A5 Método das forças20141

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MÉTODO DAS FORÇAS 
Universidade Federal da Paraíba 
Centro de Tecnologia 
Engenharia Civil 
Professora: Andrea Brasiliano Silva 
Semestre: 2014.1 
Referência: “Análise de Estruturas: Conceitos e métodos básicos” – Luiz Fernando Martha – Editora Elsevier, 2010. 
Disciplina: Estabilidade das Construções I – Análise Estrutural I 
5. Método das Forças 
Estrutura hiperestática solução 
Condições de equilíbrio 
Leis constitutivas 
Condições de compatibilidade 
Metodologia: 
Soluções básicas 
satisfazem as condições de equilíbrio 
não satisfazem as condições de compatibilidade 
restabelecer as condições de compatibilidade 
superposição 
Análise Estrutural I – Método das Forças 
5.1 Metodologia de análise pelo Método das Forças 
Estabilidade das Construções I – Método das forças 
Estrutura utilizada para a superposição de soluções básicas 
estrutura isostática auxiliar 
Sistema Principal (SP) 
hiperestáticos 
Como obter? 
O que 
representam? 
Incógnitas do problema 
5.1 Metodologia de análise pelo Método das Forças 
A = 5x10-3 m2 
I = 5x10-4 m4 
E = 2x108 kN/m2 
Exemplo: 
Isostática ou 
hiperestática? 
Como resolver? 
Estabilidade das Construções I – Método das forças 
5.1 Metodologia de análise pelo Método das Forças 
Grau de 
hiperestaticidade? 
Eq. de equilíbrio 
global? 
Número de 
reações? 
SP? 
Estabilidade das Construções I – Método das forças 
5.1 Metodologia de análise pelo Método das Forças 
Vínculos 
eliminados? 
igual ao grau de hiperestaticidade 
Qualquer estrutura isostática é válida? 
hiperestáticos 
Estabilidade das Construções I – Método das forças 
5.1 Metodologia de análise pelo Método das Forças 
Estabilidade das Construções I – Método das forças 
5.1 Metodologia de análise pelo Método das Forças 
5.1.2. Restabelecimento das condições de compatibilidade 
Em que consiste o método das forças? 
determinar X1 e X2 
condições de compatibilidade (violadas na 
criação do SP) sejam restabelecidas 
superposição de casos básicos 
Quais e quantos são estes casos básicos? 
Estabilidade das Construções I – Método das forças 
5.1 Metodologia de análise pelo Método das Forças 
5.1.2. Restabelecimento das condições de compatibilidade 
Exemplo grau de hiperestaticidade = 2 3 casos básicos! 
Caso (0) – Solicitação externa (carregamento) isolada no SP 
Caso (1) – Hiperestático X1 isolado no SP 
Caso (2) – Hiperestático X2 isolado no SP 
Estabilidade das Construções I – Método das forças 
5.1 Metodologia de análise pelo Método das Forças 
5.1.2. Restabelecimento das condições de compatibilidade 
Caso (0) – Solicitação externa (carregamento) isolada no SP 
direções dos vínculos eliminados 
termos de carga 
Como calcular? 
δi0 termos de carga 
deslocamento ou rotação na direção do vínculo 
eliminado associado ao hiperestático Xi quando 
atua a solicitação externa isoladamente 
Sinais? 
Estabilidade das Construções I – Método das forças 
5.1 Metodologia de análise pelo Método das Forças 
5.1.2. Restabelecimento das condições de compatibilidade 
Caso (1) – Hiperestático X1 isolado no SP 
Efeito de X1 = 1 multiplicado 
pelo valor final de X1 ! 
coeficientes de flexibilidade 
Como calcular? 
δij 
deslocamento ou rotação na direção 
do vínculo eliminado associado ao 
hiperestático Xi devido a um valor 
unitário do hiperestático Xj 
Estabilidade das Construções I – Método das forças 
5.1 Metodologia de análise pelo Método das Forças 
5.1.2. Restabelecimento das condições de compatibilidade 
Coeficientes de flexibilidade 
Caso (2) – Hiperestático X2 isolado no SP 
Efeito de X2 = 1 multiplicado 
pelo valor final de X2 ! 
Estabilidade das Construções I – Método das forças 
Estabilidade das Construções I – Método das forças 
5.1 Metodologia de análise pelo Método das Forças 
5.1.2. Restabelecimento das condições de compatibilidade 
Superposição de efeitos 
Restabelecimento das condições de compatibilidade 
rotações do nó A 
deslocamentos horizontais  nó B 
Caso 0 
Caso 1 
Caso 2 
Caso 0 Caso 1 
Caso 2 
Estabilidade das Construções I – Método das forças 
5.1 Metodologia de análise pelo Método das Forças 
5.1.2. Restabelecimento das condições de compatibilidade 
Restabelecimento das condições de compatibilidade 
• Sistema de equações de compatibilidade 
Sinais? 
Estabilidade das Construções I – Método das forças 
5.1 Metodologia de análise pelo Método das Forças 
5.1.2. Restabelecimento das condições de compatibilidade 
Condições de equilíbrio 
Condições de compatibilidade 
Satisfeitas! 
Estabilidade das Construções I – Método das forças 
5.1 Metodologia de análise pelo Método das Forças 
5.1.3. Determinação dos esforços internos 
Solução da estrutura 
obtenção dos hiperestáticos 
determinação dos esforços internos diagramas 
1. Calcula-se uma estrutura isostática (SP) carregamento aplicado 
hiperestáticos 
2. Superposição dos casos básicos 
22110 XMXMMM 
Estabilidade das Construções I – Método das forças 
5.1 Metodologia de análise pelo Método das Forças 
5.1.3. Determinação dos esforços internos 
Generalizando: 
Estabilidade das Construções I – Método das forças 
5.2 Matriz de flexibilidade e vetor dos termos de carga 
• Sistema de equações de compatibilidade 
Exemplo anterior 
forma matricial 
Estrutura com grau de hiperestaticidade g: 
Estabilidade das Construções I – Método das forças 
5.2 Matriz de flexibilidade e vetor dos termos de carga 
SP 
solicitação externa 
SP 
Conclusão? 
(simétrica) 
Estabilidade das Construções I – Método das forças 
5.3. Escolha do Sistema Principal para uma viga contínua 
Sistema Principal 
internos 
externos 
eliminação de vínculos 
coeficientes de flexibilidade 
• 2 alternativas para o SP: 
cálculos mais simples termos de carga 
Sugestões? 
Estabilidade das Construções I – Método das forças 
5.3. Escolha do Sistema Principal para uma viga contínua 
5.3.1. Sistema Principal obtido por eliminação de apoios 
Grau de 
hiperestaticidade? 
Sugestão para o 
SP? 
Determinar o diagrama de momentos fletores: 
Estabilidade das Construções I – Método das forças 
5.3. Escolha do Sistema Principal para uma viga contínua 
5.3.1. Sistema Principal obtido por eliminação de apoios 
Sistema Principal: 
ou 
? 
Estabilidade das Construções I – Método das forças 
5.4. Escolha do Sistema Principal para um quadro fechado 
Quadro externamente isostático e internamente hiperestático 
Sistema Principal? 
eliminar vínculos internos 
de continuidade 
Estabilidade das Construções I – Método das forças 
5.4. Escolha do Sistema Principal para um quadro fechado 
Externamente isostático 
Grau de hiperestaticidade interna? 
eliminar vínculos internos de continuidade 
Sistema Principal 
duas opções 
corte em S 
rótulas internas 
Estabilidade das Construções I – Método das forças 
5.4. Escolha do Sistema Principal para um quadro fechado 
Hiperestáticos 
Quantos casos básicos? 
5.4.1. Sistema Principal obtido por corte de uma seção 
1X
2X
3X
esforços internos em S 
Caso (0) – Solicitação externa (carregamento) isolada no SP 
01 X
02 X
5.4.1. Sistema Principal obtido por corte de uma seção 
03 X
020 
deslocamento transversal relativo entre as 
seções resultantes do corte em S 
5.4. Escolha do Sistema Principal para um quadro fechado 
Estabilidade das Construções I – Método das forças 
Estabilidade das Construções I – Método das forças 
Caso (1) – Hiperestático X1 isoladono SP 
0P
02 X
5.4.1. Sistema Principal obtido por corte de uma seção 
03 X
021 
deslocamento transversal relativo entre as 
seções resultantes do corte em S 
5.4. Escolha do Sistema Principal para um quadro fechado 
Estabilidade das Construções I – Método das forças 
Caso (2) – Hiperestático X2 isolado no SP 
0P
01 X
5.4.1. Sistema Principal obtido por corte de uma seção 
03 X
012 
deslocamento axial relativo entre as seções 
resultantes do corte em S 
032 
rotação relativa 
5.4. Escolha do Sistema Principal para um quadro fechado 
Estabilidade das Construções I – Método das forças 
Caso (3) – Hiperestático X3 isolado no SP 
0P
01 X
5.4.1. Sistema Principal obtido por corte de uma seção 
02 X
023 
deslocamento transversal relativo entre as 
seções resultantes do corte em S 
5.4. Escolha do Sistema Principal para um quadro fechado 
Estabilidade das Construções I – Método das forças 
Restabelecimento das condições de compatibilidade: 
Sistema de equações 
de compatibilidade 
5.4.1. Sistema Principal obtido por corte de uma seção 
5.4. Escolha do Sistema Principal para um quadro fechado 
Princípio das Forças Virtuais 
• restabelecer as condições de continuidade na seção de corte 
Estabilidade das Construções I – Método das forças 
5.4.2. Sistema Principal obtido por introdução de rótulas 
5.4. Escolha do Sistema Principal para um quadro fechado 
Sistema Principal 
Pórtico externamente isostático 
Quanto à posição das rótulas? 
Estabilidade das Construções I – Método das forças 
5.4.2. Sistema Principal obtido por introdução de rótulas 
5.4. Escolha do Sistema Principal para um quadro fechado 
• Sistema Principal 
Qual destas é válida? 
Estabilidade das Construções I – Método das forças 
5.4.2. Sistema Principal obtido por introdução de rótulas 
5.4. Escolha do Sistema Principal para um quadro fechado 
Sistema Principal introdução de rótulas 
solução dos casos básicos 
decomposição do quadro isostático composto 
em quadros isostáticos simples 
engastados com balanços 
biapoiados 
 triarticulados 
Estabilidade das Construções I – Método das forças 
5.4.2. Sistema Principal obtido por introdução de rótulas 
5.4. Escolha do Sistema Principal para um quadro fechado 
Estabilidade das Construções I – Método das forças 
5.5. Exercícios 
1. Para a viga contínua abaixo pede-se o diagrama de momentos fletores 
utilizando o Método das Forças. 
Estabilidade das Construções I – Método das forças 
5.5. Exercícios 
2. Determine pelo Método das Forças o diagrama de momentos fletores 
do quadro hiperestático abaixo. Todas as barras têm a mesma inércia à 
flexão EI =4 x 104 kNm2. Considere apenas deformações por flexão. 
Estabilidade das Construções I – Método das forças 
5.6. Apoios Elásticos 
5.6.1. Definição 
k = constante elástica da mola 

F
k 
P
k
P
A
B
C
D
Modelo estrutural 
a) Apoio em mola (equivalente estático = apoio 1 gênero) 
Estabilidade das Construções I – Método das forças 
5.6. Apoios Elásticos 
5.6.1. Definição 
b) Engaste elástico 
K = constante de engastamento elástico da mola 

M
K 
K
A B
1 2
I = 
A B
1 2
Rotação livre Rotação impedida 
Condição intermediária 
Momento absorvido pelo engaste elástico 
Modelo estrutural 
Estabilidade das Construções I – Método das forças 
5.6. Apoios Elásticos 
5.6.1. Definição 
b) Engaste elástico (equivalente estático = engaste perfeito) 
A
B
C D
Análise da viga AB A
B
K
OBS: k
k2
equivalente estático = apoio do 2 gênero 
Estabilidade das Construções I – Método das forças 
5.6. Apoios Elásticos 
5.6.2. Energia de deformação interna virtual dos apoios elásticos 
a) Estrutura com apoios em mola 
Sistema virtual Força virtual 
F
Sistema real Deformação real 
k
F

k
FF
UFU

 
Estabilidade das Construções I – Método das forças 
5.6. Apoios Elásticos 
5.6.2. Energia de deformação interna virtual dos apoios elásticos 
b) Estrutura com engastes elásticos 
Sistema virtual Momento virtual 
M
Sistema real Deformação real 
K
M

K
MM
UMU

 
Estabilidade das Construções I – Método das forças 
5.6. Apoios Elásticos 
5.6.3. Cálculo de deslocamentos em estruturas isostáticas com apoios 
 elásticos 
UWE 
Princípio dos trabalhos virtuais PFV 










 





m
j j
jj
n
i i
ii
K
MM
k
FF
dx
EA
NN
dx
GA
QQ
dx
EI
MM
U
11

Estabilidade das Construções I – Método das forças 
5.6. Apoios Elásticos 
5.6.3. Cálculo de deslocamentos em estruturas isostáticas com apoios 
 elásticos 
k
A
K C
2 t/m
6 m 4 m
Ba) Rotação relativa entre as seções adjacentes à rótula em B 
b) Deslocamento vertical em C 
c) Rotação em A 
Calcular: 
radmtK /104 
mtk /103
2410 mtEI 
OBS: Considerar apenas deformação por flexão nas barras 
Estabilidade das Construções I – Método das forças 
5.6. Apoios Elásticos 
5.6.3. Cálculo de deslocamentos em estruturas isostáticas com apoios 
 elásticos 
k
A
K C
2 t/m
6 m 4 m
B
Sistema estático equivalente 
C
B
A
a) Rotação relativa em B 
Sistema virtual 
CA
mtM  1
Sistema real 
CA
2 t/m
B
CA
2 t/m
B
Estabilidade das Construções I – Método das forças 
5.6. Apoios Elásticos 
5.6.3. Cálculo de deslocamentos em estruturas isostáticas com apoios 
 elásticos 
k
A
K C
2 t/m
6 m 4 m
B
a) Rotação relativa em B 
Sistema virtual 
CA
1 t.m
2,5 t.m
1 t.m
Sistema real CA
2 t/m
B
4 t.m
24 t.m
Estabilidade das Construções I – Método das forças 
5.6. Apoios Elásticos 
5.6.3. Cálculo de deslocamentos em estruturas isostáticas com apoios 
 elásticos 
a) Rotação relativa em B 
CA
1 t.m
2,5 t.m
1 t.m CA
2 t/m
B
4 t.m
24 t.m
1/4
1/4
1/4
44
K
MM
k
FF
dx
EI
MM 




 
Estabilidade das Construções I – Método das forças 
5.6. Apoios Elásticos 
5.6.4. Resolução de estruturas hiperestáticas – Método das Forças 
Obter o DMF para a viga: 
k
A
K
B
1 t/m
8 m
A B
A
B
X 1Sistema principal e hiperestático 
Sistema estático equivalente 
radmtK /104 
mtk /104
2510 mtEI 
Estabilidade das Construções I – Método das forças 
5.6. Apoios Elásticos 
5.6.4. Resolução de estruturas hiperestáticas – Método das Forças 
Caso (0): Solicitação externa isolada no SP A B
1 t/m
8 t.m
0M
Caso (1): Hiperestático X1 = 1 isolado no SP 
44
A
1 t.m
X 1 = 1
1/8 1/81M
4
10 10 63,2
 x
4
11 10 283,1
 x
011110  X
mtX  05,21