Avaliação I - Teoria dos números

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Universidade Federal de Pernambuco
Centro Acadeˆmico do Agreste
Nu´cleo de Formac¸a˜o Docente
Teoria dos Nu´meros
Professora: Maria do Desterro A. da Silva
Aluno: Matr´ıcula:
1a Avaliac¸a˜o
1. (Peso 1.0) Dado (푎, 4) = (푏, 4) = 2, prove que (푎 + 푏, 4) = 4
2. (Peso 1.0) Mostre, por induc¸a˜o, que
(a) 1.2 + 2.3 + 3.4 + ... + 푛(푛 + 1) =
푛(푛 + 1)(푛 + 2)
3
(b) 9 ∣ (10푛+1 − 9푛− 10), ∀푛 ≥ 1
3. (Peso 2.0) Dado que 푎1푏2 − 푎2푏1 = 1, mostre que a frac¸a˜o
푎1 + 푎2
푏1 + 푏2
esta´ em sua forma reduzida, ou seja (푎1 + 푎2, 푏1 + 푏2) = 1.
Sugesta˜o: Observe que 푎1푏2 − 푎2푏1 = (푎1 + 푎2)푏2 − (푏1 + 푏2)푎2.
4. (Peso 2.0) Sabendo que (푎, 푏) = 1, mostre que (푎2, 푎푏, 푏2) = 1.
Sugesta˜o: Suponha, por absurdo, que (푎2, 푎푏, 푏2) = 푑 > 1.
5. (Peso 2.0) Mostre que se (푎, 푐) = 1, enta˜o (푎, 푏푐) = (푎, 푏).
6. (Peso 2.0) Mostre que se, para algum 푛, acontecer
푚∣(21푛 + 17), 푚∣(3푛 + 2) e 푚 > 1,
enta˜o 푚 = 3.