Introdução à Matemática Cuneiforme e Oficina de Tabletes

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Introdução	
  à	
  Matemática	
  Cuneiforme	
  e	
  
O6icina	
  de	
  Tabletes	
  
Carlos	
  Gonçalves	
  (EACH-­‐USP)	
  
Programa	
  de	
  Pós-­‐Graduação	
  em	
  Estudos	
  Culturais	
  (EACH-­‐USP)	
  
Laboratório	
  do	
  An@go	
  Oriente	
  Próximo	
  (USP)	
  
Laboratoire	
  SPHERE	
  (Universidade	
  Paris	
  7,	
  CNRS)	
  
	
  
hHp://www.each.usp.br/bgcarlos	
  
	
  
bgcarlos@usp.br	
  
Ficha	
  Técnica	
  
•  	
  O	
  obje'vo	
  deste	
  minicurso	
   é	
   levar	
   aos	
  par'cipantes	
   uma	
   visão	
   abrangente	
   e	
  
atual	
   da	
   história	
   da	
   matemá'ca	
   na	
   An'ga	
   Mesopotâmica,	
   especialmente	
   do	
  
período	
  paleo-­‐babilônico	
   (c.	
   2000-­‐1600	
  AEC).	
  Os	
   temas	
   abordados	
   trarão	
  uma	
  
visão	
  geral	
  da	
  matemá'ca	
  cuneiforme,	
  tratando	
  dos	
  'pos	
  de	
  texto	
  que	
  ela	
  nos	
  
legou	
  e	
  do	
  contexto	
  social	
  em	
  que	
  era	
  produzida.	
  Essa	
  visão	
  geral	
  será	
  seguida	
  
de	
   um	
   estudo	
   das	
   tabelas	
   chamadas	
   aritmé'cas	
   e	
   metrológicas,	
   elementos	
  
chaves	
  nas	
  prá'cas	
  de	
  cálculo	
  mesopotâmicas.	
  A	
  u'lização	
  dessas	
   tabelas	
  será	
  
exemplificada	
   com	
   a	
   análise	
   de	
   um	
   problema	
   matemá'co	
   do	
   período	
   paleo-­‐
babilônico.	
  Na	
  parte	
  final	
  do	
  curso,	
  os	
   inscritos	
  par'ciparão	
  de	
  uma	
  oficina	
  de	
  
tabletes,	
  com	
  o	
  obje'vo	
  de	
  pra'car	
  em	
  tabletes	
  de	
  argila	
  a	
  produção	
  de	
  textos	
  
matemá'cos	
  da	
  an'ga	
  tradição	
  mesopotâmica.	
  
•  	
  	
  
•  Palavras-­‐chave:	
   An'ga	
  Mesopotâmia,	
  Matemá'ca	
   Cuneiforme,	
   Período	
   Paleo-­‐
Babilônico	
  
•  	
  	
  
•  Este	
  minicurso	
  é	
  derivado	
  dos	
  seguintes	
  projetos	
  de	
  pesquisa:	
  
•  “Textos	
  Cuneiformes	
  e	
  a	
  Escrita	
  da	
  História	
  da	
  Matemá'ca”,	
  projeto	
  de	
  pesquisa	
  
no	
  exterior,	
  com	
  apoio	
  da	
  FAPESP	
  (Processo	
  2009/XXXXX-­‐X).	
  
•  Mathema'cal	
   Cuneiform	
   Tablets	
   from	
   the	
   Ancient	
  Mesopotamian	
   Kingdom	
  of	
  
Eshnunna	
   –	
   A	
   Contribu'on	
   to	
   a	
   Geography	
   of	
   Mathema'cal	
   Prac'ces	
   (Bolsa	
  
Prefeitura	
  de	
  Paris,	
  2012)	
  
•  	
   “Tabelas	
  Numéricas	
  na	
  Matemá'ca	
  da	
  An'ga	
  Mesopotâmia:	
  um	
  novo	
  estudo	
  
geral,	
   um	
   apanhado	
   historiográfico	
   e	
   a	
   edição	
   de	
   três	
   tabletes	
   inéditos	
   do	
  
Museu	
  do	
  Louvre”,	
  com	
  o	
  apoio	
  da	
  FAPESP	
  (Processo	
  2012/19909-­‐6).	
  
Ficha	
  Técnica	
  -­‐	
  continuação	
  
•  A	
   presente	
   versão	
   deste	
   minicurso	
   foi	
   apresentada	
   no	
   1º	
  
Simpósio	
   Nacional	
   de	
   Formação	
   de	
   Professores	
   de	
  
Matemá'ca,	
   realizado	
   pela	
   Sociedade	
   Brasileira	
   de	
  
Matemá'ca,	
   em	
   Brasília,	
   de	
   26	
   a	
   29	
   de	
   setembro	
   de	
   2013.	
  
Versões	
   anteriores	
   foram	
   apresentadas	
   na	
   IV	
   Jornada	
   de	
  
História	
  da	
  Ciência	
  e	
  Ensino,	
   realizada	
  pela	
  PUC-­‐SP,	
  em	
   julho	
  
de	
   2013,	
   no	
   programa	
   de	
   Pós-­‐graduação	
   em	
   Ensino	
   de	
  
Matemá'ca	
  da	
  UFRJ	
  e	
  na	
  Semana	
  da	
  Licenciatura	
  do	
  IME-­‐USP	
  
em	
  2012.	
  
	
  
TERRITÓRIO	
  E	
  CRONOLOGIA	
  
(Black	
  &	
  Green	
  1992)	
  
Período	
  Sumério,	
  Estabelecimento	
  do	
  reino	
  de	
  Acade,	
  Renascimento	
  Sumério	
  
•  (3500)-­‐(3000)	
  Expansão	
  da	
  vida	
  urbana.	
  Principalmente	
  na	
  cidade	
  de	
  
Uruk,	
  desenvolvimento	
  da	
  escrita	
  cuneiforme,	
  das	
  técnicas	
  de	
  
contabilidade	
  e	
  de	
  administração.	
  Vários	
  idiomas	
  podem	
  ter	
  sido	
  
falados,	
  mas	
  somente	
  o	
  sumério	
  foi	
  registrado	
  na	
  forma	
  escrita.	
  
•  2334	
  Sargão	
  I	
  de	
  Acade	
  estabelece-­‐se	
  como	
  rei	
  e	
  inicia	
  o	
  primeiro	
  
estado	
  capaz	
  de	
  submeter	
  outras	
  cidades	
  a	
  seu	
  poder.	
  Seu	
  descendente	
  
Naram-­‐Sin	
  expande	
  esse	
  domínio.	
  O	
  idioma	
  falado	
  é	
  o	
  acadiano,	
  uma	
  
língua	
  da	
  família	
  de	
  línguas	
  semí'cas.	
  O	
  sumério	
  persiste	
  em	
  ambiente	
  
sagrado	
  e	
  no	
  emprés'mo	
  de	
  termos	
  e	
  expressões	
  para	
  os	
  textos	
  
acadianos.	
  
•  2112-­‐2004	
  Retomada	
  da	
  cultura	
  suméria	
  na	
  cidade	
  de	
  Ur.	
  É	
  o	
  período	
  
da	
  chamada	
  terceira	
  dinas'a	
  de	
  Ur,	
  ou	
  Ur	
  III.	
  
•  Para	
  a	
  história	
  da	
  matemá.ca	
  na	
  An.ga	
  Mesopotâmia,	
  estes	
  períodos	
  
são	
  muito	
  bem	
  documentados,	
  contendo	
  o	
  estabelecimento	
  de	
  
vocabulário	
  e	
  técnicas	
  que	
  serão	
  as	
  caracterís.cas	
  básicas	
  da	
  
matemá.ca	
  cuneiforme.	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  (Høyrup	
  2002)	
  
(Mieroop	
  2007)	
  
Período	
  Paleo-­‐Babilônico	
  
•  (2000)-­‐(1750)	
  Tensão	
  e	
  equilíbrio	
  na	
  polí'ca	
  internacional,	
  
entre	
  Mari,	
  Ashur,	
  	
  Eshnunna,	
  Babilônia,	
  Isin	
  e	
  Larsa	
  ao	
  sul.	
  
•  1763	
  Hammurabi	
  de	
  Babilônia	
  conquisa	
  o	
  sul	
  da	
  região	
  
babilônica	
  
•  1762	
  Hammurabi	
  saqueia	
  Eshnunna	
  
•  1761	
  Hammurabi	
  conquista	
  Mari	
  
•  1650	
  Criação	
  do	
  an'go	
  estado	
  hi'ta	
  
•  1595	
  O	
  rei	
  hi'ta	
  Mursili	
  saqueia	
  Babilônia	
  
•  A	
  grande	
  maior	
  parte	
  dos	
  tabletes	
  matemá.cos	
  cuneiforme	
  
provém	
  deste	
  período.	
  Os	
  textos	
  de	
  problemas	
  mais	
  an.gos,	
  
em	
  par.cular,	
  são	
  atestados	
  neste	
  momento.	
  (Høyrup	
  2002)	
  
(Mieroop	
  2007)	
  
Império	
  Neo-­‐Assírio	
  
•  (880)-­‐(830)	
  Expansão	
  militar	
  da	
  Assíria,	
  sob	
  Assurnasirpal	
  II	
  e	
  
Shalmaneser	
  III	
  
•  823-­‐745	
  Declínio	
  assírio	
  
•  704	
  Senaqueribe	
  transfere	
  a	
  capital	
  assíria	
  para	
  Nínive	
  
•  689	
  Senaqueribe	
  saqueia	
  Babilônia	
  
•  671	
  Esarhaddon	
  da	
  Assíria	
  captura	
  Mênfis,	
  no	
  Egito	
  
•  664-­‐2	
  Assurbanipal	
  captura	
  Tebas,	
  no	
  Egito	
  
•  652-­‐49	
  Rebelião	
  babilônica	
  contra	
  o	
  domínio	
  assírio	
  
(Mieroop	
  2007)	
  
Dinastia	
  Neo-­‐Babilônico	
  
•  616	
  Nabopolassar	
  unifica	
  a	
  região	
  da	
  Babilônia	
  
•  612	
  Saque	
  de	
  Nínive	
  pelos	
  Medas	
  e	
  pelos	
  Babilônios	
  
•  587	
  Saque	
  de	
  Jerusalém	
  por	
  Nebuchadnezzar	
  II	
  
(Nabucodonosor	
  II)	
  
•  (559)	
  Ciro,	
  rei	
  da	
  Pérsia,	
  ascende	
  ao	
  poder	
  
•  539	
  Ciro	
  captura	
  Babilônia	
  
(Mieroop	
  2007)	
  
O	
  Império	
  Persa,	
  Domínio	
  Macedônico,	
  Dinastia	
  Selêucida	
  
•(559)	
  Ciro,	
  rei	
  da	
  Pérsia,	
  ascende	
  ao	
  poder	
  
•  539	
  Ciro	
  captura	
  Babilônia	
  
•  525	
  Cambises	
  conquista	
  o	
  Egito	
  
•  521	
  Dario	
  usurpa	
  o	
  trono	
  
•  331	
  Derrota	
  de	
  Dario	
  III	
  por	
  Alexandre	
  da	
  Macedônia	
  
•  323	
  Morte	
  de	
  Alexandre	
  em	
  Babilônia	
  
•  (300)-­‐(60)	
  Dinas'a	
  Selêucida	
  
•  Os	
   tabletes	
  matemá.cos	
  cuneiformes	
   também	
  são	
  atestados	
  
no	
   período	
   selêucida.	
   Embora	
   em	
   pequeno	
   número,	
   são	
  
representa.vos	
   das	
   técnicas	
   matemá.cas	
   cuneiformes,	
  
atestando	
   a	
   longa	
   duração	
   da	
   tradição	
   e	
   a	
   inclusão	
   de	
  
variantes.	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  (Høyrup	
  2002)	
  
(Mieroop	
  2007)	
  
EDUCAÇÃO	
  ESCRIBAL	
  
Planta	
  da	
  Casa	
  F,	
  Nippur,	
  um	
  local	
  de	
  educação	
  escribal	
  
12	
  
(Robson 2008) 
Reconstituição	
  do	
  Currículo	
  de	
  Nippur	
  
13	
  
(Proust 2007) 
TABELAS	
  ARITMÉTICAS	
  E	
  TABELAS	
  METROLÓGICAS	
  
TABELAS	
  ARITMÉTICAS	
  
Tabelas	
  de	
  Recíprocos	
  
Tabela	
  de	
  recíprocos	
  
igi-­‐2	
  gal2-­‐bi 	
   	
  30	
  
igi-­‐3	
  gal2-­‐bi 	
   	
  20	
  
igi-­‐4	
  gal2-­‐bi 	
   	
  15	
  
HS201	
  –	
  tabela	
  de	
  recíprocos,	
  transliteração	
  
(Proust	
  2008)	
  
HS201	
  –	
  tabela	
  de	
  recíprocos,	
  cópia	
  	
  
(Proust	
  2008)	
  
HS201	
  –	
  tabela	
  de	
  recíprocos	
  
(Proust	
  2008)	
  
Tabelas	
  de	
  Multiplicação	
  
50	
   	
  a-­‐ra2 	
  1 	
  50	
  
a-­‐ra2	
  	
   	
  2	
   	
  1	
  40	
  
a-­‐ra2	
  	
   	
  3	
   	
  2	
  30	
  
Tabelas	
  de	
  quadrados	
  
1	
  a-­‐ra2 	
  	
  1 	
  1	
  
2	
  a-­‐ra2 	
  2 	
  4	
  
3	
  a-­‐ra2	
   	
  3 	
  9	
  
Tabelas	
  de	
  raízes	
  quadradas	
  
1-­‐e	
   	
  1	
   	
  ib2.sa2	
  
4-­‐e	
   	
  2	
   	
  ib2.sa2	
  
9-­‐e	
   	
  3	
   	
  ib2.sa2	
  
Tabelas	
  de	
  raízes	
  cúbicas	
  
1-­‐e	
   	
  1	
   	
  ba.sa2	
  
8-­‐e	
   	
  2	
   	
  ba.sa2	
  
27-­‐e	
  	
  3 	
  ba.sa2	
  
TABELAS	
  METROLÓGICAS	
  
Tabelas	
  
•  As	
  tabelas	
  são	
  instrumentos	
  muito	
  importante	
  na	
  matemá'ca	
  
cuneiforme.	
  São	
  auxílios	
  de	
  cálculo	
  para	
  os	
  escribas	
  e	
  é	
  
através	
  das	
  tabelas	
  metrológicas	
  que	
  o	
  escriba	
  controla	
  a	
  
ordem	
  de	
  grandeza	
  dos	
  números	
  com	
  que	
  trabalha	
  
(Gonçalves	
  2013)	
  
•  Uma	
  apresentação	
  bastante	
  abrangente	
  das	
  tabelas	
  
numéricas	
  pode	
  ser	
  encontrada	
  em	
  (Proust	
  2008).	
  	
  
Estrutura	
  da	
  tabela	
  de	
  capacidades	
  
(Gonçalves	
  2013)	
  
Estrutura	
  da	
  tabela	
  de	
  comprimentos	
  
(Gonçalves	
  2013)	
  
Estrutura	
  da	
  tabela	
  de	
  superXícies	
  e	
  volumes	
  
(Gonçalves	
  2013)	
  
Estrutura	
  da	
  tabela	
  de	
  pesos	
  
(Gonçalves	
  2013)	
  
Estrutura	
  da	
  tabela	
  de	
  alturas	
  e	
  profundidades	
  
(Gonçalves	
  2013)	
  
O	
  PROBLEMA	
  1	
  DO	
  TABLETE	
  HADDAD	
  104	
  Exemplo	
  de	
  Texto	
  Matemá'co	
  
Problema	
  
•  Haddad	
  104.	
  Problema	
  1	
  
•  1O	
   procedimento	
   de	
   uma	
   tora/cilindro.	
   5,	
   um	
   kus3,	
   seu	
  
diâmetro.	
  Para	
  um	
  granário	
  de	
  2quanto	
  ele	
  é	
  conveniente?	
  Em	
  
teu	
  fazer,	
  quantas	
  vezes	
  o	
  diâmetro,	
  tantas	
  vezes	
  3estabelece	
  
a	
   profundidade.	
   Rebaixa	
   5,	
   e	
   1,	
   a	
   profundidade,	
   aparece.	
  
4Triplica	
  5,	
  o	
  diâmetro,	
  e	
  15	
  aparece.	
  15,	
  a	
  circunferência	
  da	
  
tora/cilindro.	
  5,6Causa	
  que	
  15	
  combine	
  consigo	
  mesmo,	
  e	
  3	
  45	
  
aparece.	
   Levanta	
  3	
  45	
  a	
  5,	
  o	
   coeficiente	
  da	
   circunferência,	
  e	
  
18	
  45,	
  a	
  área,	
  aparece.	
  7Levanta	
  18	
  45	
  a	
  1,	
  a	
  profundidade,	
  e	
  
18	
  45,	
  o	
  volume,	
  aparece.	
  8Levanta	
  18	
  45	
  a	
  6,	
  (o	
  coeficiente)	
  
de	
  granário,	
  e	
  1	
  52	
  30	
  aparece.	
  9A	
  tora/cilindro	
  contém	
  1	
  barig	
  
5	
  ban2	
  2	
  ½	
  sila3	
  de	
  grão.	
  Eis	
  o	
  procedimento.	
  	
  
(Gonçalves	
  2013;	
  	
  
Al-­‐Rawi	
  and	
  Roaf	
  1984)	
  
Pré-­‐requisito:	
  O	
  CoeXiciente	
  do	
  granário	
  
Esse	
  coeficiente	
  transforma	
  volume	
  metrológico	
  em	
  capacidade.	
  A	
  base	
  
para	
  a	
  transformação	
  pode	
  ser	
  qualquer	
  uma	
  das	
  relações	
  seguintes:	
  
(Gonçalves	
  2013)	
  
Os	
  passos	
  da	
  solução	
  e	
  sua	
  relação	
  com	
  as	
  tabelas	
  metrológicas	
  
(Gonçalves	
  2013)	
  
OFICINA	
  DE	
  TABLETES	
  CUNEIFORMES	
  
1o	
  Passo:	
  moldando	
  o	
  cálamo	
  
•  Usando	
  a	
  lixa	
  de	
  
madeira,	
  
transformamos	
  as	
  
arestas	
  arredondadas	
  
do	
  pali'nho	
  em	
  
cantos.	
  O	
  obje'vo	
  é	
  
fazer	
  com	
  que	
  a	
  
extremidade	
  do	
  
pali'nho	
  com	
  que	
  se	
  
escreve	
  seja	
  um	
  prisma	
  
de	
  base	
  retangular.	
  	
  
2o	
  Passo:	
  preparando	
  um	
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•  Tomamos	
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3o	
  Passo:	
  começando	
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•  Com	
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  Veja	
  
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4o	
  Passo:	
  produzindo	
  uma	
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numérica	
  
•  Agora	
  vire	
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  uma	
  
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  numérica.	
  Você	
  pode	
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  qualquer	
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  estudadas.	
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  numéricas,	
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  também,	
  como	
  vimos,	
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  que	
  
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  palavras.	
  Está	
  aqui	
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  de	
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  cuneiformes	
  
que	
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  pode	
  precisar.	
  	
  
•  Veja	
  alguns	
  exemplos	
  de	
  tabletes	
  produzidos	
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  Oficinas	
  
como	
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  nos	
  próximos	
  slides.	
  
OXicina	
  de	
  Tabletes	
  
Cortando	
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   Escrevendo	
  
OXicina	
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Números	
   Números	
  
OXicina	
  de	
  Tabletes	
  
Algumas	
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