Lista4 SMA0300, Geometria Analítica

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Lista de exerc´ıcios de SMA-0300 - Geometria Anal´ıtica - Prof. Valdir Menegatto #4
1. No trape´zio ABCD, AC e BD sa˜o diagonais. Se
−→
AB = 2
−−→
CD, exprima
−−→
AX como
combinac¸a˜o linear de
−−→
AD e
−→
AB.
2. Justifique que os pontos me´dios dos lados de um quadrila´tero qualquer sa˜o ve´rtices de
um paralelogramo.
3. Em um tetraedro OABC com base determinada por ABC, determine o nu´mero rel m
de modo que o ponto
X = O +
m
3
−→
OA−m−−→OB + m
2
−→
OC
pertenc¸a a` base do tetraedro.
4. Sejam A, B, C e D pontos quaisquer, M o ponto me´dio de AC e N o ponto me´dio de
BD. Exprima o vetor
−→
AB +
−−→
AD +
−−→
CB +
−−→
CD em func¸a˜o de
−−→
MN .
5. Decida se as afirmac¸o˜es abaixo sa˜o verdadeiras ou falsas:
(i) Se {~u,~v, ~w} e´ l. i., enta˜o {~u+ ~v + ~w, ~u− ~v, 3~v} tambe´m e´.
(ii) Se {~u+ ~v + ~w, ~u− ~v, 3~v} e´ l. i., enta˜o {~u,~v, ~w} tambe´m e´.
(iii) Se {~u,~v, ~w} e´ l. i., enta˜o {~u+ ~v, ~u+ ~w,~v + ~w} tambe´m e´.
(iv) Se {~u+ ~v, ~u+ ~w,~v + ~w} e´ l.i., enta˜o {~u+ ~v + ~w, ~u− ~v, 3~v} tambe´m e´.
6. Sejam {~e1, ~e2, ~e3} e {~f1, ~f2, ~f3} bases do espac¸o. Verifique que, para algum i ∈ {1, 2, 3},
o conjunto {~e1, ~e2, ~fi} tambe´m e´ uma base.
7. Seja B uma base do espac¸o. Determine condic¸o˜es sobre m e n de modo que os conjuntos
de vetores abaixo sejam l. d.
i) {(5, 3, 1)B, (10,m+ 1, 2)B};
ii) {(m+ n,m− 1, 3)B, (2, n,m)B};
iii) {(1,m,m+ 1)B, (1, 0,m)B, (m, 0, 2m)B}.
8. Sejam {~u,~v, ~w} um conjunto l. i. e ~t um vetor qualquer. Verifique que o conjunto
{~u + ~t, ~v + ~t, ~w + ~t} e´ l. i. se e somente se existirem nu´meros reais α, β, e γ tais que
α+ β + γ 6= −1 e ~t = α~u+ β~v + γ ~w.
9. Suponha que em relac¸a˜o a alguma base tenhamos ~u = (1,−1, 1), ~v = (2, 0, 1) e ~w =
(3, 1, 1, ). Encontre um vetor ~t paralelo a ~v e tal que ~t+ ~u seja paralelo a ~w.
10. Suponha que em relac¸a˜o a alguma base tenhamos ~u = (ξ, 1, 1), ~v = (2, ξ, 0), ~w =
(3, 1, 1). Determine ξ de modo que {~u,~v, ~w} seja l. d. e ~u na˜o seja paralelo a ~v.
11. Em relac¸a˜o a uma determinada base tem-se que ~u = (1,−1, 3), ~v = (−1, 1, 0) e ~w =
(2, 3, 1/3). Verifique que ~u na˜o pode ser escrito como combinac¸a˜o linear de ~v e ~w.
Verifique ainda que {~u,~v, ~w} e´ l. d.. Ha´ alguma contradic¸a˜o nisso?
12. Em relac¸a˜o a uma determinada base tem-se que ~u = (1, 2, 3), ~v = (2,m − 1, 0) e
~w = (m, 0, 0), onde m e´ um nu´mero real. Determine m de modo que ~u seja combinac¸a˜o
linear de ~v e ~w. Em seguida, dermine m de modo que {~u,~v, ~w} seja l.d..
13. Se {~u,~v, ~w} e´ uma base e a, b e c sa˜o nu´meros reais, determine condic¸o˜es sobre a, b e c
de modo que {a~u, b~v, c~w} seja uma base.
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