Baixe o app para aproveitar ainda mais
Prévia do material em texto
Funções Reais de Várias Variáveis Reais Matemática II Jorge Marques Faculdade de Economia Universidade de Coimbra Ano lectivo de 2008/2009 Jorge Marques Matemática II Funções Reais de Várias Variáveis Reais Programa 1 Funções Reais de Várias Variáveis Reais Jorge Marques Matemática II Funções Reais de Várias Variáveis Reais Função Composta Derivada da Função Composta - Regra da Cadeia - Caso I Seja f : D ⊆ R2 → R uma função de classe C1 em Int(D). Se{ x = φ(t) y = ψ(t) em que φ e ψ são funções diferenciáveis em I ⊆ R então F : I → R definida por F (t) = f (φ(t), ψ(t)) é diferenciável e F ′(t) = ∂f ∂x (φ(t), ψ(t)) dx dt + ∂f ∂y (φ(t), ψ(t)) dy dt = ∂f ∂x (φ(t), ψ(t))φ′(t) + ∂f ∂y (φ(t), ψ(t))ψ′(t) Jorge Marques Matemática II Funções Reais de Várias Variáveis Reais Função Composta Exemplo - Regra da Cadeia - Caso I Consideremos f : R2 → R definida por f (x , y) = sin (xy), onde{ x = t2 + 1 y = t3 Então F : R→ R definida por F (t) = sin (t5 + t3) é diferenciável e F ′(t) = [t3 cos (t5 + t3)]2t + [(t2 + 1) cos (t5 + t3)]3t2 = (5t4 + 3t2) cos (t5 + t3) Jorge Marques Matemática II Funções Reais de Várias Variáveis Reais Função Composta Derivada da Função Composta - Regra da Cadeia - Caso II Seja f : D ⊆ R2 → R uma função de classe C1 em Int(D). Se{ x = φ(r , t) y = ψ(r , t) em que φ e ψ são funções de classe C1 em I ⊆ R2 então F : I → R definida por F (r , t) = f (φ(r , t), ψ(r , t)) é de classe C1 em I e ∂F ∂r (r , t) = ∂f ∂x (φ(r , t), ψ(r , t)) ∂x ∂r (r , t) + ∂f ∂y (φ(t), ψ(t)) ∂y ∂r (r , t) ; ∂F ∂t (r , t) = ∂f ∂x (φ(r , t), ψ(r , t)) ∂x ∂t (r , t) + ∂f ∂y (φ(t), ψ(t)) ∂y ∂t (r , t) Jorge Marques Matemática II Funções Reais de Várias Variáveis Reais Função Composta Exemplo - Regra da Cadeia - Caso II Consideremos f : R2 → R definida por f (x , y) = x2 − y2, onde x = r cos t ∧ y = r sin t Então F : R2 → R definida por F (r , t) = (r cos t)2 − (r sin t)2 é de classe C1 em R2 e ∂F ∂r (r , t) = (2r cos t) cos t + (−2r sin t) sin t = 2r(cos2 t − sin2 t) = 2r cos (2t) ∂F ∂t (r , t) = 2r cos t(−r sin t) + (−2r sin t)r cos t = −4r2 cos t sin t = −2r2 sin (2t) Jorge Marques Matemática II Funções Reais de Várias Variáveis Reais Função Composta Funções Homogéneas A função f : D ⊆ Rn → R diz-se que é homogénea de grau p ∈ Q se f (tx1, . . . , txn) = tpf (x1, . . . , xn) para (x1, . . . , xn) ∈ D e para t ∈ R tais que (tx1, . . . , txn) ∈ D. Caso a igualdade seja apenas válida para t ≥ 0 diz-se que a função é positivamente homogénea. Nota Se x = (0,0, . . . ,0) ∈ D então f (x) = 0. Jorge Marques Matemática II Funções Reais de Várias Variáveis Reais Função Composta Exemplos de Funções Homogéneas 1 O polinómio com coeficientes reais definido por f (x , y) = ax + by , a 6= 0 ∨ b 6= 0 é uma função homogénea de grau 1 2 O polinómio com coeficientes reais definido por f (x , y) = a2 0x2+a1 1xy+a0 2y2 , a2 0 6= 0∨a1 1 6= 0∨a0 2 6= 0 é uma função homogénea de grau 2 3 A função racional f : R2 − {(0,0)} −→ R definida por f (x , y) = 3xyx2+y2 é uma função homogénea de grau 0 4 A função f : R2 −→ R definida por f (x , y) = √ x2 + y2 é positivamente homogénea de grau 1 Jorge Marques Matemática II Funções Reais de Várias Variáveis Reais Função Composta Funções Homogéneas A soma de funções homogéneas de grau p é uma função homogénea de grau p O produto de funções homogéneas é uma função homogénea cujo o grau é a soma dos graus de homogeneidade das funções dadas O quociente de uma função homogénea de grau p por uma função homogénea de grau q é uma função homogénea de grau p − q A potência de expoente s de uma função homogénea de grau p é uma função homogénea de grau sp Jorge Marques Matemática II Funções Reais de Várias Variáveis Reais Função Composta Interpretação Geométrica Seja f : D ⊆ R2 → R uma função homogénea de grau p. Consideremos um ponto qualquer P = (a,b) ∈ D, não-nulo, então {(x , y) ∈ R2 : (x , y) = (ta, tb), t ∈ R } é uma recta r que passa por P e pela origem. O valor que f toma em (x , y) ∈ r é igual a tp vezes o valor de f em P. Nota Uma função f : D ⊆ R2 → R homogénea de grau p é univocamente determinada pelo valor de f em todos os pontos de {(x , y) ∈ R2 : x2 + y2 = 1 } Jorge Marques Matemática II Funções Reais de Várias Variáveis Reais Função Composta Função de Cobb-Douglas Sejam k , α e β parâmetros reais positivos. A função de produção f : [0,+∞[×[0,+∞[ −→ R (x , y) 7−→ z = kxαyβ designa-se por função de Cobb-Douglas, em que x e y representam respectivamente a quantidade de capital e de trabalho usados na produção. Esta função é homogénea de grau α+ β. Diz-se que: Se α+β > 1 então f tem rendimentos crescentes à escala Se α+β = 1 então f tem rendimentos constantes à escala Se α+ β < 1 então f tem rendimentos decrescentes à escala Jorge Marques Matemática II Funções Reais de Várias Variáveis Reais Função Composta Propriedade das Funções Homogéneas Seja f : D ⊆ Rn → R uma função homogénea de grau p. Se x1 6= 0 então f (x1, . . . , xn) = xp1g ( x2 x1 , . . . , xnx1 ) . Teorema de Euler Se a função f : D ⊆ Rn → R é de classe C1 em Int(D) e homogénea (ou positivamente homogénea) de grau p então x1 ∂f ∂x1 (x) + . . .+ xn ∂f ∂xn (x) = pf (x) sendo x = (x1, . . . , xn). Esta igualdade chama-se identidade de Euler e pode ser reescrita como xT ∇f (x) = pf (x) Jorge Marques Matemática II Funções Reais de Várias Variáveis Reais Função Composta Exemplo - Função de Produção Sejam k e α parâmetros reais tais que 0 < α < 1 e k > 0. A função de Cobb-Douglas f : D = [0,+∞[×[0,+∞[ −→ R (x , y) 7−→ z = kxαy1−α é homogénea de grau 1. Então para y > 0 obtemos f (x , y) = f ( y ( x y ,1 )) = yf ( x y ,1 ) = yg ( x y ) ou seja, f (x , y) y = g ( x y ) , o que significa que a produtividade média do trabalho é uma função da razão entre capital e trabalho. Jorge Marques Matemática II Funções Reais de Várias Variáveis Reais Função Composta O Reciproco do Teorema de Euler Se f : D ⊆ Rn → R satisfaz a identidade de Euler então f é homogénea (ou positivamente homogénea) de grau p. Homogeneidade das Derivadas Parciais Seja f : D ⊆ Rn → R de classe Ck em Int(D), 1 ≤ k ≤ p. Se f é homogénea (ou positivamente homogénea) de grau p então as suas derivadas parciais de ordem k são homogéneas (ou positivamente homogéneas) de grau p − k . Jorge Marques Matemática II Funções Reais de Várias Variáveis Reais Função Composta Exemplo - Função de Produção Sejam k e α parâmetros reais tais que 0 < α < 1 e k > 0. A função de Cobb-Douglas f : D = [0,+∞[×[0,+∞[ −→ R (x , y) 7−→ z = kxαy1−α é homogénea de grau 1, logo as produtividades marginais do capital e do trabalho, fx e fy respectivamente, são homogéneas de grau 0, ou seja, para todo o (x , y) ∈ Int(D) e para todo o t > 0 obtemos fx(tx , ty) = fx(x , y) ; fy (tx , ty) = fy (x , y) Jorge Marques Matemática II Funções Reais de Várias Variáveis Reais Função Composta Isoquantas Consideremos a isoquanta de equação f (x , y) = f (a,b) tal que f (a,b) > 0. Então a semi-recta S = {(x , y) ∈ R2 : (x , y) = (ta, tb), t > 0 } intersecta a isoquanta em P = (a,b). Para qualquer outro ponto Q ∈ S obtemos fx(Q)/fy (Q) = fx(P)/fy (P). Taxa Marginal de Substituição Técnica Em termos económicos, ao quociente fx(P)/fy (P) chama-se a taxa marginal de substituição técnica em P. Assim a taxa é a mesma em P e em Q e portanto a taxa mantém-se constante ao longo de S. Jorge Marques Matemática II Funções Reais de Várias Variáveis Reais Função Composta Interpretação GeométricaA taxa marginal de substituição técnica num ponto P é igual ao valor absoluto do declive da recta tangente à isoquanta de equação f (x , y) = f (a,b) em P. Propriedades das Isoquantas As isoquantas de equação f (x , y) = c, para todo o c > 0, são intersectadas pela semi-recta S em diferentes pontos. Em qualquer um desses pontos X ∈ S, as rectas tangentes às isoquantas têm o mesmo declive. Jorge Marques Matemática II Funções Reais de Várias Variáveis Reais Função Composta Funções Homotéticas A função f : D ⊆ Rn → R diz-se que é homotética se f é a função composta, f = g ◦ h, em que h : D ⊆ Rn → R é homogénea e g : B ⊆ R→ R é estritamente monótona. Resultado Toda a função homogénea é homotética. Mas uma função homotética pode não ser homogénea. Jorge Marques Matemática II Funções Reais de Várias Variáveis Reais Função Composta Exemplos de Funções Homotéticas 1 A função f : R2 → R definida por f (x , y) = e3x ey 2 A função f : {(x , y) ∈ R2 : x > 0 ∧ y > 0 } → R definida por f (x , y) = 2 ln x + ln y 3 A função f : R2 −→ R definida por f (x , y) = √ x2 + y2 Jorge Marques Matemática II Funções Reais de Várias Variáveis Reais Função Composta Função Implícita Seja F (x , y) = 0 uma curva que contém o ponto P = (a,b). Diz-se que F (x , y) = 0 define implicitamente y como função de x numa vizinhança de P, y = f (x), ou então que y = f (x) está definida sob a forma implícita por F (x , y) = 0 se verifica F (x , f (x)) = 0 , para todo o x ∈ I onde I é um intervalo aberto contendo a. Geometricamente, o gráfico de f é o lugar geométrico definido por {(x , y) ∈ R2 : x ∈ I ∧ y = f (x) ∧ F (x , f (x)) = 0 } Jorge Marques Matemática II Funções Reais de Várias Variáveis Reais Função Composta Exemplo - Função Implícita Como determinar o declive da recta tangente a x2 + y2 − 4 = 0 no ponto P = (1,−√3)? A função f :]− 2,2[→ R tal que f (x) = − √ 4− x2 está definida implicitamente pela circunferência numa vizinhança de P. Vamos agora calcular y ′(x) derivando ambos os membros da equação em ordem a x pela regra da cadeia. Assim vem 2x + 2yy ′ = 0 ou seja, y ′ = −x y ∧ y 6= 0 e portanto m = y ′(1) = − 1−√3 = √ 3 3 Jorge Marques Matemática II Funções Reais de Várias Variáveis Reais Função Composta Teorema da Função Implícita - Caso I Sejam F : D ⊂ R2 → R uma função de classe C1 em D e (a,b) ∈ Int(D). Se (i) F (a,b) = 0 (ii) Fy (a,b) 6= 0 então F (x , y) = 0 define implicitamente y como função de x numa vizinhança de (a,b). Além disso y é diferenciável em a e y ′(a) = −Fx(a,b) Fy (a,b) Jorge Marques Matemática II Funções Reais de Várias Variáveis Reais Função Composta Nota Para calcular y ′(a) procede-se da seguinte forma: 1 Deriva-se ambos os membros da equação pela regra da cadeia Fx(x , y) + Fy (x , y) dy dx = 0 2 Isola-se y ′ = dydx , ou seja, y ′(x) = −Fx(x , y) Fy (x , y) 3 Substitui-se x por a, isto é, y ′(a) = −Fx(a,b) Fy (a,b) Jorge Marques Matemática II Funções Reais de Várias Variáveis Reais Função Composta Exemplo Vamos mostrar que ln (xy) + (y − 1)x2 = 0 define localmente (na vizinhança de (1,1)) y como função implícita de x . A função F : D = {(x , y) : xy > 0 } → R definida por F (x , y) = ln (xy) + (y − 1)x2 é de classe C1 em D pois F e as suas derivadas parciais: Fx(x , y) = 1 x + 2(y − 1)x ∧ Fy (x , y) = 1y + x 2 são contínuas em D. Como F (1,1) = 0 e Fy (1,1) = 2 6= 0 então y é localmente função de x: y = f (x) ; x ∈ I =]1− �,1+ �[ , � > 0 e f ′(1) = −Fx(1,1) Fy (1,1) = −1 2 . Jorge Marques Matemática II Funções Reais de Várias Variáveis Reais Função Composta Teorema da Função Implícita - Caso II Sejam F : D ⊂ R3 → R uma função de classe C1 em D e (a,b, c) ∈ Int(D). Se (i) F (a,b, c) = 0 (ii) Fz(a,b, c) 6= 0 então F (x , y , z) = 0 define implicitamente z como função de x e y numa vizinhança de (a,b, c). Além disso as derivadas parciais de z em (a,b) são dadas por zx(a,b) = −Fx(a,b, c)Fz(a,b, c) ∧ zy (a,b) = − Fy (a,b, c) Fz(a,b, c) Jorge Marques Matemática II Funções Reais de Várias Variáveis Reais Função Composta Exemplo Vamos mostrar que x2 + y2 + z2 = 25 define localmente (na vizinhança de (0,3,4)) z como função implícita de x e y . A função F : R3 → R definida por F (x , y , z) = x2 + y2 + z2− 25 é de classe C1 em R3 pois F e as suas derivadas parciais: Fx(x , y , z) = 2x ∧ Fy (x , y , z) = 2y ∧ Fz(x , y , z) = 2z são contínuas em R3. Como F (0,3,4) = 0 e Fz(0,3,4) = 8 6= 0 então z é localmente função de x e de y : z = f (x , y) ∧ (x , y) ∈ I = B�(0,3) , � > 0 e zx(0,3) = −Fx(0,3,4)Fz(0,3,4) = 0 ∧ zy (0,3) = − Fy (0,3,4) Fz(0,3,4) − 3 4 Jorge Marques Matemática II Funções Reais de Várias Variáveis Reais
Compartilhar