Lista2 SMA0300, Geometria Analítica

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Lista de exerc´ıcios de SMA-0300 - Geometria Anal´ıtica - Prof. Valdir Menegatto #2
1. Encontre a equac¸a˜o da hipe´rbole que possui as propriedades mencionadas:
(i) O centro e´ (0, 0), um foco e´ (6, 0) e um ve´rtice e´ (4, 0);
(ii) O centro e´ (0, 0), um foco e´ (0,−3) e um ve´rtice e´ (0, 2)
(iii) Os focos sa˜o (5, 0) e (−5, 0) e um ve´rtice e´ (3, 0);
(iv) Os focos sa˜o (4, 0) e (−4, 0) e y = 2x e´ uma ass´ıntota;
(v) Um foco e´ (0, 6) e a excentricidade e´ c/a = 2;
(vi) Um ve´rtice e´ (0, 1) e as retas y = ±4x/3 sa˜o ass´ıntotas;
(vii) Um foco esta´ sobre o eixo x, o ponto (3, 4) pertence a` hipe´rbole e as retas y ± 2x
sa˜o ass´ıntotas;
(ix) O ponto (5, 9) pertence a` hipe´rbole e y = ±x sa˜o suas ass´ıntotas;
(x) O centro e´ (0, 0), os focos esta˜o sobre um dos eixos coordenados e os pontos (6,
√
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e (−1, 0) pertencem a` hipe´rbole;
(xi) O centro e´ (0, 0), os focos esta˜o sobre um dos eixos coordenados e os pontos (1, 1)
e (4, 4) pertencem a` hipe´rbole.
2. Determine a reta tangente a` hipe´rbole 5x2 − 3y2 = 17 no ponto (−2,−1).
3. Esboce as curvas definidas pela igualdade x3y3 − 100xy = 0.
4. Ratifique que as hipe´rboles x2 − y2 = 5 e xy = 6 se intersectam em um aˆngulo de pi/2.
5. A amplitude focal de uma hipe´rbole e´ o comprimento de uma corda determinada pela
hipe´rbole, que conte´m um foco e e´ perpendicular a` reta que conte´m os dois focos.
Determine a hipe´rbole com focos (−5, 0) e (5, 0) e amplitude focal 9/2.
6. A reta 3x−√5y− 4 e´ tangente a` hipe´rbole com focos (−2√2, 0) e (2√2, 0). Determine
a hipe´rbole.
7. Nos itens abaixo, fac¸a uma translac¸a˜o do referencial para simplificar a equac¸a˜o. Identi-
fique geometricamente o que a equac¸a˜o final representa.
(i) x2 + y2 − 4x− 6y + 9 = 0;
(ii) x2 + y2 + 4x+ 2y = 0;
(iii) x2 − 9y2 − 6x+ 18y − 9 = 0;
(iv) y2 + 4x+ 4y = 4.
8. Nos itens abaixo, use uma translac¸a˜o conveniente para simplificar a equac¸a˜o, eliminando
os termos indicados. Aproveite, e tente identificar geometricamente o que a equac¸a˜o final
representa.
(i) x2 + 3xy + y2 − 4x− y − 5 = 0; termos de grau 1;
(ii) y = x3 + 3x2 + x+ 3; x2 e termo constante;
(iii) y = x4 + x3 − x2 − x− 7; x e termo constante;
(iv) x2y + x2 + 2xy − x− 3y + 2 = 0; termos de grau 2.
9. Esboce as curvas dadas pelas equac¸o˜es abaixo. Se precisar, utilize uma translac¸a˜o do
referencial como ajuda.
(i) x2 + y2 − 8x− 6y − 75 = 0;
(ii) 4y2 − 9x2 − 18x− 24y − 9 = 0;
(iii) 5x2 + 2y2 + 30x+ 4y + 37 = 0.
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