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D RA FT y +1/1/60+ y Questo˜es Questa˜o 1. [10 pts] Para quais valores de y0 o teorema de existeˆncia e unicidade de soluc¸o˜es de EDOs de primeira ordem na˜o garante a existeˆncia de uma u´nica soluc¸a˜o do problema de valor inicial (PVI) a seguir? (x− y2)dy dx + (y − x2) = 0, y(1) = y0. a Para nenhum y0. b Para y0 = 1 e y0 = −1. c Para y0 = 0. d Para y0 = −2. e Para y0 = 1. f Para todo y0. Questa˜o 2. [5 pts] A equac¸a˜o no PVI acima e´ a separa´vel b exata c linear d nenhuma das outras treˆs opc¸o˜es Questa˜o 3. [15 pts] Para qual das func¸o˜es abaixo as soluc¸o˜es da equac¸a˜o dy dx = f(y) teriam um comportamento como o representado no gra´fico ao lado? a f(y) = (y − y0)2(y − y1)2 b f(y) = (y − y0)(y − y1)2 c f(y) = −(y − y0)(y − y1)2 d f(y) = −(y − y0)2(y − y1) e f(y) = −(y−y0)2(y−y1)2 f f(y) = (y − y0)2(y − y1) Sobre a equac¸a˜o dy dt = 3t2y2+4t3y2, escolha a alternativa que convenha em cada uma das questo˜es a seguir. Questa˜o 4. [15 pts] A soluc¸a˜o tal que y(0) = 1, verifica que y(2) = a 1 9 b 1 25 c 1 55 d − 1 55 e 0 f − 1 23 Questa˜o 5. [5 pts] Quantas soluc¸o˜es da equac¸a˜o satisfazem a condic¸a˜o y(0) = 0? a infinitas b nenhuma c nenhuma das outras respostas d uma y For your examination, preferably print documents compiled from auto- multiple-choice. y D RA FT y +1/2/59+ y Sobre a equac¸a˜o diferencial x dy dx − 2y = x3 cosx responda as duas questo˜es a seguir. Questa˜o 6. [10 pts] Um fator integrante e´: a µ(x) = x2. b µ(x) = e−2/x. c µ(x) = e−2x. d µ(x) = 1 x2 . e µ(x) = ex 2 senx. f µ(x) = −2 ln |x|. Questa˜o 7. [15 pts] A soluc¸a˜o tal que y(pi/2) = 0, quando x = pi vale a −pi2 b pi2 c pi3 d −1 e 0 f 1 Certa informac¸a˜o duvidosa sobre a contaminac¸a˜o da a´gua pota´vel com feniletilamina (hormoˆnio da paixa˜o) comec¸ou a se propagar numa cidade de 10000 habitantes. Em uma semana, 1000 pessoas tinham ouvido esse rumor. Assuma que a taxa de crescimento do nu´mero de pessoas que ouviram o rumor e´ proporcional ao nu´mero de pessoas que ainda na˜o o ouviram e que durante o per´ıodo analisado, na˜o entraram nem sa´ıram pessoas dessa cidade. Questa˜o 8. [10 pts] Suponha que ate´ o final da semana t, y(t) pessoas da cidade ja´ ouviram o rumor. Enta˜o y(t) satisfaz a equac¸a˜o (k e´ uma constante) a dy dt = k(1000−y)(10000−y) b dydt = k(10000− y) c dy dt = ky 2(10000− y) d dydt = ky(10000− y) e dy dt = (k − y)(10000− y) f dydt = ky Questa˜o 9. [15 pts] Quantas semanas passara˜o ate´ metade dos habitantes da cidade ter ouvido o rumor? a − ln 2 ln 0.6 b − ln 2 ln 0.7 c − ln 2 ln 0.9 d − ln 2 ln 0.8 e −3 ln 2 ln 0.2 f 5 y For your examination, preferably print documents compiled from auto- multiple-choice. y D RA FT y +1/3/58+ y UNIVERSIDADE FEDERAL DE MINAS GERAIS ICEx - Departamento de Matema´tica. Primeira Prova Parcial de EDA - 02/04/2016 1. Esta prova conte´m 9 questo˜es. A prova e´ individual, nenhuma colaborac¸a˜o de qualquer espe´cie sera´ permitida. Durante a prova na˜o sera´ permitido o uso de calculadora, telefone celular, tablet ou similar. Tambe´m na˜o sera´ permitido fotografar a folha da prova ao finalizar. 2. As provas sera˜o corrigidas por leitura o´ptica. Os quadrados das questo˜es de escolha mu´ltipla devem ser preenchidos por completo (na˜o basta fazer um ”X” ou uma bolinha) com caneta preta ou azul. 3. Caso seja cometido erro em alguma marcac¸a˜o, o erro deve ser indicado com a palavra errado e uma seta (errado −→) e deve ser feita a marcac¸a˜o correta. 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 ←− Preencha com seu nu´mero de matr´ıcula ao lado. Um d´ıgito por co- luna. Nome e sobrenome: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . As respostas devem ser marcadas AQUI. Respostas na folha de questo˜es NA˜O sera˜o consideradas! Q 1. a b c d e f Q 2. a b c d Q 3. a b c d e f Q 4. a b c d e f Q 5. a b c d Q 6. a b c d e f Q 7. a b c d e f Q 8. a b c d e f Q 9. a b c d e f y For your examination, preferably print documents compiled from auto- multiple-choice. y D RA FT y +1/4/57+ y y For your examination, preferably print documents compiled from auto- multiple-choice. y
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