Equivalência de taxas

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MATEMÁTICA FINANCEIRA 
PROF. ELISSON DE ANDRADE 
 
 
Blog: www.profelisson.com.br 
 
 
 
 
 
 
 
AULA 4: EQUIVALÊNCIA DE 
TAXAS 
 
 
Exercícios resolvidos e comentados 
 
 
 
 
 
 
 
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REVISÃO: COMO TRANSFORMAR DATAS 
 
 
Um dos maiores problemas dos alunos no estudo de equivalência de taxas, é não 
conseguir lidar com transformações de períodos (n). Portanto, um primeiro exercício a 
ser feito é exatamente esse: representar uma data em outra unidade de tempo. Para 
nossos exercícios, vamos considerar como um mês tendo 30 dias, e um ano com 360 
dias. 
Algumas transformações conseguimos elaborar sem precisar fazer conta: um mês é 
igual a 30 dias, um semestre possui seis meses, um ano tem 360 dias, e por aí vai. 
O problema é: quantos meses correspondem a 38 dias? Quantos semestres existem em 
5,5 anos? Como posso representar um período de 0,5 mês em bimestre? Vejam que tal 
transformação não é tão óbvia, e é isso que vamos aprender agora. 
 
VEJA ALGUNS EXEMPLOS: 
 
1) Transformar n = 1 mês, para ano 
Para fazer tal transformação, basta aplicar uma regra de 3 
1 ano -------------- 12 meses 
x ano -------------- 1 mês 
Resolvendo a regra de 3, chegamos que x = 1/12 , ou seja, um mês é igual a um doze 
avos (1/12) de ano. 
 
2) Transformar n = 168 dias, para bimestre 
Regra de 3: 
1 bimestre ------------------- 60 dias 
x bimestres ------------------- 168 dias 
Resolvendo a regra de 3, verificamos que x = 168/60. Isso significa que o resultado 
dessa divisão é exatamente quantos bimestres existem dentro de 168 dias. 
 
 
 
 
3) Transformar n = 15 dias, para ano 
Regra de 3: 
1 ano ------------------- 360 dias 
x ano ------------------- 15 dias 
Resolvendo a regra de 3, verificamos que x = 15/360. Isso significa que o resultado 
dessa divisão é exatamente que 15/360 ano é igual a 15 dias. 
 
4) Transformar n = 8 trimestres, para mês 
Regra de 3: 
1 trimestre ------------------- 3 meses 
8 trimestres ------------------- x meses 
Resolvendo a regra de 3, verificamos que x = 24 meses. Isso significa que 8 trimestres 
correspondem a 24 meses. 
 
5) Transformar n = 50 dias, para um período de 125 dias 
Regra de 3: 
1 (período de 125 dias) ------------------- 125 dias 
x (período de 125 dias) ------------------- 50 dias 
A regra de 3 acima corresponde à seguinte relação: “1 período de 125 dias corresponde 
a 125 dias; qual o número de período de 125 dias que corresponde a 50 dias?”. 
Resolvendo a regra de 3, chegamos a x = 50/125. Essa fração significa que 50 dias 
corresponde a 50/125 período de 125 dias. Ou seja, 50 dias representam 50 partes em 
125 partes (50/125). 
 
6) Transformar n = 240 dias, em período de 25 dias 
Regra de 3: 
1 (período de 25 dias) ------------------- 25 dias 
x (períodos de 25 dias) ------------------- 240 dias 
A regra de 3 acima corresponde à seguinte relação: “1 período de 25 dias corresponde a 
25 dias; quantos períodos de 25 dias cabem dentro de 240 dias?”. Resolvendo a regra de 
3, chegamos a x = 240/25. Essa fração significa que 240 dias corresponde a 240/25 
períodos de 25 dias. Façamos a divisão 240/25 = 9,6. Logo, podemos dizer que cabem 
9,6 períodos de 25 dias, dentro de um período de 240 dias. 
 
Exercícios de equivalência de taxas 
 
Vimos, na página anterior, como transformar datas. Agora precisamos aplicar esse 
conhecimento em equivalência de taxas. Todos os exercícios abaixo serão resolvidos 
com base no que foi apresentado na vídeo-aula 4. Imprima essa folha, tente resolver os 
exercícios com base no que aprendeu na vídeo-aula 4, e depois veja as resoluções 
comentadas nas páginas seguintes. 
 
1. Qual a taxa anual equivalente a 5% ao semestre? 
2. Qual a taxa mensal equivalente a 20% ao ano? 
3. Qual a taxa anual equivalente a 0,5% ao mês? 
4. Qual a taxa mensal equivalente a 12,62% ao semestre? 
5. Qual a taxa mensal equivalente a 1% ao dia? 
6. Qual a taxa bimestral equivalente a 0,08% ao dia? 
7. Qual a taxa trimestral equivalente a 47,746% em dois anos? 
8. Qual a taxa de 82 dias equivalente a 12% ao ano? 
9. Qual a taxa de 183 dias equivalente a 65% ao ano? 
10. Qual a taxa mensal equivalente a 20% em 400 dias? 
11. Qual a taxa de 55 dias equivalente a 18,5% em 112 dias? 
12. Qual a taxa de 150 dias equivalente a 6% em 80 dias? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
1. Qual a taxa anual equivalente a 5% ao semestre? 
 
A equação que usaremos é: 
�1 + ���
� = �1 + �	
��
�
 
Substituindo a taxa de 5% ao semestre e usando a dica apresentada no vídeo da Aula 4, 
de colocar número 1 no expoente da variável que queremos calcular, temos: 
�1 + ���
� = �1 + 0,05�� 
Quando colocamos o número 1 no expoente de iA , estamos definindo o período de 1 
ANO. Agora a questão é achar o valor de n, ou seja: como represento um ano em 
semestres? Isso significa voltarmos àqueles mesmos exercícios da segunda página 
COMO TRANSFORMAR DATAS. Nesse caso, não precisamos nem perder tempo em 
fazer regra de três, pois já sabemos que um ano tem 2 semestres. Portanto, substituindo 
o número 2 no lugar de n, temos: 
�1 + ���
� = �1 + 0,05�� 
Resolvendo na calculadora o termo da direita (no termo da esquerda, quando temos 1 no 
expoente, podemos sumir com ele): 
1 + �� = 1,1025 
�� = 1,1025 − 1 
�� = 0,1025 
 
RESPOSTA: podemos concluir que 5% ao semestre é equivalente a 10,25% ao 
ano. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2. Qual a taxa mensal equivalente a 20% ao ano? 
 
Iniciando com a equação: 
�1 + ���
� = �1 + ���
�
 
 
Substituindo a taxa de 20% ao ano em ��, e colocando 1 no expoente da variável que 
queremos calcular (no caso ��), temos: 
�1 + 0,2�� = �1 + ���
�
 
 
O número 1 que colocamos no expoente de ��, representa 1 MÊS. Logo, precisamos 
colocar um número no lugar de n que represente 1 mês, também. Todavia, como n é o 
expoente da taxa anual ��, precisamos calcular como representar 1 mês, em um valor 
expresso em anos. Para isso, faremos uma TRANSFORMAÇÃO DE DATAS. 
1 ano -------------- 12 meses 
n ano -------------- 1 mês 
De onde chegamos à conclusão que n = 1/12. 
Dessa forma, nota-se que 1/12 de ano é igual a um mês. Substituindo esse valor na 
equação: 
�1 + 0,2�
�
�� = �1 + ���
�
 
 
Resolvendo a conta da esquerda, e sabendo-se que qualquer número elevado a 1 dá ele 
mesmo (termo à direita do sinal de igual), chegamos a: 
1,0153 = 1 + �� 
1,0153 − 1 = �� 
0,0153 = �� 
Em que multiplicando essa resposta por 100, chegamos a 1,53% ao mês. 
 
RESPOSTA: podemos concluir que uma taxa de juros de 20% ao ano é 
equivalente a 1,53% ao mês. 
 
 
 
 
3. Qual a taxa anual equivalente a 0,5% ao mês? 
 
Iniciando com a equação: 
�1 + ���
� = �1 + ���
�
 
 
Substituindo a taxa de 0,5% ao mês em ��, e colocando 1 no expoente da variável que 
queremos calcular (no caso ��), temos: 
�1 + ���
� = �1 + 0,005�� 
 
O número 1 que colocamos no expoente de ��, representa 1 ANO. Logo, precisamos 
colocar um número no lugar de n que também represente 1 ano. Todavia, como n é o 
expoente da taxa mensal ��, precisamos calcular como representar 1 ano, em um valor 
expresso em meses. Para isso, faremos uma TRANSFORMAÇÃO DE DATAS. 
Nesse caso nem é necessária a regra de 3, pois já sabemos que 1 ano possui 12 meses. 
Dessa forma, substituindo esse valor na equação: 
�1 + ���
� = �1 + 0,005��� 
 
Resolvendo: 
1 + �� = �1 + 0,005�
��
 
1 + �� = 1,0616 
�� = 0,0616 
 
Multiplicando esse valor por 100, temos que �� = 6,16%	��	�ê� 
 
RESPOSTA: podemosconcluir que uma taxa de juros de 0,5% ao mês é 
equivalente a 6,16% ao ano. 
 
OBS: antes de prosseguir, compare esse exercício 3 com o anterior (exercício 2). Veja 
que em um deles, é dada a taxa anual e pede a mensal, e no outro exercício acontece o 
inverso. Compreender exatamente a diferença entre ambos é essencial para a 
continuação dos exercícios. 
 
 
4. Qual a taxa mensal equivalente a 12,62% ao semestre? 
 
Iniciando com a equação: 
�1 + �	�
� = �1 + ���
�
 
 
Substituindo a taxa de 12,62% ao semestre em �	, e colocando 1 no expoente da variável 
que queremos calcular (no caso ��), temos: 
�1 + 0,1262�� = �1 + ���
�
 
 
O número 1 que colocamos no expoente de ��, representa 1 MÊS. Logo, precisamos 
colocar um número no lugar de n que também represente 1 mês. Todavia, como n é o 
expoente da taxa semestral �	, precisamos calcular como representar 1 mês, em um 
valor expresso em semestre. Para isso, faremos uma TRANSFORMAÇÃO DE DATAS. 
1 semestre -------------- 6 meses 
n semestre -------------- 1 mês 
De onde chegamos à conclusão que n = 1/6. 
Dessa forma, nota-se que 1/6 (um sexto de semestre) é igual a um mês. Substituindo 
esse valor na equação: 
�1 + 0,1262�
�
� = �1 + ���
�
 
 
Resolvendo a conta da esquerda, e sabendo-se que qualquer número elevado a 1 dá ele 
mesmo (termo à direita do sinal de igual), chegamos a: 
1,02 = 1 + �� 
1,02 − 1 = �� 
0,02 = �� 
Em que multiplicando essa resposta por 100, chegamos a 2% ao mês. 
 
RESPOSTA: podemos concluir que uma taxa de juros de 12,62% ao semestre é 
equivalente a 2% ao mês. 
 
 
 
 
5. Qual a taxa mensal equivalente a 1% ao dia? 
Iniciando com a equação: 
�1 + ���
� = �1 + ���
�
 
 
Substituindo a taxa de 1% ao dia em ��, e colocando 1 no expoente da variável que 
queremos calcular (no caso ��), temos: 
�1 + 0,01�� = �1 + ���
�
 
 
O número 1 que colocamos no expoente de ��, representa 1 MÊS. Logo, precisamos 
colocar um número no lugar de n que também represente 1 mês. Todavia, como n é o 
expoente da taxa diária ��, precisamos calcular como representar 1 mês, em um valor 
expresso em dias. Nesse caso, nem precisamos perder nosso tempo fazendo regra de 3, 
pois 1 mês possui 30 dias. 
Substituindo esse valor na equação: 
�1 + 0,01��� = �1 + ���
�
 
 
Resolvendo a conta da esquerda, e sabendo-se que qualquer número elevado a 1 dá ele 
mesmo (termo à direita do sinal de igual), chegamos a: 
1,3478 = 1 + �� 
0,3478 = �� 
Em que multiplicando essa resposta por 100, chegamos a 34,78% ao mês. 
 
RESPOSTA: podemos concluir que uma taxa de juros de 1% ao dia é equivalente 
a 34,78% ao mês. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
6. Qual a taxa bimestral equivalente a 0,08% ao dia? 
 
Iniciando com a equação: 
�1 + ���
� = �1 + �#�
�
 
 
Substituindo a taxa de 0,08% ao dia em ��, e colocando 1 no expoente da variável que 
queremos calcular (no caso �#), temos: 
�1 + 0,0008�� = �1 + �#�
�
 
 
O número 1 que colocamos no expoente de �#, representa 1 BIMESTRE. Logo, 
precisamos colocar um número no lugar de n que também represente 1 bimestre. 
Todavia, como n é o expoente da taxa diária ��, precisamos calcular como representar 1 
bimestre, em um valor expresso em dias. Mais uma vez, dispensamos o uso da regra de 
3, pois 1 bimestre é igual a 60 dias. 
Substituindo esse valor na equação: 
�1 + 0,0008��� = �1 + �#�
�
 
 
Resolvendo a conta da esquerda, e sabendo-se que qualquer número elevado a 1 dá ele 
mesmo (termo à direita do sinal de igual), chegamos a: 
1,0491 = 1 + �# 
0,0491 = �# 
Em que multiplicando essa resposta por 100, chegamos a 4,71% ao bimestre. 
 
RESPOSTA: podemos concluir que uma taxa de juros de 0,08% ao dia é 
equivalente a 4,91% ao bimestre. 
 
 
 
OBS: até esse ponto, creio que já esteja mais claro como resolver esse tipo de exercício. 
Um primeiro passo é substituir o n por 1, no expoente da variável que queremos 
calcular. Já o segundo passo é transformar a data (n) da variável que já possuímos, 
muitas vezes usando a regra de 3. O resto, é saber usar a calculadora para realizar os 
cálculos. Nos exercícios seguintes, faremos esses passos de maneira mais direta. 
7. Qual a taxa trimestral equivalente a 47,746% em dois anos? 
 
Iniciando com a equação: 
�1 + ����
� = �1 + �%�
�
 
�1 + 0,47746�� = �1 + �%�
�
 
 
Regra de 3: representar 1 trimestre em período de dois anos. 
1 (período de 2 anos) -------------- 8 trimestres 
n (período de 2 anos) -------------- 1 trimestre 
n= 1/8 - ou seja, 1/8 de dois anos, é exatamente 1 trimestre 
�1 + 0,05�
�
& = �1 + �%�
�
 
0,05 = �% 
Em que multiplicando essa resposta por 100, chegamos a 5% ao trimestre. 
 
RESPOSTA: podemos concluir que uma taxa de juros de 57,746% em dois anos é 
equivalente a 5% ao trimestre. 
 
Nota: 
A regra de 3 acima também poderia ser feita utilizando-se dias, como unidade de tempo. 
Veja a seguir como: 
1 (período de 2 anos) -------------- 720 dias 
n (período de 2 anos) -------------- 90 dias 
O valor de n = 90/720 é a mesma coisa que n = 1/8. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
8. Qual a taxa de 82 dias equivalente a 12% ao ano? 
Iniciando com a equação: 
�1 + ���
� = �1 + �&�'�
�
 
�1 + 0,12�� = �1 + �&�'�
�
 
Regra de 3: representar 1 período de 82 dias em ano. 
1 ano -------------- 360 dias 
n ano -------------- 82 dias 
n= 82/360 
�1 + 0,12�
&�
��� = �1 + �&�'�
�
 
0,0261 = �&�' 
 
Multiplicando essa resposta por 100, chegamos a 2,61% em um período de 82 dias. 
RESPOSTA: podemos concluir que uma taxa de juros de 12% ao ano é 
equivalente a 2,61% em 82 dias. 
 
9. Qual a taxa de 183 dias equivalente a 65% ao ano? 
 
Iniciando com a equação: 
�1 + ���
� = �1 + ��&�'�
�
 
�1 + 0,65�� = �1 + ��&�'�
�
 
Regra de 3: representar 1 período de 183 dias em ano. 
1 ano -------------- 360 dias 
n ano -------------- 183 dias 
n= 183/360 
�1 + 0,65�
�&�
��� = �1 + ��&�'�
�
 
0,2898 = ��&�' 
 
Multiplicando essa resposta por 100, chegamos a 28,98% em um período de 183 dias. 
RESPOSTA: podemos concluir que uma taxa de juros de 65% ao ano é 
equivalente a 28,98% em 183 dias. 
 
 
10. Qual a taxa mensal equivalente a 20% em 400 dias? 
Iniciando com a equação: 
�1 + �(��'�
� = �1 + ���
�
 
�1 + 0,20�� = �1 + ���
�
 
Regra de 3: representar 1 mês em período de 400 dias. 
1 (período de 400 dias) -------------- 400 dias 
n (período de 400 dias) -------------- 30 dias 
n= 30/400 
�1 + 0,20�
��
(�� = �1 + ���
�
 
0,0137 = �� 
 
Multiplicando essa resposta por 100, chegamos a 1,37% ao mês. 
RESPOSTA: podemos concluir que uma taxa de juros de 20% em 400 dias é 
equivalente a 1,37% ao mês. 
 
11. Qual a taxa de 55 dias equivalente a 18,5% em 112 dias? 
 
Iniciando com a equação: 
�1 + ����'�
� = �1 + �))'�
�
 
�1 + 0,185�� = �1 + �))'�
�
 
Regra de 3: aqui a questão é como representar 55 dias, num período n que está expresso 
em 112 dias. 
1 (período de 112 dias) -------------- 112 dias 
n (período de 112 dias) -------------- 55 dias 
n= 55/112 
�1 + 0,185�
))
��� = �1 + �))'�
�
 
0,0869 = �))' 
 
Multiplicando essa resposta por 100, chegamos a 8,69% em 55 dias. 
RESPOSTA: podemos concluir que uma taxa de juros de 18,5% em 112 dias é 
equivalente a 8,69% em 55 dias. 
 
12. Qual a taxa de 150 dias equivalente a 6% em 80 dias? 
Iniciando com a equação: 
�1 + �&�'�
� = �1 + ��)�'�
�
 
�1 + 0,06�� = �1 + ��)�'�
�
 
Regra de 3: aqui a questão é como um período de 80 dias, pode representar 150 dias. 
1 (período de 80 dias) -------------- 80 dias 
n (período de 80 dias) -------------- 150 dias 
n= 150/80�1 + 0,06�
�)�
&� = �1 + ��)�'�
�
 
0,1154 = ��)�' 
 
Multiplicando essa resposta por 100, chegamos a 11,54% em 150 dias. 
RESPOSTA: podemos concluir que uma taxa de juros de 6% em 80 dias é 
equivalente a 11,54% em 150 dias.