO DE NEWTON-RAPHSON, ENCONTRE A RAIZ DA FUNÇÃO f(x) = x3 – 9x + 3 NO INTERVALO [0 , 1], CONSIDERANDO UMA PRECISÃO ε1 OU ε2 DE 5 X 10-4 E USANDO UMA ESTIMATIVA INICIAL x0 = 1,5 
EXEMPLO 12: APLICANDO O MÉTODO DE NEWTON-RAPHSON, ENCONTRE A RAIZ DA FUNÇÃO f(x) = x3 – 9x + 3 NO INTERVALO [0 , 1], CONSIDERANDO UMA PRECISÃO ε1 OU ε2 DE 5 X 10-4 E USANDO UMA ESTIMATIVA INICIAL x0 = -2,0
Método DA SECANTE
 ESTE MÉTODO BUSCA SUPERAR UMA LIMITAÇÃO DO MÉTODO DE NEWTON, QUE É A NECESSIDADE DE SE DETERMINAR A DERIVADA f’(x) E CALCULAR SEU VALOR NUMÉRICO A CADA ITERAÇÃO
 UMA FORMA DE SE CONTORNAR ESTA DIFICULDADE É SUBSTITUIR O TERMO DA DERIVADA PELA SEGUINTE APROXIMAÇÃO:
 GRAFICAMENTE, O MÉTODO TRABALHA DA SEGUINTE MANEIRA:
EXEMPLO 13: APLICANDO O MÉTODO DA SECANTE, ENCONTRE A RAIZ DA FUNÇÃO f(x) = x3 – 9x + 3 NO INTERVALO [0 , 1], CONSIDERANDO UMA PRECISÃO ε1 OU ε2 DE 5 X 10-4 E USANDO UMA ESTIMATIVA INICIAL x0 = 0 E x1 = 1