P2 MTM5186 15.1 Bortolan

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2a PROVA - DISCIPLINA MTM 5186: CÁLCULO IV
Professor: Matheus C. Bortolan
08/06/2015
Nome:___________________________________________ Matrícula: _____________
Orientações para a avaliação
• Leia atentamente cada uma das questões da prova.
• Justifique cada uma de suas respostas. Respostas sem justificativa serão desconsideradas.
• As respostas devem estar escritas à caneta e as resoluções devem estar legíveis.
• A prova é individual e sem consulta a nenhum material.
• Não é permitido sair da sala durante o período da avaliação.
• Não é permitido uso nenhum tipo de calculadora, celulares, tablets, notebooks e
smartphones. O não cumprimento desta regra anulará completamente a sua avaliação.
• Faça cada questão com calma e tenha uma boa prova! =)
(Valor 3.0) Questão 1: Determine as singularidades para as seguintes funções e classifique-as en-
tre removíveis, polos ou essenciais. No caso removíveis, defina a função apropriadamente
para que ela se torne analítica. No caso de polos, determine sua ordem. Encontre o resí-
duo das funções em cada singularidade.
(1.5) (a) f (z) = z
3�4z2
1�e z22
.
(1.5) (b) g(z) = sin z
z(z�1)3 .
(Valor 2.0) Questão 2: Considere as funções f e g dadas na Questão 1. Calcule:
(1.0) (a)
R
�
f (z)dz, onde � é o círculo |z| = 1, orientado positivamente.
(1.0) (b)
R
�
[ f (z) + g(z)]dz, onde � é o círculo |z| = 2, orientado positivamente.
(Valor 2.0) Questão 3: Expanda as função f (z) = z�sin z
z5
em série de Laurent do domínio 0 < |z| e
calcule
R
�
f (z)dz, onde � é o círculo |z| = 1
2
orientado positivamente.
(Valor 1.0) Questão 4: Use o Teorema dos Resíduos para calcular:Z 1
�1
x2
1+ x4
dx .
(Valor 2.0) Questão 5: Responda às seguintes perguntas:
(1.0) (a) Determine a solução geral da equação
x2 y 00+ 3x y 0 � 3y = 0.
(1.0) (b) Encontre ↵ e � reais para que y1(x) = x9 e y2(x) = x⇡ constituam uma base de
soluções para a equação
x2 y 00+↵x y 0+ � y = 0.