P2 MTM5186 14.2 Bortolan

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2a PROVA - DISCIPLINA MTM 5186: CÁLCULO IV
Professor: Matheus C. Bortolan
Nome:___________________________________________ Matrícula: _____________
(a) (b) (c) (d)
Questão 1 xxxxx
Questão 2
Questão 3 xxxxx xxxxx
Questão 4 xxxxx xxxxx xxxxx
Total / 10.0
Orientações para a avaliação
• Leia atentamente cada uma das questões da prova.
• Justifique cada uma de suas respostas. Respostas sem justificativa serão desconsideradas.
• As respostas devem estar escritas à caneta e as resoluções devem estar legíveis.
• A prova é individual e sem consulta a nenhum material.
• Não é permitido sair da sala durante o período da avaliação.
• Não é permitido uso nenhum tipo de calculadora, celulares, tablets, notebooks e
smartphones. O não cumprimento desta regra anulará completamente a sua avaliação.
• Faça cada questão com calma e tenha uma boa prova! =)
2a PROVA - DISCIPLINA MTM 5186: CÁLCULO IV
Professor: Matheus C. Bortolan
Nome:___________________________________________ Matrícula: _____________
(Valor 3.0) Questão 1: Considere a função f (z) = 1
z(z−3) . Encontre a expansão de f em série de
Laurent nos seguintes aneis:
(1.0) (a) 0< |z|< 3;
(1.0) (b) |z|> 3;
(1.0) (c) 0< |z− 3|< 3;
(Valor 3.0) Questão 2: Utilizando a Questão 1, responda:
(0.5) (a) Quais são as singularidades de f ? No caso de alguma ser um polo, qual a ordem?
Justifique.
(0.5) (b) Qual é o resíduo de f em cada uma destas singularidades?
(1.0) (c) Usando o Teorema dos Resíduos, calcule
∮
γ
f (z)dz, onde γ é o círculo |z|= 2.
(1.0) (d) Usando o Teorema dos Resíduos, calcule
∮
γ
f (z)dz, onde γ é o círculo |z|= 5.
(Valor 2.0) Questão 3: Considere a equação de Euler
x2 y ′′+αx y ′+ β y = 0, para x > 0.
(1.0) (a) Determine um valor para o par (α,β) para que y1(x) = x−3 e y2(x) = x formem
uma base de soluções para esta equação.
(1.0) (b) É possível encontrar α,β para os quais y1(x) = x−3 e y2(x) = x−i sejam soluções da
mesma equação? Justifique.
(Valor 2.0) Questão 4: Encontre a solução geral, utilizando uma série de potências na forma
y(x) =
∞∑
n=0
anx
n, da equação
y ′′− x y = 0, para x ∈ R.
Use o seguinte fato: se (n+ 2)(n+ 1)an+2 = an−1, para todo n¾ 1 então
a3n =
a0
2 · 3 · · · (3n− 1)(3n) e a3n+1 =
a1
3 · 4 · · · (3n)(3n+ 1) .
(Valor 1.0) Questão Extra: Na Questão 4, mostre que o raio de convergência das séries obtidas é
R=∞.