Provas de Calculo

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UNIVERSIDADE FEDERAL DE PERNAMBUCO
CENTRO DE CIEˆNCIAS EXATAS E DA NATUREZA
DEPARTAMENTO DE MATEMA´TICA - A´REA II
CA´LCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL 1 - 2012.2
1o Exerc´ıcio Escolar - 23/01/2013
1 - Calcule os seguintes limites: ( NA˜O e´ permitido o uso da Regra de L’Hoˆspital)
Soluc¸a˜o:
b) (1,0 ponto) Substituindo x = u3, obtemos que:
lim
x→8
8− x
3
√
x− 2 =
lim
u→2
8− u3
u− 2 =
lim
u→2
(2− u) · (4 + 2u + u2)
(u− 2)
Assim:
lim
x→8
8− x
3
√
x− 2 =
lim
u→2
−(4 + 2u + u2)
=
−12 .
a) (1,0 ponto) Multiplicando o numerador e o denominador por 1+sec(x), obte-
mos:
1− sec(x)
x2 + x3
=
1− sec2(x)
(x2 + x3) · (1 + sec(x)) =
−sen2(x) · sec2(x)
x2 · (1 + x) · (1 + sec(x)) .
Agora, usando o fato de que o limite do produto e´ igual ao produto dos limites,
temos que:
lim
x→0
1− sec(x)
x2 + x3
= −
(
lim
x→0
sen(x)
x
)2
· limx→0 sec
2(x)
(1 + x) · (1 + sec(x)) = −
1
2
.
c) (1,0 ponto) Como 4x− 9 ≤ f(x) ≤ x2− 4x+ 7, para x ≥ 0, e, em particular,
pro´ximo de x = 4, temos que:
lim
x→4
4x− 9 ≤ limx→4 f(x) ≤ limx→4 x
2 − 4x + 7 .
Como
lim
x→4
4x− 9
=
lim
x→4
x2 − 4x + 7
=
7
, segue do Teorema do Con-
fronto que
lim
x→4
f(x)
existe e tambe´m vale 7.
2 - Calcule a derivada das seguintes func¸o˜es:
Soluc¸a˜o:
b) (1,0 ponto) f ′(x) = sec2
(
3x− 1
x2 + x− 4
)
· 3 · (x
2 + x− 4)− (2x + 1) · (3x− 1)
(x2 + x− 4)2
a) (1,0 ponto)
g′(x)
=
1
2
√
sen(x) +
√
cos(x)
·
(
cos(x)− sen(x)
2
√
cos(x)
)
c) (1,0 ponto) h′(x) =
4sec(x5)
5x1/5
+ 5x24/5 · sec(x5) · tg(x5)
3 - Soluc¸a˜o: (2,0 pontos) Derivando implicitamente a equac¸a˜o
x3 + xy2 − 2y3cos(x) + y tg(x3) + 2y2 = 0,
pensando em y = y(x) como uma func¸a˜o de x, obtemos a equac¸a˜o:
3x2+y2+2xyy′(x)−6y2y′(x)cos(x)+2y3sen(x)+y′(x) tg(x3)+3x2y sec2(x3)+4yy′(x) = 0,
que no ponto (0, 1) produz:
12 − 6y′(0)cos(0) + 4y′(0) = 0 ⇒ 2y′(0) = 1 ⇒ y′(0) = 1
2
.
Assim, uma equac¸a˜o para a reta tangente a` curva no ponto (0, 1) e´ dada por:
y − 1
x− 0 =
1
2
⇒ 2y-x=2 ,
e uma equac¸a˜o para a reta normal a` curva neste mesmo ponto e´ dada por:
y − 1
x− 0 = −
2
1
⇒ y+2x=1 .
4 - Soluc¸a˜o:
a) (1,5) Utilizando a definic¸a˜o, de derivada, temos que:
f ′(1) =
lim
x→1
f(x)− f(1)
x− 1 =
lim
x→1
1√
x
− 1√
1
x− 1
=
lim
x→1
1−√x
(x− 1) · √x .
Multiplicando o numerador e o denominador por 1 +
√
x obtemos
f ′(1) =
lim
x→1
1− x
(x− 1) · √x · (1 +√x) =
lim
x→1
−1√
x · (1 +√x) ⇒ f
′(1) = − 1
2
.
2
b) (0,5 ponto) Para que a func¸a˜o
g(x) =
{
x3 + 2x2 + ax + b + 1, se x ≤ 0,
a cos(x) + 2b sen(x), se x > 0.
seja diferencia´vel em xo = 0, e´ necessa´rio que pelo menos seja cont´ınua neste
ponto, e, consequentemente
lim
x→0−
g(x)
=
lim
x→0+
g(x) ⇒ b + 1 = a .
Agora, uma vez g(x) sendo cont´ınua em xo = 0, isto e´, a = b+ 1, para que seja
diferencia´vel neste ponto e´ necessa´rio que
lim
x→0−
g′(x)
=
lim
x→0+
g′(x) ⇒ b + 1 = 2b ⇒ b = 1 .
Assim, para que g(x) seja diferencia´vel em xo = 0 os valores de a e b devem ser:
a = 2 e b = 1.
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