Provas Cálculo1

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1. Determine se os limites abaixo existem e, em caso a…rmativo, calcule
os seus respectivos valores. Observação: Não pode usar a Regra de
L’Hôpital.
a limx!1 (lnx)
2
sin
�
1
x�1
�
:
Sabemos que para todo x 2 Rnf1g,
�1 � sin
�
1
x� 1
�
� 1:
Agora, como (lnx)2 > 0, então multiplicando por (lnx)2 na desigual-
dade acima, temos
� (lnx)2 � (lnx)2 sin
�
1
x� 1
�
� (lnx)2 :
Como, limx!1 (lnx)
2
= limx!1� (lnx)2 = 0, então pelo Teorema do
Confronto temos que o limx!1 (lnx)
2
sin
�
1
x�1
�
existe e além disso,
lim
x!1
(lnx)
2
sin
�
1
x� 1
�
= 0
.
b limx!0 sin xjxj :
Primeiro vejamos o comportamento da função, isto é,
sinx
jxj :=
�
sin x
x , se x > 0
� � sin xx � , se x < 0
Então, o cálculo do limx!0 sin xjxj precisa ser feito em duas partes.
Usando um dos limites fundamentais, temos que
� limx!0+ sin xjxj = limx!0+ sin xx = 1
� limx!0� sin xjxj = limx!0� �
�
sin x
x
�
= � limx!0�
�
sin x
x
�
= �1
Por tanto,
lim
x!0+
sinx
jxj 6= limx!0�
sinx
jxj ;
e assim temos que limx!0 sin xjxj não existe.
c limx!4
p
4x+9�5p
x�2
lim
x!4
p
4x+ 9� 5p
x� 2 = limx!4
p
4x+ 9� 5p
x� 2 �
�p
x+ 2p
x+ 2
�
�
�p
4x+ 9 + 5p
4x+ 9 + 5
�
= lim
x!4
(4x� 16) (px+ 2)
(x� 4) �p4x+ 9 + 5�
= lim
x!4
4 (x� 4) (px+ 2)
(x� 4) �p4x+ 9 + 5�
= lim
x!4
4 (
p
x+ 2)p
4x+ 9 + 5
=
8
5
:
1
2. Determine a equação da reta tangente à curva
C : = sec (xy) + xey2 = ln �x2 + y4 + 1�+ y + 1
no ponto (0; 0) 2 C.
Precisamos primeiro calcular a inclinação da reta tangente à curva C no
ponto (0; 0). Para isto, derivamos a função e obtemos,
(sec (xy) tan (xy))
�
y + x
dy
dx
�
+
�
ey
2
+ xey
2
2y
dy
dx
�
=
1
x2 + y4 + 1
�
2x+ 4y3
dy
dx
�
+
dy
dx
Então, no ponto (0; 0) temos
1 =
dy
dx
e desta forma a equação da reta tangente à curva C no ponto (0; 0) está
dada por
y � y1 = m (x� x1)
y � 0 = 1 (x� 0)
y = x:
2