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Prova 4 - 13.1

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UNIVERSIDADE FEDERAL DE OURO PRETO
4a AVALIAC¸~AO DE CA´LCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I - TURMA 91
DEMAT/ICEB/UFOP - Profa E´rica Resende Malaspina
Aluno(a):
Data: 06/09/2013
Todos os exerc´ıcios devem ter justificativas. Resposta sem justificativa na˜o sera´ aceita. In-
tegrais imediatas, so´ as que esta˜o na tabela em anexo. As integrais ja´ resolvidas em sala de aula
podem ser usadas, mas as que foram deixadas como exerc´ıcio para casa devem ser feitas com as
devidas justificativas.
1. Resolva as integrais a seguir:
a. (5,0)
∫
x3 − 1
x3 − 4x2 + 4x dx
b. (4,0)
∫ 11
3
x + 3√
2x + 3
dx
c. (4,0)
∫
ln(x)
x[ln(2) + ln(x)]
dx
d. (4,0)
∫ pi/4
0
sin2(x) cos2(x) dx
e. (4,0)
∫
2x sin(x) dx
2. (4,0) Usando integrac¸a˜o, calcule a a´rea da el´ıpse
x2
4
+
y2
9
= 1. Identifique a regia˜o em um
gra´fico.
BOA PROVA !
1
Identidades Trigonome´tricas
1. sin2 x + cos2 x = 1
2. 1 + tan2 x = sec2 x
3. 1 + cot2 x = csc2 x
4. sin2 x =
1− cos(2x)
2
5. cos2 x =
1 + cos(2x)
2
6. sin(2x) = 2 sinx cosx
7. sinx cos y = 1
2
[sin(x− y) + sin(x + y)], x 6= y
8. sinx sin y = 1
2
[cos(x− y)− cos(x + y)], x 6= y
9. cosx cos y = 1
2
[cos(x− y) + cos(x + y)], x 6= y
10. cos(2x) = cos2 x− sin2 x
Integrais Imediatas
1.
∫
C dx = Cx, C ∈ R
2.
∫
xn dx =
xn+1
n + 1
, n ∈ Z∗ e n 6= −1
3.
∫
x1/n dx =
x(1/n)+1
(1/n) + 1
, n ∈ Z∗, n 6= 1 e n 6= −1
4.
∫
1
x
dx = ln |x|
5.
∫
cosx dx = sinx
6.
∫
sinx dx = − cosx
7.
∫
bx dx =
bx
ln b
, b > 0 e b 6= 1
8.
∫
sec2(x) dx = tan(x)
9.
∫
csc2(x) dx = cot(x)
2

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