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Ca´lculo III Resumo da Teoria e Exercı´cios Propostos Prof. Artur Fassoni - IMC/UNIFEI Fevereiro de 2016 2 Suma´rio 1 Integrais Duplas e Triplas 5 1.1 Integrais Duplas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.2 Integrais Duplas em Coordenadas Polares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 1.3 Mudanc¸a de Varia´veis em Integrais Duplas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 1.4 Integrais Triplas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 1.5 Mudanc¸a de Varia´veis em Integrais Triplas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 1.6 Aplicac¸o˜es das Integrais Duplas e Triplas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 2 Integrais de Linha 27 2.1 Curvas Parametrizadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 2.2 Integrais de Linha de Campos Escalares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 2.3 Campos Vetoriais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 2.4 Integrais de Linha de Campos Vetoriais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 2.5 Teorema Fundamental das Integrais de Linha . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 2.6 Caracterizac¸a˜o de Campos Conservativos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 3 Ca´lculo Vetorial em R2 43 3.1 Teorema de Green . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 3.2 Divergente e Rotacional: Derivadas de Campos Vetoriais . . . . . . . . . . . . . . . 47 3.3 O Fluxo de um Campo Vetorial no Plano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51 3.4 Teoremas de Stokes e da Divergeˆncia no Plano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53 4 Ca´lculo Vetorial em R3 57 4.1 Superfı´cies Parametrizadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58 4.2 A´rea e Integrais de Superfı´cie de Campos Escalares . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61 4.3 Integrais de Superfı´cie de Campos Vetoriais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65 4.4 Teorema da Divergeˆncia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68 4.5 Teorema de Stokes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71 A Apeˆndices 75 A.1 Revisa˜o de Geometria Analı´tica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76 A.2 Formula´rio - Integrais de Linha e Ca´lculo Vetorial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79 3 4 Capı´tulo 1 Integrais Duplas e Triplas 5 1.1 Integrais Duplas O Volume de um So´lido como uma Integral Dupla Definic¸a˜o 1 (Fechado, limitado, compacto). i) Um conjunto D em R2 e´ fechado se ele conteˆm todos os pontos de sua fronteira. ii) Um conjunto D em R2 e´ limitado se estiver contido em algum retaˆngulo R. iii) Um conjunto D em R2 e´ compacto se for fechado e limitado. Sejam D ⊂ R2 um conjunto compacto, contido num retaˆngulo da forma R = [a,b]× [c,d], e f (x,y) uma func¸a˜o contı´nua em D. Queremos calcular o volume do so´lido S compreendido entre D e o gra´fico de f . Este volume pode ser aproximado por uma soma da seguinte maneira. - Dividimos o intervalo [a,b] em m pedac¸os de tamanho ∆x = (b− a)/m, e o intervalo [c,d] em n pedac¸os de tamanho ∆y= (d−c)/n. Assim, o retaˆngulo R esta´ dividido em mn retaˆngulos pequenos Ri j de a´rea ∆A = ∆x∆y, e o conjunto D e´ coberto por uma certa quantidade destes retaˆngulos. Em cada retaˆngulo Ri j escolhemos um ponto qualquer (x∗i j,y∗i j). - Consideramos agora os paralelepı´pedos de base Ri j e altura f (x∗i j,y∗i j). A unia˜o destes parale- lepı´pedos e´ uma aproximac¸a˜o do so´lido S. Assim, o volume procurado e´ aproximado pela seguinte soma de Riemmann: V ≈ m ∑ i=1 n ∑ j=1 f ( x∗i j,y∗i j ) ∆A. Ri j ⊂ D - Se aumentarmos m e n, diminuı´mos ∆x e ∆y, de modo que o nu´mero de retaˆngulos Ri j contidos em D aumenta. Como f e´ contı´nua, os paralelepı´pedos ficam mais finos, e a soma acima fica cada vez mais pro´xima do volume exato. Portanto, o volume exato e´ dado pelo limite V = lim m,n→∞ m ∑ i=1 n ∑ j=1 f ( x∗i j,y∗i j ) ∆A. Ri j ⊂ D Definic¸a˜o 2 (Integral Dupla). A integral dupla de uma func¸a˜o contı´nua f (x,y) sobre um compacto D e´ definida como sendo o limite ∫∫ D f (x,y)dA = lim m,n→∞ m ∑ i=1 n ∑ j=1 f ( x∗i j,y∗i j ) ∆A. Ri j ⊂ D Ca´lculo de Integrais duplas: Integrais Iteradas A definic¸a˜o 2 na˜o fornece uma maneira de calcular a integral, mas apenas a estabelece como sendo o limite de uma soma de Riemmann. Para obter uma maneira pra´tica de calcular integrais duplas, expressamos o volume do so´lido S usando um “fatiamento” em apenas uma varia´vel. Isto e´, fatiamos D fazendo va´rios cortes da forma x= xi, ou da forma y= y j, e calculamos o volume total como sendo a soma dos volumes de cada fatia. Este e´ o conteu´do do Teorema de Fubini. 6 Teorema 3 (Integrais Iteradas e Teorema de Fubinni). Sejam D um compacto e f (x,y) uma func¸a˜o contı´nua em D. i) Se a regia˜o D esta´ contida entre dois gra´ficos de func¸o˜es de x, com x ∈ [a,b], ou seja, D = {(x,y) | a≤ x≤ b, g1 (x)≤ y≤ g2 (x)} , enta˜o a integral dupla de f sobre D pode ser calculada como∫∫ D f (x,y)dA = ∫ b a A(x)dx = ∫ b a ∫ g2(x) g1(x) f (x,y)dydx onde A(x) e´ a a´rea da sec¸a˜o transversal no ponto x. Neste caso, dizemos que D e´ uma regia˜o do tipo 1, e que a integral dupla e´ escrita como duas integrais iteradas na ordem dxdy. ii) Se a regia˜o D esta´ contida entre dois gra´ficos de func¸o˜es de y, com y ∈ [c,d], ou seja D = {(x,y) | c≤ y≤ d, h1 (y)≤ x≤ h2 (y)} , enta˜o a integral dupla de f sobre D pode ser calculada como∫∫ D f (x,y)dA = ∫ d c A(y)dy = ∫ d c ∫ h2(y) h1(y) f (x,y)dxdy onde A(y) e´ a a´rea da sec¸a˜o transversal no ponto y. Neste caso, dizemos que D e´ uma regia˜o do tipo 2, e que a integral dupla e´ escrita como duas integrais iteradas na ordem dydx. iii) Se uma regia˜o D e´ tanto tanto do tipo 1 quanto do tipo 2, enta˜o o resultado da integral e´ o mesmo em qualquer ordem de integrac¸a˜o, ou seja,∫∫ D f (x,y)dA = ∫ b a ∫ g2(x) g1(x) f (x,y)dydx = ∫ d c ∫ h2(y) h1(y) f (x,y)dxdy. Observac¸a˜o 4: i) A escolha da ordem de integrac¸a˜o pode facilitar ou dificultar o ca´lculo da integral. ii) Se uma regia˜o na˜o e´ nem do tipo 1 nem do tipo 2, dividimos ela em duas partes que sejam do tipo 1 ou 2 e utilizamos a propriedade vi) abaixo. Proposic¸a˜o 5 (Propriedades da Integral Dupla). Sejam f (x,y) e g(x,y) func¸o˜es cujas integrais duplas em D existem. Enta˜o: i) ∫∫ D ( f (x,y)±g(x,y))dA = ∫∫ D f (x,y)dA± ∫∫ D g(x,y)dA. ii) ∫∫ D c f (x,y)dA = c ∫∫ D f (x,y)dA. iii) Se f (x,y)≥ g(x,y) para todo (x,y) ∈ D, enta˜o ∫∫ D f (x,y)dA≥ ∫∫ D g(x,y)dA. iv) Se D = D1∪D2 com D1∩D2 = /0, enta˜o ∫∫ D f (x,y)dA = ∫∫ D1 f (x,y)dA+ ∫∫ D2 f (x,y)dA. v) A a´rea da regia˜o D e´ dada por A(D) = lim m,n→∞ m ∑ i=1 n ∑ j=1 ∆A = ∫∫ D 1 dA. vi) O valor me´dio de f sobre D, ou seja, a me´dia de f em D, e´ dado por vm(f,D)= 1 A(D) ∫∫ D f (x,y)dA. Ele satisfaz a seguinte relac¸a˜o∫∫ D f (x,y)dA = “volume do so´lido entre gr(f) e D” = A(D)×vm(f,D) . 7 Exercı´cios Exercı´cio 1. Encontre o volume do prisma cuja base e´ o triaˆngulo no plano xy limitado pelo eixo-x e pelas retas y = x e x = 1, e cujo topo esta´ no plano z = f (x,y) = 3− x− y. (R = 1) Exercı´cio 2. Calcule ∫∫ D sinx x dA, onde D = {(x,y)|0≤ y≤ 1, y≤ x≤ 1}. (R = 1− cos1 ) Exercı´cio 3. Esboce a regia˜o de integrac¸a˜o e troque a ordem de integrac¸a˜o da integral:∫ 2 0 ∫ 2x x2 (4x+2)dy dx. Exercı´cio 4. Calcule o volume do so´lido abaixo da superfı´cie z = 16− x2− y2 e acima da regia˜o limitada pela curva y = 2 √ x, pela reta y = 4x−2 e pelo eixo-x.(R = 20803/1680) Exercı´cio 5. Encontre a a´rea da regia˜o D limitada pelas curvas y = x+2 e y = x2. (R = 9/2) Nos exercı´cios 6 a 12, esboce a regia˜o de integrac¸a˜o e calcule a integral dupla. Exercı´cio 6. ∫ 1 0 ∫ 0 y−1 ex+ydxdy+ ∫ 1 0 ∫ 1−y 0 ex+ydxdy. R: e/2+1/2e. Exercı´cio 7. ∫ 2 0 ∫ 2 x x √ 1+ y3dydx. R: 26/9. Exercı´cio 8. ∫ 2 0 ∫ 2 x e−y 2 dydx. R: 1/2−1/2e4. Exercı´cio 9. ∫ 0 −1 ∫ √x+1 −√x+1 xydxdy+ ∫ 1 0 ∫ √1−x −√1−x xydxdy. R: 0. Exercı´cio 10. (2014/1) ∫ 1 0 ∫ pi/2 arcsiny cosx √ 1+ cos2 x dxdy. R: 2 √ 2−1 3 Exercı´cio 11. ∫∫ D cos(y3)dA, onde D e´ a regia˜o limitada pelas curvas y = √ x, y = 2 e x = 0. R: (sin8)/3. Exercı´cio 12. ∫∫ D y−2ex/ √ ydA, onde D e´ a regia˜o limitada pelas curvas x = 0, x = 1, y = 1 e y = 2. R: 2 ( e− e 1√ 2 + √ 2 2 −1 ) . Nos exercı´cios 13 a 15, calcule a a´rea da regia˜o D. Exercı´cio 13. D e´ a regia˜o limitada pelas curvas 2y = 16− x2 e x+2y+4 = 0. R: 243 4 . Exercı´cio 14. D e´ a regia˜o limitada pelas curvas x = y3, x+ y = 2 e y = 0. R: 5 4 . Exercı´cio 15. D e´ o triaˆngulo entre as retas y = x, y+ x = 0 e y = 3. R: 9. 8 Nos exercı´cios 16 a 19, calcule o volume do so´lido S. Exercı´cio 16. S e´ o so´lido no primeiro octante, abaixo do plano x+ y+ z = 6 e dentro do cilindro parabo´lico y = 4− x2. R: 292/15. Exercı´cio 17. S e´ o so´lido entre as superfı´cies z = 3+ x2+ y2 e z = 4. R: pi/2. Exercı´cio 18. S e´ o so´lido no primeiro octante, satisfazendo z≤ x2+ y2 e x+ y≤ 1. R: 1/6. Exercı´cio 19. S e´ o conjunto dos pontos que satisfazem x+ y+ z≤ 1 e x,y,z≥ 0. R: 1/6. Exercı´cio 20. (2014/1) Esboce e descreva o so´lido cujo volume e´ dado pela integral dupla∫ 1 0 ∫ 1−y 0 √ 1− x2 dxdy. 9 1.2 Integrais Duplas em Coordenadas Polares Todo ponto P = (x,y) do plano pode ser descrito em termos - da distaˆncia r de P a` origem O e - do aˆngulo θ que o ~OP faz com eixo-x (anti-hora´rio) Assim, e´ possı´vel passar a descric¸a˜o de um conjunto do plano das coordenadas cartesianas (x,y) para as chamadas coordenadas polares (r,θ), por meio das fo´rmulas:{ x = rcosθ y = rsinθ ⇔ { θ= arctan yx r = √ x2+ y2 . Muitos conjuntos sa˜o descritos de modo muito simples em coordenadas polares. O ca´lculo de in- tegrais duplas nestes conjuntos, por meio de coordenadas cartesianas, pode ser complicado e ate´ impossı´vel. Utilizar coordenadas polares nestes casos simplifica muito. Queremos calcular a integrais duplas ∫∫ R f (x,y)dA em regio˜es que sejam da forma D = {(r,θ)| α≤ θ≤ β, h1 (θ)≤ r ≤ h2 (θ)}. Uma regia˜o desta forma esta´ contida em algum retaˆngulo polar, que e´ um conjunto da forma R = {(r,θ)| α≤ θ≤ β, a≤ r ≤ b}. Para calcular a integral, dividimos o intervalo [α,β] dos aˆngulos em m pedac¸os de tamanho ∆θ, e o intervalo [a,b] dos raios em n pedac¸os de tamanho ∆r, de modo a cobrir D com va´rios retaˆngulos polares infinitesimais Ri j. Tomando um ponto (x∗i j,y∗i j)↔ (r∗i j,θ∗i j) no meio de cada retaˆngulo Ri j ⊂ R, temos:∫∫ R f (x,y)dA= lim m,n→∞ m ∑ i=1, Ri j⊂D n ∑ j=1 f ( x∗i j,y ∗ i j ) ∆Ai j = lim m,n→∞ m ∑ i=1, Ri j⊂D n ∑ j=1 f ( r∗i jcosθ ∗ i j ,r ∗ i jsinθ ∗ i j ) ∆Ai j. Resta sabermos o valor de cada a´rea ∆Ai j. Para calcula´-la, note que ∆Ai j pode ser aproximada por um retaˆngulo de base r∗i j∆θ e altura ∆r. Assim, quando ∆r e ∆θ sa˜o muito pequenos, temos Area ∆Ai j =≈ r∗i j∆r∆θ Assim, a integral dupla de f (x,y) em D e´ dada pelo limite ∫∫ D f (x,y)dA = lim m,n→∞ m ∑ i=1, Ri j⊂D n ∑ j=1 f ( r∗i jcosθ ∗ i j ,r ∗ i jsinθ ∗ i j ) r∗i j∆r∆θ Ou seja, vale a seguinte formula de mudanc¸a de coordenadas cartesianas para polares: ∫∫ D f (x,y)dA = ∫ b a ∫ h2(θ) h1(θ) f (r cosθ ,r sinθ) rdrdθ onde D = {(r,θ)| α≤ θ≤ β, h1 (θ)≤ r ≤ h2 (θ)}. Dizemos dA = rdrdθ e´ o elemento de a´rea em coordenadas polares. 10 Exercı´cios Exercı´cio 21. Calcule ∫∫ R e x2+y2dA, onde R e´ a regia˜o limitada pelo eixo-x e pela curva y = √ 1− x2.( R = pi2 (e−1) ) . Exercı´cio 22. Calcule o volume do so´lido abaixo da superfı´cie z = 9− x2− y2 e acima do cı´rculo unita´rio no plano xy. (R = 17pi/2) Exercı´cio 23. Encontre a a´rea da regia˜o compreendida dentro do cı´rculo x2 + y2 = 4, acima da reta y = 1, e abaixo da reta y = √ 3x. ( R = pi− √ 3 3 ) Nos exercı´cios 24 a 25, utilize coordenadas polares para calcular a integral dupla. Exercı´cio 24. ∫∫ D x 2+ y2dA, onde D e´ a regia˜o tal que 1≤ x2+ y2+≤ 4. R: 15pi2 . Exercı´cio 25. ∫∫ D 1 (1+x2+y2)3/2 dA, onde D e´ a regia˜o limitada pelas retas y = x, x = 0 e y = 1. R: .... Exercı´cio 26. Reescreva a integral em coordenadas polares (na˜o e´ necessa´rio calcula´-la): ∫∫ D √ x2+ y2dA, onde D e´ a regia˜o tal que y≥ x− x2 e x2+ y2− x≤ 0. R: ... . Exercı´cio 27. Calcule o volume do so´lido compreendido dentro da esfera x2 + y2 + z2 = a2, dentro do cilindro x2+ y2 = ay e acima do plano xy. R: .... Exercı´cio 28. Encontre a a´rea da regia˜o no plano xy que esta´ dentro do cı´rculo r = 4sinθ e fora do cı´rculo r = 2. R: 4pi3 +2 √ 3. Exercı´cio 29. Calcule∫ 1 √ 2/2 ∫ x √ 1−x2 4x2+4y2 dydx+ ∫ √2 1 ∫ x 0 4x2+4y2 dydx + ∫ 2 √ 2 ∫ √4−x2 0 4x2+4y2 dydx. O resultado obtido representa o volume de qual so´lido? R: ... . Exercı´cio 30. (2015/1) Mateus e Marcos desejam dividir ao meio um terreno T , que pode ser descrito como T = { (x,y) ∈ R2 |x≥ 0,y≥ 0, x2+ y2 ≤ 100} , onde x e y sa˜o medidos em metros. Como a rua em frente ao terreno passa sobre o eixo x, Mateus propo˜e a Marcos que dividam o terreno em duas partes, T1 e T2, dadas por T1 = { (x,y) ∈ R2 |0≤ x≤ 10cosα, y≥ 0, x2+ y2 ≤ 100} e T2 = { (x,y) ∈ R2 |10cosα≤ x≤ 10, y≥ 0, x2+ y2 ≤ 100} onde α e´ raiz da equac¸a˜o α− sin2α 2 = pi 4 . Fac¸a um esboc¸o de T com divisa˜o T = T1∪T2, e mostre que a divisa˜o proposta por Mateus e´ justa, isto e´, que T1 e T2 possuem a mesma a´rea. 11 1.3 Mudanc¸a de Varia´veis em Integrais Duplas Definic¸a˜o 6 (Mudanc¸a de Varia´veis no Plano). Uma mudanc¸a de varia´veis no plano e´ definida por uma transformac¸a˜o T : S → R (u,v) → (x,y) = T (u,v) onde S,R ⊂ R2, com R = T (S), e cada ponto (x,y) ∈ R e´ imagem de um u´nico ponto (u,v) ∈ S. A transformac¸a˜o T possui uma transformac¸a˜o inversa, denotada por T−1, T−1 : R → S (x,y) → (u,v) = T−1 (x,v) . Portanto, por meio de T e T−1, as varia´veis x e y ficam relacionadas a`s varia´veis u e v, e tambe´m as varia´veis (u,v) podem ser escritas em termos de (x,y) :{ x = x(u,v) y = y(u,v) ⇐⇒ { u = u(x,y) v = v(x,y) . Mudanc¸a de Varia´veis em Integrais Duplas Uma mudanc¸a de varia´veis pode facilitar muito o ca´lculo de certas integrais duplas, dependendo do integrando f (x,y) ou da regia˜o de integrac¸a˜o. Teorema 7 (Teorema de Mudanc¸a de Varia´veis). Considere a mudanc¸a T dada por x= x(u,v) e y= y(u,v), (u,v)∈ S. Se x(u,v) e y(u,v) sa˜o contı´nuas e possuem derivadas parciais contı´nuas, e se o determinante Jacobiano J (u,v) = ∣∣∣∣∂(x,y)∂(u,v) ∣∣∣∣= ∣∣∣∣∣ ∂x∂u ∂x∂v∂y∂u ∂y∂v ∣∣∣∣∣= ∂x∂u ∂y∂v − ∂x∂v ∂y∂u e´ nulo apenas em pontos isolados de R, enta˜o vale a seguinte fo´rmula de mudanc¸a de varia´veis:∫∫ R f (x,y)dxdy = ∫∫ S f (x(u,v) ,y(u,v)) ∣∣∣∣∂(x,y)∂(u,v) ∣∣∣∣dudv Ou seja, o elemento de a´rea dA = dxdy se torna dxdy = ∣∣∣ ∂(x,y)∂(u,v)∣∣∣dudv. Observac¸a˜o 8: Observe a semelhanc¸a com uso de substituic¸a˜o simples em integrais do Ca´lculo I: x = g(u) dx = x′ (u)du x = a⇒ u = c x = b⇒ u = d =⇒ ∫ b a f (x)dx = ∫ d c f (x(u))x′(u)du. Observac¸a˜o 9 (Coordenadas Polares): O uso de Coordenadas Polares e´ um exemplode Mudanc¸a de Varia´veis (x,y) = T (r,θ) x = rcosθ y = rsinθ (r,θ) ∈ [0,1]× [0, pi2] dA = rdrdθ ⇐⇒ (r,θ) = T−1(x,y) θ= arctan yx r = √ x2+ y2 (x,y) ∈ R{(x,y) | x2+ y2 ≤ 1, x≥ 0, y≥ 0} dA = dxdy 12 Exercı´cios Exercı´cio 31. Verifique que o determinante jacobiano da transformac¸a˜o para coordenadas polares e´ dado por r. Exercı´cio 32. Calcule a integral ∫ 4 0 ∫ (y/2)+1 y/2 2x−y 2 dxdy, usando a transformac¸a˜o u = 2x−y 2 , v = y 2 . R: 1/6. Exercı´cio 33. Calcule a integral ∫ 1 0 ∫ 1−x 0 √ x+ y (y−2x)2dydx. R: 2. Exercı´cio 34. Calcule a integral ∫ 2 1 ∫ y 1/y √ y xe √ xydxdy. R: 2e(e−2). Exercı´cio 35. (2015/1) Seja R a regia˜o do primeiro quadrante do plano xy limitada pelas hipe´rboles xy = 1, xy = 9, e pelas retas y = x, y = 4x. Utilizando a mudanc¸a de varia´veis x = u/v e y = uv, com u > 0 e v > 0, calcule a integral dupla a seguir, esboc¸ando a regia˜o R no plano xy, e a regia˜o S correspondente no plano uv: ∫∫ R (√ y x + √ xy ) dxdy. R: 8+ 523 ln2. Nos exercı´cios 36 e 37, use a mudanc¸a de variave´is indicada para calcular a integral dupla. Exercı´cio 36. ∫∫ D √ x+ y x dydx. x = u, y = uv. D: triaˆngulo com ve´rtices em (0,0), (4,0) e (4,4). R: 32(2 √ 2−1)/9. Exercı´cio 37. ∫∫ D ysinxy dydx. x = u/v, y = v. D: regia˜o entre as curvas xy = 1, xy = 4, y = 1 e y = 4. R: 3(cos1− cos4). Exercı´cio 38. Calcule o volume do so´lido limitado superiomente pela superfı´cie z = 16− x2− y2 e inferiormente pela regia˜o elı´ptica x 2 16 + y2 9 ≤ 1. R: (117pi)/2. Exercı´cio 39. Calcule ∫∫ D cos(x− y) sin(x+ y) dxdy onde D e´ a regia˜o que satisfaz 1≤ x+ y≤ 2, x≥ 0, y≥ 0. R: 1. Exercı´cio 40. Calcule ∫∫ D x 2dx dy onde D e´ o conjunto x2+4y2 ≤ 1 R: pi3 − 49 . 13 1.4 Integrais Triplas Volume como uma Integral Tripla Do mesmo modo que definimos integral dupla dividindo uma regia˜o plana em retaˆngulos pequenos, podemos definir integrais triplas a partir de regio˜es so´lidas. Seja E ⊂ R3 um so´lido no espac¸o tridi- mensional, fechado e limitado. Existe uma ‘caixa retangular’ R que conteˆm E. Particionamos R em pequenas caixas retangulares, e enumeramos em uma certa ordem, de 1 a n, aquelas subcaixas que estiverem dentro de E. A k-e´sima caixa possui dimenso˜es ∆xk,∆yk e ∆zk. Assim, o volume aproxi- mado do so´lido E e´ a soma dos volumes das caixas dentro dele, e e´ exato quando o nu´mero de caixas n→ ∞, ou, equivalentemente, ∆xk,∆yk,∆zk→ 0: Vol(E)≈ lim n→∞ n ∑ k=1 ∆Vk = limn→∞ n ∑ k=1 ∆xk∆yk∆zk. Definic¸a˜o 10. Seja f (x,y,z) uma func¸a˜o contı´nua em uma regia˜o E contida em R3. A integral tripla de f sobre E e´ definida como sendo o limite∫∫∫ E F (x,y,z)dV = lim n→∞ n ∑ k=1 F (xk,yk,zk)∆Vk = limn→∞ n ∑ k=1 F (xk,yk,zk)∆xk∆yk∆zk . Observac¸a˜o 11: i) A integral tripla ∫∫∫ E dV representa o volume de E. ii) Se f (x,y,z) representa a densidade em cada ponto do so´lido E, a integral tripla ∫∫∫ E f (x,y,z)dV representa a massa de E. Ca´lculo de Integrais Triplas como Integrais Iteradas O ca´lculo de integrais triplas tambe´m e´ feito por meio de integrais iteradas. O processo possui sempre treˆs passos ba´sicos: i) Esboc¸amos o so´lido E e escolhemos algum dos planos coordenados para projetar E. ii) Determinamos as ‘tampas’ superior e inferior (com relac¸a˜o ao plano escolhido) que delimitam E por cima e por baixo. iii) Determinamos no plano escolhido a ‘sombra’ D de E como sendo uma regia˜o do tipo 1 ou 2. Dependendo da geometria do so´lido E, pode ser melhor considerar sua projec¸a˜o no plano x×y ou no plano x× z ou no plano y× z. Vejamos como fica cada caso. Projetando no plano x× y i) Esboc¸amos o so´lido E e sua ‘sombra’ D no plano x× y. ii) Determinamos as ‘tampas’ superior e inferior z = u2 (x,y) e z = u1 (x,y) que delimitam E por cima e por baixo, de modo que E e´ dado por E = {(x,y,z) ∈ R3 | (x,y) ∈ D, u1(x,y)≤ z≤ u2(x,y)}, e a integral tripla pode ser escrita na ordem dzdA, como sendo uma integral simples iterada com uma integral dupla: ∫∫∫ E f (x,y,z)dV = ∫∫ D (∫ u2(x,y) u1(x,y) f (x,y,z)dz ) dA 14 iii) Escrevemos a ‘sombra’ D como sendo uma regia˜o do tipo 1 ou 2, obtendo assim uma expressa˜o para a integral tripla como treˆs integrais iteradas. Se D e´ do tipo 1, enta˜o E = {(x,y,z)| a≤ x≤ b, g1 (x)≤ y≤ g2 (x) , u1 (x,y)≤ z≤ u2(x,y)}, e daı´ a integral e´ feita na ordem dzdydx:∫∫∫ E f (x,y,z)dV = ∫ b a ∫ g2(x) g1(x) ∫ u2(x,y) u1(x,y) f (x,y,z) dzdy dx. Se D e´ do tipo 2, enta˜o E = {(x,y,z)| c≤ y≤ d, h1 (y)≤ x≤ h2 (y) , u1 (x,y)≤ z≤ u2(x,y)}, e daı´ a integral e´ feita na ordem dzdxdy∫∫∫ E f (x,y,z)dV = ∫ d c ∫ h2(y) h1(y) ∫ u2(x,y) u1(x,y) f (x,y,z) dzdx dy. Projetando no plano x× z i) Esboc¸amos o so´lido E e sua ‘sombra’ D no plano x× z. ii) Determinamos as ‘tampas laterais’ direita e esquerda, que agora dependem de x e z, y = u2 (x,z) e y = u1 (x,z), delimitando E pelos lados. Assim, E e´ dado por E = {(x,y,z) ∈ R3 | (x,z) ∈ D, u1(x,z)≤ y≤ u2(x,z)}. e a integral tripla pode ser escrita na ordem dydA, como sendo uma integral simples iterada com uma integral dupla: ∫∫∫ E f (x,y,z)dV = ∫∫ D (∫ u2(x,z) u1(x,z) f (x,y,z)dy ) dA iii) Escrevemos a ‘sombra’ D no plano x× z como sendo uma regia˜o do tipo 1 ou 2, obtendo assim uma expressa˜o para a integral tripla como treˆs integrais iteradas, na ordem dydxdz ou dydzdx. Projetando no plano y× z i) Esboc¸amos o so´lido E e sua ‘sombra’ D no plano y× z. ii) Determinamos as ‘tampas laterais’ de frente e de tra´s, x = u2 (y,z) e x = u1 (y,z), de modo que E e´ dado por E = {(x,y,z) ∈ R3 | (y,z) ∈ D, u1(y,z)≤ x≤ u2(y,z)}. Deste modo, a integral tripla pode ser escrita na ordem dxdA, como sendo uma integral simples iterada com uma integral dupla:∫∫∫ E f (x,y,z)dV = ∫∫ D (∫ u2(y,z) u1(y,z) f (x,y,z)dx ) dA iii) Procedendo de modo ana´logo, escrevemos a ‘sombra’ D no plano y× z como sendo uma regia˜o do tipo 1 ou 2, obtendo assim uma expressa˜o para a integral tripla como treˆs integrais iteradas, na ordem dxdydz ou dxdzdy. 15 Exercı´cios Exercı´cio 41. Calcule o volume do tetraedro de vertices (0,0,0) , (1,0,0) , (0,1,0) e (0,1,1), usando a ordem dzdydx. (R = 1/6) Exercı´cio 42. Encontre o volume da regia˜o D delimitada pelas superfı´cies z= x2+3y2 e z= 8−x2− y2. (R = 8p √ 2 Exercı´cio 43. Calcule o volume do tetraedro do Exemplo 41, usando a ordem dydzdx. Exercı´cio 44. Calcule ∫∫∫ E √ x2+ z2dV , onde E e´ a regia˜o limitada pelo paraboloide y = x2 + z2, e pelo plano y = 4. (R = 128pi/15) Exercı´cio 45. Reescreva a integral iterada ∫ 1 0 ∫ x2 0 ∫ y 0 f (x,y,z)dzdydx nas ordens dxdzdy e dydzdx, e esboce a regia˜o de integrac¸a˜o. Exercı´cio 46. (2014/1) Calcule a integral tripla ∫∫∫ E x dV , onde E e´ o so´lido limitado pelo cilindro parabo´lico y = x2 e pelos planos x = 0 e y+ z = 1. R: 1/12. Exercı´cio 47. (2014/1) Escreva o volume de cada so´lido esboc¸ado nas figuras abaixo como uma integral tripla iterada em cada uma das seis possı´veis ordens de integrac¸a˜o. Exercı´cio 48. (2015/1) Seja S a regia˜o so´lida do primeiro octante, limitada pelos planos z = 0,y = 0,x = 0,y+ z = 1 e pelo cilindro x = 1− y2. Fac¸a um esboc¸o de S e de suas projec¸o˜es nos planos xy, xz, e yz, e expresse o volume de S como uma integral tripla iterada, nas ordens de integrac¸a˜o dzdydx, dydzdx e dxdzdy. R:∫ 1 0 ∫ √1−x 0 ∫ 1−y 0 dzdydx= ∫ 1 0 ∫ √1−y 0 ∫ 1−y2 0 dxdzdy= ∫ 1 0 ∫ 1−√1−x 0 ∫ √1−x 0 dydzdx+ ∫ 1 0 ∫ 1 1−√1−x ∫ 1−z 0 dydzdx. Exercı´cio 49. Calcule o volume do so´lido S limitado por z+ x2 = 9, y+ z = 4, y = 0 e y = 4. R: 8 15(243−25√ 5). Exercı´cio 50. Calcule ∫∫∫ S 3zdV onde S e´ o so´lido limitado por z = 1, x+ y+ z = 2, x = 0, y = 0 e z = 0. R: 11/8. 16 1.5 Mudanc¸a de Varia´veis em Integrais Triplas Uma mudanc¸a de varia´veis no espac¸o e´ definida de maneira ana´loga a` mudanc¸as no plano, e vale tambe´m um resultado sobre mudanc¸a de varia´veis em integrais triplas. Seja R uma regia˜o em R3 e considere a mudanc¸a de coordenadas x = x(u,v,w) , y = y(u,v,w) , z = z(u,v,w) , (u,v,w) ∈ S⊂ R3, onde cada (x,y,z) ∈ R e´ imagem de um u´nico ponto (u,v,w) ∈ S. Se x(u,v,w), y(u,v,w) e z(u,v,w) forem contı´nuas, possuı´rem derivadas parciais contı´nuas, e se o determinante jacobiano J (u,v,w) = ∣∣∣∣ ∂(x,y,z)∂(u,v,w) ∣∣∣∣= ∣∣∣∣∣∣∣ ∂x ∂u ∂x ∂v ∂x ∂w ∂y ∂u ∂y ∂v ∂y ∂w ∂z ∂u ∂z ∂v ∂z ∂w ∣∣∣∣∣∣∣ for nulo no ma´ximo em pontos isolados de S, enta˜o vale a seguinte fo´rmula de mudanc¸a de varia´veis:∫∫∫ R f (x,y,z)dV = ∫∫∫ S f (x(u,v,w) ,y(u,v,w) ,z(u,v,w)) ∣∣∣∣ ∂(x,y,z)∂(u,v,w) ∣∣∣∣dudvdw. Ou seja, o elemento de volume e´ dado por dV = dxdydz = ∣∣∣ ∂(x,y,z)∂(u,v,w)∣∣∣dudvdw. Integrais Triplas em Coordenadas Cilı´ndricas Um ponto P = (x,y,z) ∈ R3 pode ser representado pela terna (r,θ,z), onde (r,θ) sa˜o as coordenadas polares da projec¸a˜o de P no plano x× y e z e´ a altura no ponto P em relac¸a˜o ao plano xy. Os nu´meros (r,θ,z) sa˜o as coordenadas cilı´ndricas de P. Ou seja, Coordenadas Cilı´ndricas = Coordenadas Polares no plano xy + coordenada cartesiana no eixo z. Assim, as equac¸o˜es relacionando coordenadas cilı´ndricas e retangulares sa˜o x = r cosθ, y = r sinθ, z = z, r2 = x2+ y2, tanθ= y/x. Portanto, em coordenadas cilı´ndricas: i) A equac¸a˜o r = a descreve um cilindro de raio a (θ e z esta˜o livres). ii) A equac¸a˜o θ = θ0 descreve o semi-plano que conteˆm o eixo-z e faz um aˆngulo θ0 com o eixo-x (r e z esta˜o livres). iii) A equac¸a˜o z = z0 descreve um plano paralelo ao plano xy na altura z0 (r e θ esta˜o livres). Seja E e um so´lido em R3 e D a sua projec¸a˜o no plano x× y. Assim, E = {(x,y,z) | (x,y) ∈ D u1(x,y)≤ z≤ u2(x,y)}. Se D possuir uma representac¸a˜o conveniente em coordenadas polares, ou seja, se D = {(r,θ)| α≤ θ≤ β, h1(θ)≤ r ≤ h2(θ)}, enta˜o, podemos utilizar coordenadas cilı´ndricas para calcular integrais triplas em E. Temos∫∫∫ E f (x,y,z)dV = ∫∫ D ∫ u2(x,y) u1(x,y) f (x,y,z)dzdA = ∫ b a ∫ h2(θ) h1(θ) ∫ u2(x,y) u1(x,y) f (x,y,z)dzrdrdθ. Ou seja, o elemento de volume em coordenadas cilı´ndricas e´ dado por: dV = dz r dr dθ. 17 Integrais Triplas em Coordenadas Esfe´ricas Um outro sistema de coordenadas muito utilizado e´ o sistema de coordenadas esfe´ricas. Neste sistema, um ponto P = (x,y,z) ∈ R3 e´ representado pela terna (ρ,θ,φ), onde: i) ρ e´ a distaˆncia de P a` origem (ρ≥ 0), ii) θ e´ o aˆngulo das coordenadas cilı´ndricas, ou seja, e´ o aˆngulo que o vetor (x,y,0) faz com o eixo-x (0≤ θ≤ 2pi), iii) φ e´ o aˆngulo que ~OP faz com o eixo-z positivo (0≤ φ≤ pi). Para melhor entender e memorizar as fo´rmulas de coordenadas esfe´ricas, e´ interessante considerar a varia´vel r das coordenadas cilı´ndricas. Pelas definic¸o˜es de r, ρ e φ temos que ρ2 = r2+ z2, r = ρsinφ, z = ρcosφ. Como x = r cosθ e y = r sinθ, as equac¸o˜es relacionando coordenadas esfe´ricas e retangulares sa˜o: x = ρsinφcosθ y = ρsinφsinθ z = ρcosφ ⇐⇒ ρ2 = x2+ y2+ z2 tanθ= y/x tanφ= rz = √ x2+y2 z . Em coordenadas esfe´ricas: i) A equac¸a˜o ρ= a descreve uma esfera de raio a e centro na origem (θ e φ esta˜o livres) ii) θ = θ0 descreve o semi-plano que conteˆm o eixo-z e faz um aˆngulo θ0 com o eixo-x positivo (ρ e φ livres) iii) φ = φ0 descreve um cone com ve´rtice na origem, com eixo de simetria sendo o eixo-z, e com aˆngulo de abertura 2φ0 (ρ e θ livres). Se φ0 > pi/2, o cone e´ voltado para baixo. Em geral, uma integral tripla num so´lido E ⊂ R3 pode ser calculada usando coordenadas esfe´ricas se E for um so´lido de revoluc¸a˜o ao longo do eixo z, como uma esfera ou um cone. A descric¸a˜o de E em coordenadas esfe´ricas deve ser da forma E = {(ρ,θ,φ) | α≤ θ≤ β, c≤ φ≤ d, g1 (θ,φ)≤ ρ≤ g2(θ,φ)}. Calculando o jacobiano para as coordenadas esfe´ricas, obtemos∣∣∣∣ ∂(x,y,z)∂(ρ,θ,φ) ∣∣∣∣= ρ2 sinφ. Logo, o elemento de volume em coordenadas esfe´ricas e´ dado por: dV = ρ2 sinφ dρdθdφ. Portanto, o ca´lculo de uma integral tripla em E em coordenadas esfe´ricas fica∫∫∫ E f (x,y,z)dV = ∫ b a ∫ d c ∫ g2(θ,φ) g1(θ,φ) f (ρsinφcosθ,ρsinφsinθ,ρcosφ)ρ2 sinφ dρdθdφ. 18 Exercı´cios Exercı´cio 51. Calcule a integral ∫ 3 0 ∫ 4 0 ∫ (y/2)+1 y/2 ( 2x−y 2 + z 3 ) dxdydz, usando a transformac¸a˜o u= 2x−y2 , v= y 2 , w = z 3 . R: 12. Exercı´cio 52. Calcule o volume do elipso´ide x2 a2 + y2 b2 + z2 c2 = 1. Exercı´cio 53. Encontre o centroide do so´lido de densidade ρ = 1 compreendido dentro do cilindro x2+ y2 = 4, abaixo do paraboloide z = x2+ y2, e acima do plano xy. R: (0,0,4/3). Exercı´cio 54. Encontre os limites de integrac¸a˜o, em coordenadas cilı´ndricas, para integrar f (x,y,z) sobre a regia˜o limitada abaixo pelo plano z = 0, lateralmente pelo cilindro circular x2+(y−1)2 = 1 e acima pelo paraboloide z = x2+ y2. Exercı´cio 55. Calcule a integral tripla ∫ 2 −2 ∫ √4−x2 −√4−x2 ∫ 2 √ x2+y2 x2+ y2dz dy dx. R: 16pi/5. Exercı´cio 56. Encontre a equac¸a˜o em coordenadas esfe´ricas para a esfera x2+ y2+(z−1)2 = 1. Exercı´cio 57. Encontre a equac¸a˜o em coordenadas esfe´ricas para o cone z = √ x2+ y2. Exercı´cio 58. Calcule o jacobiano da transformac¸a˜o em coordenadas esfe´ricas. Exercı´cio 59. Calcule ∫∫∫ B e (x2+y2+z2) 2 3 dV , onde B e´ a bola unita´ria B= { (x,y,z) |x2+ y2+ z2 ≤ 1}. R: 43pi(e−1). Exercı´cio 60. Calcule o volume do so´lido que esta´ acima do cone z = √ x2+ y2 e abaixo da esfera x2+ y2+ z2 = z. R: pi8 . Exercı´cio 61. Calcule o volume do so´lido no primeiro octante limitado pelo cone z = 4r e pelo cilindro r = 4sinθ. R: 1289 . Exercı´cio 62. (2014/1) Calcule o volume da regia˜o so´lida compreendida dentro da esfera x2 + y2 + z2 = a2, abaixo do cone z = √ x2+ y2 e acima do plano z = 0. R: √ 2pia3 3 . Exercı´cio 63. Calcule o volume da regia˜o acima do cone z = √ x2+ y2 e dentro da esfera x2+ y2+ z2 = z. R: pi8 . Exercı´cio 64. (2014/1) Esboce a regia˜o de integrac¸a˜o e calcule a integral tripla∫ √2 −√2 ∫ √2−x2 −√2−x2 ∫ √4−x2−y2 √ x2+y2 (x2z+ y2z+ z3) dzdydx. (1.1) R: ∫ 2 0 ∫ 2pi 0 ∫ pi 4 0 ρ4 cosφsinφdφdθdρ= .... Exercı´cio 65. Use coordenadas cilı´ndricas para calcular o volume de um cone circular reto cujo raio da base e´ a e cuja altura e´ h. R: pia2h/3. 19 Exercı´cio 66. Use coordenadas cilı´ndricas para calcular ∫∫∫ E z √ x2+ y2dV , onde E e´ a metade do cone circular reto de ve´rtice (0,0,h) e base x2+y2 ≤ a2 compreendido no lado direito do plano y= 0. R: pia3h2/60. Exercı´cio 67. Encontre o volume removido quando se abre um furo de raio a numa esfera de raio 2a, sendo o eixo do furo um diaˆmetro da esfera. R: 4(8−3√3)a3pi/3. Exercı´cio 68. Encontre k de modo que volume dentro do hemisfe´rio z = √ 16− x2− y2 e fora do cilindro x2+ y2 = k2 seja a metade do volume do hemisfe´rio. R: √ 4−2 3√2. Exercı´cio 69. Seja Q a cunha no primeiro octante seccionada do cilindro y2 + z2 ≤ 1 pelos planos y = x e x = 0. Calcule ∫∫∫ Q z dV . R: 1/8. Exercı´cio 70. Calcule o volume do so´lido E limitado pela esfera ρ = 4 e pelos cones φ = pi/6 e φ= pi/3. R: 64pi3 ( √ 3−1). 20 1.6 Aplicac¸o˜es das Integrais Duplas e Triplas Densidade e Massa Considere um so´lido E com densidade descrita por ρ(x,y,z). Esta densidade pode ser escrita como ρ(x,y,z) = lim ∆V→0 ∆m ∆V , onde ∆m e ∆V sa˜o a massa e o volumede um pequeno cubo contendo o ponto (x,y,z). Podemos dividir o so´lido em n cubos Ri, cada um com volume ∆V = ∆x∆y∆z, e aproximar a massa de cada cubo por ∆m≈ ρ(x∗i ,y∗i ,z∗i )∆V, onde (x∗i ,y∗i ,x∗i ) e´ um ponto no cubo Ri. Fazendo o nu´mero de cubos n aumentar e somando todas as massas, temos a massa total do so´lido, expressa como uma integral tripla: m = lim n→∞ n ∑ i=1 ρ(x∗i ,y ∗ i ,z ∗ i )∆V = ∫∫∫ E ρ(x,y,z)dV . Esta expressa˜o pode ser entendida como sendo a soma de todas as massas pontuais ρ(x,y,z)dV de todos os pontos (x,y,z) ∈ E de densidades ρ(x,y,z) e volumes pontuas dV . Momentos e centro de massa Agora, queremos encontrar o centro de massa (ou centro de gravidade) do so´lido D, isto e´, o ponto P no qual ele se equilibra horizontalmente. A situac¸a˜o mais simples e´ quando duas massas m1 e m2 sa˜o presas a um basta˜o de massa desprezı´vel em lados opostos a um apoio e a distaˆncias d1 e d2 do apoio. Pela Lei da Alavanca de Arquimedes, o basta˜o estara´ em equilı´brio se m1d1 = m2d2. Introduzindo um sistema de coordenadas, esta condic¸a˜o e´ escrita como m1 (x− x1) = m2 (x− x2) , onde x e´ a coordenada do centro de massa. Isolando x obtemos x = m1x1+m2x2 m1+m2 . Os nu´meros m1x1 e m2x2 sa˜o chamados momentos das massas m1 e m2 (em relac¸a˜o a` origem) e a equac¸a˜o acima nos diz que o centro de massa e´ igual a soma dos momentos dividida pela soma das massas. Agora, considere va´rias massas no plano xy. De modo ana´logo, as coordenadas do centro de massa sa˜o x = ∑ni=1 mixi ∑ni=1 mi = My m , y = ∑ni=1 miyi ∑ni=1 mi = Mx m onde os nu´meros mixi e miyi sa˜o os momentos de cada massa em relac¸a˜o aos eixos, e My = n ∑ i=1 mixi, Mx = n ∑ i=1 miyi sa˜o os momentos totais da placa com relac¸a˜o ao eixo-y e ao eixo-x, respectivamente. Eles medem a tendeˆncia de o sistema girar em torno destes eixos. 21 Finalmente, interpretando um so´lido E de densidade ρ(x,y,z) como uma nuvem de va´rias massas pontuais dm = ρ(x,y,z)dV , podemos calcular, de maneira ana´loga, os momentos em relac¸a˜o aos planos x× y, x× z e y× z como sendo, respectivamente, Mxy = ∫∫∫ E z ρ(x,y,z)dV , Mxz = ∫∫∫ E y ρ(x,y,z)dV , Myz = ∫∫∫ E x ρ(x,y,z)dV . Assim, o centro de massa de E e´ dado por (x,y,z), onde x = Myz m = ∫∫∫ E x ρ(x,y,z)dV∫∫∫ E ρ(x,y,z)dV , y = Mxz m = ∫∫∫ E y ρ(x,y,z)dV∫∫∫ E ρ(x,y,z)dV , z = Mxy m = ∫∫∫ E z ρ(x,y,z)dV∫∫∫ E ρ(x,y,z)dV . O centro de massa e´ o ponto que concentra toda a massa do so´lido. Como mx = Myz, my = Mxz e mz=Mxy, uma partı´cula u´nica de massa m posicionada neste mesmo ponto teria os mesmos momentos que o so´lido. Se a densidade ρ(x,y,z) e´ constante, o centro de massa e´ chamado centroide. Momentos de ine´rcia O momento de ine´rcia (tambe´m chamado segundo momento) de uma partı´cula de massa m em relac¸a˜o a um eixo e´ definido como mr2, onde r e´ a distaˆncia da partı´cula ao eixo. Assim, procedendo com a mesma divisa˜o do so´lido E feita anteriormente, podemos definir os seus momentos de ine´rcia em relac¸a˜o aos eixos x, y e z, como sendo, respectivamente: Ix = ∫∫∫ E ( y2+ z2 ) ρ(x,y,z)dV , Iy = ∫∫∫ E ( x2+ z2 ) ρ(x,y,z)dV , Iz = ∫∫∫ E ( x2+ y2 ) ρ(x,y,z)dV . A energia cine´tica de um objeto se movendo com velocidade linear v, de massa m, e´ Ec = 12mv 2. A energia cine´tica de um eixo girando com velocidade angular w e momento de ine´rcia I, em relac¸a˜o ao eixo de rotac¸a˜o, e´ Ec = 12 Iw 2. Portanto, da mesma maneira que a massa m de um corpo esta´ relacionada a energia inercial para colocar o corpo em movimento retilı´neo, o momento de ine´rcia em relac¸a˜o a um eixo esta´ relacionado a` quantidade de energia necessa´ria para efetuar um movimento de rotac¸a˜o em torno daquele eixo. Quanto maior for I, mais energia e´ necessa´ria. Quanto mais a massa estiver distribuı´da longe do eixo, maior sera´ I. 22 Aplicac¸o˜es das Integrais Duplas Todas as aplicac¸o˜es das integrais triplas podem ser reduzidas naturalmente para integrais duplas. Ou seja, se D representa uma placa fina com densidade laminar ρ(x,y) em cada ponto, enta˜o: i) A massa de D e´ dada por ∫∫ Dρ(x,y)dA. ii) Os momentos em relac¸a˜o aos eixos x e y sa˜o, respectivamente, Mx = ∫∫ D ydm = ∫∫ D y ρ(x,y)dA, My= ∫∫ D xdm = ∫∫ D x ρ(x,y)dA. iii) O centro de massa e´ o ponto (x,y), onde x = My m = ∫∫ D x ρ(x,y)dA∫∫ D ρ(x,y)dA , y = Mx m = ∫∫ D y ρ(x,y)dA∫∫ D ρ(x,y)dA . iv) Os momentos de ine´rcia em relac¸a˜o aos eixos x e y sa˜o, respectivamente Ix = ∫∫ D y2ρ(x,y)dA, Iy = ∫∫ D x2ρ(x,y)dA. v) O momento de ine´rcia em relac¸a˜o a` origem (ou momento polar de ine´rcia) e´ I0 = ∫∫ D ( x2+ y2 ) ρ(x,y)dA = (Ix+ Iy). Ele mede a tendeˆncia da placa girar, no plano x× y, em torno do eixo z. 23 Exercı´cios Exercı´cio 71. A fronteira de uma laˆmina consiste dos semicı´rculos y = √ 1− x2 e y =√4− x2 jun- tamente com a porc¸a˜o do eixo-x que une. Calcule a massa desta laˆmina, sabendo que a densidade ρ(x,y) em cada ponto e´ proporcional a` distaˆncia do ponto a` origem. Calcule tambe´m, o centro de massa desta laˆmina. R: m = ..., C = ( 0, 4514pi ) . Exercı´cio 72. Considere um disco homogeˆneo D de raio a e densidade constante ρ. Verifique que seu momento de ine´rcia de em relac¸a˜o ao seu centro (como uma roda em torno de seu eixo) pode ser escrito como I0 = 1 2 ( ρpia2 ) a2 = 1 2 ma2, de modo que se aumentarmos a massa ou o raio do disco, aumentaremos o momento de ine´rcia. Exercı´cio 73. Uma placa fina consiste da regia˜o triangular delimitada pelo eixo-x e pelas retas x = 1 e y = 2x no primeiro quadrante. Encontre os momentos de ine´rcia da placa em relac¸a˜o aos eixos x e y e em relac¸a˜o a` origem. A densidade em cada ponto e´ ρ(x,y) = 6x+6y+6. Exercı´cio 74. Calcule o momento de ine´rcia, em relac¸a˜o ao eixo-z, da “casquinha de sorvete” cortada da bola ρ≤ 1 pelo cone φ= pi/3, sabendo que a densidade e´ constante igual a 1. R: pi12 . Exercı´cio 75. Encontre o centro de massa de um so´lido de densidade constante, que e´ limitado pelo cilindro parabo´lico x = y2 e pelos planos x = z, z = 0, e x = 1. R : (5 7 ,0, 5 14 ) . Exercı´cio 76. (2014/1) A integral calculada abaixo representa a massa de um so´lido E com densidade varia´vel: m = ∫ 3 −3 ∫ √9−x2 0 ∫ 9−x2−y2 0 √ x2+ y2 dzdydx = 162pi 5 . Descreva e desenhe este so´lido, e calcule seu centro de massa (x¯, y¯, z¯). R: (x¯, y¯, z¯) = ( 0, 154pi , 18 7 ) . Exercı´cio 77. Tem-se uma massa distribuı´da atrave´s do interior de uma esfera de raio 1 m, de tal modo que a densidade em um ponto P e´ inversamente proporcional a` distaˆncia de P ao centro, e na superfı´cie esfe´rica a densidade e´ de 1 g/cm3. Calcule a massa total em kg contida na esfera. R: 2000pi kg. Exercı´cio 78. Calcule o volume e o centro´ide do so´lido S no primeiro octante, limitado pelos planos coordenados e pelo plano xa + y b + z c = 1, onde a, b e c sa˜o constantes positivas. R: V = abc 6 e (x¯, y¯,z¯) = (a4 , b 4 , c 4). Exercı´cio 79. Calcule o momento de ine´rcia, em relac¸a˜o ao eixo central, de um so´lido cilı´ndrico reto S, homogeˆneo, de raio a altura h e massa total m. R: ma2/2. Exercı´cio 80. (2015/1) Considere uma pa´ como a da figura, constituı´da de um cabo de madeira, e uma chapa fina de metal, possuindo as dimenso˜es indicadas. 24 A chapa de metal e´ a metade de uma elipse. A densidade (laminar, em g/cm2) em cada ponto da chapa e´ igual a` distaˆncia do ponto a` base da chapa (linha pontilhada entre o cabo e a chapa). O cabo de madeira e´ um cilindro, e a densidade (volume´trica, em g/cm3) em cada ponto e´ igual a` distaˆncia do pontoao eixo do cilindro. Calcule a massa total da pa´. R: 40003 +40pi. 25 26 Capı´tulo 2 Integrais de Linha 27 2.1 Curvas Parametrizadas Descrevendo o movimento de uma partı´cula no espac¸o Definic¸a˜o 12 (Curva Parametrizada). Considere um ponto P= (x,y,z) se movendo no espac¸o. Enta˜o, seu vetor posic¸a˜o~r varia com o tempo t, isto e´ ~r =~r(t) = (x(t),y(t),z(t)) = x(t)~i+ y(t)~j+ z(t)~k. A medida que t varia num certo intervalo I, ~r (t) descreve uma curva C no espac¸o. Esta curva C e´ chamada curva parametrizada, e a func¸a˜o vetorial, ~r (t) e´ chamada parametrizac¸a˜o de C. As func¸o˜es x(t), y(t), z(t) sa˜o chamadas componentes de~r (t). A varia´vel independente t e´ chamada paraˆmetro. A curva C tambe´m e´ chamada de imagem ou trac¸o da parametrizac¸a˜o~r(t). Definic¸a˜o 13 (Curvas suaves e suaves por partes). Dizemos que uma curva C, com parametrizac¸a˜o~r(t), e´ suave se as suas componentes x(t), y(t) e z(t) possuı´rem derivadas de primeira ordem contı´nuas. Dizemos que uma curva parametrizada C e´ suave por partes se ela puder ser escrita como a unia˜o de pedac¸os suaves, isto e´, se C =C1∪C2∪ ...∪Cn, onde cada Ci e´ suave. Definic¸a˜o 14 (Vetor tangente, Velocidade e Acelerac¸a˜o). O vetor tangente a uma curva parametrizada C no ponto~r(t) e´ dado por ~r′ (t) = lim ∆t→0 ~r (t+∆t)−~r (t) ∆t = ( x′(t),y′(t),z′(t) ) . Este limite sempre existe se C e´ suave, e e´ chamado a derivada da func¸a˜o vetorial~r(t). Ele tambe´m e´ o vetor velocidade da partı´cula cuja posic¸a˜o e´~r (t). Ele aponta na direc¸a˜o do movimento da partı´cula, e seu comprimento ∣∣∣~r′ (t)∣∣∣ representa a velocidade escalar da partı´cula. A acelerac¸a˜o da partı´cula e´ dada pela derivada segunda de~r (t): ~a(t) =~r ′′ (t) . 28 Exercı´cios Exercı´cio 81. Dados dois pontos A, B ∈ Rd (d = 2 ou 3), fornec¸a uma parametrizac¸a˜o para o seg- mento de reta unindo A e B. Qual e´ uma parametrizac¸a˜o para a reta passando por A e B? Exercı´cio 82. a) Fornec¸a uma parametrizac¸a˜o~r (t) para o cı´rculo x2+ y2 = 1 em R2, que percorra o cı´rculo no sentido anti-hora´rio, a` medida que t cresce. b) Generalize para o cı´rculo de raio r e centro C = (x0,y0), e depois para uma elipse de semi-eixos a e b e centro C = (x0,y0). c) Para todas estas curvas, obtenha tambe´m parametrizac¸o˜es no sentido hora´rio. Exercı´cio 83. Esboce as curvas dadas pela parametrizac¸o˜es~r1 (t)= (cos t ,sin t , t),~r2 (t)= (t,cos t ,sin t ) e~r3 (t) = (tcos t , tsin t , t). Exercı´cio 84. Encontre uma parametrizac¸a˜o para a curva dada pela intersec¸a˜o do cilindro x2+y2 = 4 com o plano y+ z =5. Exercı´cio 85. Encontre a posic¸a˜o~r(t) de uma partı´cula lanc¸ada do cha˜o com velocidade inicial ~v0 e aˆngulo de elevac¸a˜o a, supondo que ela esta´ sujeita apenas a ac¸a˜o da gravidade, e desprezando a resisteˆncia do ar. Encontre o tempo que ela demora para retornar ao cha˜o. A que distaˆncia ela retorna? Qual aˆngulo a maximiza esta distaˆncia? E qual aˆngulo a maximiza o tempo que ela fica no ar? 29 2.2 Integrais de Linha de Campos Escalares Calculando o comprimento de uma curva Seja C uma curva com parametrizac¸a˜o~r (t) = (x(t) ,y(t)) , t ∈ [a,b] . Queremos calcular o seu com- primento. Para isto, fazemos o seguinte: - Dividimos o intervalo [a,b] em n pedac¸os de tamanho ∆t = b−an . - Os extremos dos intervalos [ti−1, ti] determinam pontos Pi =~r(ti) em C. - A curva C pode ser aproximada pela poligonal ligando os pontos Pi. - O comprimento de cada segmento Pi−1Pi e´ ∆si = |~r (ti)−~r(ti−1)|. - Temos que ∆si = |~r(ti)−~r(ti−1)|∆t ∆t ≈ |~r′ (t∗i )|∆t = √ x′(t∗i ) 2+ y′(t∗i ) 2∆t, para algum t∗i ∈ (ti−1, ti). - Assim, o comprimento e´ aproximadamente L≈ n ∑ i=1 ∆si = n ∑ i=1 ∣∣~r′ (t∗i )∣∣∆t = n∑ i=1 √ x′(t∗i ) 2+ y′(t∗i ) 2∆t. - Fazendo ∆t→ 0, ou seja, n→ ∞, temos o comprimento exato de C, dado por L = ∫ C ds = ∫ b a ∣∣∣~r′ (t)∣∣∣dt = ∫ b a √ x′(t)2+ y′(t)2dt. Calculando a massa de um fio fino No mesmo contexto anterior, suponhamos que C representa um fio fino com densidade linear varia´vel ρ(x,y) em cada ponto. Queremos calcular a massa de C. Realizando a mesma divisa˜o anterior temos: i) A massa de cada segmento Pi−1Pi pode ser aproximada por ∆mi = ρ(x∗i ,y ∗ i )∆si ≈ ρ(~r (t∗i )) ∣∣~r′ (t∗i )∣∣∆t. ii) Portanto, a massa total do fio e´ aproximadamente m≈ n ∑ i=1 ∆mi ≈ n ∑ i=1 ρ(~r (t∗i )) ∣∣~r′ (t∗i )∣∣∆t = n∑ i=1 ρ(x(t∗i ) ,y(t ∗ i )) √ x′(t∗i ) 2+ y′(t∗i ) 2∆t. iii) Novamente fazendo n→ ∞, temos a massa exata de C : m = ∫ C ρ(x,y)ds = ∫ b a ρ(~r (t)) ∣∣∣~r′ (t)∣∣∣dt = ∫ b a ρ(x(t) ,y(t)) √ x′(t)2+ y′(t)2dt. 30 Integrais de Linha de Campos Escalares Definic¸a˜o 15 (Integral de Linha de Campo Escalar). Sejam C uma curva suave com parametrizac¸a˜o ~r (t) , t ∈ [a,b] e f uma func¸a˜o (campo escalar) contı´nua numa regia˜o D contendo C. A integral de linha de f sobre C e´ definida como o limite∫ C f ds = lim n→∞ n ∑ i=1 f (~r (t∗i )) ∣∣~r′ (t∗i )∣∣∆t e e´ calculada da seguinte maneira: ∫ C f ds = ∫ b a f (~r (t)) ∣∣∣~r′ (t)∣∣∣dt. Quando f = f (x,y) e C e´ uma curva plana temos: ∫ C f (x,y)ds = ∫ b a f (~r (t)) ∣∣∣~r′ (t)∣∣∣dt = ∫ b a f (x(t) ,y(t)) √( dx dt )2 + ( dy dt )2 dt. Quando f = f (x,y,z) e C e´ uma curva espacial: ∫ C f (x,y,z)ds = ∫ b a f (~r (t)) ∣∣∣~r′ (t)∣∣∣dt = ∫ b a f (x(t) ,y(t) ,z(t)) √( dx dt )2 + ( dy dt )2 + ( dz dt )2 dt. Em ambos os casos, dizemos que ds = ∣∣∣~r′ (t)∣∣∣dt = √( dx dt )2 + ( dy dt )2 ou ds = ∣∣∣~r′ (t)∣∣∣dt = √( dx dt )2 + ( dy dt )2 + ( dz dt )2 e´ o elemento de comprimento de arco. Aplicac¸o˜es e Propriedades A integral de linha de f sobre C, ∫ C f ds, possui as seguintes interpretac¸o˜es e propriedades: i) Se f = 1, o resultado ∫ C ds representa o comprimento da curva C. ii) Se f representa a densidade linear do fio fino C, enta˜o ∫ C f ds e´ a massa deste fio. iii) Se f (x,y) ≥ 0, enta˜o ∫C f (x,y)ds representa a a´rea da ‘superfı´cie cerca’, cuja base e´ C e cuja altura em cada ponto e´ f (x,y) (fac¸a uma figura). iv) Se C e´ uma curva suave por partes, ou seja se C =C1∪C2∪·· ·∪Cn, onde cada Cn e´ suave, enta˜o∫ C f ds = ∫ C1 f ds+ · · ·+ ∫ Cn f ds. v) Se C e´ percorrida num sentido, e denotamos por −C a curva C percorrida no sentido contra´rio, enta˜o ∫ C f ds = ∫ −C f ds 31 Exercı´cios Exercı´cio 86. Calcule ∫ C f ds, onde a) f (x,y)= x2+y e C e´ formado pelos segmentos horizontal e vertical que ligam os pontos (0,0) ,(1,0) e (1,1) . R: .... b) f (x,y,z)= x+y e C e´ a curva obtida como intersec¸a˜o do semiplano y= x, y≥ 0, com o paraboloide z = x2+ y2, z≤ 2. R: .... c) f (x,y,z) = x e C a intersec¸a˜o do cilindro parabo´lico z= 4−x2 com o plano y= x, do ponto (0,0,4) ao ponto (2,2,0). R: 13 √ 2/3. Exercı´cio 87. Um arame tem a forma de uma curva obtida como intersec¸a˜o da porc¸a˜o da esfera x2+ y2+ z2 = 4, y≥ 0, com o plano x+ z = 2. Sabendo-se que a densidade em cada ponto do arame e´ f (x,y,z) = xy, calcule a massa total do arame. Exercı´cio 88. Deseja-se construir uma pec¸a de zinco que tem a forma da superfı´cie do cilindro x2+ y2 = 4, compreendida entre os planos z= 0 e x+y+ z= 2, z≥ 0. Se o metro quadrado de zinco custa M reais, calcule o custo total da pec¸a. Exercı´cio 89. Calcule a massa do fio no formato da curva C, se C e´ a intersec¸a˜o do cilindro x2+y2 = 4y com o plano y = z, e se a densidade em cada ponto e´ ρ(x,y,z) = √ 4+ x2. R: 12pi. Exercı´cio 90. Calcule a a´rea da superfı´cie ‘cerca’ cuja base e´ a curva y = x2, 0≤ x≤ 2, e cuja altura e´ dada por z = √ y+ x R: 16(17 √ 17−1). 322.3 Campos Vetoriais Campos Vetoriais Definic¸a˜o 16 (Campo Vetorial). Um campo vetorial em R2 e´ uma func¸a˜o ~F(x,y) que a cada ponto (x,y) do plano associa um vetor ~F (x,y) = (P(x,y) ,Q(x,y))=P(x,y)~i + Q(x,y)~j ∈ R2. Geometricamente, podemos visualizar campos de vetores esboc¸ando vetores ~F (x,y) com origem em (x,y). Note que P(x,y) e´ a componente horizontal do campo, e Q(x,y) e´ a componente vertical do campo. Um campo vetorial em R3 e´ uma func¸a˜o ~F(x,y,z) que a cada ponto (x,y,z) do espac¸o associa um vetor ~F (x,y,z) = (P(x,y,z) ,Q(x,y,z) ,R(x,y,z))=P(x,y,z)~i+Q(x,y,z)~j+R(x,y,z)~k ∈ R3. Campos vetoriais sa˜o usados para descrever diversas grandezas vetoriais distribuı´das espacial- mente, como o campo de velocidades de um fluido em movimento, a direc¸a˜o e velocidade do vento ou das correntes marı´timas, forc¸as gravitacionais, campos ele´tricos ou magne´ticos, etc. Campos Gradientes Seja f (x,y) uma func¸a˜o com derivadas parciais contı´nuas. O gradiente de f (x,y) e´ um vetor, dado por ~∇ f = ( ∂ f ∂x , ∂ f ∂y ) . Portanto, a partir da func¸a˜o escalar f (x,y) podemos construir o campo vetorial ~F = ~∇ f = ( ∂ f ∂x , ∂ f ∂y ) = ∂ f ∂x ~i + ∂ f ∂y ~j. Ele possui as seguintes propriedades: i) ~∇ f e´ perpendicular a`s curvas de nı´vel f (x,y) = cte. ii) ~∇ f aponta na direc¸a˜o de maior crescimento de f (x,y). iii) ∣∣∣~∇ f ∣∣∣ mede o qua˜o ra´pido f (x,y) esta´ mudando na direc¸a˜o de ~∇ f . Definic¸a˜o 17. Um campo ~F da forma ~F = ~∇ f e´ chamado campo gradiente, e a func¸a˜o f (x,y) e´ chamada func¸a˜o potencial do campo ~F . 33 Exercı´cios Exercı´cio 91. O vetor posic¸a˜o do ponto (x,y),~r = x~i+ y~j, e´ um campo radial. O comprimento de cada vetor aumenta a medida que nos afastamos da origem |~r|= √ x2+ y2 = r OBS: r e´ nu´mero (distaˆncia) e~r e´ vetor. Exercı´cio 92. O campo vetorial ~rr = x√ x2+y2 ~i+ y√ x2+y2 ~j, e´ um campo vetorial radial e unita´rio, apontando para fora da origem. OBS: todo campo vetorial ~F (x,y) que possa ser escrito como ~F (x,y) = λ(x,y,z)~r onde λ(x,y,z) e´ uma func¸a˜o escalar, e´ chamado campo radial. Exercı´cio 93. Considere o campo vetorial ~S (x,y) = −y~i+ x~j. Para esboc¸a´-lo, observe o produto escalar: ~r ·~S =−xy+ xy = 0 Portanto, ~S e´ perpendicular ao vetor posic¸a˜o~r em cada ponto. Assim, ~S gira em torno da origem, e∣∣∣~S∣∣∣= r. Se considerarmos ~Sr =− y√x2+y2~i+ x√ x2+y2 ~j, temos um campo unita´rio que gira em torno da origem. O campo ~Sr2 tambe´m gira em torno da origem, mas possui norma 1 r . Por isto, ~S, ~S r e ~S r2 sa˜o chamados campos spin. Exercı´cio 94. Esboce as curvas de nı´vel da func¸a˜o potencial f (x,y) = x2y−y3, calcule seu gradiente e esboce-o junto a`s curvas de nı´vel. Exercı´cio 95 (Forc¸as Gravitacionais). a) Na superfı´cie da terra, a forc¸a gravitacional aponta para baixo, e pode ser descrita pelo campo vertical: ~F =−mg~k Assim, ~F e´ o gradiente de f (x,y,z) =−mgz. Portanto, ~F e´ menos o gradiente da func¸a˜o P(x,y,z) = mgz, que e´ a energia potencial gravitacional. b) No espac¸o, a forc¸a gravitacional aponta para o centro da terra, e e´ descrita pelo campo radial ~F =−mMG r3 ~r. Sua magnitude e´ ∣∣∣~F∣∣∣ = mMGr2 , proporcional ao inverso do quadrado da distaˆncia. Verifique que ~F e´ o gradiente do potencial f (x,y,z) = mMGr = mMG√ x2+y2+z2 . 34 2.4 Integrais de Linha de Campos Vetoriais Calculando o trabalho ao longo de uma curva Suponha que uma forc¸a ~F (x,y,z) move uma partı´cula ao longo de uma curva-trajeto´ria C parame- trizada por ~r (t), t ∈ [a,b]. Queremos calcular trabalho de ~F ao longo de C. Para isto, fazemos o seguinte: - Dividimos o intervalo [a,b] em n pedac¸os de tamanho ∆t = b−an . - Os pontos ti = a+ i∆x, i = 0, . . . ,n, determinam pontos Pi =~r(ti) em C. - A curva C pode ser aproximada pela poligonal ligando os pontos Pi. - O deslocamento em cada segmento Pi−1Pi e´ ∆~ri =~r (ti)−~r (ti−1) =~r′ (t∗i )∆t, para algum t∗i ∈ [ti−1, ti]. - O trabalho de ~F em cada segmento Pi−1Pi e´ ∆wi = ~F (~r (t∗i )) ·∆~ri = ~F (~r (t∗i )) ·~r′ (t∗i )∆t. - Assim, o trabalho total e´ aproximadamente W ≈ n ∑ i=1 ∆wi = n ∑ i=1 ~F (~r (t∗i )) ·∆~ri = n ∑ i=1 ~F (~r (t∗i )) ·~r′ (t∗i )∆t. - Fazendo ∆t→ 0, ou seja, n→ ∞, temos o valor exato do trabalho de ~F ao longo C: W= ∫ C ~F · ~dr= ∫ b a ~F (~r (t)) ·~r′ (t)dt. Integrais de Linha de Campos Vetoriais Definic¸a˜o 18 (Integral de Linha de Campo Vetorial). Sejam C uma curva suave por partes com parametrizac¸a˜o ~r (t), t ∈ [a,b], e ~F um campo vetorial contı´nuo numa regia˜o D contendo C. A integral de linha de ~F sobre C e´ definida como sendo o limite ∫ C ~F · ~dr = lim n→∞ n ∑ i=1 ~F (~r (t∗i )) ·~r′ (t∗i )∆t , e calculada da seguinte maneira: ∫ C ~F · ~dr = ∫ b a ~F (~r (t)) ·~r′ (t)dt. Dizemos que ~dr =~r ′ (t)dt e´ o elemento de deslocamento. Diferentes notac¸o˜es Notac¸a˜o Diferencial Em R2, quando ~F = ~F (x,y) = (P(x,y),Q(x,y)) e C e´ uma curva plana, pode- mos escrever ~dr =~r′(t)dt = (x′(t),y′(t))dt = (dx,dy) e daı´ ∫ C ~F · ~dr = ∫ b a ~F (~r (t)) ·~r′ (t)dt = ∫ b a P(~r (t))x′ (t)dt+Q(~r (t))y′ (t)dt, ou seja, podemos escrever ∫ C ~F · ~dr = ∫ C Pdx+Qdy. (2.1) Esta notac¸a˜o sera´ frequentemente utilizada, especialmente no Teorema de Green. 35 Notac¸a˜o Componente Tangente Uma outra importante notac¸a˜o e´ a seguinte. Denotando por ~T (t) o vetor unita´rio tangente a` curva C, apontando na direc¸a˜o do movimento, temos ~T (t) = ~r′ (t) |~r′ (t) | . Lembrando que ds = ∣∣∣~r′ (t)∣∣∣dt, podemos escrever ~dr =~r ′ (t)dt = ~r′ (t) |~r′ (t) | ∣∣∣~r′ (t)∣∣∣dt = ~T (t)ds. Portanto, podemos escrever tambe´m ∫ C ~F · ~dr = ∫ C ~F ·~T ds (2.2) Resumindo A integral de linha ∫ C ~F · ~dr possui as seguintes notac¸o˜es:∫ C ~F · ~dr= ∫ C Pdx+Qdy = ∫ C ~F ·~T ds. Aplicac¸o˜es e Propriedades A integral de linha do campo ~F sobre C, ∫ C ~F · ~dr, possui as seguintes interpretac¸o˜es e propriedades: i) Se ~F representa um campo de forc¸as e C e´ a trajeto´ria de uma partı´cula movimentada por ~F , enta˜o ∫ C ~F · ~dr e´ o trabalho realizado por ~F . ii) Se~v representa o campo de velocidades de um fluido escoando no plano ou no espac¸o, enta˜o∫ C ~v ·~T ds e´ chamada de escoamento do fluido ao longo da curva C. Note que ~v ·~T representa a compo- nente da velocidade do fluido que e´ tangente a` curva C. Assim, esta integral mede o quando o fluido escoa na direc¸a˜o de C. Quando C e´ uma curva fechada, o escoamento e´ tambe´m chamado de circulac¸a˜o de~v ao longo de C. iii) Se C e´ uma curva suave por partes, ou seja, C =C1∪C2∪·· ·∪Cn, onde cada Cn e´ suave, enta˜o∫ C ~F · ~dr = ∫ C1 ~F · ~dr+ · · ·+ ∫ Cn ~F · ~dr. iv) Se C e´ percorrida num dado sentido, e denotamos por −C a curva C percorrida no sentido contra´rio, enta˜o ∫ C ~F · ~dr =− ∫ −C ~F · ~dr. Curvas Fechadas Definic¸a˜o 19 (Curva fechada). Dizemos que uma curva parametrizada C e´ uma curva fechada se o seu ponto inicial e´ igual ao seu ponto final. A integral de linha de um campo ~F ao longo de uma curva fechada C tem a seguinte notac¸a˜o especial: ∫ C ~F · ~dr = ∮ C ~F · ~dr. 36 Exercı´cios Exercı´cio 96. Calcule ∫ C ~F · ~dr, onde ~F = (z,xy,−y2) e C e´ a curva parametrizada por~r (t)= (t2, t,√t), 0≤ t ≤ 1. (R=17/20) Exercı´cio 97. Calcule ∫ C ( y− x2)dx+(z−y2)dy+ (x− z2)dz,onde C e a curva parametrizada por~r (t)=( t, t2, t3 ) , 0≤ t ≤ 1. (R = 29/60). Exercı´cio 98. Seja C a curva de intersec¸a˜o da superfı´cie x2+y2 = 4y, y≥ 2, com o plano y= z, desde o ponto (2,2,2) ate´ o ponto (0,4,4). Parametrize C e calcule o trabalho realizado por ~F = (x,z−y,2y) para deslocaruma partı´cula ao longo de C. Exercı´cio 99. Calcule o trabalho realizado pela forc¸a ~F = (y,2x) para mover uma partı´cula sobre a curva fechada C =C1∪C2, no sentido anti-hora´rio, onde C1 e´ o segmento de (0,1) para (1,0) e C2 e´ a parte da circunfereˆncia (x−1)2+(y−1)2 = 1, de (1,0) para (0,1). R: 12 + 3pi4 . Exercı´cio 100. Calcule o trabalho realizado por ~F =(−z,2x,3y) para deslocar uma partı´cula ao longo da curva C, contida no primeiro octante, que e´ a intersec¸a˜o das superfı´cies z = 4− x2 e x+ y = 1, percorrida no sentido decrescente de x. R: 17/3. Exercı´cio 101. “E´ quase meia-noite. Na sala de estar vazia, se ouve apenas o tic-tac do relo´gio de parede e um leve balanc¸ar das a´rvores la´ de fora. De repente, algo rompe a monotonia noturna. E´ uma formiga, destas bem pequenas, que esta´ no centro do relo´gio, e comec¸a sua caminhada em direc¸a˜o a` extremidade do ponteiro dos minutos. Durante o dia, Eduardo havia ajustado as horas com a ma˜o lambuzada de chocolate, e acabou deixando pequenos trac¸os saborosos no relo´gio. O maior deles ficou na ponta do marcador de minutos, e a esperta formiga o detectou. Se posicionou ao fim do dia, esperou todos irem dormir e escalou a parede. Restava agora a u´ltima etapa, na˜o menos difı´cil. Todo cuidado e´ pouco. A escurida˜o da noite e o movimento do fino ponteiro tornavam os movimentos arriscados e difı´ceis. Seriam longos 10 centı´metros ate´ a outra ponta. Tomadas as precauc¸o˜es, ela inicia a jornada a` meia-noite. A caminhada e´ lenta. Vinte longos minutos depois, a pequena formiga chega ao seu destino. E porque e´ formiga, e na˜o cigarra, na˜o ataca o chocolate ali. Prefere coloca´-lo nas costas, amarra´-lo firme, e seguir para casa, onde podera´ saborear o doce sem os perigos da noite. Quando tudo esta´ pronto para a caminhada de volta, uma luz irrompe na sala. E´ Moˆnica que veio do quarto e apertou o interruptor. Ela atravessa a sala e vai ate´ cozinha. Toma um copo d’a´gua. Dois. Tira do freezer a carne de amanha˜, que esquecera de tirar mais cedo, e come um pedac¸o de bolo que sua tia trouxera na ve´spera. Em seguida, apaga a luz e volta para o quarto. A escurida˜o, agora amiga da formiga, volta a preencher a sala. O relo´gio ja´ marca meia-noite e meia. Dez minutos se passaram desde que a formiga alcanc¸ou o chocolate. Sa´bia e paciente, ficou imo´vel enquanto Moˆnica atrapalhava sua empreitada. Agora, ela pode comec¸ar seu caminho de volta, mais perigoso ainda, devido ao peso nas costas. A` uma da madrugada, a formiga finalmente alcanc¸a o centro do relo´gio. O resto do caminho de volta e´ terreno conhecido. Ela volta para casa, guarda o chocolate, e se apronta para a pro´xima excursa˜o. E´ que enquanto esteve imo´vel se escondendo de Moˆnica, na˜o deixou de notar que esta deixou cair um bom pedac¸o de farelo do bolo na mesa da cozinha. A noite ainda reservava outras aventuras...” Sejam C1, C2 e C3 as curvas que descrevem a trajeto´ria da formiga, vistas por um observador na sala, entre os instantes 0h00 e 0h20, 0h20 e 0h30, e 0h30 e 1h00, respectivamente. a) Parametrize C1, C2 e C3 como curvas planas. Para isto, identifique o plano xy com a parede onde o relo´gio esta´, e identifique a origem (0,0) com o centro do relo´gio. b) Calcule o comprimento de C1. c) Calcule o trabalho, ao longo de C3, realizado por forc¸a unita´ria e radial, apontando para a origem. 37 38 2.5 Teorema Fundamental das Integrais de Linha Relembremos o Teorema Fundamental do Ca´lculo: Teorema 20 (Teorema Fundamental do Ca´lculo). Se f ′ (x) e´ contı´nua em [a,b], enta˜o ∫ b a f ′ (x)dx = f (b)− f (a). Este teorema relaciona as operac¸o˜es de derivac¸a˜o e integrac¸a˜o para func¸o˜es f (x) de uma varia´vel. A seguir, veremos um teorema que estabelece uma relac¸a˜o ana´loga para func¸o˜es de va´rias varia´veis, como f (x,y) ou f (x,y,z). Para entendeˆ-lo melhor, lembre que o gradiente ~∇ f de um campo escalar (func¸a˜o) f va´rias varia´veis pode ser concebido como a derivada de f . Teorema 21 (Teorema Fundamental das Integrais de Linha). Se C e´ uma curva suave por partes, com ponto inicial A e ponto final B, e se as derivadas parciais de f sa˜o contı´nuas em uma rega˜o D contendo C, enta˜o∫ C ~∇ f · ~dr = f (B)− f (A). Compare e veja as analogias entre estes dois teoremas fundamentais. Campos conservativos Definic¸a˜o 22 (Campo Conservativo). Um campo gradiente tambe´m e´ chamado de campo conservativo. Ou seja, um campo vetorial ~F e´ conservativo se existir uma func¸a˜o f tal que ~F = ~∇ f , enta˜o ~F . Neste caso dizemos que f e´ uma func¸a˜o potencial do campo ~F . Observac¸a˜o 23 (Condic¸a˜o Necessa´ria para ser Conservativo): Verifique que rot(~∇ f ) =~0. Assim, se ~F e´ um campo conservativo, enta˜o ~F e´ irrotacional (possui rotacional nulo). Deste modo, temos uma condic¸a˜o alge´brica fa´cil de ser verificada, para saber se um campo ~F pode ou na˜o ser conservativo: se rot ( ~F ) =~0, enta˜o ~F pode ser conservativo. Para concluir que de fato ele e´ conservativo, devemos encontrar uma func¸a˜o potencial f para ele, o que significa, quando ~F = (P,Q,R), resolver as equac¸o˜es fx = P, fy = Q, fz = R. O pro´ximo Teorema explica o porqueˆ do uso da palavra conservativo para um campo gradiente. Teorema 24 (Conservac¸a˜o da Energia Mecaˆnica). Considere um campo de forc¸as contı´nuo ~F movendo uma partı´cula ao longo de uma curva-trajeto´ria C. Enta˜o, o trabalho realizado por ~F e´ igual a` variac¸a˜o da energia cine´tica da partı´cula, i.e´., W = K (B)−K(A), onde A e B sa˜o os pontos inicial e final de C e K(X) representa a energia cine´tica no ponto X . Ainda, se o campo ~F for conservativo, isto e´, se ele for o gradiente de alguma func¸a˜o potencial f , enta˜o, denotando por P = − f a energia potencial, temos que a energia mecaˆnica total e´ conservada ao longo do movimento: K (A)+P(A) = K (B)+P(B) 39 Exercı´cios Exercı´cio 102. (2015/1) Um homem de massa m sobe uma escada helicoidal que circunda um silo. O silo possui 10 metros de diaˆmetro, altura de 60 metros, e a escada faz quatro voltas completas ao longo da subida ate´ o topo. a) Calcule o comprimento da escada. R: 8pi √ 25+ 2254pi2 . b) Qual e´ o trabalho realizado pelo homem contra a ac¸a˜o da gravidade?. R: −60mg. c) Seria possı´vel diminuir este trabalho, mudando a forma da escada e/ou o seu comprimento? R: ... . Exercı´cio 103. Calcule ∫ C ~F · ~dr, onde ~F = (3+2xy,x2−3y2) e C e´ a curva parametrizada por~r (t) = (e−tsin t ,e−tcos t ) , 0≤ t ≤ 8p. Exercı´cio 104. O campo ~F = ( y2,2xy+ e3z,3ye3z ) e´ conservativo? E o campo ~F = ( y2+2czx ) ~i+ y(bx+ cz)~j+ ( y2+ cx ) ~k? Exercı´cio 105. (2014/1) Considere ~F(x,y,z) um campo de forc¸as contı´nuo, movendo uma partı´cula ao longo de uma trajeto´ria suave C, parametrizada por~r(t), a ≤ t ≤ b, do ponto A =~r(a) ao ponto B =~r(b). (a) Utilizando a 2a Lei de Newton, mostre que o trabalho realizado por ~F e´ igual a variac¸a˜o da energia cine´tica da partı´cula. (b) Suponha que ~F e´ conservativo. A energia potencial e´ definida como sendo P(x,y,z) tal que ~F = −~∇P. Mostre que a energia mecaˆnica total da partı´cula e´ preservada durante o movimento ao longo de C. Exercı´cio 106. (2014/1) Calcule o trabalho realizado por ~F(x,y,z) = (y2z+2xz2)~i+2xyz~j+(xy2+ 2x2z)~k para deslocar uma partı´cula ao longo da curva C, parametrizada por~r(t) = √ t~i+(t +1) ~j+ t2~k, 0≤ t ≤ 1. R: 5. Exercı´cio 107. (2014/1) Calcule o trabalho realizado por ~F(x,y,z) = sen y~i+ (xcosy+ cosz)~j− y sen z~k para deslocar uma partı´cula ao longo da curva C, parametrizada por~r(t) = sen t~i+ t~j+2t~k, 0≤ t ≤ pi/2. R: 1− pi2 . Exercı´cio 108. Calcule o trabalho realizado pela forc¸a ~F(x,y,z) = (1+ ze(y−x),1− ze(y−x),−e(y−x)) para deslocar uma partı´cula sobre a curva C, intersec¸a˜o do paraboloide z = 8− x2− y2 com o plano y = x, desde o ve´rticedo paraboloide ate´ o ponto no plano xy, de coordenada x > 0. R: 12. Exercı´cio 109. Verifique que o trabalho feito por um campo de forc¸as constante ~F = a~i+b~j+c~k para mover uma partı´cula ao longo de qualquer caminho ligando os pontos A e B e´ dado por W = ~F · ~AB. Exercı´cio 110. Calcule o trabalho realizado pela forc¸a ~F(x,y) = (2xy3−y2 cosx,1−2ysinx+3x2y2) ao longo da parabo´la 2x = piy2 de (0,0) a (pi/2,1) R: pi2/4. Exercı´cio 111. Mostre que o valor da integral∮ C xy2dx+(x2y+2x)dt ao longo de qualquer quadrado C com lados paralelos aos eixos depende apenas da a´rea do quadrado e na˜o da sua posic¸a˜o no plano. 40 2.6 Caracterizac¸a˜o de Campos Conservativos Veremos agora algumas propriedades que os campos conservativos possuem. Estas propriedades tambe´m caracterizam estes campos, ou seja, se um campo possui uma delas, enta˜o, necessariamente, ele e´ conservativo. Em particular, veremos que a propriedade de possuir rotacional nulo caracteriza um campo como sendo conservativo, se certas hipo´teses adicionais forem satisfeitas. Para enunciar o Teorema de Caracterizac¸a˜o de Campos Conservativos, precisamos das seguintes definic¸o˜es. Definic¸a˜o 25 (Aberto, conexo por caminhos, simplesmente conexo). i) Um conjunto D em R2 ou R3 e´ aberto se, para todo ponto P em D e´ possı´vel obter um disco ou uma bola contendo P, e inteiramente contido em D. Ou seja, D e´ aberto se na˜o conteˆm nenhum ponto de sua fronteira. ii) Um conjunto D emR2 ouR3 e´ conexo por caminhos se, quaisquer dois pontos P e Q em D podem ser unidos por um caminho inteiramente contido em D. iii) Um conjunto D em R2 ou R3 e´ simplesmente conexo se ele for conexo por caminhos e, ale´m disso, se qualquer curva fechada simples contida D envolver, em seu interior, apenas pontos de D. Ou seja, uma regia˜o simplesmente conexa na˜o possui ‘buracos’. Teorema 26 (Caracterizac¸a˜o de Campos Conservativos). Sejam D uma regia˜o aberta, conexa por caminhos, contida em R2 ou R3, e ~F um campo vetorial contı´nuo em D. i) Independeˆncia do Caminho. O campo ~F e´ conservativo se, e somente se, a integral∫ C ~F · ~dr e´ independente do caminho, isto e´, fixados dois pontos A e B, esta integral possui o mesmo valor para qualquer curva C suave por partes contida em D, ligando A e B. ii) Integral em Caminhos fechados. O campo ~F e´ conservativo se, e somente se, para qualquer curva fechada C, suave por partes, contida em D, tivermos ∮ C ~F · ~dr = 0. iii) Rotacional nulo. Se ~F e´ conservativo, enta˜o o rotacional de ~F e´ nulo, i.e´, ~∇×~F=~0. Sob as condic¸o˜es adicionais de D ser uma regia˜o simplesmente conexa e de as derivadas parciais de ~F serem contı´nuas em D, vale a volta desta implicac¸a˜o, ou seja, “se ~∇×~F =~0 em D, enta˜o ~F e´ um campo conservativo”. Observac¸a˜o 27: a) Se ~F = (P,Q) e´ um campo em R2, a condic¸a˜o iii) equivale a ∂Q∂x = ∂P ∂y . b) Usaremos muito a sua contrapositiva da propriedade iii): “se ~∇×~F 6=~0 enta˜o ~F na˜o e´ um campo conservativo”. 41 Exercı´cios Exercı´cio 112. Considere o campo ~F = ( −y x2+y2 , x x2+y2 ) . a) Verifique que rot ~F =~0. b) Verifique que ~F na˜o e´ conservativo. Para isto, calcule diretamente a integral de linha∮ C ~F · ~dr onde C e´ o cı´rculo x2+ y2 = a2. c) Explique porque os itens a) e b) na˜o se contradizem. Exercı´cio 113. Calcule o trabalho realizado por ~F = (y,x,2ze−z2) para mover uma partı´cula ao longo da curva C, contida no primeiro octante, que e´ a intersec¸a˜o das superfı´cies x2+ z2 = 1 e x+y = 1, e e´ percorrida no sentido decrescente de z. R: 1e −1. Exercı´cio 114. Calcule ∫ C 2x y dx+ ( 1− x2 y2 ) dy, onde C e´ uma curva ligando os pontos A = (1,1) e B = (2,3). R: ?. Exercı´cio 115. Verifique que o trabalho realizado pelo campo gravitacional ~F =−GmM (x,y,z) (x2+ y2+ z2)3/2 para deslocar uma partı´cula de um ponto P1 ate´ um ponto P2 e´ dado por GmM ( 1 s2 − 1 s1 ) , onde s1 e s2 sa˜o as distaˆncias de P1 e P2 ate´ a origem. Exercı´cio 116. Considere o campo vetorial ~F dado por ~F = ( −y x2+ y2−2xy , x x2+ y2−2xy ) , definido no conjunto D = {(x,y) | y < x}. a) Mostre que ~F satisfaz a condic¸a˜o necessa´ria para ser conservativo. b) Determine se ~F e´, de fato, conservativo. c) Calcule ∫ C ~F · ~dr, onde C e´ o arco de circunfereˆncia que liga (0,−1) a (1,0) no sentido anti-hora´rio. R: .... 42 Capı´tulo 3 Ca´lculo Vetorial em R2 43 3.1 Teorema de Green O Teorema de Green e´ uma importantı´ssima ferramenta do Ca´lculo Vetorial. Podemos utiliza´-lo para transformar integrais de linha complicadas em integrais duplas mais simples. Ale´m disso, mais adiante veremos que ele tambe´m possui implicac¸o˜es teo´ricas importantes. Definic¸a˜o 28 (Curva fechada simples). Dizemos que uma curva fechada e´ simples, se ela na˜o possuir auto-intersec¸o˜es, exceto a do ponto inicial com o final. Teorema 29 (Teorema de Green). Sejam C uma curva plana, fechada, simples, suave por partes, orientada no sentido anti-hora´rio, e D a regia˜o cercada por C. Se o campo vetorial ~F(x,y) = (P(x,y) ,Q(x,y)) possui derivadas parciais contı´nuas em D, enta˜o ∫∫ D ( ∂Q ∂x − ∂P ∂y ) dA = ∮ C Pdx+Qdy. A´rea como Integral de Linha Seja C uma curva nas hipo´teses do Teorema de Green. Se encontrarmos um campo ~F = (P,Q) tal que ∂Q ∂x − ∂P∂y = 1, teremos, pelo Teorema de Green, que∮ C Pdx+Qdy = ∫∫ D ( ∂Q ∂x − ∂P ∂y ) dA = ∫∫ D 1dA = A´rea(D) . (3.1) Ou seja, a a´rea de D sera´ dada por uma integral de linha ao longo de sua fronteira C. Existem va´rias possibilidades para F satisfazendo a condic¸a˜o acima. Os exemplos mais comuns sa˜o: P = 0, Q = x; P =−y,Q = 0; P =−1 2 y, Q = 1 2 x Portanto, aplicando o resultado dado em (3.1), temos A´rea(D) = ∮ C xdy = ∮ C −ydx = 1 2 ∮ C −ydx+ xdy. Versa˜o estendida do Teorema de Green - Regio˜es com furos Seja D a regia˜o compreendida entre duas curvas fechadas simples, suaves por partes, C1 e C2, sendo C2 a curva de dentro, e C1 a de fora. Diremos que a fronteira de D e´ a curva C = C1 ∪C2, onde a orientac¸a˜o de C1e´ no sentido anti-hora´rio, e a orientac¸a˜o de C2 e´ no sentido hora´rio, de modo que D estara´ sempre a` esquerda ao caminharmos em ambas as curvas nestas orientac¸o˜es. Nestas condic¸o˜es, vale tambe´m uma versa˜o estendida do Teorema de Green, entendendo que ∮ C= ∮ C1 + ∮ C2 :∫∫ D ( ∂Q ∂x − ∂P ∂y ) dA = ∮ C Pdx+Qdy = ∮ C1 Pdx+Qdy+ ∮ C2 Pdx+Qdy. 44 Exercı´cios Exercı´cio 117. (a) Calcule ∮ C ( x4− y3)dx+(x3+ y5)dy, onde C e´ parametrizada por~r (t)= (cos t ,sint ) , t ∈ [0,2pi]. (b) Calcule ∮ C ( 3y+ ex2cosx ) dx+ (√ y2+8−2x ) dy, onde C e´ o triaˆngulo de ve´rtices (0,0) ,(1,0) ,(1,1) . Exercı´cio 118. Verifique que a´rea de uma elipse de semi-eixos a e b e´ piab. Exercı´cio 119. Considere o campo ~F= ( −y x2+ y2 , x x2+ y2 ) . a) Verifique que, para toda curva suave fechada simples por partes, envolvendo a origem, temos∮ C ~F · ~dr = 2pi (Utilize o Teorema de Green na sua versa˜o estendida e o exercı´cio 112). b) Calcule os “dois lados” (as duas integrais) do Teorema de Green para o campo ~F e o disco D = {(x,y) : x2+ y2 ≤ a2}. Explique porque elas tem valores diferentes. c) Calcule o trabalho realizado por ~F ao longo de C = C1 ∪C2, onde C1 e´ a para´bola y = x2 + 1, 0 ≤ x ≤ 1, percorrida da esquerda para a direita, e C2 e´ o segmento de reta saindo de (1,2) e indo a (0,2). R: 0. Exercı´cio 120. Verifique que o Teorema de Green e´ verdadeiro para o campo ∮ C (2xy− x2)dx+(x+ y2)dy, sendo C a fronteira da regia˜o compreendida entre y = x2 e y2 = x. R: Os dois lados da˜o 1/30. Exercı´cio 121. (2014/1) a) Utilizando o Teorema de Green, mostre que a a´reade uma regia˜o D simplesmente conexa e´ dada por A(D) = 1 2 ∮ C x dy− y dx, onde C e´ a fronteira da regia˜o D, orientada no sentido anti-hora´rio. b) Seja P um polı´gono de n lados, com ve´rtices consecutivos (x1,y1), (x2,y2), ..., (xn,yn), no sentido anti-hora´rio. Obtenha uma fo´rmula para a a´rea de P em termos das coordenadas de seus ve´rtices. (Dica: primeiro, calcule diretamente a integral de linha∫ Li x dy− y dx, onde Li e´ o lado ligando os ve´rtices (xi,yi) e (xi+1,yi+1)). c) Encontre a a´rea delimitada pela hipociclo´ide x2/3+ y2/3 = a2/3. R: 3pia2/8. Exercı´cio 122. Considere C =C1 ⋃ C2, onde C1 e´ a parte da circunfereˆncia x2+y2 = 2, percorrida no sentido anti-hora´rio, de (−1,1) para (0,√2) e C2 o segmento de reta de (0, √ 2) para (0,0). Calcule∫ C (y+ x100)dx+(2x+ y100)dy R: 3pi4 + 3 2 . 45 Exercı´cio 123. Seja D a regia˜o do plano delimitada pelas curvas x = y2, x =−y2 e y = 1. a) Calcule ∫∫ D e y3dA. R: 23(e−1). b) Seja C =C1∪C2, onde C1 e´ a curva x =−y2 percorrida de (−1,1) para (0,0) e C2 e´ a curva x = y2 percorrida de (0,0) para (1,1). Calcule o trabalho realizado por ~F = (y+ x,x+ g(y) + xey 3 ) para mover uma partı´cula ao longo de C, onde g(y) e´ uma func¸a˜o real qualquer com derivada contı´nua. R: 2 3(e+2). Exercı´cio 124. Calcule ∮ C 1− y (x−1)2+(y−1)2 dx+ x−1 (x−1)2+(y−1)2 dy no sentido anti-hora´rio, onde a) C e´ o cı´rculo unita´rio de centro (1,1). R: .... b) C e´ uma curva qualquer, fechada, simples, suave por partes, passando pela origem, e C e´ a fronteira de um conjunto D que conteˆm a regia˜o (x−1)2+(y−1)2 ≤ 1. Exercı´cio 125. Seja C a fronteira da regia˜o de R2 limitada por y= x, y=−x e x2+y2 = 4 com y≥ 0, orientada no sentido anti-hora´rio. Calcule∮ C ( y2 2 + ln(1+ x6) ) dx+ ( 2xy+ sin(5+4y2) ) dy. R: .... Exercı´cio 126. Determine uma curva C fechada simlpes, com orientac¸a˜o no sentido anti-hora´rio que maximiza o valor de ∮ C 1 3 y3 dx+ ( x− 1 3 x3 ) dy. 46 3.2 Divergente e Rotacional: Derivadas de Campos Vetoriais O vetor gradiente como derivada de um campo escalar Uma func¸a˜o f (x,y) pode ser vista como um campo escalar no plano xy. Por exemplo: altura, tempera- tura, intensidade de luz, densidade populacional, etc. O gradiente de f (x,y) e´ o vetor ~∇ f = ( ∂ f ∂x , ∂ f ∂y ) . No caso de uma func¸a˜o de uma varia´vel, f = f (x), temos ~∇ f = ( d f dx ) , de modo que o vetor gradiente de f (x) e´ o vetor de uma dimensa˜o formado pela derivada f ′(x). Voltando a uma func¸a˜o de duas varia´veis f = f (x,y), podemos estender este fato e dizer que sua derivada “total” e´ o seu vetor gradiente, composto pelas suas derivadas parciais: f ′ = ~∇ f = ( ∂ f ∂x , ∂ f ∂y ) . Esta generalizac¸a˜o na˜o e´ apenas um artifı´cio puramente notacional, pois e´ fortemente justificada por fatos geome´tricos. Para entender o porqueˆ, basta observar que todas as treˆs propriedades geome´tricas do vetor gradiente ~∇ f de uma func¸a˜o f (x,y) sa˜o tambe´m propriedades geome´tricas da derivada f ′(x) de uma func¸a˜o f (x) (fac¸a um esboc¸o gra´fico destes fatos para se convencer deles): i) ~∇ f (x,y) e´ perpendicular a`s curvas de nı´vel f (x,y) = cte, enquanto f ′(x) e´ “perpendicular” a` “curva de nı´vel” f (x) = cte. ii) ~∇ f (x,y) aponta na direc¸a˜o de maior crescimento de f (x,y), enquanto f ′(x), vista como vetor no eixo-x, aponta na direc¸a˜o de crescimento de f (x). iii) ∣∣∣~∇ f (x,y)∣∣∣ mede o qua˜o ra´pido f (x,y) esta´ mudando na direc¸a˜o de ~∇ f , enquanto f ′(x) mede inclinac¸a˜o do gra´fico de f (x) e, portanto, e´ uma medida de qua˜o ra´pido f (x) esta´ mudando. Assim, nada mais natural do que considerar o gradiente ~∇ f como sendo a derivada da func¸a˜o f (x,y). O operador diferencial ~∇ e as derivadas de um campo vetorial ~F O gradiente de f (x,y), ~∇ f = ( ∂ f ∂x , ∂ f ∂y ) pode ser visto como o produto do ‘vetor’ ~∇= ( ∂ ∂x , ∂ ∂y ) = ∂ ∂x ~i+ ∂ ∂y ~j pelo nu´mero escalar f (x,y): ~∇ f = ( ∂ ∂x , ∂ ∂y ) f = ( ∂ f ∂x , ∂ f ∂y ) = ∂ f ∂x ~i+ ∂ f ∂y ~j. O ‘vetor’ ~∇ = ( ∂ ∂x , ∂ ∂y ) = ∂∂x ~i+ ∂∂y ~j, chamado de ‘nabla’, na˜o e´ um vetor de nu´meros reais. Suas componentes ∂∂x e ∂ ∂y sa˜o operadores diferenciais, i.e´, representam operac¸o˜es que calculam derivadas. De acordo com o que vimos acima, o produto ~∇ f e´ a derivada ‘total’ de uma func¸a˜o escalar f (x,y) (vetor gradiente), de modo que podemos enxergar ~∇ como um operador diferencial, ou melhor, como o ‘operador derivada generalizado’. Utilizando esta ideia, podemos definir e calcular a derivada ‘total’ de um campo vetorial ~F (x,y) = (P(x,y) ,Q(x,y)) fazendo o produto entre os vetores ~∇ e ~F . Contudo, existem dois tipos de produtos entre vetores, de modo que um campo vetorial ~F ira´ possuir duas ‘derivadas’ diferentes. 47 Definic¸a˜o 30 (Divergente e Rotacional). O produto escalar ~∇ ·~F= ( ∂ ∂x , ∂ ∂y ) · (P(x,y) ,Q(x,y)) = ∂P ∂x + ∂Q ∂y e´ chamado divergente do campo ~F , e tambe´m e´ denotado por div ~F . O produto vetorial ~∇×~F = ( ∂ ∂x , ∂ ∂y ) × (P,Q) = ∣∣∣∣∣∣ ~i ~j ~k ∂x ∂y 0 P Q 0 ∣∣∣∣∣∣= ( ∂Q ∂x − ∂P ∂y ) ~k e´ chamado rotacional do campo ~F , e tambe´m e´ denotado por rot ~F (observe que para calcularmos rot ~F , consideramos ~∇×~F como vetores em R3). Para campos em R3, estas definic¸o˜es sa˜o ana´logas. O divergente de um campo ~F = (P,Q,R) e´ div ~F = ~∇ ·~F= ( ∂ ∂x , ∂ ∂y , ∂ ∂z ) · (P(x,y,z) ,Q(x,y,z) ,R(x,y,z)) = ∂P ∂x + ∂Q ∂y + ∂R ∂z e o rotacional de ~F e´ rot ~F =~∇×~F= ( ∂ ∂x , ∂ ∂y , ∂ ∂z ) ×(P,Q,R)= ∣∣∣∣∣∣ ~i ~j ~k ∂x ∂y ∂z P Q R ∣∣∣∣∣∣= ( ∂R ∂y − ∂Q ∂z ) ~i+ ( ∂P ∂z − ∂R ∂x ) ~j+ ( ∂Q ∂x − ∂P ∂y ) ~k Observac¸a˜o 31: Note que o divergente de um campo ~F e´ um nu´mero real, enquanto o rotacional de ~F e´ um vetor com a mesma dimensa˜o de ~F . Interpretac¸a˜o Fı´sica do Divergente e Rotacional Suponha que ~F representa o campo de velocidades de um fluido (um ga´s ou um lı´quido) escoando no plano ou espac¸o. Divergente O valor do divergente de ~F num ponto P0 do fluido representa a taxa de variac¸a˜o total da massa de fluido escoando do ponto, por unidade de a´rea (ou volume). Esta valor e´ chamado de densidade de fluxo no ponto P0. Assim, - div ~F(P0)> 0 significa que o fluido esta´ se expandindo em P0. - div ~F(P0)< 0 significa que o fluido esta´ se contraindo em P0. Se div ~F = 0 em todo ponto, dizemos que o fluido e´ incompressı´vel. A maioria dos lı´quidos, como a a´gua, por exemplo, sa˜o incompressı´veis. Rotacional O valor da componente~k do rotacional de ~F num ponto P0, dada por rot ~F(P0) ·~k = ∂Q∂x (P0)− ∂P ∂y (P0), representa o quanto uma partı´cula no fluido esta´ ‘girando’ em torno de P0, no sentido anti-hora´rio. Este valor e´ chamado de densidade de circulac¸a˜o. Assim, - rot ~F(P0) ·~k > 0 significa que o fluido esta´ girando no sentido anti-hora´rio em P0. - rot ~F(P0) ·~k < 0 significa que o fluido esta´ girando no sentido hora´rio em P0. Se rot ~F =~0 em todo ponto, enta˜o dizemos que o fluido e´ irrotacional. 48 Exercı´cios Exercı´cio 127. Calcule o divergente e o rotacional do campo ~F (x,y,z)=x2y~i+ y2z ~j+ z2x~k Exercı´cio 128. Calcule o divergente e o rotacional dos campos a) ~F (x,y)=cx~i+ cy ~j (expansa˜o se c > 0, e contrac¸a˜o se c < 0) b) ~F (x,y)=− cy~i+ cx ~j (rotac¸a˜o uniforme) c) ~F (x,y)=y~i (cisalhamento) d) ~F (x,y)=− y√ x2+y2 ~i+ x√ x2+y2 ~j (redemoinho) Exercı´cio 129. Mostre que qualquer campo vetorial da forma ~F(x,y,z) = ( f (x),g(y),h(z)) , onde f ,g e h sa˜o deriva´veis, e´ irrotacional (possui rotacional nulo). Exercı´cio 130. Mostre
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