Elementos comprimidos

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Elementos de estruturas de aço – Dimensionamento – Capítulo 4 – Elementos Comprimidos 
 
NBR 8800.2008 
 
 
4 - ELEMENTOS COMPRIMIDOS 
 
Os elementos comprimidos podem atingir o estado limite último por escoamento, ou por 
colapso devido ao fenômeno da flambagem. 
O escoamento é semelhante ao dos elementos tracionados, ou seja, só ocorre quando na 
seção toda a tensão de compressão atinge o valor de escoamento. 
A flambagem pode ocorrer de duas formas, a global ou a local. A global representa a 
flambagem da barra como um todo, enquanto a flambagem local representa o colapso dos elementos 
que compõe a seção transversal da barra. 
Com relação à flambagem global, é comum considerar apenas o caso particular da 
flambagem por flexão, que é de fato predominante, quando se trata de seções como as quadradas, 
retangulares e circulares. 
Entretanto, mesmo nas seções duplamente simétricas a flambagem pode ocorrer em torno 
dos eixos principais (x ou y) ou por torção em torno do eixo longitudinal z. O menor valor da força, Px, 
Py ou Pz indicará a direção crítica. por flexão e torção deve ser considerada, pois costuma ser o caso 
crítico. 
Nas seções monossimétricas a flambagem pode ocorrer por flexão em torno do eixo de não 
simetria ou por flexão associada com torção em torno do eixo de simetria. A condição crítica será 
dada pelo menor valor entre Py e Pxz, onde x é o eixo de simetria. 
Para as seções assimétricas, o modo combinado envolvendo flexão em torno dos dois eixos 
principais e torção é que sempre ocorrerá, e o valor da força crítica será Pxyz. 
 
 
4.1- Flambagem global por flexão em coluna ideal 
 
Estudando inicialmente a flambagem de uma coluna ideal, assim chamada por possuir: 
 
. Extremidades rotuladas 
 
. Material homogêneo 
 
. Peça sem imperfeições geométricas 
 
. Comportamento elástico linear 
 
. Força axial centrada (problema de 1a. espécie) 
 
. Sem instabilidade local ou por torção 
 
- Cálculo da carga crítica pelo processo do equilíbrio 
 
. Com a expressão aproximada da curvatura 
 
1 0
2
2
2
2r
d y
dx
M
EI
M Ny
d y
dx
N
EI
y        
 
onde EI é a rigidez a flexão da barra. 
Fazendo: 
EI
Nk 2 obtêm-se: 0'' 2  yky
que é uma equação diferencial ordinária linear de 2a. ordem, cuja solução é: 

F
F
F
M
x
y
x
 
 y = C1 sen (kx) + C2 cos (kx) 
 
Com as condições de contorno: x = 0  y = 0  C2 = 0 
x =  y = 0  C1 sen (k ) = 0  
 
e a equação se torna: y = C1 sen (kx) 
 
que pode ser satisfeita de três modos: 
 
 a – quando C1 = 0 então y = 0 Ocorre quando N < Ncr . 
 
 b - quando: C1  0 e y = 0  k = 0  N = 0. Não há forca aplicada. 
 
 c - quando: C1  0 e sen (k )= 0 então: k = n   (n=1, 2, 3, .) portanto: sen n = 0. 
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Portanto só interessa o último caso que define a força capaz de manter a barra ideal em 
equilíbrio indiferente. Impondo-se um deslocamento lateral qualquer, a barra permanece na posição 
deslocada, e a equação final pode ser obtida fazendo: 
 
 isolando: 
2
22

EInN
EI
Nnk   k = n
com n = 1 obtém-se a menor força de flambagem: 
2
2

EINcr
 
Esta equação define o valor da força de flambagem de uma barra ideal, em função do 
comprimento da barra e é conhecida como equação de Euler. Para a formulação desta equação foi 
atribuído valor unitário para a variável n e obtido o menor valor da força em estudo. 
Os valores de n maiores que a unidade representam os demais modos de flambagem da 
barra, que definem valores mais altos para esta força, que na prática não possuem nenhum interesse 
específico. Entretanto, pode ser feita uma pequena analogia com as alterações que podem surgir na 
força de flambagem devido a alterações das condições de apoio, que alteram as condições de 
contorno, fazendo surgir diferentes valores para Ncr. 
Estes valores podem ser determinados pela resolução da nova equação diferencial, ou então 
relacionados ao valor já deduzido por meio de um coeficiente (K), que transforma o comprimento real 
da barra em um comprimento de referencia, denominado de comprimento de flambagem, que é a 
distancia entre as mudanças de curvatura ou pontos de inflexão. 
 
Deste modo obtém-se a equação de Ncr para qualquer condição de contorno da barra, sem 
precisar resolver novas equações diferenciais. 
Portanto, fazendo: f = K, a equação de Euler se torna: 2
2
cr )(
N K
EI 
Os valores de K, aplicáveis às condições mais usuais de vinculação são: 
 


0,
25

0,
25
0,
50


0,
3

0,
7






0,
5
 
Valores de K: 1,0 0,5 0,7 2,0 2,0 1,0 
 
Observa-se na figura que o comprimento de flambagem representa efetivamente a distância 
entre pontos de inflexão da configuração deslocada da barra. 
 
Para determinar a expressão para a tensão crítica de flambagem, dividindo a força crítica 
pela área da seção transversal da barra - lembrado que r/ - encontra-se: 
 
    2
2
2
2
2
2
2

 E
K
rE
AK
EI
A
Ncr
cr  
 Portanto: 
2
2
cr 
 E 
 
A tensão crítica possui como limite superior a tensão de escoamento, portanto fazendo σcr= fy 
na equação da tensão encontra-se a esbeltez correspondente a este limite. Assim: 
 
σcr = 
pl
y
Ef 
 2 Obtém-se: 
y
pl f
E2  
 
A esbeltez λpl representa o ponto que separa o trecho da flambagem elástica do trecho onde 
haveria somente plastificação, sem ocorrer a perda da estabilidade da barra. Para colocar este 
comportamento em um gráfico, é usual fazer: 
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 / 0 pl  que pode ser colocado na forma: 


pl
0
1 
e, dividindo a tensão crítica pela tensão de escoamento: 
 12
0
2
2
2



 


 pl
yy
cr
f
E
f
 portanto: 2
0
 
y
cr
f 
 
Colocando em gráfico estas duas conclusões: 
 
 
Ficam assim determinados os valores de σcr e de Ncr , em função da esbeltez (λ) e do módulo 
de elasticidade, ou em função da esbeltez reduzida ( 0 ) e da tensão de escoamento. 
 
 
4.2- Flambagem global por flexão em coluna real 
 
Na prática é impossível obter as condições ideais, ocorrendo desvios deste comportamento 
que precisam ser incluídos na curva de flambagem, para cada condição não satisfeita e para que ela 
continue a reproduzir, da maneira mais fiel, o comportamento real. 
 
4.2.1 – Material não homogêneo 
 
Devido aos processos de fabricação, todos os perfis metálicos possuem, em menor ou em 
maior grau, tensões internas que alteram o seu comportamento quando comprimido, a partir do 
momento em que a tensão aplicada ultrapassa a tensão que define o limite de proporcionalidade, ou 
seja, quando: 
 
σaplicada > fy - σr = fproporcionalidade 
 
Sendo σr o valor da tensão residual. Portanto, o limite real para o início da flambagem elástica 
não é mais (λ pl), mas sim (λ r) que pode ter seu valor deduzido assumindo, como faz a NBR 
8800.2008, o valor deve σr como de 0,3 fy para todos os perfis, e a equação da tensão crítica se 
torna: 
ryp
r
cr ff
E 
  2
2
 
e: 
yryp
r f
E
f
E
f
E
7,0
222 

  
 
 
Portanto, λr é a esbeltez relativa para a tensão de limite de 
proporcionalidade, resultante da diferença entreas tensões de 
escoamento e a residual, que define o término de validade da lei 
de Hooke e da aplicação da equação de Euler, sendo portanto 
um limite superior para a flambagem elástica. 
Entre os valores de λpl e λr ocorre a flambagem inelástica, e a 
determinação da tensão crítica pode ser feita pela Teoria do 
Módulo Tangente ou pela Teoria do Duplo Módulo. 
As normas usualmente apresentam curvas de flambagem 
definidas com base em resultados experimentais, evitando o trabalho determinar a tensão neste 
trecho, e estas curvas englobam também o trecho que deveria ser de escoamento. 
4.2.2 – Imperfeições geométricas 
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Além da falta de homogeneidade, os perfis de aço apresentam outra imperfeição importante 
que impede que λpl seja o limite inferior para que não ocorra flambagem neste trecho, pois deveria 
ocorrer apenas escoamento da seção por compressão no trecho entre λ=0 e λ=λpl. 
Estas imperfeições são os defeitos de fabricação como falta de linearidades geométricas e 
possíveis excentricidades (problemas de 2a espécie) que influenciam o comportamento real dos 
elementos comprimidos, eliminando este patamar de escoamento e reforçando o surgimento da 
flambagem inelástica. 
Analisando uma coluna com imperfeições de fabricação, inicialmente uma deflexão inicial que 
possa ser representada pela expressão: 
yo = vo sen 
x
 
que é uma curva senoidal, proposta por Young (1807) e vo seja a deflexão inicial. 
Então: 
xsenvy  e a sua derivada segunda será: 
xsenvy  2
2
''  
 
analogamente: 
 
y M
EI
N y y
EI
k y yo o'' ( )   
   2 
Comparando as duas expressões de y", lembrando que 
EI
Nk 2 : 
)(22
2
vvxsenkxsenv o  

 
então: 
1
1
1
1
1
1
2
2
22
2 





N
Nv
N
EI
v
k
vv
e
ooo

 
Como 
1
11










N
Nvvvv eooT
 então: 










e
oT
N
Nvv 1
1
 
 
Onde: o parâmetro 









eN
N1
1
 é um fator de amplificação de flechas. ( Timoshenko vol. 2 pg. 51). 
Observando que nesta situação a carga crítica induzirá deslocamentos infinitos. 
 
Analisando agora uma coluna com excentricidades iniciais. 
 
Da figura tira-se: 
  1 2
2r
d y
dx
M
EI
N v y
EI
o      
 
0''
0''
22 

o
o
vkyky
EI
Nvy
EI
Ny
 
 
Cuja solução geral é: y = C1 sen kx + C2 cos kx + vo 
 
Aplicando as condições de contorno, retiradas da figura:  





 ksen
klvCyx
vCyx
o
o
1cos0
00
1
2
 
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Encontra-se:   


  1cos1cos kxkxsen
ksen
kvy o 
 
Fazendo x = /2 encontra-se v = ymax , ou seja:    

  1)2(cos)2(
1cos  kksen
klsen
klvv o 
Substituindo: sen k = 2sen(k / 2) cos(k / 2) e cos k = 2cos2 (k / 2) – 1     
 
e rearranjando sempre em função de v, chega-se a: 









2
cos
11 kvv o 
Como o deslocamento total é vt = v + vo e EI
Nk 2 
substituindo chega-se a: 
v v
N N
T o
e







1
2
cos
 
e, mais uma vez observa-se que, quando 
N tende a Ncr , o deslocamento tende a 
infinito. 
Observa-se também que chegou-se a 
uma expressão semelhante a encontrada 
no procedimento anterior. Colocando em 
gráfico as duas soluções, obtém-se duas 
curvas quase coincidentes, que permitem 
concluir que, na prática, um fenômeno 
pode ser analisado por meio da equação 
do outro fenômeno. 
 
Com este último procedimento foram incluídos os itens que definem a trajetória de 
flambagem de uma barra, que pode ser melhor visualizada no gráfico completo de instabilidade. 
 
F
bifurcação do
equilíbrio
barra real (com imperfeições)
(instável)
trajetória fundamental
análise exata
barra ideal (sem imperfeições)
(estável)
trajetória fundamental
0 
Fcr
análise aproximada
análise exata
barra real (com imperfeições)
análise aproximada
imperfeição inicial

F
trajetória pós-flambagem (estável)
barra ideal (sem imperfeições)
 
 
Esquema da trajetória de equilíbrio de uma barra comprimida 
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4.2.3 – Flambagens ou Instabilidades Locais 
 
Os elementos, mesas e almas, que formam a seção transversal dos perfis metálicos, podem 
flambar antes que a tensão determinada pela análise global seja atingida. Estes elementos 
apresentam flambagem semelhante a de chapas, embora alguns não se encaixem perfeitamente 
nesta definição. 
Para iniciar este estudo, relembra-se que uma chapa solicitada em uma direção desperta 
tensões na direção perpendicular, que são relacionadas entre si pelo módulo de Young e, -(com 
permissão dos perfeccionistas)- da figura seguinte, que representa uma chapa com dois bordos 
livres e, solicitada nos dois outros por tensões de compressão, considerando: 
1 - A tensão crítica de flambagem pode ser escrita de forma genérica como: 
 
2
2

 Ecr  
2 - A esbeltez da chapa é definida por: 
r
 
3 - O raio de giro será: 
1212
3 t
bt
bt
A
Ir  
4 - Pode-se escrever:
2
2
2 12
t
 
que substituída na expressão da tensão crítica, fornece 
a equação específica para as tensões em uma chapa: 
 
22
12


 
tE
cr
 
 
Porém, em chapas com todas as bordas apoiadas, ocorrerá uma restrição aos 
deslocamentos nos apoios, surgindo então um comportamento que dependerá das duas direções 
principais da chapa. Deste modo a expressão de σcr se torna: 
 
  cr
k E t
b
 




2
2
2
12 1( )
 
 
agora em função de b (menor dimensão), pois as chapas longas flambarão em ondas, sob a 
forma de retângulos, cujo lado maior tenderá ao valor de b. 
 
b
= b~
b
= b
 
 
O coeficiente de flambagem, definido como: k a
mb
mb
a
 


2
reflete a influencia da relação a/b. 
Neste caso, o valor mínimo ocorre para a = b, quando então m = 1 e k = 4,0. 
 
O valor de k é quase constante para chapas longas, ou para valores inteiros da relação a/b, 
podendo-se, a favor da segurança, tratar qualquer chapa como chapa longa. Assim, em função das 
condições de vínculo: 
b
p
P
P
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Condições de vínculo Valor mínimo de k 
- 2 bordas engastadas 6,97 
- 1 borda engastada, outra apoiada 5,42 
- 2 bordas apoiadas 4,00 
- 1 borda engastada, outra livre 1,28 
- 1 borda apoiada, outra livre 0,425 
 
A flambagem de uma chapa, ao contrário do que ocorre com as colunas, não caracteriza o 
colapso, devido à capacidade das chapas de absorverem carregamentos, mesmo após a flambagem. 
É o comportamento pós-crítico que está exemplificado na figura seguinte. 
 
 
a. Conceito de largura efetiva: 
 
A determinação das tensões pós flambagem apresentam muitas dificuldades para a sua 
determinação, sendo usual a aplicação de procedimentos aproximados. Assim, considerando que 
determine-se uma largura virtual denominada de be menor do que a largura real b, tal que: 
 
dyb
b
e 0max   
nesta situação só ocorre o colapso quando: f
N
A
N
b ty
max
e
max
e
 
.
 
No gráfico ao lado pode servista a hipótese assumida. 
 
Devido às imperfeições iniciais, be < b mesmo quando σmax < σcr. 
 
As chapas com uma borda livre, ou seja, as que 
possuem apenas uma borda apoiada, apresentam uma reserva 
pós-crítica bem menor que as chapas com as duas bordas 
apoiadas e a largura efetiva também pode ser calculada como: 
 
b de max
b
.  0 y 
 
e, no gráfico, mais uma vez, a hipótese assumida. 
 
 
b. Flambagem não elástica: 
 
As chapas assim como as colunas também 
apresentam flambagem elástica e a inelástica, mas a 
consideração da tensão pós-crítica só é aplicável na 
flambagem elástica. Deste modo o comportamento 
das chapas deve ser: 
 
Chapa com bordas apoiadas: k E fi y  4 0 1 91, , 
Chapa com 1 borda livre: k E fi y  0 425 0 62, , 
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Quando: λ  λ pl  fcr = fy (não se considera o encruamento) 
λ pl < λ  λ r  flambagem inelástica 
λ > λ r  flambagem elástica com regime pós-crítico 
 
Obs.: 1- Para λ > λ pl o valor de k depende das condições de restrição à rotação das chapas que 
formam os apoios, portanto kreal é diferente de kteórico. 
2- É usual adotar, na prática, λ  λ pl, evitando assim a flambagem local das chapas, exemplos: 
os perfis VS, CVS, CS e laminados. 
3- Quando λ > λ pl o dimensionamento pode ser simplificado fazendo-se: 
 
Chapas com duas bordas apoiadas:( elementos enrijecidos) 
N A f A
A
A f Q A fmax e y e y a  . . . . y. onde:
A b
Q A
A
e e
a
e





. t
 
e be é determinado por aproximações sucessivas (iterações). 
 
Chapas com uma borda livre:( elementos não enrijecidos) 
N A A
f
f Q A fmax cr cr
y
y s  . .  y. 
onde: Qs < 1,0 é função da relação b/t, não sendo usual o conceito de largura efetiva neste caso. 
 
Seções com elementos enrijecidos e não enrijecidos 
Nmax = Qs . fy . Ae = Qs . Qa . A . fy = Q . A . fy onde  




 AQbbtAA
QQQ
aee
as
.
.
A NBR 8800.2008 fornece os limites e os valores respectivos para os fatores Qs e Qa 
 
 
4.2.4 –Analisando o problema da flambagem partir das tensões de flexo-compressão 
 
A tensão máxima que pode ocorrer em uma coluna ao flambar, como já visto, resulta da soma da 
tensão de compressão com a de flexão, causada pelo encurvamento da barra, que pode ser 
equacionada como: 
 max oNA
M
W
N
A
A v
W
   

1 
 
onde: μ é o coeficiente de ampliação dos deslocamentos, já demonstrado e que vale: 
 
  
1
1
1
2
N
N
N
Ne e
cos
 Fazendo 
W
o Av e substituindo encontra-se: 
 
)1(max   m onde σm = N/A representa a tensão normal média. 
Introduzindo: 
ov sendo  a excentricidade específica definida nas especificações, lembrando: 
2
 
h
IW  e: AIr 2 e: r

 
 
que substituídos na expressão de η fornecem: 
r
h
r
h
I
hA
wh
hA


 2
2/2/
2/
2/
2   
 
denominando 2r/h como fator de forma da seção, pois considera o raio de giro da seção e a 
metade de sua altura, todas as seções podem ter estas propriedades pré-estabelecidas e, 
conhecendo-se a excentricidade específica determina-se a tensão máxima que atua na coluna. 
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Esta expressão, para a tensão crítica, pode ser obtida partindo-se da condição: 
 
N
A
M
W
fy  (condição de escoamento), com M = N μ vo tem-se: 
f N
A
Nv
W N
N
N
A
N
A
N
N Ny
o
e
e
e
 







  




1
1
 que, dividindo por fy: NN
N
Af
N
Af
N
e
e
yy 
 1 
introduzindo: 
yy N
N
Af
N
 encontra-se: 
NN
N
e
e
 1 
eliminando o denominador e dividindo tudo por Ne: 01 
ee N
N
N
N  
Como 20
2
2
2
2
2 




 



e
y
y
e
y
e
y
e
f
EE
ff
N
N
N
N
 
Resumindo-se a: 01 20
2
0
2  
Que rearranjando fornece:     011 20220   
Equação do 2o grau, cuja solução é: 
 
2
0
2
0
22
0
2
0
2
411

  
Esta é a equação geral que resume o assunto flambagem, em todos os seus aspectos. 
Para tornar mais fácil o dimensionamento de elementos comprimidos, é usual separar os 
trechos elástico do inelástico e, por muito tempo foi utilizada a curva do SSRC - Structural Stability 
Research Council, que admite um ajuste parabólico para o trecho inelástico e a equação de Euler 
para o trecho elástico, como tinha de ser. Atualmente, a NBR 8800.2008 utiliza a curva do AISC – 
American Institute of Steel Construction, que é uma curva semelhante à curva anterior, porém no 
trecho inelástico utiliza uma expressão exponencial, em lugar da parabólica. Esta curva, função da 
esbeltez reduzida e da força crítica reduzida, que são definidas como: 
 
cr
y
pl N
N
A
A 
cr
y
0 f
f
 /  E o normal reduzido com os dois trechos de aplicação: 
1 - para a flambagem elástica: 11
0
2
2
2
2
2



 


 pl
yy
cr
g
g
y f
E
f
f
A
A
N
N 
2 - para a flambagem inelástica: e 
2
0 a
 
Euler - flambagem elástica
flambagem inelástica
 
 50
Elementos de estruturas de aço – Dimensionamento – Capítulo 4 – Elementos Comprimidos 
 
NBR 8800.2008 
 
 
4.2.5 – A NBR 8800.2008 
 
A NBR 8800.2008 apresenta as seguintes considerações para a introdução da confiabilidade, 
na forma de segurança: 
 
Condição de resistência: Rd,cSd,c NN 
Onde:Nc,Sd é a força axial de compressão solicitante de cálculo; 
Nc,Rd é a força axial de compressão resistente de cálculo. 
 
A força axial de compressão resistente de cálculo, deve ser determinada pela expressão: 
 
1a
yg
Rd,c 
 fAQN 
Onde: é o fator de redução associado à resistência à compressão; 
Q é o fator de redução total associado à instabilidade local; 
Ag é a área bruta da seção transversal da barra. 
 
Os valores do fator  podem ser obtidos da tabela ao final, ou determinados por: 
Para 0 ≤ 1,5 → 
2
0658,0  
Para 0 ≥ 1,5 → 20/877,0  
O índice de esbeltez reduzido, 0, é dado por: 
e
yg
0 N
fAQ 
Onde Ne é a força axial de instabilidade elástica, determinada como a seguir (do anexo E): 
 
Para seção transversal duplamente simétrica: 
 
a) para instabilidade por flexão em relação ao eixo central de inércia x da seção transversal: 
2
xx
x
2
ex )( LK
IEN  
b) para instabilidade por flexão em relação ao eixo central de inércia y da seção transversal: 
2
yy
y
2
ey )( LK
IE
N
 
c) para instabilidade por torção em relação ao eixo longitudinal z: 
 


  JG
LK
CE
r
N
zz
w
o
ez 2
2
2 )(
1 
 
Onde: 
KxL é o comprimento de flambagem por flexão em relação ao eixo x; 
Ix é o momento de inércia da seção transversal em relação ao eixo x; 
KyLy é o comprimento de flambagem por flexão em relação ao eixo y; 
Iy é o momento de inércia da seção transversal em relação ao eixo y; 
KzLz é o comprimento de flambagem por torção; 
E é o módulo de elasticidade do aço; 
Cw é a constante de empenamento da seção transversal; 
G é o módulo de elasticidade transversal do aço; 
J é a constante de empenamento da seção (momento de inércia à torção uniforme); 
ro é o raio de giração polar da seção bruta em relação ao centro de cisalhamento: 
)( 2o
2
o
2
y
2
xo yxrrr  
xoe yo são as coordenadas do centro de cisalhamento na direção dos eixos centrais x e 
y, respectivamente, em relação ao centro geométrico da seção. 
 51
Elementos de estruturas de aço – Dimensionamento – Capítulo 4 – Elementos Comprimidos 
 
NBR 8800.2008 
Para seção transversal mono simétrica: 
 
A força axial de instabilidade elástica, Ne, de uma barra com seção monossimétrica, cujo eixo y 
é o eixo de simetria, é dada por: 
a) para instabilidade elástica por flexão em relação ao eixo central de inércia x da seção 
transversal: 
2
xx
x
2
ex )( LK
IEN  
b) para instabilidade elástica por flexo-torção: 






 2
ezey
2
ooezey
2
oo
ezey
eyz )(
])/(1[4
11
])/(1[2 NN
ryNN
ry
NN
N 
onde Ney e Nez são as forças axiais de instabilidade elástica definidas anteriormente. 
 
Para seção transversal assimétrica: 
A força axial de instabilidade elástica, Ne, de uma barra com seção transversal assimétrica 
(sem nenhum eixo de simetria) é dada pela menor das raízes da seguinte equação cúbica: 
0)()()()()(
2
o
o
exe
2
e
2
o
o
eye
2
eezeeyeexe 






r
yNNN
r
xNNNNNNNNN 
Onde: Nex, Ney, Nez, xo, yo e ro definidos anteriormente. 
 
Coeficientes de flambagem por flexão 
São fornecidos na tabela E.1 valores teóricos do coeficiente de flambagem por flexão, Kx ou 
Ky, para seis casos ideais de condições de contorno de elementos isolados, com a rotação e a 
translação das extremidades totalmente livres ou totalmente impedidas. Caso não possa ser 
assegurado a perfeição do engaste, podem ser usados os valores recomendados. 
Tabela E.1 - Coeficiente de flambagem por flexão, Kx ou Ky, para elementos isolados 
 
A linha tracejada indica a linha 
elástica de flambagem 
(a) 
 
(b) 
 
(c) 
 
(d) 
 
(e) 
 
(f) 
 
Valores teóricos de Kx ou Ky 0,5 0,7 1,0 1,0 2,0 2,0 
Valores recomendados 0,65 0,80 1,2 1,0 2,1 2,0 
Código para condição de apoio 
 
Rotação e translação impedidas 
Rotação livre, translação impedida 
Rotação impedida, translação livre 
Rotação e translação livres 
 
Nos elementos contraventados, o coeficiente de flambagem por flexão deve ser tomado igual 
a 1,0, a menos que se demonstre que pode ser utilizado um valor menor. 
Nas barras das subestruturas de contraventamento analisadas de acordo com as 
prescrições, o coeficiente de flambagem por flexão deve ser tomado igual a 1,0. 
O coeficiente de flambagem por torção, Kz, função das condições de contorno, deve ser 
determinado por análise estrutural, ou tomado igual a: 
a) 1,00, para barras com extremidades com rotação impedida e empenamento livre; 
b) 2,00, quando uma das extremidades da barra possuir rotação e empenamento livres e a 
outra extremidade possuir rotação e empenamento impedidos. 
 52
Elementos de estruturas de aço – Dimensionamento – Capítulo 4 – Elementos Comprimidos 
 
NBR 8800.2008 
 
Curva de  em função da esbeltez reduzida 0 
 
 
Tabela dos valores de  em função da esbeltez reduzida 0 
 
0 0,00 0,01 0,02 0,03 0,04 0,05 0,06 0,07 0,08 0,09 0 
0,0 1,000 1,000 1,000 1,000 0,999 0,999 0,998 0,997 0,997 0,997 0,0 
0,1 0,996 0,995 0,994 0,993 0,992 0,991 0,989 0,988 0,987 0,985 0,1 
0,2 0,983 0,982 0,980 0,978 0,976 0,974 0,972 0,970 0,968 0,965 0,2 
0,3 0,963 0,961 0,958 0,955 0,953 0,950 0,947 0,944 0,941 0,938 0,3 
0,4 0,935 0,932 0,929 0,926 0,922 0,919 0,915 0,912 0,908 0,904 0,4 
0,5 0,901 0,897 0,893 0,889 0,885 0,881 0,877 0,873 0,869 0,864 0,5 
0,6 0,860 0,856 0,851 0,847 0,842 0,838 0,833 0,829 0,824 0,819 0,6 
0,7 0,815 0,810 0,805 0,800 0,795 0,790 0,785 0,780 0,775 0,770 0,7 
0,8 0,765 0,760 0,755 0,750 0,744 0,739 0,734 0,728 0,723 0,718 0,8 
0,9 0,712 0,707 0,702 0,696 0,691 0,685 0,680 0,674 0,669 0,664 0,9 
1,0 0,658 0,652 0,647 0,641 0,636 0,630 0,625 0,619 0,614 0,608 1,0 
1,1 0,603 0,597 0,592 0,586 0,580 0,575 0,569 0,564 0,558 0,553 1,1 
1,2 0,547 0,542 0,536 0,531 0,525 0,520 0,515 0,509 0,504 0,498 1,2 
1,3 0,493 0,488 0,482 0,477 0,472 0,466 0,461 0,456 0,451 0,445 1,3 
1,4 0,440 0,435 0,430 0,425 0,420 0,415 0,410 0,405 0,400 0,395 1,4 
1,5 0,390 0,385 0,380 0,375 0,370 0,365 0,360 0,356 0,351 0,347 1,5 
1,6 0,343 0,338 0,334 0,330 0,326 0,322 0,318 0,314 0,311 0,307 1,6 
1,7 0,303 0,300 0,296 0,293 0,290 0,286 0,283 0,280 0,277 0,274 1,7 
1,8 0,271 0,268 0,265 0,262 0,259 0,256 0,253 0,251 0,248 0,246 1,8 
1,9 0,243 0,240 0,238 0,235 0,233 0,231 0,228 0,226 0,224 0,221 1,9 
2,0 0,219 0,217 0,215 0,213 0,211 0,209 0,207 0,205 0,203 0,201 2,0 
2,1 0,199 0,197 0,195 0,193 0,192 0,190 0,188 0,186 0,185 0,183 2,1 
2,2 0,181 0,180 0,178 0,176 0,175 0,173 0,172 0,170 0,169 0,167 2,2 
2,3 0,166 0,164 0,163 0,162 0,160 0,159 0,157 0,156 0,155 0,154 2,3 
2,4 0,152 0,151 0,150 0,149 0,147 0,146 0,145 0,144 0,143 0,141 2,4 
2,5 0,140 0,139 0,138 0,137 0,136 0,135 0,134 0,133 0,132 0,131 2,5 
2,6 0,130 0,129 0,128 0,127 0,126 0,125 0,124 0,123 0,122 0,121 2,6 
2,7 0,120 0,119 0,119 0,118 0,117 0,116 0,115 0,114 0,113 0,113 2,7 
2,8 0,112 0,111 0,110 0,110 0,109 0,108 0,107 0,106 0,106 0,105 2,8 
2,9 0,104 0,104 0,103 0,102 0,101 0,101 0,100 0,099 0,099 0,098 2,9 
3,0 0,097 - - - - - - - - - 3,0 
 53
Elementos de estruturas de aço – Dimensionamento – Capítulo 4 – Elementos Comprimidos 
 
NBR 8800.2008 
ELEMENTOS ESBELTOS (do anexo F): 
Os elementos que fazem parte das seções transversais usuais, exceto as seções tubulares 
circulares, para efeito de instabilidade local, são classificados em AA (duas bordas longitudinais 
vinculadas) e AL (apenas uma borda longitudinal vinculada). 
Nas barras submetidas à força axial de compressão quando todos os elementos que formam 
a seção transversal possuírem relações entre largura e espessura (b/t) que não superam os valores 
de r da tabela F.1, têm o fator de redução total Q igual a 1,00. 
Nas barras submetidas à força axial de compressão quando os elementos componentes da 
seção transversal possuírem relações b/t maiores que os valores de r da tabela F.1, são 
denominados elementos esbeltos e têm o fator de redução total Q dado por: 
as QQQ  
onde Qs e Qa são os fatores de redução que levam em conta a instabilidade local dos 
elementos AL e AA, cujos valores devem ser determinados considerando-se que: 
a) se a seção possuir apenas elementos AL: sQQ  
b) se a seção possuir apenas elementos AA: aQQ  
Os valores de Qs a serem usados para os elementos comprimidos AL são os seguintes: 
 
- elementos do grupo 3 da tabela F.1: 
y
y
s
y
y
s
f
E
t
b
t
bf
EQ
f
E
t
b
f
E
E
f
t
bQ
91,0 para ,53,0
91,00,45 para ,76,0340,1
2
y






 
- elementos do grupo 4 da tabela F.1: 
yy
y
s 03,10,56 para ,74,0415,1 f
E
t
b
f
E
E
f
t
bQ  
y
2
y
s 03,1 para ,
69,0Q
f
E
t
b
t
bf
E 



 
- elementos do grupo 5 da tabela F.1: 
)/(
17,1 para ,
90,0
)/(
17,1
)/(
0,64 para ,65,0415,1
2
y
cy
y
c
s
cycc
y
s
kf
E
t
b
t
bf
kEQ
kf
E
t
b
kf
E
Ek
f
t
bQ






 
com o coeficiente kc que deve ser limitado a 76,035,0 c  k dado por: 
w
c
4
th
k 
 
 
- elementos do grupo 6 da tabela F.1: 
y
y
s
y
y
s
f
E
t
b
t
bf
EQ
f
E
t
b
f
E
E
f
t
bQ
03,1 para ,69,0
03,10,75 para ,22,1908,1
2
y






 
Onde:h é a altura da alma; 
tw é a espessura da alma; 
b e t são a largura e a espessura do elemento, respectivamente (ver tabela ). 
 
Se existirem dois ou mais elementos AL com fatores de redução Qs diferentes, adotar o menor 
destes fatores. 
 54
Elementos de estruturasde aço – Dimensionamento – Capítulo 4 – Elementos Comprimidos 
 
NBR 8800.2008 
O fator de redução Qa das seções transversais com elementos comprimidos AA, cuja relação 
entre largura e espessura ultrapassa os valores indicados na tabela F.1, é definido como: 
gefa AAQ  
onde Ag é a área bruta, Aef a área efetiva, dada por:    tbbAA efgef 
O somatório se estende a todos os elementos AA; b e t a largura e a espessura de um elemento AA; 
bef é a largura efetiva de um elemento comprimido AA; 
 
A largura efetiva de mesas ou almas de seções tubulares retangulares é igual a: 
bE
tb
Etb 

  σ/
38,01σ92,1ef
 
onde  é a tensão que pode atuar no elemento analisado, igual a: 
ef
yg
A
fA com  obtido para elemento comprimido. 
A determinação de  pela expressão anterior exige um processo iterativo. De forma conservadora, 
pode ser assumido: yf evitando o processo iterativo. 
A largura efetiva dos elementos AA não previstos na definição anterior pode ser calculada como: 
bE
tb
Etb 

  σ/
34,01σ92,1ef 
onde  é a tensão que pode atuar, tomada igual a: yf com  obtido adotando Q igual a 1,0. 
 
Nas seções tubulares circulares, o coeficiente de instabilidade local da parede é dado por: 
- se 
y
11,0
f
E
t
D  ,1 00Q 
- se 
yy
45,011,0
f
E
t
D
f
E  
3
2038,0
y

f
E
tD
Q 
 
Onde:D é o diâmetro externo da seção tubular circular e t é a espessura da parede. 
Não é prevista a utilização de seções tubulares circulares com superior a 0,45 E/fy. tD /
 
Tabela F.1 - Valores de r – Elementos AA – duas bordas apoiadas 
 
Valores de r 
E
le
m
en
to
s 
G
ru
po
 
Descrição dos elementos Alguns exemplos com indicação de b e t r 
1 
− Mesas ou almas de seções 
tubulares retangulares 
 
− Lamelas e chapas de 
diafragmas entre linhas de 
parafusos ou soldas 
b
t (u n ifo rm e)
t
t
b
b
b 
y
40,1
f
E
 
AA
 
2 
− Almas de seções I, H, ou U 
− Mesas ou almas de seção 
caixão 
− Todos os demais elementos 
que não integram o Grupo 1 
b
tb2 t2
t1
b
tmédio
t
b1
 
y
49,1
f
E
 
 55
Elementos de estruturas de aço – Dimensionamento – Capítulo 4 – Elementos Comprimidos 
 
NBR 8800.2008 
 56
Tabela F.1 - Valores de r – Elementos AL – borda apoiada e livre 
 
Valores de r 
E
le
m
en
to
s 
G
ru
po
 
Descrição dos elementos Alguns exemplos com indicação de b e t r 
3 
− Abas de cantoneiras simples 
ou múltiplas providas de chapas 
de travejamento 
t t
bb
 
y
45,0
f
E
 
4 
− Mesas de seções I, H, T ou U 
laminadas 
 
− Abas de cantoneiras ligadas 
continuamente ou projetadas de 
seções I, H T ou U laminadas 
ou soldadas 
 
− Chapas projetadas de seções 
I, H, T ou U laminadas ou 
soldadas 
b
t
b
t
t
t
tmédio
b
b
b
b
 
y
56,0
f
E
 
5 − Mesas de seções I, H T ou U soldadas 1) 
b
t
 
)/(
64,0
cy kf
E
 
A
L 
6 − Almas de seções T 
t
b
 
y
75,0
f
E
 
 
LIMITAÇÃO DA ESBELTEZ 
A esbeltez, relação entre o comprimento destravado e o raio de giração ( rL ), não deve ser 
superior a 200. Barras compostas com mais de dois perfis em contato, ou afastados com chapas 
espaçadoras, devem possuir ligações entre esses perfis, a intervalos tais que o índice de esbeltez 
 de qualquer perfil, entre duas ligações adjacentes, não seja superior a 1/2 do índice de esbeltez 
da barra composta. 
r/
 
( /r )m a x   ( K Lr )m a x d o c o n ju n to
N 
A
C o rte A -A
r m ín

A
N 
 
Figura 11 - Barra composta comprimida 
 
	Onde Ne é a força axial de instabilidade elástica, determinada como a seguir (do anexo E): 
	Tabela E.1 - Coeficiente de flambagem por flexão, Kx ou Ky, para elementos isolados
	Curva de ( em função da esbeltez reduzida (0
	Tabela dos valores de ( em função da esbeltez reduzida (0
	Tabela F.1 - Valores de (r – Elementos AA – duas bordas apoiadas
	Tabela F.1 - Valores de (r – Elementos AL – borda apoiada e livre
	LIMITAÇÃO DA ESBELTEZ