ApostilaGAAL cônicas

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UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO GRANDE 
INSTITUTO DE MATEMÁTICA, ESTATÍSTICA E FÍSICA. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Última atualização: maio de 2011. 
2 
 
 
Sumário 
Cônicas .......................................................................................................................................... 2 
Elementos e Equações das Cônicas ............................................................................................... 4 
Translação de Eixos ..................................................................................................................... 13 
Tabela de Fórmulas ..................................................................................................................... 18 
Superfícies Quádricas .................................................................................................................. 19 
Superfície Cilíndrica ..................................................................................................................... 23 
Coordenadas Polares................................................................................................................... 24 
Mudança de Coordenadas .......................................................................................................... 25 
Equações Polares das Cônicas ..................................................................................................... 25 
Rotação de Eixos ......................................................................................................................... 28 
Lista de Exercícios: ...................................................................................................................... 29 
 
Cônicas 
Introdução 
Você sabia que durante vários séculos, pensava-se que as órbitas descritas pelos planetas eram 
circunferências e que a Terra era o centro? 
Foi Kepler que descobriu, em 1610, que essas órbitas são elípticas e que o Sol ocupa um dos 
focos. 
Algumas aplicações relacionadas: 
� As elipses são usadas na fabricação de engrenagens de máquinas. 
� Os arcos de pontes ou tetos tem muitas vezes formas elípticas ou parabólicas. 
� As parábolas são usadas em espelhos refletores e faróis de automóveis. 
� Os refletores de dentistas usam refletores elípticos que tem como objetivo concentrar o 
máximo de luz onde se está trabalhando. 
� Alguns telescópios denominados refletores usam um espelho hiperbólico secundário, 
além do refletor parabólico principal, para redirecionar a luz do foco principal para um 
ponto mais conveniente. 
Foi Apolônio (± 262-190 a.C.), quem pela primeira vez mostrou que a partir de um cone é 
possível obter as três espécies de seções cônicas, apenas variando a inclinação do plano de 
seção. 
Uma seção cônica é uma curva obtida cortando-se qualquer cone de duas folhas por um plano 
que não passa pelo vértice, chamado de plano secante. 
 
3 
 
 
• Origem: Corte por um plano. 
• Plano horizontal: - ponto (pelo vértice V); 
 - circunferência (não pelo vértice). 
• Plano inclinado: - pouco inclinado – elipse; 
 - muito inclinado - parábola. 
• Plano vertical: - hipérbole. 
• Foi Apolônio também quem introduziu os nomes parábola, elipse e hipérbole, utilizados 
até hoje. 
 
 
Figura 1: http://fisicamoderna.blog.uol.com.br/ 
 
 
 
 
4 
 
Elementos e Equações das Cônicas 
 
Circunferência: é o lugar geométrico dos pontos que estão equidistantes de um ponto fixo. Tal 
ponto fixo chama-se centro da circunferência e a medida da distância é o raio. 
 
Figura 2: Cd Ensino Superior – Somatemática. 
Equação: A equação da circunferência com centro em C e raio r é dada por: 
( ) ( ) (1) , 222 rbyax =−+− 
a equação (1) é a forma centro-raio. Observem que se o ponto ),( yxP pertence à circunferência 
se, e somente se rPC = , isto é, pela fórmula da distância, temos 
( ) ( ) rbyax =−+− 22 . 
A equação (1) é satisfeita apenas para as coordenadas dos pontos que estão na circunferência. Se 
o centro C estiver localizado na origem, isto é, )0,0(C , então a equação (1) fica reduzida a 
.
222
ryx =+ 
Forma geral de uma equação de circunferência: Efetuando os cálculos da equação (1), teremos: 
(2) .022
022
22222
22222
=−++−−+
=−+−++−
rbabyaxyx
rbbyyaaxx
 
A equação (2) é a forma geral e pode ser escrita como: 
(3) 022 =++++ CByAxyx 
Com 222,2,2 rbaCbBaA −+=−=−= 
Exemplo 1: Encontre a equação da circunferência com centro )3,2(C e raio 2=r . 
 Solução: 
0964
2)3()2(
22
222
=+−−+
=−+−
yxyx
yx
 
Elementos: 
O ponto ),( baC é o centro da circunferência; 
r (raio) - distância do ponto C até a circunferência. 
5 
 
 
Parábola: é o lugar geométrico que os pontos estão equidistantes de um ponto fixo, 
denominado foco (F) e de uma reta fixa (diretriz) nesse plano. 
 
Figura 3: Parábola: Cd Ensino Superior – Somatemática. 
 
 
 
 
Observe que um ponto P qualquer pertence à parábola se, e somente se, 
(1) . ' PPFP = 
Equações reduzidas: Seja a parábola de vértice )0,0(V , vamos considerar dois casos: 
1° O eixo da parábola é o eixo dos y: Seja ),( yxP um ponto qualquer da parábola de foco 
)
2
,0( pF e diretriz de equação .
2
py −= 
Pela definição de parábola expressa pela equação (1) é equivalente a 'PPFP = e como 
dpxP )
2
,(' ∈− , então aplicando a fórmula da distância, temos: 
( ) ( )
( ) ( )
(2) 2
44
22
0
22
0
2
,
2
,0
2
2
2
2
22
2
2
2
2
2
2
2
2
pyx
ppyyppyyx
pyxxpyx
pyxxpyx
pyxxpyx
=
++=+−+






++−=





−+−






++−=





−+−






+−=





−−
 
A equação (2) é a Equação Reduzida da parábola de vértice na origem com eixo no eixo y. 
Elementos: 
Foco: é o ponto F 
Diretriz: é a reta d 
Eixo: é a reta que passa por F e é perpendicular 
a d. 
Vértice é o ponto V de intersecção da parábola 
com seu eixo. 
p: parâmetro que representa a distância do 
foco à diretriz. 
Reta VF: eixo de simetria da Parábola. 
Latus Rectum: é a corda 1PP que passa pelo 
foco e é perpendicular ao eixo de simetria. 
6 
 
Representação: Abertura da parábola: voltada para cima. 
 
2° O eixo da parábola é o eixo dos x: Seja ),( yxP um ponto qualquer da parábola de foco 
)0,
2
( pF e diretriz de equação .
2
p
x −= 
Equação Reduzida da parábola: pxy 22 = . 
Representação Abertura da parábola: voltada para direita. 
 
 
Exemplo 1: Dada a parábola xy 72 = , encontrar: as coordenadas do foco e a equação diretriz. 
Solução: 
4
7
2
 :diretriz da Equação
)0,
4
7(
2
72 e 7)0,
2
( :Foco
2 : tipodo equação 7
22
22
−=∴−=
⇒=⇒==→
=⇒=
ppx
FppxyxypF
pxyxy
 
0
0
>
>
p
y
 
0
0
>
>
p
x
 
7 
 
 
 
Exercícios: 
 
1. Qual é a equação da diretriz da parábola xy 82 = ? 
 
2. Associe cada representação geométrica das parábolas com as equações dadas: 
 
(1) (2) (3) (4) 
 
 
 
 
 
 
( ) ( ) ( ) ( ) 
yx 22 −= xy 22 = xy 22 −= yx 22 = 
 
 
 
3. Determine o foco e a diretriz de cada parábola. Esboce cada uma das parábolas. Inclua o 
Foco e a diretriz em seu desenho: 
a) xy 122 = b) 24xy = c) yx 82 −= 
d) 062 =+ yx 
 
4. Represente geometricamente e obtenha uma equação da parábola que satisfaça a 
seguinte condição: )0,0(V , passa pelo ponto)5,2(−P e a concavidade está voltada para 
cima. 
5. Uma parábola tem vértice na origem e passa no ponto )4,8( −P determinar a equação e 
seu foco se: 
a) O eixo focal é Ox ; 
b) O eixo focal é Oy . 
6. (PUC-RIO) As parábolas dadas pelas equações yxxy == 22 e 
a) nunca se encontram. 
8 
 
b) se encontram apenas na origem. 
c) se encontram exatamente em dois pontos. 
d) se encontram em três pontos. 
e) se encontram em quatro pontos. 
7. Determinar a equação, o foco, a equação da diretriz e construir a parábola de vértice na 
origem nos seguintes casos: 
a) Foco: )4,0(F . 
b) Diretriz: 5=x . 
 
 
Elipse: É o conjunto de todos os pontos de um plano cuja soma das distâncias a dois pontos 
fixos desse plano é constante. Por exemplo, pela figura temos dois pontos distintos 1F e 2F , um 
ponto P pertence a elipse se, e somente se 
 
(1) 221 aPFPF =+ 
 
 
 
 
Figura 4: Elipse: Cd Ensino Superior – Somatemática. 
 
 
 
 
 
 
Relação Fundamental: Aplicando o teorema de Pitágoras no triângulo 22BOF temos a seguinte 
relação fundamental: 222 cba += . Essa igualdade mostra que b<a e c<a. 
Excentricidade: Chamamos de excentricidade o número real: .10, <<= e
a
c
e 
Quando os focos são muito próximos, isto é, c é muito pequeno, a elipse aproxima-se de uma 
circunferência. 
 
Equações Reduzidas: Seja a elipse de centro )0,0( . Consideramos dois casos: 
Elementos: 
Focos: os pontos F1 e F2 
Centro: o ponto O, ponto médio entre F1 e F2. 
Semi-eixo maior: a 
Semi-eixo menor: b 
Eixo-maior: aAA 221 = 
Eixo-menor: bBB 221 = 
Distância-focal: cFF 221 = 
Vértices: 2121 ,,, BBAA 
9 
 
1° O eixo maior está sobre o eixo Ox : Seja ),( yxP um ponto qualquer na elipse de focos 
)0,(),0,( 21 cFcF − 
 
Por definição: 
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
( )
( ) ( )
(2) 1
 :sendo
22
22
2
4424
22442
222
222
200
2
2
2
2
2
222222
222
22222222
224222222
22242222222
22242222
2222
2222
2222222222
2
222
2
222
222222
2222
21
=+
=+
=−
−=+−
−=+−
+−=+−+
+−=+−+
−=+−+
−=+−+
+−+++−+−=+++
+−+−=+++
+−+−=+++
=−+−+−++
=+
b
y
a
x
bayaxb
bca
caayaxca
caayaxcxa
xccxaacacxayaxa
xccxaaccxyxa
cxaccxyxa
cxaccxyxa
ccxyxccxyxaaccxyx
ccxyxaccxyx
ccxyxaccxyx
aycxycx
aPFPF
 
 
A equação (2) é a Equação Reduzida da Elipse de centro na origem e eixo maior sobre o eixo 
dos x. 
Gráfico: 
 
 
2° O eixo maior está sobre o eixo Oy : Seja ),( yxP um ponto qualquer na elipse de focos 
),0(),,0( 21 cFcF − . A equação reduzida é dada pela equação: 
(3) 12
2
2
2
=+
a
y
b
x
 
 
10 
 
Exemplo 1: Determine o centro, os focos e vértices da elipse: 1
925
22
=+
yx
. 
Solução: 2a é o maior denominador: .5252 ±=∴= aa 
2b é o menor denominador: .392 ±=∴= bb 
Pela relação fundamental: .4222 ±=⇒+= ccba 
Vértices: )3,0(),3,0(),0,5(),0,5( 2121 BBAA −− 
Focos: )0,4(),0,4( 21 FF − . O centro é a Origem. 
Representação geométrica: 
 
Exercícios: 
1. Associe cada representação geométrica das elipses com suas respectivas equações: 
(1) (2) (3) (4) 
 
 
 
 
( ) ( ) ( ) ( ) 
1
2
2
2
=+ yx 1
99
22
=+
yx
 1
94
22
=+
yx
 
225259 22 =+ yx 
 
2. Escreva cada equação na forma padrão, represente geometricamente então cada uma das 
elipses. Inclua os focos no desenho: 
a) 4002516 22 =+ yx 
11 
 
b) 22 22 =+ yx 
c) 623 22 =+ yx
3. Determinar os vértices, os focos, as extremidades do eixo maior e menor e construir a 
elipse: 1
2516
22
=+
yx
. 
4. Determinar a elipse de centro na origem e 
a) Eixo maior igual a 8, semi eixo menor igual a 2 e eixo focal 0=y . 
b) Distância focal igual a 8, eixo maior igual a 12 e eixo focal 0=x . 
5. Esboçar o gráfico e determinar todos os elementos da elipse: 2525 22 =+ yx . 
6. Calcule a distância focal e a excentricidade da elipse de equação .1
94
22
=+
yx
 
 
Hipérbole: é o conjunto de todos os pontos de um plano cuja diferença das distâncias, em valor 
absoluto, a dois pontos fixos desse é constante. 
 
 
Relação Fundamental: Pelo triângulo 22222 : bacBOA += . 
Excentricidade: 
a
c
e = , está relacionada com a abertura da hipérbole. 
Equações Reduzidas: Pela definição: Consideremos no plano dois pontos distintos 21 e FF tal 
que a distância cFFd 2),( 21 = . Seja um número real a tal que ca 22 < . Dá-se o nome de 
hipérbole ao conjunto de todos os pontos P do plano tais que 
( ) ( ) ( ) ( ) aycxycx
aPFPF
200
2
2222
21
=−+−−−++
=−
 
A dedução dessa equação é análoga a equação da elipse. 
Elementos: 
Focos: os pontos F1 e F2. 
Distância focal: cFF 221 = 
Centro é o ponto O, e corresponde ao ponto 
médio entre A1 e A2. 
Eixo real: aAA 221 = 
Eixo imaginário: bBB 221 = . 
Vértices: 21, AA 
11 
 
1° O eixo real está sobre o eixo dos x : 12
2
2
2
=−
b
y
a
x
 
 
2° O eixo real está sobre o eixo dos y : 12
2
2
2
=−
b
x
a
y
 
 
Assíntotas da Hipérbole: As assíntotas fornecem uma orientação de que precisamos para 
desenhar as hipérboles. Para determinar as equações das assíntotas, quando eixo real está sobre 
o eixo dos x , devemos substituir o 1 por zero e resolver na nova equação: 
x
a
by
b
y
a
x
b
y
a
x ±=⇒=−⇒=− 01 2
2
2
2
2
2
2
2
 
 
De forma análoga, quando eixo real está sobre o eixo . : x
b
ayy ±= 
 
12 
 
 
 
Exemplo 1: Escreva a equação na forma padrão e determine o centro, os vértices e focos da 
hipérbole: 0144916 22 =+− yx . 
Solução: 
)4,0(),5,0( .5
39 ;416
1
916
1
169
144916
22
22
22
22
±±=
=⇒==⇒=









=−
=
−
−
−
−=−
VFc
bbaa
xy
yx
yx
 
Exercícios: 
1. Associe cada representação geométrica das hipérboles com sua respectiva equação: 
(1) (2) (3) (4) 
 
 
 
 
( ) ( ) ( ) ( ) 
1628 22 =− yx 1
4
2
2
=− x
y
 
122 =− yx 1
94
22
=−
yx
 
 
2. Uma hipérbole tem centro na origem e eixo imaginário igual a 8. Sabendo-se que um 
foco é )5,0( − , determinar sua equação, as equações das assíntotas e sua excentricidade. 
3. Achar a equação de uma hipérbole de centro na origem e: 
a) Eixo focal sobre o eixo x, eixo real 102 =a , eixo imaginário 82 =b . E, encontre 
as equações das assíntotas. 
13 
 
b) Eixo focal sobre Oy , 162 =a e excentricidade igual a 
4
5
. E, encontre as 
equações das assíntotas. 
4. Encontrar a equação da hipérbole com focos nos vértices da elipse 1
925
22
=+
yx
 e 
vértices nos focos dessa elipse. 
5. Obter a excentricidade da hipérbole eqüilátera cuja distância focal é igual a 6 unidades 
de comprimento. 
6. (PUC-SP) A equação de uma das assíntotas da hipérbole 1622 =− yx 
a) 12 −= xy 
b) xy 4= 
c) xy = 
d) xy 2= 
 
Translação de Eixos 
 
Uma curva não é afetada pela posição de seus eixos coordenados, mas, no entanto suas 
respectivas equações são afetadas. 
Introdução: Analisamos agora o caso em que o vértice é um ponto ),( kh , isto é, obtemos um 
novo sistema ''' yOx cuja origem é ),(' khO . Esse novo sistema tem amesma unidade de 
medida, mesma direção e mesmo sentido dos eixos . e OyOx 
Considerando kyyhxx +=+= ' e ' ou kyyhxx −=−= ' e ' que são as fórmulas de translação e 
que permitem transformar coordenadas de um sistema para outro, que tem como finalidade 
modificar a forma das equações. 
Parábola: 
Eixo da parábola paralelo ao eixo Oy : A equação da parábola no novo sistema ''' yOx , é 
'2'2 pyx = , mas com a translação de eixos kyyhxx −=−= ' e ' temos 
( ) ( ) (1) 22 kyphx −=− 
Foco: 





+
2
,
pkhF 
Diretriz: 
2
pky −= 
A equação (1) é a equação da parábola de vértice ),( khV . Desenvolvendo a equação (1) e 
isolando a variável y: 
14 
 
0 com , 
2
2
2
1
222
2
2
2
22
≠++=
+
+−=
−=+−
acbxaxy
p
pkh
x
p
h
x
p
y
pkpyhxhx
 
Observe que: 
p
hb
p
a −== e 
2
1
 
Equação Geral: 0,02 ≠=+++ adcybxax 
Eixo da parábola paralelo ao eixo Ox : ( ) ( ) (2) 22 hxpky −=− 
Foco: 





+ kphF ,
2
 
Diretriz: 
2
phx −= 
Equação Geral: 0 ,02 ≠=+++ bfdycxby . 
Exemplo 1: Obter a equação geral da parábola com vértice )3,3(V e foco )3,5(F . 
Solução: 
( ) ( )
( ) ( ) 033862489634.23
42
22
: distância
2
222
2
=+−−⇒−=+−⇒−=−
=⇒=⇒
−=−
xyyxyyxy
pppVF
hxpky
 
 
Elipse: Seja uma elipse de centro ),( khC . 
1° O eixo maior é paralelo ao eixo dos x: Utilizando uma translação de eixos, obtemos um novo 
sistema ''' yOx . 
Então, a equação reduzida 
 
( ) ( )
.1' e '1'' 2
2
2
2
2
2
2
2
=
−
+
−
⇒−=−=⇒=+
b
ky
a
hxkyyhxx
b
y
a
x
 
 
 
2° O eixo maior é paralelo ao eixo dos y: 
 
 
( ) ( )
.1' e '1'' 2
2
2
2
2
2
2
2
=
−
+
−
⇒−=−=⇒=+
a
ky
b
hxkyyhxx
a
y
b
x
 
Equação Geral: ,022 =++++ fdycxbyax com a e b de mesmo sinal. 
 
15 
 
Exemplo 2: Identifique a cônica de equação 011181694 22 =−+−+ yxyx , seus elementos e 
construa o gráfico. 
Solução: 
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( ) 1
4
1
9
2
361924
91611129444
112944
11181694
011181694
22
22
22
22
22
22
=
+
+
−
=++−
++=++++−
=++−
=+−+
=−+−+
yx
yx
yyxx
yyxx
yxyx
yxyx
 
Centro: )1,2( −C 
Foco: )1,52( −±F 
Vértices: )1,2(),3,2(),10,1(),1,5( 2121 BBAA −−−− 
Excentricidade: 
3
5
=e 
 
 
 Hipérbole: 
1° O eixo real é paralelo ao eixo dos x: 
( ) ( )
.1' e '1'' 2
2
2
2
2
2
2
2
=
−
−
−
⇒−=−=⇒=−
b
ky
a
hxkyyhxx
b
y
a
x
 
2° O eixo real é paralelo ao eixo dos y: 
( ) ( )
.1' e '1'' 2
2
2
2
2
2
2
2
=
−
−
−
⇒−=−=⇒=−
b
hx
a
kykyyhxx
b
x
a
y
 
Equação Geral: ,022 =++++ fdycxbyax com a e b de sinais contrários. 
16 
 
 
Exemplo 3: Identifique a cônica de equação 0836721003625 22 =−−−− yxyx , seus 
elementos e faça um esboço do gráfico. 
Solução: 
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( ) 1
25
1
36
2
900136225
3610083612364425
836236425
0836721003625
22
22
22
22
22
=
+
−
−
=+−−
−+=++−+−
=+−−
=−−−−
yx
yx
yyxx
yyxx
yxyx
 
Centro: )1,2( −C 
Foco: )1,612( −±F 
Vértices: )1,4(),1,8( 21 −−− AA 
Excentricidade: 
6
61
=e 
Assíntotas: ( ) 12
6
5
−−±= xy 
Representação geométrica: 
 
 
 
 
17 
 
Exercícios: 
1. Determinar a equação geral da hipérbole de centro )5,3( , eixo real igual a 10, paralelo 
ao eixo x e eixo imaginário igual a 6. 
2. Determinar a equação da parábola cujo foco é )2,1(F e cuja diretriz é a reta 05 =−x . 
3. Determine o vértice, o foco, a equação da diretriz da parábola .0392022 =−−− yxx 
4. Determine a equação da hipérbole de centro )2,3( −C e eixo real paralelo ao eixo x, 
sabendo que o eixo real mede 12 e o eixo imaginário mede 6. 
5. Nos exercícios abaixo são dadas equações de parábolas, elipses e hipérboles e é dito em 
quantas unidades para cima ou para baixo e para direita ou para esquerda cada uma foi 
transladada. Determine a equação das novas cônicas e determine o novo centro, foco(s), 
vértices, diretriz(parábola) e assíntotas(hipérbole): 
a) ,42 xy = para a esquerda 2, para baixo 3. 
b) ,82 yx = para a direita 1, para baixo 7. 
c) ,1
96
22
=+
yx
 para a esquerda 2, para baixo 1. 
d) ,1
23
22
=+
yx
 para a direita 2, para cima 3. 
e) ,1
54
22
=−
yx
 para a direita 2, para cima 2. 
f) ,122 =− xy para a esquerda 1, para baixo 1. 
6. Identifique cada uma das cônicas abaixo e determine todos os seus elementos: 
a) 124 22 =++ yxx 
b) 03422 =−++ yxx 
c) 1422 22 −=−−+ yxyx 
d) 44222 =+−− yxyx 
 
 
 
 
18 
 
Exemplos das cônicas com eixos transladados: 
 
Parábola Elipse Hipérbole 
 
 
 
Tabela de Fórmulas 
 
Principais fórmulas: Parábola, Elipse e Hipérbole 
 Parábola Elipse Hipérbole 
Equação 
Canônica 
pyx 22 = 
 12
2
2
2
=+
b
y
a
x
 12
2
2
2
=−
b
y
a
x
 
Foco 






2
,0 pF 
( )0,cF ± ( )0,cF ± 
Excentricidad
e 
1=e 10 << e 1>e 
Gráfico 
 
 
 
Centro fora da 
Origem 
(paralelo 
ao eixo y) 
( ) ( )
 22 kyphx −=− ( ) ( ) 12
2
2
2
=
−
+
−
a
ky
b
hx
 
( ) ( ) 12
2
2
2
=
−
−
−
b
hx
a
ky
 
Assíntotas 
(eixo y) 
 
. x
b
ay ±= 
 
 
 
19 
 
Superfícies Quádricas 
A equação geral do 2° grau nas três variáveis :,, zyx 
(1) ,0222222 =+++++++++ qpznymxfyzexzdxyczbyax 
onde pelo menos um dos coeficientes a ,b,c, d, e ou f é diferente de zero, representa uma 
superfície quádrica. Se a superfície representada pela equação acima for cortada pelos planos 
coordenados ou por planos paralelos a eles, a curva de intersecção será uma cônica. A 
intersecção de uma superfície com um plano é chamada traço da superfície no plano. 
Através de mudanças de coordenadas (rotação e / ou translação) a equação do 2° grau nas três 
variáveis pode ser transformada em uma das formas: 
(2) 222 DCzByAx =++ 
Que representa uma quádrica centrada. Ou 
(3) 022 =++ RzByAx 
(4) 022 =++ CzRyAx 
(5) 022 =++ CzByRx 
que representam quádricas não centradas. 
Superfícies Quádricas Centradas: Caso nenhum dos coeficientes da equação (2) for nulo, ela 
pode ser escrita sob uma das formas 
(6) 12
2
2
2
2
2
=±±±
c
z
b
y
a
x
 
denominadas como forma canônica de uma superfície quádrica centrada. 
Elipsóide: Representada pela equação: 12
2
2
2
2
2
=++
c
z
b
y
a
x
 
 
20 
 
Traço: 
No Plano xOy 
 0,12
2
2
2
==+ z
b
y
a
x
 
No Plano xOz 
0,12
2
2
2
==+ y
c
z
a
x
 
No Plano yOz 
0,12
2
2
2
==+ x
c
z
b
y
 
 
Se pelo menos dois valores a,b,c são iguais, o elipsóide é de revolução. 
No caso em que cba == , a equação toma a seguinte forma: 2222 azyx =++ , e representa 
uma superfície esférica de centro )0,0,0( e raio a. 
Pela translação de eixos com ),,( lkhC sendo o centro do elipsóide, e seus eixos paralelos aos 
eixos coordenados temos: 
( ) ( ) ( ) 12
2
2
2
2
2
=
−
+
−
+
−
c
lz
b
ky
a
hx
 
 
Hiperbolóide de uma folha: Dada pela equação: 12
2
2
2
2
2
=−+
c
z
b
y
a
x
 (eixo Oz ) 
 
As outras formas são: 
No eixo Oy 
12
2
2
2
2
2
=+−
c
zb
y
a
x
 
No eixo Ox 
12
2
2
2
2
2
=++−
c
z
b
y
a
x
 
 
21 
 
O Traço: 
No Plano xOy 
0,12
2
2
2
==+ z
b
y
a
x
 
No Plano xOz 
0,12
2
2
2
==− y
c
z
a
x
 
No Plano yOz 
0,12
2
2
2
==− x
c
z
b
y
 
 
Hiperbolóide de Duas Folhas: A equação que representa um hiperbolóide de duas folhas é dada 
por: 12
2
2
2
2
2
=−+−
c
z
b
y
a
x
 (ao longo do eixo y). 
 
As outras formas são: 
Eixo Ox 
12
2
2
2
2
2
=−−
c
z
b
y
a
x
 
Eixo Oz 
12
2
2
2
2
2
=+−−
c
z
b
y
a
x
 
O Traço: 
No Plano xOy 
0,12
2
2
2
==− z
a
x
b
y
 
No Plano yOz 
0,12
2
2
2
==− x
c
z
b
y
 
 
Superfícies Quádricas não Centradas: Se nenhum dos coeficientes dos termos do 1° membro das 
equações (3) for nulo elas podem ser escritas sob uma das formas 
(7) ; ; 2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
ax
c
z
b
yby
c
z
a
x
cz
b
y
a
x
=±±=±±=±± 
 
 
22 
 
Parabolóide Elíptico: 
 
Equações: 
Eixo Oz 
cz
b
y
a
x
=+ 2
2
2
2
 
Eixo Oy 
by
c
z
a
x
=+ 2
2
2
2
 
Eixo Ox 
ax
c
z
b
y
=± 2
2
2
2
 
O Traço: 
No Plano xOy (0,0,0) 
No Plano xOz 
0,2
2
== ycz
a
x
 
No Plano yOz 
0,2
2
== xcz
b
y
 
 
 
Parabolóide Hiperbólico: Se nas equações (7) os coeficientes dos termos de 2° grau tiverem 
sinais contrários,a equação representa um parabolóide hiperbólico: 
 
Eixo Oz 
cz
a
x
b
y
=− 2
2
2
2
 
Eixo Oy 
by
a
x
c
z
=− 2
2
2
2
 
Eixo Ox 
ax
b
y
c
z
=− 2
2
2
2
 
 
23 
 
 
O Traço: 
No Plano xOy 
0,02
2
2
2
==− z
a
x
b
y
 
No Plano xOz 
0,2
2
==− ycz
a
x
 
No Plano yOz 
0,2
2
== xcz
b
y
 
 
Superfície Cilíndrica 
É uma superfície gerada por uma reta r (geratriz) que se move paralelamente à reta fixa f em 
contato permanente com a curva plana C diretriz. Considere a seguinte equação: yx 22 = , é uma 
equação cuja diretriz é uma curva que se encontra em um dos planos coordenados e a geratriz é 
uma reta paralela ao eixo coordenado não contido no plano. Assim, a equação dada acima é uma 
parábola, e a equação da superfície cilíndrica também será. 
 
Conforme a diretriz seja uma circunferência, parábola, elipse ou hipérbole, a superfície 
cilíndrica é chamada circular, parabólica, elíptica ou hiperbólica. 
Pelo gráfico abaixo observamos que a superfície cilíndrica com geratrizes paralelas ao eixo , 
sendo sua diretriz uma elipse no plano xOy. 
24 
 
 
Coordenadas Polares 
 
No sistema de coordenadas cartesianas, as coordenadas são números, chamados abscissas e 
ordenadas que são distâncias orientadas a duas retas fixas. 
No sistema de coordenadas polares, as coordenadas consistem de uma distância e da medida de 
um ângulo em relação a um ponto fixo e com raio fixo (reta orientada). 
 
 
 
 
Escolhemos o ponto fixo como O (usualmente a origem do sistema) chamado pólo e uma reta 
orientada ou eixo polar (usualmente tomamos o próprio eixo x do sistema cartesiano). 
Um ponto P no plano (sistema de coordenadas polares) é localizado da seguinte forma: 
Sejam r a distância de O a P ( OPr = ) e θ a medida em radianos do ângulo entre os vetores 
OP e um vetor na direção e sentido do eixo polar, com a mesma convenção da trigonometria, ou 
seja, ele é positivo se medido no sentido anti-horário a partir do eixo polar e negativo se medido 
no sentido horário a partir do eixo polar. 
 
Então, as coordenadas polares de um ponto P do plano são escritas na forma ),( θr . 
 
Ponto Coord. Cartesianas Coord. Polares 
A )0,2( )0,2( 
B )2,0( 






2
,2 pi 
C )0,3(− ),3( pi 
D )3,0( − )
2
3
,3( pi 
Eixo polar 
O 
25 
 
 
Mudança de Coordenadas 
Suponha que seja um ponto cuja representação em coordenadas cartesianas retangulares é 
),( yx e em coordenadas polares ),( θr e suponha ainda para facilidade de compreensão que o 
pólo e o eixo polar do Sistema de coordenada polar coincidem com a origem e o eixo x do 
sistema de coordenada cartesiana, respectivamente. Consideremos o caso em que 0>r , então o 
ponto P está no lado terminal do ângulo θ radianos. Assim, 
.OPr = 
Então: .sin e cos
r
y
OP
y
r
x
OP
x
==== θθ 
Portanto, (1) .,cos θθ rsenyrx == 
 A partir das equações (1) é possível obter a transformação de Coordenadas Polares (se forem 
conhecidas) para Coordenadas Cartesianas. 
Para obtermos fórmulas que dão o conjunto de coordenadas polares de um ponto quando suas 
coordenadas cartesianas retangulares são conhecidas, elevamos ao quadrado ambos os lados das 
equações (1) e obtemos: 
 . e cos 222222 θθ senryrx == 
Igualando a soma dos membros esquerdos com a soma dos membros direitos acima, 
( )
22
222
22222222222 coscos
yxr
ryx
senryxsenrryx
+±=
=+
+=+⇒+=+ θθθθ
 
Assim, .0 se ,sin e cos 22
2222
≠+
+
=
+
= yx
yx
y
yx
x θθ 
Equações Polares das Cônicas 
Antes de apresentar as equações polares das cônicas, vamos considerar a seguinte definição 
geométrica que incluirá a parábola, a elipse e a hipérbole. 
Dada uma reta fixa d denominada diretriz e F um ponto fixo denominado foco e a constante fixa 
positiva e sendo a exentricidade da seção cônica. Dado um pontoP que se move no plano de d 
e F de tal maneira que a razão da distância de P a F para a distância de P a d é sempre igual a 
constante e , então, o lugar geométrico de P é denominado uma seção cônica. Pela definição 
acima, o ponto P deve satisfazer a condição geométrica: 
26 
 
e
Pd
PF
= 
Ou 
PdePF = 
Se 1=e então a cônica é uma Parábola; 
Se 10 << e , então a cônica é uma Elipse; 
Se 1>e , então a cônica é uma Hipérbole. 
Toda cônica que não seja uma circunferência pode ser escrita pela relação acima. 
Para determinar as equações polares para as cônicas, colocamos o foco localizado no pólo e o 
eixo focal coincidente com o eixo polar. Indicamos a distância entre o foco F e a reta diretriz d 
como .kFd = 
Se ),( θrP é um ponto qualquer sobre a cônica e traçando retas perpendiculares PB e Pd ao eixo 
polar e a diretriz respectivamente, podemos determinar a equação polar a partir da definição 
geral das cônicas 
PdePF = 
Sendo rPF = e pela relação 
FBFdBdPd −== 
θcosrkPd −= 
Substituindo na definição geral das cônicas 
( )θcosrker −= 
Podemos isolar r para obter 
θcos1 e
ke
r
+
= 
Para o caso em que a reta está a direita do pólo. Esta é a equação para uma cônica de 
excentricidade e , onde 0>= kx é a diretriz vertical. 
27 
 
 
Parte de uma cônica com foco no pólo e reta diretriz perpendicular ao eixo polar à direita. 
 
Parte de uma cônica com foco no pólo e reta diretriz perpendicular ao eixo polar à esquerda 
( ). 
 
 
 
 
Parte de uma cônica com foco no pólo e reta diretriz paralela ao eixo polar acima ( ky = ). 
 
 
 
θcos1 e
ke
r
+
=
 
θcos1 e
ke
r
−
=
 
θsin1 e
ke
r
+
=
 
28 
 
 
 
Parte de uma cônica com foco no pólo e reta diretriz paralela ao eixo polar abaixo ( ky −= ). 
 
Rotação de EixosSeja o sistema xOy , através de uma rotação dos eixos de um ângulo θ , mantendo a mesma 
origem, obtém - se um novo sistema x’Oy’. 
 y 
 
 
 x 
 
Pela figura observamos que: 



+==
−==
DPADAPy
ABOBOAx
, e que, 
θθθθθ cos',',',sin',cos' yDPsenxBCADsenxBCADyDCABxOB ======== , 
 Substituindo, tem-se: 



′+′=
′
−
′=
θθ
θθ
cos
cos
ysenxy
senyxx
 
 
 
 
θsin1 e
ke
r
−
=
 
29 
 
Lista de Exercícios: 
 
Circunferência: 
1. Nos exercícios abaixo encontre uma equação da circunferência com Centro C e raio r, 
escreva a equação na forma centro-raio e na forma geral: 
a. .5),3,4( =− rC 
b. .3),12,5( =−− rC 
2. Encontre a equação da circunferência cujo centro )2,1( e passe pelo ponto )1,3( − . 
3. Encontre o centro e o raio da circunferência: 
a. 098622 =+−−+ yxyx 
b. 07433 22 =−++ yyx 
4. Qual o comprimento da corda que a reta 04247: =−− yxr determina na 
circunferência .0156222 =−+−+ yxyx 
5. O segmento de extremidade )0,4( e )8,2( QP é o diâmetro de uma circunferência. 
Encontre a equação da circunferência. 
6. Qual é a equação da circunferência que passa pela origem e tem o ponto )5,1( −−C 
como centro? 
Parábola: 
1. Para cada uma das parábolas nos exercícios abaixo encontre as coordenadas do foco, e 
uma equação da diretriz: 
a. yx 42 = 
b. xy 82 −= 
c. 092 2 =− xy 
2. Encontre uma equação da parábola que satisfaça as condições dadas: 
a. Foco )0,5( , diretriz .5−=x 
b. Foco )2,0( − , diretriz .02 =−y 
c. Foco 




 0,
2
1
, diretriz .012 =+x 
d. Vértice )0,0( , diretriz .2−=y 
e. Foco )0,2( , diretriz .02 =+x 
f. Vértice )0,0( , foco ).3,0( − 
3. Encontre uma equação da parábola que tenha seu vértice na origem, o eixo y como seu 
eixo e que passe pelo ponto ).4,2( −− 
4. Obtenha o parâmetro, o foco e a diretriz da parábola nos casos: 
a. xy 52 = b. xy 52 −= c. 210xy = 
5. Esboce o gráfico da seguinte equação: .3694 2 =+ yx 
 
 
20 
 
 
Elipse: 
1. Em cada um dos problemas, determinar os vértices, os focos e a excentricidade de cada 
elipse: 
a. 100425 22 =+ yx 
b. .0144169 22 =−+ yx 
2. Em cada um dos problemas determinar uma equação da elipse que satisfaça as 
condições dadas: 
a. Focos )0,4( e )0,4( 21 FF − , eixo maior igual a 10. 
b. Focos )5,0( e )5,0( 21 FF − , eixo menor igual a 10. 
c. Focos )0,3(1 ±F e vértices . )0,4(±A 
3. Determinar a equação reduzida, o centro, os vértices 21 e AA , os focos e a 
execetricidade da elipse: .09182494 22 =++−+ yxyx 
4. Dada a equação da elipse 0225259 22 =−+ yx determinar: 
a. a medida dos semi-eixos. 
b. Um esboço do gráfico. 
c. Os focos. 
d. A excentricidade. 
5. Dada a equação da elipse ,0144916 22 =−+ yx pede-se: 
a. O gráfico, as coordenadas dos focos e vértices. 
b. A excentricidade. 
6. Uma elipse tem centro )2,4(C e excentricidade 
2
1
. Determinar sua equação e construí-
la, sabendo que seu eixo focal é paralelo a Oy e mede 6. 
 
Hipérbole: 
1. Em cada um dos problemas, determinar os vértices, os focos , a excentricidade e 
equações das assíntotas das hipérboles: 
a. 1
94
22
=−
yx
 
b. 04002516 22 =−− yx 
c. 0144169 22 =−− yx 
d. 082 22 =−− yx 
e. ,03694 22 =−− yx 
2. Determinar uma equação da hipérbole que satisfaça as condições dadas: 
a. Focos )0,5(±F , vértices . )0,3(±A 
b. Focos )3,0( ±F , vértices . )2,0( ±A 
c. Vértices ),5,0( ±A excentricidade 2. 
d. Vértices ),2,0( ±A distância focal .112 
20 
 
3. Dada a equação da hipérbole 1
164
22
=−
xy
 , determine: a medida dos semi-eixos, um 
esboço do gráfico, os vértices, os focos, a excentricidade, e as equações das assíntotas. 
4. Determinar a equação reduzida, o centro e a excentricidade da hipérbole 
.043161849 22 =−−−− yxyx 
5. Uma hipérbole tem focos )0,5(± e diretrizes .
4
3
xy ±= Determinar a sua equação e a 
de sua conjugada. Esboce a figura. 
6. Determine a equação geral da hipérbole que tem vértices )0,2(),4,2( 21 AA − e foco em 
)32,2( +−F . Construí-la. 
 
Translação de Eixos 
1. Traçar um esboço do gráfico e obter uma equação da parábola de )1,2( e )3,2( −− FV . 
Resposta: .020842 =−++ yxx 
2. Traçar um esboço do gráfico e obter uma equação da parábola de )1,5( e )1,2( −− FV . 
Resposta: .0251222 =+−+ xyy 
3. Traçar um esboço do gráfico e obter uma equação da parábola de .03 e )1,4( =+yV 
Resposta: .0321682 =+−− yxx 
4. Traçar um esboço do gráfico e obter uma equação da parábola de )3,4( −V , eixo 
paralelo ao eixo x, passando pelo ponto ).1,2(P Resposta: .023862 =−++ xyy 
5. Traçar um esboço do gráfico e obter uma equação da parábola de )3,2(−V , eixo 
02 =+x passando pelo ponto ).0,2(P Resposta: .03616123 2 =−++ yxx 
6. Determine o vértice, o foco, a diretriz e o eixo da parábola: ( ) ).7(53 2 +=− xy 
Resposta: 





−− 3,
4
23),3,7( FV . 
7. Obter uma equação da elipse de )4,1(C , foco )4,5(F e excentricidade .
3
2
 Resposta: 
.031721095 22 =−−−+ yxyx 
8. Obter uma equação da elipse de eixo maior igual a 10 e focos )5,2(),1,2( 21 FF − . 
Resposta: .0236641001625 22 =−−−+ yxyx 
9. Determine o centro, os focos, os vértices da elipse: ( ) ( ) .1
289
4
225
3 22
=
−
+
− yx
 Resposta: 
).4,3(),12,3(),4,3( −FFC 
10. Determine a equação reduzida, o centro, os vértices, o foco, a excentricidadade e traçar 
o esboço do gráfico da elipse de equação geral: .05246416 22 =+−++ yxyx 
Resposta: )152,2(),6,2(),2,2(),2,2(,1
16
'
1
'
22
±−−−−−−=+ FAACyx 
11. Determine a equação reduzida, o centro, os vértices, o foco, a excentricidadade e traçar 
o esboço do gráfico da elipse de equação geral: .01447296916 22 =++−+ yxyx 
Resposta: )74,3(),0,3(),8,3(),4,3(,1
16
'
9
'
22
±−−−=+ FAACyx 
20 
 
12. Determine a equação da hipérbole de centro )2,3(C , um vértice )2,1(A e um foco 
)2,1(−F . Resposta: .0114183 22 =++−− yxyx 
13. Determine a equação da hipérbole de centro ).1,1(),2,1(),3,1( AFC − Resposta: 
( ) ( )
.1
9
1
16
3 22
=
−
−
+ xy
 
14. Determine a equação reduzida, o centro, os vértices, o foco, a excentricidade e 
representar geometricamente a hipérbole de equação geral: 
.01991864916 22 =+−−− yxyx Resposta: 
).4,2(),6,2(),3,2(),5,2(),1,2(,1
9
'
16
'
22
FFAACxy −−−=− 
15. Determine a equação reduzida, o centro, os vértices, o foco, a excentricidade e traçar 
representar geometricamente a hipérbole de equação geral: 
.0836721003625 22 =−−−− yxyx Resposta: 
( ) ( ) ).1,612(),1,8(),1,4(),1,2(,1
25
1
36
2 22
−±−−−−=+−− FAACyx 
16. Identifique a cônica de equação ,088554160916 22 =−−−+− yxyx seus elementos e 
represente geometricamente. Resposta: 
( ) ( ) ).13,5(),7,5(),11,5(),5,5(),3,5(,1
36
5
64
3 22
−−−−−−−=
+
−
− FFAACxy 
 
 
Superfícies Quádricas 
1. Reduzir cada uma das equações à forma canônica, identificar o gráfico da quádrica que 
ela representa: 
a. 363649 222 =++ zyx 
b. 364936 222 =−+ zyx 
c. 364936 222 =−− zyx 
d. 36222 =++ zyx 
e. 09 222 =−+ zyx 
f. 42 222 =+− zyx 
Coordenadas Polares 
1. Encontre as coordenadas cartesianas retangulares de cada um dos seguintes pontos cujas 
coordenadas polares são dadas: 
a. ),3( pi 
b. )
4
3
,2( pi− 
c. )
3
2
,4( pi− 
d. )
2
1
,2( pi−− 
e. )
4
7
,2( pi− 
f. )
6
7
,1( pi−− 
 
 
 
 
20 
 
 
TABELA 1: Valores para xsenx cos e em radianos: 
 
0 
pi
6
1
 pi
4
1
 pi
3
1pi
2
1
 pi
3
2
 pi
4
3
 pi
6
5
 
pi 
pi
2
3
 
pi2 
 
0 
2
1
 2
2
1
 3
2
1
 
1 
3
2
1
 2
2
1
 
2
1
 
0 1− 0 
 
1 
3
2
1
 2
2
1
 
2
1
 
0 
2
1
− 2
2
1
− 3
2
1
− 
1− 0 1 
 
 
 
REFERÊNCIAS: 
1. STEINBRUCH, A. e WINTERLE, P. Geometria Analítica. São Paulo: McGraw Hill, 1987. 
2. SANTOS, R. J. Um Curso de Geometria Analítica e Álgebra Linear. Belo Horizonte: 
Imprensa Universitária da UFGM, 2007. 
3. WINTERLE, P. Vetores e Geometria Analítica. São Paulo: Pearson Makron Books, 2000. 
4. THOMAS, G. B. Cálculo- Volume II. São Paulo: Addison Wesley, 2009. 
5. CAMARGO, I. , BOULOS, P. Geometria Analítica: um tratamento vetorial. 3° edição. São 
Paulo: Prentice Hall, 2005.