Aula Laplace 2015

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A TRANSFORMADA DE LAPLACE
Nesta unidade é apresentada a transformada de Laplace, suas propriedades e aplicações. A transformada de Laplace é uma ferramenta matemática que pode ser usada para representar sinais de tempo contínuo no domínio do plano complexo s, cuja parte real é referenciada no eixo das abscissas (horizontal) e a parte complexa é referenciada no eixo das ordenadas (vertical). Também pode ser usada na análise de transitórios e estabilidade de sistemas lineares invariantes no tempo e causais, através de técnicas gráficas.
Introdução
 A transformada Laplace pode ser deduzida considerando-se inicialmente um sinal na forma exponencial complexa , onde , de modo que: 
Assim, quando for negativo, ou seja, a parte real de s for negativa, tem-se uma função decrescente, de modo que converge para zero quando o tempo tende para +, ou seja: . Logo, a parte real de é um co-seno exponencialmente amortecido e a parte imaginária é um seno exponencialmente amortecido, como mostrado na Figura 3.1. Neste caso, a parte real de s é o fator de amortecimento exponencial, , e a parte imaginária de s é a frequência, , dos fatores co-seno e seno.
Figura 3.1 Parte real e imaginária da exponencial complexa [1]
 Quando for positivo, ou seja, a parte real de s for positiva, tem-se uma função crescente, de modo que converge para zero quando o tempo tende para , ou seja: .
 Aplicando-se, então, um sinal de entrada da forma a um sistema LTI com resposta ao impulso h(t), tem-se um sinal de saída y(t) dado por:
 Substituindo x(t) na integral acima, resulta que:
 (3.2)
 Definindo a função de transferência:
Conclui-se que:
3.4)
 Logo, através da equação (3.3) é possível determinar H(s) a partir de h(t) e H(s) é denominada a transformada de Laplace de h(t).
Definição da Transformada de Laplace
A transformada de Laplace Bilateral, X(s), para um sinal genérico de tempo continuo x(t), é definida como:
		(3.5)
A transformada de Laplace Unilateral pode ser obtida da equação (3.5), substituindo-se o limite inferior da integral de por . 
Verifica-se que este tipo de transformada se aplica a uma classe mais ampla de sinais que a transformada de Fourier [1]. Assim, a existência da transformada de Laplace para sinais que não têm a transformada de Fourier é uma vantagem significativa do uso da representação exponencial complexa.
A forma mais comumente encontrada de transformada de Laplace é uma razão de dois polinômios em s. Ou seja,
 
Região de Convergência
 A faixa de valores de para qual a transformada de Laplace converge é denominada região de convergência (RDC), de modo para cada transformada deste tipo é necessário determinar também a sua RDC.
Exemplo 3.1: 
Determinar a transformada de Laplace de e descrever a RDC e as localizações de pólos e zeros no plano s, considerando-se que a constante a seja real.
Solução:
A transformada de Laplace de x(t) é dada por:
Neste caso, a região de convergência é especificada por Re (s) > - a, pois se Re (s+a) > 0. Esta RDC é descrita como a região sombreada no plano complexo s, como mostrado na Figura 3.2. O pólo está localizado em s = - a.
 
Figura 3.2 Gráficos da região de convergência de 
Exemplo 3.2: 
Determinar a transformada de Laplace de e descrever a RDC e as localizações de pólos e zeros no plano s, considerando-se que a constante a seja real.
Solução:
 A transformada de Laplace de x(t) é calculada da mesma forma do Exemplo 3.1 e o resultado é o mesmo, ou seja:
 Neste caso, a RDC é especificada como Re (s) < - a e é traçada no plano complexo, como mostrado na Figura 3.3, pela área sombreada à direita da linha Re (s) = - a.
Figura 3.3 Gráficos da região de convergência de 
Propriedades da Região de Convergência
Propriedade 1. 
A RDC não contém pólos.
Propriedade 2. 
Se x(t) for um sinal de duração finita, isto é, x(t) = 0 exceto em um intervalo de tempo t1 ≤ t ≤ t2 (-∞ < t1 e t2 < ∞), então a RDC é o plano s inteiro, exceto possivelmente em s = 0 ou s = ∞.
Propriedade 3. 
Se x(t) for um sinal lateral direito, isto é x(t) = 0 para , então a RDC é da forma Re(s) > , onde é igual à parte real máxima de todos os pólos de X(s). Assim, a RDC é um semiplano à direita da linha vertical de Re(s) = no plano s e, portanto, está à direita de todos os pólos de X(s).
Propriedade 4. 
Se x(t) for um sinal lateral esquerdo, isto é x(t) = 0 para , então a RDC é da forma Re(s) < , onde é igual à parte real mínima de todos os pólos de X(s). Assim, a RDC é um semi-plano à esquerda da linha vertical de Re(s) = no plano s e, portanto, está à esquerda de todos os pólos de X(s).
Propriedade 5. 
Se x(t) é um sinal bilateral, isto é, x(t) tem duração infinita, então RDC é da forma< Re(s) < , onde e são partes reais dos dois pólos de X(s). Assim, a RDC é uma faixa vertical no plano s, entre as linhas verticais Re(s) = e Re(s) = .
Exemplo 3.3 
A partir da transformada de Laplace , traçar o gráfico da região de convergência para as seguintes situações:
Re(s) > -1
Re(s) < -3
-3 < Re(s) < -1
Solução:
A transformada de Laplace X(s) pode ser escrita como:
Observa-se, então, que X(s) tem um zero em s = - 2 e dois pólos em s = -1 e s = -3, com um fator de escala dois.
Quando Re(s) > -1 tem-se o gráfico apresentado na Figura 3.4, onde a RDC fica a direita do maior pólo.
Figura 3.4 Representação da RDC de X(s) do Exemplo 3.3, quando Re(s) > -1
Quando Re(s) < -3 tem-se o gráfico apresentado na Figura 3.5, onde a RDC fica a esquerda do menor pólo.
Figura 3.5 Representação da RDC de X(s) do Exemplo 3.3, quando Re(s) < -3
Quando -1 < Re(s) < -1 tem-se o gráfico apresentado na Figura 3.6, onde a RDC fica entre os pólos -3 e -1.
Figura 3.6 Representação da RDC de X(s) do Exemplo 3.3, quando -1 < Re(s) < -3.
Exemplo 3.4
 Determinar a transformada de Laplace, a RDC e as localizações de pólos e zeros dos X(s) quando 
Solução:
Substituindo-se x(t) na Equação 3.5, resulta que:
Observa-se que pólo está em e a RDC compreende todos os pontos do semiplano a direita do eixo .
Exemplo 3.5 
Determinar as localizações de pólos e zeros no plano s quando a transformada de Laplace de X(s) for dada por:
Solução:
Figura 3.7 Representação da RDC de X(s) do Exemplo 3.5
Definição da Transformada de Laplace Unilateral
Existe uma série de aplicações da transformada de Laplace na qual os sinais envolvidos são nulos para os instantes de tempo . Nesse caso, é utilizada a transformada de Laplace unilateral, e para um sinal genérico x(t) ela é definida por: 
O limite inferior de implica que não se incluí o ponto na integral. Conseqüentemente, X(s) depende somente de x(t) para e as descontinuidades e impulsos em são excluídos.
Propriedades da Transformada de Laplace Unilateral
 Nas propriedades apresentadas a seguir é suposto que existe uma relação entre o sinal e a sua transformada de modo que para os sinais: x(t), x1(t) e x2(t) têm-se: 
 e 
Linearidade. A propriedade da linearidade da transformada de Laplace decorre de sua definição como uma integral e o fato da integração ser uma operação linear, de modo que para dois sinais x1(t) e x2(t) e duas constantes a e b, tem-se:
Neste caso, a RDC resultante é igual à intercessão da RDC de x1(t) com a RDC de x2(t).
Mudança de Escala. A mudança de escala no tempo produz a mudança de escala inversa em s, de modo que para o sinal x(t) e um fator de escala a constante, tem-se:
Neste caso, a região de convergência resultante é igual à região de convergência de x(t) multiplicada por um escalar a.
Deslocamento no Tempo. Um deslocamento de no tempo em x(t) corresponde à multiplicação de X(s) por , como mostrado na Equação 3.10.
 (3.10) 
Neste caso, a propriedade do deslocamento no tempo é aplicada a sinais x(t) nulos para os instantes de tempo com deslocamentos e a RDC resultantecontinua sendo a mesma de x(t).
Deslocamento no Domínio s. A multiplicação de x(t) por uma exponencial complexa no tempo ntroduz um deslocamento na freqüência complexa s de X(s), como apresentado na Equação 3.11.
 Neste caso a RDC resultante é igual à RDC de x(t) deslocada de Re(). 
Convolução. A convolução no tempo de dois sinais x(t) e y(t) corresponde à multiplicação das transformadas de Laplace destes sinais, como mostrado na Equação 3.12.
Esta propriedade é fundamental na análise e projeto de sistemas LTI de tempo continuo e a RDC resultante é igual à intercessão da RDC de x(t) com a RDC de y(t).
Diferenciação no Domínio s. A diferenciação no domínio s corresponde à multiplicação por –t no domínio do tempo, como mostrado na Equação 3.13.
Neste caso, a RDC resultante continua sendo a mesma de x(t).
Diferenciação no Domínio do Tempo. A diferenciação no domínio do tempo corresponde a multiplicar a transformada de Laplace unilateral por s, como mostrado na Equação 3.14.
s) - 
Neste caso a RDC resultante é igual à RDC de x(t) a não ser que haja um cancelamento de pólo-zero em s = 0.
A Transformada de Laplace Unilateral Inversa
 A transformada de Laplace inversa é usada para se obter o sinal x(t) a partir da sua transformada X(s) e pode ser realizada através do cálculo de uma integral de linha no plano complexo s, dada pela Equação 3.15.
Nesta integral a constante c é real e deve ser escolhida de tal forma que, se a RDC de X(s) for < Re(s) < , então < c < . Além disso, o cálculo dessa integral exige o conhecimento da teoria de variáveis complexas, tornando-se um processo árduo.
Desta maneira, métodos mais práticos são utilizados na determinação da transformada de Laplace inversa como o uso de tabelas e frações parciais.
Uso de Tabelas de Pares de Transformadas de Laplace. 
Neste método X(s) é decomposto em uma soma de funções conforme apresentado na Equação 3.16.
 
Onde: ,..., são funções com transformadas inversas x1(t),..., xn(t) conhecidas. 
Considerando-se a propriedade da linearidade tem-se que:
Para facilitar o procedimento do cálculo da transformada inversa, alguns pares da transformada de Laplace são apresentados na Tabela 1.
Tabela 1 – Alguns pares da Transformada de Laplace
	x(t)
	X(s)
	RDC
	x(t)
	X(s)
	RDC
	(t)	
	1
	Todos os s
	- e-atu(-t)
	1/(s+a)
	Re(s) < -Re(a)
	(t-), >0
	
	Todos os s
	t e-atu(t)
	1/( s+a)2
	Re(s) > -Re(a)
	u(t)	
	1/s
	Re(s) > 0
	-t e-atu(-t)
	1/( s+a)2
	Re(s) < -Re(a)
	-u(-t)
	1/s
	Re(s) < 0
	coswot u(t)
	s/(s2+wo2)
	Re(s) > 0
	t u(t)
	1/s2
	Re(s) > 0
	senwot u(t)
	wo/(s2+wo2)
	Re(s) > 0
	tk u(t)
	k!/ sk+1
	Re(s) > - 0
	e-at coswot u(t)
	(s+a)/[(s+a)2+wo2] 
	Re(s) > -Re(a)
	 e-atu(t)
	1/(s+a)
	Re(s) > -Re(a)
	e-at senwot u(t)
	wo/[(s+a)2+wo2)
	Re(s) > -Re(a)
Expansão em Frações Parciais. 
O método em frações parciais é aplicado quando é função racional, dada por:
A restrição nesse caso é que a transformada de Laplace unilateral deve ser função racional própria, ou seja, m < n.
Para a expansão em frações parciais decompõe-se inicialmente o denominador da Equação (3.18) como um produto de pólos, resultando: 
 Neste caso, se todos os pólos forem distintos, X(s) pode ser escrita como uma soma de termos simples, da seguinte maneira:
Onde os coeficientes são determinados usando-se o método dos resíduos ou resolvendo-se um sistema de equações lineares. Com o método dos resíduos tem-se que:
Assim, a transformada de Laplace inversa de cada termo da soma pode ser encontrada usando-se a relação:
 (3.22)
Quando D(s) tiver pólos múltiplos, ou seja, fatores da forma, então a expansão de X(s) consiste em termos da forma:
Onde, 
A transformada de Laplace inversa de cada termo é encontrada usando-se o par
Exemplo 3.6 
Encontrar a transformada de Laplace Inversa de:
Solução: 
Fazendo-se a expansão de X(s) em frações parciais conforme a equação (3.19), tem-se: 
Usando-se o método dos resíduos conforme as equações (3.21) e (3.24) são encontrados os coeficientes , e , de modo que:
O próximo passo é obter x(t) a partir da transformada de Laplace inversa de cada um dos termos da expansão em frações parciais. Logo, 
O pólo do primeiro termo está em , de modo que:
O pólo do segundo termo está em , de modo que:
O pólo duplo do último termo está em , de modo que:
	Assim, x(t) é dado por:
Soluções de Equações Diferenciais com Condições Iniciais
A principal aplicação da Transformada de Laplace Unilateral em análise de sistemas LTI é na resolução de equações diferenciais com condições iniciais diferentes de zero.
Exemplo 3.7 Um sistema LTI é descrito pela equação diferencial: 
Usar a Transformada de Laplace para encontrar a saída y(t) do sistema, quando na sua entrada for aplicado um sinal e condição inicial .
Solução: 
Tomando-se a transformada de Laplace unilateral de cada lado da equação diferencial e aplicando-se a propriedade da diferenciação da equação (3.14), resulta que:
Isolando-se Y(s) no lado esquerdo da equação tem-se:
Substituindo-se e a condição inicial , resulta:
Expandindo Y(s) em frações parciais tem-se:
Tomando a transformada de Laplace inversa, resulta finalmente que:
Definição da Transformada de Laplace Bilateral 
A transformada de Laplace bilateral é definida pela Equação 3.5, de modo que são utilizados os valores do sinal x(t) tanto para t > 0 como para e, conseqüentemente, ela é apropriada para problemas que envolvem sinais e sistemas não causais.
Propriedades da Transformada de Laplace Bilateral
As propriedades de linearidade, mudança de escala, deslocamento de domínio s, convolução e diferenciação no domínio s são idênticas tanto para a transformada de Laplace Bilateral como para a Unilateral, porém as operações associadas com estas propriedades poderem modificar a RDC. Por exemplo, se com RDC e com RDC , então com RDC de pelo menos , em que o símbolo indica intersecção. Em geral, a RDC de uma soma de sinais é exatamente a intersecção das RDCs individuais se um pólo e um zero se cancelarem na soma .
Se a intersecção das RDCs for o conjunto vazio e não ocorrer o cancelamento de pólo por zero, a transformada de Laplace de não existirá.
Por outro lado, as propriedades de deslocamento no tempo, diferenciação no domínio de tempo e integração no tempo, diferem ligeiramente de suas correspondentes unilaterais, e são expressas da seguinte maneira:
Deslocamento no Tempo
A restrição no deslocamento no tempo que está no caso unilateral é eliminada porque a Transformada de Laplace bilateral é avaliada ao longo de valores de tempo positivos e negativos. Tem-se então que:
Diferenciação no Domínio de Tempo
 A diferenciação no tempo corresponde à multiplicação por s. Neste caso, a RDC pode ser maior do que se X(s) tiver um pólo simples em . A multiplicação por s, correspondendo à diferenciação, cancela este pólo e, deste modo, elimina o componente DC em x(t). Tem-se então que:
Exemplo 3.8 
Encontre a transformada de Laplace de
Solução:
 Na Tabela 1 tem-se:
A propriedade do deslocamento no tempo implica que:
Aplicando a propriedade da diferenciação no tempo duas vezes, resulta finalmente que:
Integração no Tempo
A integração no tempo corresponde à divisão por s, de modo que:
Tem-se, então, um pólo em e como a integração é para a direita, a RDC deve situar-se à direita de .
A Transformada de Laplace Bilateral Inversa
O processo para calcular a transformada de Laplace bilateral Inversa é semelhante ao do caso unilateral. A principal diferença é a utilização da RDC para determinar uma transformada inversa única no caso bilateral. 
Assim, a transformada inversa também é expressa como uma expansão em frações parciais em termos de pólos não repetidos, como apresentado na Equação (3.20). Neste caso, há duas possibilidades para a transformadade Laplace inversa de cada termo da soma. Pode-se usar ou o par de transformadas de lado direito
Ou o par de transformadas do lado esquerdo
 A RDC associada com X(s) determina se é escolhida a transformada inversa lateral esquerda ou a lateral direita.
Exemplo 3.9 
Encontrar a transformada de Laplace inversa de:
Solução: 
Usando-se o método da expansão em frações parciais para X(s), tem-se que:
Determinando-se , e através da Equação (3.21), resulta que:
Neste caso, a RDC e as localizações dos pólos são apresentadas na Figura 3.8. 
O pólo do primeiro termo está em . A RDC situa-se á direita deste pólo e a transformada de Laplace inversa correspondente dada por:
O pólo do segundo termo em . Assim, a RDC situa-se á esquerda do pólo e a transformada de Laplace inversa correspondente dada por:
O pólo do último termo está em. A RDC situa-se á direita deste pólo, de forma que é escolhida a transformada de Laplace inversa de lado direito
Combinando esses três termos, resulta que:
A Região de convergência da função resultante está na intercessão entre os pólos e pois ela não pode incluir pólos.
Figura 3.8 A RDC do Exemplo 3.9
Função de Transferência de um Sistema
A função de transferência de um sistema LTI pode ser definida como a Transformada de Laplace da resposta ao impulso . Ela pode ser obtida matematicamente a partir da saída do sistema para determinada entrada utilizando-se a operação convolução, de modo que:
 (3.26)
Onde, h(t) e x(t) podem ser causais ou não causais. Logo, aplicando a transformada de Laplace bilateral a ambos os lados desta equação e usando a propriedade de Laplace para a convolução, resulta que:
 (3.27)
 Conseqüentemente, a função de transferência fornece uma descrição do comportamento da entrada e saída de um sistema LTI, e é dada por:
Esta definição se aplica em valores de s para os quais X(s) é diferente de zero.
Função de Transferência e Equações Diferenciais
A relação entre entrada e saída de um sistema LTI de ordem N pode ser dada pela equação diferencial descrita na Equação (3.29).
Onde os coeficientes ak e bk são constantes reais e a ordem N refere-se à derivada mais alta de y(t).
Aplicando-se a transformada de Laplace na Equação (3.29) e usando-se a propriedade da diferenciação da transformada, tem-se:
Ou, 
A função de transferência H(s) do sistema é então obtida a partir da equação (3.31), de modo que:
É possível, então, obter a função de transferência de um sistema a partir da Equação (3.29).
Exemplo 3.7 
Encontrar a função de transferência do sistema LTI descrito pela equação diferencial, com condições iniciais nulas.
Solução: 
Aplicando a propriedade da diferenciação da transformada de Laplace na Equação (3.32) resulta na função de transferência:
Função de Transferência e Descrição por Variáveis de Estado
 A função de transferência de um sistema LTI tempo continuo pode ser obtida a partir da descrição por variáveis de estado, dada por:
Aplicando-se, então, a transformada de Laplace a ambos os membros da Equação (3.33) e usando-se a propriedade de diferenciação, obtem-se:
Considerando-se que é uma matriz coluna com N elementos e que cada é a transformada de Laplace do i-ésimo elemento de tem-se:
Neste caso, a Equação (3.35) pode ser reescrita como:
Ou 
Este último resultado implica que:
Tomando a transformada de Laplace da equação (3.34) resulta que:
Substituindo-se o valor de obtido na Equação (3.39) na Equação (3.40) tem-se que:
Por conseqüência a função de transferência é dada por:
Exemplo 3.8
Determinar a função de transferência de um sistema que possui matrizes de descrição por variáveis de estado
Solução: 
Tem-se que
Então,
Usando a equação (3.42):
Causalidade e Estabilidade
 A resposta ao impulso é a transformada de Laplace Inversa da função de transferência de um sistema LTI. Para obter uma transformada inversa única é necessário conhecer a RDC ou ter algum outro conhecimento a respeito da resposta ao impulso. Normalmente a descrição em equação diferencial de um sistema não contém esta informação. As relações entre os pólos, os zeros e as características do sistema podem proporcionar este conhecimento adicional.
Causalidade
Um sistema LTI, tempo continuo, é causal se a resposta ao impulso h(t) = 0 para o tempo 
Neste caso, h(t) é um sinal lateral direito e a condição correspondente é que a RDC de H(s) seja da forma Re(s) > máx, ou seja, a RDC é uma região do plano s à direita de todos os pólos do sistema. 
Caso contrário, se h(t) = 0 para , h(t) é unilateral à esquerda e o sistema é anticausal. Assim, a RDC de H(s) deve ser da forma Re(s) < min, isto é, a RDC é a região do plano s, que está à esquerda de todos os pólos do sistema.
Estabilidade
 Um sistema LTI tempo contínuo é BIBO (boundered input – boundered output) estável quando a resposta ao impulso for integrável em módulo, ou seja:
A condição correspondente é que a RDC de H(s) contenha o eixo jw no plano s.
 Sistemas Causais e Estáveis
A condição para que um sistema seja causal e estável ao mesmo tempo é que todos os pólos de H(s) devem estar no semiplano esquerdo do plano s, isto é, todos têm partes reais negativas porque a RDC é da forma Re(s) > máx, e, como o eixo jw está contido na RDC tem-se máx < 0. Isto pode ser observado na Figura 3.4 do Exemplo 3.3.
Exemplo 3.8 
Um sistema tem a função de transferência dada por:
Encontrar a resposta ao impulso supondo que: (a) o sistema é estável e (b) o sistema é causal. Este sistema pode ser tanto estável como causal?
Solução: 
Este sistema tem um pólo em e em . Se o sistema for estável, o pólo em contribuirá com um termo de lado direito para a resposta ao impulso, enquanto que o pólo em contribuirá com um termo de lado esquerdo, resultando que:
Se o sistema for causal, ambos os pólos devem contribuir com termos de lado direito para a resposta ao impulso, resultando:
Observa-se que o sistema com esta resposta ao impulso não é estável, uma vez que o termo não é absolutamente integrável. 
Assim, o sistema dado pela função de transferência acima não pode ser estável e causal ao mesmo tempo, uma vez que o pólo em está no semiplano direito do plano s.
Resposta em Freqüência a Partir de Pólos e Zeros
A resposta em freqüência de um sistema LTI pode ser obtida a partir dos pólos e zeros da função de transferência H(s), dada matematicamente por:
 Onde: são os zeros e são os pólos do sistema, e G é o fator de ganho. 
Neste caso, s é substituído por , conforme descrito na Equação (3.33) de modo que a função de transferência é avaliada ao longo do eixo no plano s, considerando-se que o eixo está na região de convergência.
Inicialmente é feita a análise do módulo de com , de modo que:
Na Equação (3.34) tem-se uma razão de produtos da forma , onde é um pólo ou um zero. Além disso, o fator é um número complexo que pode ser representado no plano s como um vetor que parte do ponto para um ponto no eixo , como apresentado na Figura 3.8. O comprimento deste vetor é dado por e à medida que se modifica pode-se avaliar a contribuição de cada pólo ou zero para a resposta global em módulo. 
Figura 3.8 Representação do vetor que parte de para no plano s.
Verifica-se que se for um zero, então, para freqüências próximas de zero o módulo de tende a decrescer. Se o zero estiver no eixo , então tende ao zero na freqüência correspondente à localização do zero. Em freqüências distantes de um zero, ou seja, , tem-se aproximadamente igual ao . Por outro lado, um pólo que está próximo ao eixo , produz um grande pico no . Conseqüentemente, os zeros próximos ao eixo atenuam o módulo de , enquanto os pólos próximos ao eixo amplificam o módulo de .
Exemplo 3.9 
Traçar a resposta em módulo de um sistema que possui a função de transferência dada por:
Solução: 
Verifica-seque o sistema tem um zero em e pólos em , como mostrado na Figura 3.10 (a). 
Fazendo-se, então, uma análise nos pontos críticos tem-se que para :
E para :
Conseqüentemente, a resposta tende a decrescer nas proximidades de e crescer nas proximidades de .
Para , o comprimento do vetor que vai de a um dos pólos é aproximadamente igual ao comprimento do vetor que vai de ao zero, dessa forma, o zero é cancelado por um dos pólos. A distância de ao pólo restante aumenta à medida que a freqüência se eleva e, dessa forma, a resposta em módulo tende a zero. A resposta em módulo está esboçada na Figura 3.10 (b).
Figura 3.10 Solução para o Exemplo 3.9.(a) Gráfico de pólos e zeros. (b) Gráfico da resposta em módulo aproximada.
De modo semelhante, a fase de também pode ser avaliada em termos da fase associada com cada pólo e zero. A partir da equação (3.32) pode-se determinar o conforme mostrado na Equação 3.35.
Neste caso, a fase de é a soma dos ângulos de fase devidos a todos os zeros menos a soma dos ângulos de fase devidos a todos os pólos. O termo é independente da freqüência. A fase, associada com cada zero e pólo, é avaliada considerando-se um termo da forma . Este é o ângulo de um vetor que aponta de g para no plano s. O ângulo do vetor a partir de g é medido em relação à linha horizontal, como ilustra a Figura 3.11. Examinando a fase deste vetor à medida que se modifica, pode-se avaliar a contribuição de cada pólo ou zero para a resposta em fase global.
Figura 3.11 Vetor que vai de g a no plano s. O ângulo de fase do vetor com relação à linha horizontal que passa por g é .
Exemplo 3.10 
Traçar a resposta em fase de um sistema que possui a função de transferência dada por:
Solução: 
As localizações dos pólos e zeros deste sistema no plano s são descritas na Figura 3.10(a). A resposta em fase do sistema é obtida subtraindo-se as contribuições de fase dos pólos da contribuição do zero. O resultado é mostrado na Figura 3.12(d)
Figura 3.12 Resposta em fase do sistema do Exemplo 3.10.(a) Fase do zero em . (b) Fase do pólo em . (c) Fase do pólo em . (d) Resposta em fase do sistema.
A localização de pólos e zeros de H(s) no plano s como também a obtenção dos gráficos do módulo e da fase correspondente a resposta em frequência podem ser realizados de forma mais simples utilizando-se o programa MATLAB.
Aplicações do MATLAB na transformada de Laplace
A control System Toolbox do MATLAB contém vários comandos (rotinas) que são úteis para solucionar problemas com transformadas de Laplace e sistemas LTI de tempo contínuo. Alguns comandos básicos são apresentados nesta seção.
Pólos e zeros
Os pólos e os zeros da transformada de Laplace correspondente a um sistema LTI podem ser determinados usando o comando , onde é o vetor que contém os coeficientes de cada polinômio. 
Por outro lado, os coeficientes do polinômio correspondente aos zeros ou do polinômio correspondente aos pólos podem ser determinados com o uso do comando , onde r é o vetor que contém os zeros ou os pólos em cada caso.
A localização dos pólos e zeros no plano s pode ser realizada através do comando .
Exemplo 3.11 
Use o comando do MATLAB para determinar os pólos e zeros do sistema representado por:
Solução
	Temos o seguinte bloco de programa
	Resultado obtido na saída
	a=[5 0 13];
r=roots(a);
disp('Zeros');
b=[1 4 0 13];
p=roots(b);
disp('Pólos');
	Zeros
-0.00 + (1.61i) 
 0.00 + (-1.61i) 
Pólos
-4.61
 0.30 + (1.65i) 
 0.30 + (-1.65i)
Neste caso, temos um par de zeros complexos conjugados em um pólo em , e um par de pólos complexos conjugados em 
Exemplo 3.12
Use o comando do MATLAB para plotar os pólos e zeros do seguinte sistema:
 
Solução
Código do programa:
;
;
Gráfico obtido no MATLAB:
Figura 3.13 Localização dos pólos e zeros do sistema dado no Exemplo 3.12
No gráfico da Figura 3.13 observamos pólos em s = -2 e em s = -1. Observamos também zeros em s = -1 e s = 
Resposta em freqüência 
A resposta em freqüência de um sistema LTI tempo continuo, em módulo e fase, pode ser avaliada a partir da função de transferência usando o comando do MATLAB.
Exemplo 3.13
Use o comando p do MATLAB para avaliar e plotar as respostas em módulo e em fase do sistema definido por:
Solução
Temos o seguinte bloco de programa
	H=tf([1 0],[1 2 101]);
pzmap(H);
grid;
w=[0:499]*20/500;
H1=freqresp(H,w);
H2= abs(squeeze(H1));
plot(w,H2);
xlabel('w (rad/s)'),ylabel('|H(w)|'), title('Resposta modular');
grid;
numerador=[1 0]; % coeficiente do numerador
denominador=[0 1 2 101]; %coeficiente do denominador
[modulo,fase,w]=bode(numerador,denominador),
margin (modulo, fase, w); %gráfico de fase
Gráfico obtido no MATLAB:
Expansão em Frações Parciais
A expansão em frações parciais pode ser determinada através do comando residue. A sintaxe é , em que b representa o polinômio do numerador, a representa o polinômio do denominador e r representa os coeficientes ou resíduos da expansão em frações parciais, p representa os pólos e k é um vetor que descreve qualquer termo em potencias de s. Se a ordem do numerador for menor que a ordem do denominador, então k será uma matriz vazia.
Exemplo 3.14
Determinar os resíduos, os pólos e o vetor k para um sistema LTI representado pela transformada de Laplace
Solução
	Temos o seguinte comando
	Resultado obtido na saída
	
	r = 
 -1.0000
 2.0000
 1.0000
p =
 -2.0000
 -2.0000
 -1.0000
k =
 [ ]
Podemos usar o seguinte comando:
Resultado obtido na saída:
Verifica-se que:
O resíduo r(1) = -1 corresponde ao pólo em s = -2 dado por p(1);
O resíduo r(2) = 2 corresponde ao pólo duplo em s = -2 dado por p(2);
O resíduo r(3) = 1 corresponde ao pólo em s = -1 dado por p(3).
Então, a expansão em frações parciais é dada por:
Cálculo da Transformada de Laplace
Para calcular a transformada de Laplace de um sinal é necessário especificar inicialmente as variáveis e através do comando . Posteriormente definimos a função e executamos o comando . Para simplificar o resultado de e torná-lo mais fácil de visualizar usamos os comandos e .
Exemplo 3.15
Determinar a transformada de Laplace de 
Solução
	Temos o seguinte bloco de programa:
	Resultando na seguinte saída
	 
;
	 = 
	
	 = 
	
	 
------
 
Que corresponde a:
Podemos também determinar a transformada de Laplace escrevendo o comando:
Cálculo da Transformada inversa de Laplace
Para calcularmos a transformada inversa de Laplace, ou seja, o sinal a partir de é necessário especificar inicialmente as variáveis e através do comando . Posteriormente definimos a função e executamos o comando é usado o comando 
Exemplo 3.16
Determinar a transformada inversa de Laplace a partir da função , dada por:
Solução
	Temos o seguinte bloco de programa:
	Resultando na seguinte saída
	 
i
	 = 
;
	
	 = 
;
	
	 
Que corresponde a 
Podemos também determinar a transformada inversa de Laplace apenas escrevendo logo após o comando:
Problemas Propostos
Determinar a transformada de Laplace unilateral para cada um dos sinais abaixo usando a equação de definição. Esquematizar a RDC em cada caso.
a) 	b) 
c) 		d) 
e) 			e) 
Determinar a transformada de Laplace bilateral para cada um dos sinais abaixo usando a equação de definição. Esquematizar a RDC em cada caso.
a) 	b) 	
c) 		d) 
Utilizar as propriedades da transformada de Laplace e a Tabela 1 para determinar a transformada de Laplace unilateral de cada um dos seguintes sinais:
a) 	b) 		c) 	 d) 	e) 		a) 
Determinar a função de transferência do sistema da Figura 3.13, considerando-se que os subsistemas são LTI´s e que as respectivas respostas ao impulso são dadas por 
+
x(t)
 h
1
(t)
 h
2
(t)
+
y(t)Figura 3.13 Sistema LTI constituído de dois subsistemas.
Seja um sistema LTI descrito pela equação diferencial:
 
Encontrar a função de transferência H(s) do sistema
Determinar a resposta ao impulso h(t) para os seguintes casos: 
O sistema é causal e estável
O sistema não é causal nem estável 
Determinar a função de transferência de um sistema LTI que possui a descrição por variáveis de estado
Provar as seguintes propriedades da transformada de Laplace unilateral:
Linearidade;		b) Mudança de escala; c) Deslocamento no tempo;	
d) Deslocamento no domínio s	e) Convolução; f) Diferenciação no domínio s
Usando transformada de Laplace bilateral, determinar a saída y(t) para um sistema LTI cuja resposta ao impulso é dada por: e o sinal de entrada é dado por: 
Determinar os sinais no tempo, correspondentes às seguintes transformadas de Laplace unilaterais, usando o método das frações parciais.
a) 		 b) 
c) 		 d) 
e) 		 f) 
Determinar os sinais no tempo, correspondentes às seguintes transformadas de Laplace bilaterais, usando o método das frações parciais.
Com RDC Re (s) < - 2
Com RDC Re (s) > - 1
Com RDC -2< Re (s) < -1
Com RDC Re (s) < - 1
Com RDC Re (s) > 1
Com RDC -1< Re (s) < 1
Problemas propostos com MATLAB
Determinar os pólos e zeros da função em todos os itens do problema 8, usando o comando .
Plotar os pólos e no plano s para cada do problema 8, usando o comando 
Plotar e avaliar as respostas em módulo e em fase de um sistema definido por , para cada do problema 8, usando o comando .
Determinar os resíduos, os pólos e o vetor k para um sistema LTI representado pela transformada de Laplace no problema 9: itens (a) e (b), com , usando o comando .
Determinar a transformada de Laplace de todos os itens do problema 1, usando os comandos: e .
Determinar a transformada inversa de Laplace a partir da função , dada por: Usando o MATLAB.
Referências
[1] HAYKIN, S. Sinais e Sistemas. Porto Alegre: Bookman. 2001.
[2] HSU, H. W. Sinais e Sistemas. Bookman. 2004.
[3] LATHI, B. P. Sinais e Sistemas Lineares. Bookman. 2006.
[4] OPPENHEIM, A. V. WILLSKY, A. S. Signals & Sistems. Prentice Hall. 1997.