Prova3 - TOL

Prévia do material em texto

Solução	
  Prova	
  3	
  
Da	
  tabela	
  dada,	
  
o	
  momento	
  de	
  
inércia	
  de	
  um	
  
cilindro	
  sólido	
  é	
  
igual	
  a:	
  
²  Para	
  um	
  corpo	
  rígido	
  que	
  gira	
  ao	
  redor	
  de	
  um	
  eixo	
  de	
  simetria:	
  

τ = I α

L = I ω
F∑ =macm mg−T =macm
acm =αRvCM =ωR²  Roda	
  sem	
  deslizar:	
  
τ = Iα = RT
τ = Rm g−αR( ) = mR
2
2 α g =αR+ Rα2
α =
2g
3R
(1) Deixa-se cair um iô-iô a partir do repouso enquanto segura-se o extremo da 
corda como indicado na figura ao lado. O iô-iô tem a forma de um cilindro 
sólido de massa M e raio R. A medida que cai, o cilindro gira e a corda vai se 
desenrolando, sem que haja deslizamento entre a corda e o eixo do iô-iô. 
Calcule o módulo da aceleração angular do cilindro em radianos por segundo 
ao quadrado. 
(a) 131 (b) 163 (c) 194 (d) 218 (e) 327 
 
A	
  única	
  força	
  que	
  produz	
  torque	
  é	
  a	
  tensão	
  T	
  na	
  corda.,	
  que	
  é	
  aplicada	
  a	
  
uma	
  distância	
  R	
  do	
  centro	
  de	
  massa	
  do	
  cilindro:	
  
T =m(g− acm )
τ = RT
I = mR
2
2
θ −θ0 =ω0t +
αt2
2
(2)	
  Se	
  a	
  aceleração	
  angular	
  do	
  problema	
  acima	
  fosse	
  igual	
  a	
  α	
  rad/s2,	
  quantas	
  voltas	
  
completas	
  dará	
  o	
  cilindro	
  do	
  iô-­‐iô	
  após	
  t	
  segundos	
  de	
  ser	
  colocado	
  em	
  movimento?	
  
(a)	
  199	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  (b)	
  229	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  (c)	
  	
  429	
  	
  	
  	
  	
  	
  (d)	
  509	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  (e)	
  600	
  
θ	
  =	
  αt2/2	
  	
  	
  	
  	
  (em	
  radianos)	
  
1	
  volta	
  completa	
  corresponde	
  a	
  2π	
  radianos.	
  
θ =
αt2 2
2π
(voltas	
  completas)	
  
O	
  momento	
  angular	
  inicial	
  do	
  sistema	
  é:	
  
L	
  =	
  m	
  v	
  d/2	
  
Apenas	
  a	
  bala	
  está	
  em	
  movimento.	
  A	
  porta	
  
está	
  parada.	
  
	
  
O	
  momento	
  angular	
  final	
  é:	
  L	
  =	
  I	
  w.	
  
O	
  momento	
  de	
  inércia	
  é	
  a	
  soma	
  do	
  
momento	
  de	
  inércia	
  da	
  porta	
  e	
  o	
  da	
  bala:	
  	
  
I	
  =	
  Iporta	
  +	
  Ibala	
  
Pela	
  tabela	
  dada:	
  Iporta	
  =	
  Md2/3	
  
(3)	
  Uma	
  porta	
  de	
  largura	
  d	
  e	
  massa	
  M	
  tem	
  dobradiças	
  em	
  um	
  dos	
  lados	
  de	
  modo	
  que	
  
pode	
  girar	
  sem	
  atrito	
  em	
  volta	
  de	
  um	
  eixo	
  ver]cal.	
  A	
  porta	
  está	
  inicialmente	
  fechada,	
  sem	
  
nenhum	
  ]po	
  de	
  tranca.	
  Uma	
  bala	
  de	
  massa	
  m	
  é	
  disparada	
  e	
  a]nge	
  o	
  centro	
  exato	
  da	
  
porta	
  na	
  direção	
  perpendicular	
  ao	
  plano	
  da	
  porta	
  a	
  uma	
  velocdade	
  v.	
  Calcule	
  a	
  velocidade	
  
angular	
  da	
  porta	
  imediatamente	
  depois	
  que	
  a	
  bala	
  penetra	
  na	
  madeira	
  da	
  porta.	
  (Dica:	
  
calcule	
  o	
  momento	
  angular	
  antes	
  e	
  depois)	
  
(a)	
  0,40	
  	
  	
  	
  	
  	
  (b)	
  0,50	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  (c)	
  0,75	
  	
  	
  	
  	
  (d)	
  1,2	
  	
  	
  	
  	
  (e)	
  2,1	
  
ω =
mvd 2
I porta + Ibala
ω =
mvd 2
M d 2 3 +md
2
4
ω =
6mv
4M +3m( )d
E	
  o	
  da	
  bala,	
  usamos	
  a	
  definição	
  de	
  momento	
  de	
  inércia:	
  
Ibala	
  =	
  m(d/2)2	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  (também	
  em	
  relação	
  ao	
  eixo	
  passando	
  pelas	
  dobradiças)	
  
	
  
Veja	
  equação	
  (28.3)	
  e	
  Exemplo	
  28.2	
  do	
  livro-­‐texto.	
  
Como	
  não	
  existe	
  torque	
  causado	
  por	
  forças	
  externas,	
  o	
  momento	
  angular	
  se	
  conserva:	
  
	
  
L	
  =	
  m	
  v	
  d/2	
  =	
  I	
  w	
  	
  
(4)	
  Una	
  revista	
  especializada	
  informa	
  que	
  certo	
  carro	
  
possui	
  fa	
  do	
  seu	
  peso	
  sobre	
  as	
  rodas	
  dianteiras	
  e	
  o	
  
restante	
  sobre	
  as	
  rodas	
  traseiras,	
  sendo	
  a	
  distância	
  
entre	
  os	
  eixos	
  traseiro	
  e	
  dianteiro	
  igual	
  a	
  D.	
  Isto	
  
significa	
  que	
  a	
  força	
  normal	
  sobre	
  as	
  rodas	
  dianteiras,	
  
NDIA	
  =	
  fa*	
  P,	
  onde	
  P	
  é	
  o	
  peso	
  total	
  do	
  carro.	
  Qual	
  a	
  
distância	
  LCG	
  entre	
  o	
  eixo	
  traseiro	
  e	
  o	
  centro	
  de	
  
gravidade	
  do	
  carro	
  em	
  metros?	
  	
  
Fx∑ = 0
Fy∑ = 0
Primeira	
  condição	
  para	
  que	
  o	
  sistema	
  (neste	
  caso,	
  carro)	
  esteja	
  em	
  equilíbrio:	
  as	
  
componentes	
  da	
  força	
  resultante	
  são	
  iguais	
  a	
  zero.	
  	
  
Fy∑ = Ntra + Ndia −P = fa*P + (1− fa)*P −P = 0
Onde	
  Ntra	
  e	
  Ndia	
  são	
  as	
  forças	
  normais	
  sobre	
  as	
  rodas	
  traseiras	
  e	
  dianteiras	
  respec]vamente.	
  
A	
  segunda	
  condição	
  é	
  que	
  o	
  torque	
  seja	
  zero.	
  Vamos,	
  primeiro,	
  calcular	
  o	
  torque	
  em	
  
relação	
  ao	
  eixo	
  traseiro:	
  
τ tra∑ = Ntra ⋅0+ Ndia ⋅D−P ⋅LCG = 0+ fa ⋅P ⋅D−P ⋅LCG = 0
LCG = fa ⋅D
Encontramos	
  o	
  mesmo	
  resultado	
  se	
  calcularmos	
  o	
  torque	
  em	
  relação	
  ao	
  eixo	
  dianteiro.	
  
(5)	
  Qual	
  o	
  período	
  do	
  movimento,	
  P,	
  de	
  um	
  satélite	
  em	
  órbita	
  circular	
  a	
  uma	
  altura	
  de	
  h	
  
sobre	
  a	
  superlcie	
  terrestre?	
  Dê	
  a	
  resposta	
  em	
  horas.	
  O	
  raio	
  da	
  Terra	
  RT	
  é	
  igual	
  a	
  6380	
  km	
  
e	
  a	
  massa	
  da	
  Terra	
  MT	
  é	
  igual	
  a	
  5,97	
  x	
  1024	
  	
  kg.	
  (Dica:	
  calcule	
  a	
  velocidade	
  que	
  o	
  satélite	
  
deve	
  ter)	
  
(a)	
  1,5	
  	
  	
  	
  	
  (b)	
  1,8	
  	
  	
  	
  (c)	
  2,1	
  	
  	
  	
  	
  (d)	
  3,8	
  	
  	
  	
  	
  (e)	
  5,8	
  
Uma	
  órbita	
  circular	
  terá	
  uma	
  aceleração	
  centrípeta	
  igual	
  a:	
  
ac	
  =	
  v2/r	
  
	
  
Pela	
  lei	
  da	
  gravitação,	
  a	
  força	
  que	
  atua	
  sobre	
  o	
  satélite	
  é	
  igual	
  a:	
  
F=	
  G	
  MT	
  ms	
  /	
  r2	
  
Pela	
  segunda	
  lei	
  de	
  Newton:	
  
F	
  =	
  ma	
  
G	
  MT	
  ms	
  /	
  r2	
  	
  =	
  ms	
  v2	
  /	
  r	
  
A	
  velocidade	
  do	
  satélite	
  será	
  igual	
  a:	
  
v2	
  =	
  G	
  MT	
  /	
  r	
  
onde	
  r	
  é	
  a	
  distância	
  do	
  satélite	
  ao	
  centro	
  da	
  Terra:	
  	
  	
  r	
  =	
  RT	
  +	
  h	
  
O	
  período	
  do	
  movimento	
  do	
  satélite	
  é	
  o	
  tempo	
  que	
  ele	
  leva	
  para	
  dar	
  uma	
  volta	
  
completa,	
  ou	
  seja	
  percorrer	
  uma	
  distância	
  de	
  2	
  pi	
  r.	
  
Como	
  a	
  velocidade	
  do	
  satélite	
  é	
  constante:	
  	
  v	
  =	
  2	
  pi	
  r	
  /	
  P	
  
P = 2πrv
P = 2πr
GMT
r
=
2πr 32
GMT r	
  =	
  RT	
  +	
  h	
  
•  Dividir	
  por	
  3600	
  para	
  obter	
  a	
  resposta	
  em	
  horas.	
  
(6)	
  Qual	
  a	
  quan]dade	
  de	
  trabalho	
  necessária	
  para	
  colocar	
  um	
  satélite	
  de	
  massa	
  M	
  em	
  
órbita	
  circular	
  a	
  uma	
  altura	
  h	
  sobre	
  a	
  superlcie	
  terrestre	
  e	
  a	
  uma	
  velocidade	
  v?	
  O	
  raio	
  da	
  
Terra	
  é	
  igual	
  a	
  6.380	
  kme	
  a	
  massa	
  da	
  Terra	
  é	
  igual	
  a	
  5,97	
  x	
  1024	
  	
  kg.	
  (Dica:	
  calcule	
  a	
  energia	
  
mecânica	
  antes	
  e	
  depois	
  de	
  colocar	
  o	
  satélite	
  em	
  órbita)	
  
(a)	
  2,92	
  x	
  1010	
  J	
  	
  	
  	
  	
  (b)	
  5,79	
  x	
  1010	
  J	
  	
  	
  	
  	
  	
  (c)	
  8,51	
  x	
  1010	
  J	
  	
  	
  	
  	
  (d)	
  1,09	
  x	
  1011	
  	
  J	
  	
  	
  	
  	
  (e)	
  2,50	
  x	
  1011	
  J	
  
Energia	
  inicial:	
  antes	
  de	
  colocar	
  o	
  satélite	
  em	
  órbita.	
  O	
  satélite	
  está	
  sobre	
  a	
  superlcie	
  
da	
  Terra	
  e	
  parado:	
  
E1 = −
GMTms
RT
Após	
  colocar	
  o	
  satélite	
  em	
  órbita,	
  a	
  energia	
  total	
  será:	
  
E2 = −
GMTms
RT + h
+
msv2
2
A	
  quan]dade	
  de	
  trabaho	
  necessário	
  é	
  a	
  diferença	
  entre	
  a	
  energia	
  final	
  e	
  a	
  inicial:	
  
W = E2 −E1
W =GMTms
1
RT
−
1
RT + h
"
#
$
%
&
'+
msv2
2
(7)	
  Determine	
  a	
  velocidade	
  mínima	
  para	
  que	
  uma	
  nave	
  robó]ca	
  de	
  mnave	
  consiga	
  escapar	
  
da	
  gravidade	
  de	
  um	
  asteróide	
  de	
  	
  Rast	
  de	
  raio	
  e	
  densidade	
  igual	
  a	
  rho.	
  Suponha	
  que	
  o	
  
asteróide	
  seja	
  esférico.	
  
Ao	
  escapar,	
  	
  sua	
  energia	
  potencial	
  será	
  zero	
  (ou	
  seja,	
  distância	
  r	
  tende	
  ao	
  infinito).	
  
Para	
  calcular	
  a	
  velocidade	
  mínima,	
  fazemos	
  que	
  a	
  velocidade	
  da	
  nave	
  robó]ca	
  seja	
  ao	
  final	
  
zero.	
  
	
  Assim	
  que:	
  E2	
  =	
  0	
  
	
  
Antes	
  de	
  escapar:	
  
	
  
	
  
Pela	
  conservação	
  de	
  energia:	
  E1	
  =	
  E2	
  =	
  0	
   GMastmnave
Rast
=
mnavev2
2
E1 = −
GMastmnave
Rast
+
mnavev2
2
v = 2GMastRast
Supondo	
  que	
  o	
  asteróide	
  seja	
  esférico:	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  (V=4/3	
  pi	
  R3	
  	
  :	
  volume	
  da	
  esfera)	
  
ρ =
Mast
43πRast
3 Mast = 43πRast
3 ρ v = 8π3 GρRast
2