P1 MTM5186 15.1 Bortolan

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1a PROVA - DISCIPLINA MTM 5186: CÁLCULO IV
Professor: Matheus C. Bortolan
24/04/2015
Nome:___________________________________________ Matrícula: _____________
Orientações para a avaliação
• Leia atentamente cada uma das questões da prova.
• Justifique cada uma de suas respostas. Respostas sem justificativa serão desconsideradas.
• As respostas devem estar escritas à caneta e as resoluções devem estar legíveis.
• A prova é individual e sem consulta a nenhum material.
• Não é permitido sair da sala durante o período da avaliação.
• Não é permitido uso nenhum tipo de calculadora, celulares, tablets, notebooks e
smartphones. O não cumprimento desta regra anulará completamente a sua avaliação.
• Faça cada questão com calma e tenha uma boa prova! =)
(Valor 3.0) Questão 1: Responda às seguintes questões, usando as equações de Cauchy-Riemann.
(1.5) (a) Mostre que a função f (x + i y) = x
x2+y2
+ i y
x2+y2
não é analítica em nenhum ponto
de C.
(1.5) (b) Mostre que a função f (x + i y) = x2 + y2 +2i x y é diferenciável em todos os pontos
do eixo real, mas não é analítica em nenhum ponto de C.
(Valor 2.0) Questão 2: Considere a função exponencial complexa f (z) = ez, e lembremos que para
z = x + i y , ela é dada por ez = ex cos y + iex sin y , e está definida para todo z ∈ C.
(1.0) (a) Mostre que a função exponencial é inteira; isto é, ela é analítica em todos os pontos
de C.
(1.0) (b) Mostre que d
dz
ez = ez, para todo z ∈ C.
(Valor 2.0) Questão 3: Sejam r o eixo imaginário e C o círculo |z|= 1.
2
(1.0) (a) Defina z1 = −i, z2 = 0, z3 = i, w1 = −i, w2 = 1 e w3 = i. Construa uma transforma-
ção de Möbius T que leva r em C , e tal que T (zi) = wi, para i = 1, 2,3.
(1.0) (b) Qual é a imagem do semiplano Re(z)< 0 pela transformação T? Justifique.
(Valor 1.0) Questão 4: Calcule ∮
γ
z
z− 2dz,
onde γ é o círculo |z− 2|= 2, orientado positivamente.
(Valor 2.0) Questão 5: Calcule ∮
γ
‚
e2iz
z4
− z
4
(z− i)3
Œ
dz,
onde
(1.0) (a) γ é o círculo |z|= 6.
(1.0) (b) γ é o círculo |z− 3|= 1.