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UNIVERSIDADE FEDERAL DE OURO PRETO 4a AVALIAC¸~AO DE CA´LCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I - TURMA 91 DEMAT/ICEB/UFOP - Profa E´rica Resende Malaspina Aluno(a): Data: 06/09/2013 Todos os exerc´ıcios devem ter justificativas. Resposta sem justificativa na˜o sera´ aceita. In- tegrais imediatas, so´ as que esta˜o na tabela em anexo. As integrais ja´ resolvidas em sala de aula podem ser usadas, mas as que foram deixadas como exerc´ıcio para casa devem ser feitas com as devidas justificativas. 1. Resolva as integrais a seguir: a. (5,0) ∫ x3 − 1 x3 − 4x2 + 4x dx b. (4,0) ∫ 11 3 x + 3√ 2x + 3 dx c. (4,0) ∫ ln(x) x[ln(2) + ln(x)] dx d. (4,0) ∫ pi/4 0 sin2(x) cos2(x) dx e. (4,0) ∫ 2x sin(x) dx 2. (4,0) Usando integrac¸a˜o, calcule a a´rea da el´ıpse x2 4 + y2 9 = 1. Identifique a regia˜o em um gra´fico. BOA PROVA ! 1 Identidades Trigonome´tricas 1. sin2 x + cos2 x = 1 2. 1 + tan2 x = sec2 x 3. 1 + cot2 x = csc2 x 4. sin2 x = 1− cos(2x) 2 5. cos2 x = 1 + cos(2x) 2 6. sin(2x) = 2 sinx cosx 7. sinx cos y = 1 2 [sin(x− y) + sin(x + y)], x 6= y 8. sinx sin y = 1 2 [cos(x− y)− cos(x + y)], x 6= y 9. cosx cos y = 1 2 [cos(x− y) + cos(x + y)], x 6= y 10. cos(2x) = cos2 x− sin2 x Integrais Imediatas 1. ∫ C dx = Cx, C ∈ R 2. ∫ xn dx = xn+1 n + 1 , n ∈ Z∗ e n 6= −1 3. ∫ x1/n dx = x(1/n)+1 (1/n) + 1 , n ∈ Z∗, n 6= 1 e n 6= −1 4. ∫ 1 x dx = ln |x| 5. ∫ cosx dx = sinx 6. ∫ sinx dx = − cosx 7. ∫ bx dx = bx ln b , b > 0 e b 6= 1 8. ∫ sec2(x) dx = tan(x) 9. ∫ csc2(x) dx = cot(x) 2
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