Cálculo Diferencial e Integral

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Cálculo Diferencial e Integral I
Docente: Kaline Souza
NOÇÃO INTUITIVA DE LIMITE
PROPRIEDADES DE LIMITES
LIMITES LATERAIS 
 
Noção Intuitiva
Sucessões numéricas
Dizemos que:
1, 2, 3, 4, 5, ....
Os termos tornam-se cada vez maiores, sem atingir um limite
x + 
Os números aproximam-se cada vez mais de 1, sem nunca atingir esse valor
x 1
1, 0, -1, -2, -3, ...
Os termos tornam-se cada vez menor, sem atingir um limite
x - 
Os termos oscilam sem tender a um limite
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Definição de Limites
Seja f(x) definida em um intervalo aberto em torno de “a” (um número real), exceto talvez em a. 
 c a d
Dizemos que f(x) tem limite L quando x tende a “a” e escrevemos
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Figura 1: Um intervalo aberto de raio 3 em torno de x0 = 5 estará dentro do intervalo aberto (2, 8).
Figures 1.13: Um
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Seja f(x) uma função definida em um intervalo aberto em torno de x0, exceto, possivelmente em x0.
	
Se f(x) fica arbitrariamente próxima de L para todos os valores de x suficientemente próximos de x0, então dizemos que a função f tem limite L quando x tende para x0 e escrevemos:
Definição informal de limite
x0
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Definição de Limite
 y 
 L +  
 L 
 
 L -  
 
 0 a -  a a +  x
O limite de uma função y = ƒ(x), quando x tende a “a“, a  R, indicado por lim ƒ(x) é a constante real“L“, se para qualquer  (épsilon),   R,   0, por menor que seja, existir  (delta),   R,  > 0, tal que:
 I x – a I <   I ƒ(x) - L I < .
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Limites
Seja y = f(x) = 2x + 1
Aproximação à direita Aproximação à esquerda
x
y
1,5
4
1,3
3,6
1,1
3,2
1,05
3,1
1,02
3,04
1,01
3,02
x
y
0,5
2
0,7
2,4
0,9
2,8
0,95
2,9
0,98
2,96
0,99
2,98
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Limites
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	Nota-se que quando x tende para 1, pelos dois lados, ao mesmo tempo, y tende para 3, ou seja, (x 1) implica em (y 3). Assim, diz-se que:
Neste caso o limite é igual ao valor da função. 
 f(x) = f(1) = 3
Limites
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 No caso da função f(x) = é diferente pois f(x) não é definida para x = 1. Porém o limite existe e é igual 3. 
 Ver gráfico a seguir:
Limites
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Limites
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Obs.: Em IV, se n for par, c deve ser positivo.
Sejam b e c dois números reais, e seja n um inteiro positivo. 
Propriedades dos limites
	
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Sejam b e c dois números reais, n um inteiro positivo e f e g funções para as quais e 
Operação com limites
Obs.: Em VI, se n for par, L deve ser positivo.
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Propriedades
 P1 - O limite da função identidade f(x) = x, quando x tende
 a “a”, é igual a “a”.
Exemplos:
Operação com limites
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 P2 - O limite de uma função constante f(x) = K, quando x
 tende a “a”, é igual a própria constante:
Operação com limites
Exemplos:
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 P3 - O limite da soma é igual a soma dos limites
 (caso esses limites existam):
Exemplo:
Operação com limites
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 P4 - O limite da diferença é igual a diferença dos limites
 (caso esses limites existam):
Exemplo:
Operação com limites
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 P5 - O limite do produto é igual ao produto dos limites
 (caso esses limites existam):
Operação com limites
Exemplo:
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 P6 - O limite do quociente é igual ao quociente dos limites
 (caso esses limites existam):
Operação com limites
Exemplo:
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 P7 - O limite da potência de uma função (f(x))n, onde n é um
 número inteiro positivo, é igual a potência do limite da
 função (caso exista):
Operação com limites
Exemplo:
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 P8 - O limite da raiz de uma função , é a raiz do
 limite da função, se o limite existe e é maior ou igual
 a zero:
Operação com limites
Exemplo:
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Se P(x) é uma função polinomial e c é um número real, então 
Limite de uma função polinomial
Teorema 2 – Os Limites de Funções Polinomiais podem ser
 obtidos por Substituição:
Se 
então
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Exemplo 1 – Limite de Uma Função Polinomial
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Limites de Funções Racionais
Teorema 3 – Os Limites de Funções Racionais podem ser
 obtidos por Substituição, caso o limite do
 denominador não seja zero:
Se e são polinômios e , 
então
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Exemplo 2 – Limite de Uma Função Racional
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Exemplo 3 – Cancelando um Fator Comum
Solução: Não podemos substituir x = 1 porque isso resulta em um denominador zero. Testamos o numerador para ver se este também é zero em x = 1. Também é, portanto apresenta o fator (x – 1) em comum com o denominador. Cancelar o (x – 1) resulta em uma fração mais simples, com os mesmos valores da original para x  1:
Se x  1
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Usando a fração simplificada, obtemos o limite desses valores quando x  1 por substituição:
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Calcule
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 Vamos agora calcular alguns limites imediatos, de forma a facilitar o entendimento dos exercícios mais complexos que virão em seguida:
a) lim (2x + 3) = 2.5 + 3 = 13
 x 5
b) lim (x2 + x) = (+ ∞ )2 + (+ ∞ ) = + ∞ + ∞ = + ∞
 x + ∞ 
c) lim (4 + x3) = 4 + 23 = 4 + 8 = 12
 x 2
d) lim [(3x + 3) / (2x - 5)] = [(3.4 + 3) / (2.4 - 5)] = 5
 x 4 
e) lim [(x + 3) (x - 3)] = (4 + 3) (4 -3) = 7.1 = 7
 x 4
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Quando faz-se x tender para a, por valores menores que a, está-se calculando o limite lateral esquerdo. x a -
Quando faz-se x tender para a, por valores maiores que a, está-se calculando o limite lateral direito. x a +
Para o limite existir, os limites laterais devem ser iguais:
 [f(x)] = [f(x)]
Limites Laterais
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x
f(x) = x + 3
2
5
1,5
4,5
1,25
4,25
1,1
4,1
1,01
4,01
1,001
4,001
1,0001
4,0001
Estudemos o comportamento da função f(x) quando x estiver próximo de 1, mas não for igual a 1.
x
f(x) = x + 3
0
3
0,25
3,25
0,75
3,75
0,9
3,9
0,99
3,99
0,999
3,999
Dada a função f: IR  IR, definida por f(x) = x + 3.
4
1
x
y
Pela esquerda
Pela direita
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Determinar, graficamente,
Dada a função f: IR  IR, definida por 
1
Não existe limite de f(x), quando x tende para 1
2
4
“O limite da função f(x) = x2 quando x tende a 2 é 4”.
Noção Intuitiva de Limite