Baixe o app para aproveitar ainda mais
Prévia do material em texto
1. No espaço euclidiano Rn, defina duas operações u⊕ v = u− v, ∀u, v ∈ Rn k.u = −ku, ∀k ∈ R e u ∈ Rn. As operações que aparecem à direita de ambas as igualdades são as usuais do Rn. Quais dos axiomas de um espaço vetorial são satisfeitas por (Rn, ⊕, ·)? 2. Considere o conjunto V = {(x, y);x, y ∈ R} e considere as seguintes operações (x, y) + (x1, y1) = (x+ x1, 0) c(x, y) = (cx, 0). O conjunto V , com estas operações, é um espaço vetorial? 3. Considere V = Rn. Mostre que o conjunto solução de um sistema linear homogêneo é subespaço vetorial de V. Obs. Um sistema linear é dito ser homogêneo se é da forma a11x1 + a12x2 + · · · + a1nxn = 0 a21x1 + a22x2 + · · · + a2nxn = 0 ... ... . . . ... ... am1x1 + am2x2 + · · · + amnxn = 0 Dica: Use a equação matricial do sistema. O que podemos dizer se o sistema não for homogêneo? 4. Considere o espaço vetorial sobre R, V = R3. Verifique se os seguintes conjuntos são subespaços vetoriais de V. (i) S = {(x, y, z) ; x = 2y + z e y = x+ 3z}. (ii) S = {(x, y, z) ; x = y + 1 e z = 0}. (iii) S = {(x, y, z) ; y = 0 e z = 3x} 5. Determine se os seguintes conjuntos são espaços vetoriais sobre R. (i) S = {(x1, x2, x3, x4) ∈ R4 ; x1 = 2x2, x2 + 4x4 = 0, e 4x2 + x3 = 0}. (ii) S = {[ a11 a12 a13 a21 a22 a23 ] ∈M2×3(R) ; a21 + a23 = 0, a11 = 0 e a12 + a22 + 1 = 0 } (iii) S = {ax3 + bx2 + cx+ d ∈ P3[x](R) ; a+ b+ c+ d = 0, b = 2c e a = 3d} (iv) S ⊂Mn×n(R), onde S é o conjunto das matrizes simétricas. (v) O conjunto dos vetores de Rn cujas coordenadas formam uma progressão aritmética. (vi) O conjunto dos vetores de Rn cujas primeiras k coordenadas são iguais. (vii) O conjunto dos vetores de Rn que têm k coordenadas iguais. (viii) O conjunto das retas no espaço euclidiano R3. (ix) O conjunto das retas que passam na origem no espaço euclidiano R3. 6. Considere V espaço vetorial sobre R. Assuma que S1 e S2 são subespaços vetoriais de V. Mostre a seguinte afirmação: S1 ∪ S2 é subespaço vetorial de V se, e somente se, (S1 ⊂ S2 ou S2 ⊂ S1). 7. SejamW1 eW2 subespaços de um espaço vetorial V tal que V = W1+W2 eW1∩W2 = 0. Prove que para cada vetor v ∈ V, existe um único w1 ∈ W1 e w2 ∈ W2, tal que v = w1+w2. ii
Compartilhar